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6.2 频率的稳定性
◇教学目标◇
【知识与技能】
1.了解频率的意义及稳定性;
2.了解概率的意义,能够用某事件的频率估计概率.
【过程与方法】
经历探究频率的稳定性、用频率估计概率的过程,感受数学和实际生活的联系,进一步发展学生的合作交流能力和数学表达能力.
【情感、态度与价值观】
增强学生的数学应用意识,初步培养学生以数据为依据分析问题、解决问题的良好习惯.
◇教学重难点◇
【教学重点】
能够用某事件的频率估计概率.
【教学难点】
对频率稳定性的理解.
◇教学过程◇
一、情境导入
1.课前准备:以4人合作小组为单位准备图钉.
2.课前让同学们准备了图钉,现在来做抛图钉实验:看钉尖朝上的次数多还是朝下的次数多.
(1)4人一组做20次掷图钉游戏,并将数据记录在下表中:
试验总次数
钉尖朝上次数
钉尖朝下次数
钉尖朝上频率(钉尖朝上次数/试验总次数)
钉尖朝下频率(钉尖朝下次数/试验总次数)
介绍频率定义:在n次重复试验中,不确定事件A发生了m次,则比值称为事件发生的频率.
(2)累计全班同学的试验结果,并将试验数据汇总填入下表:
试验总次 数n 20 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400
钉尖朝上 次数m
钉尖朝上 频率(m/n)
二、合作探究
探究点1 频率的稳定性
典例1 在一个不透明的袋子中装有除颜色外其余均相同的m个小球,其中5个黑球,从袋中随机摸出一球,记下其颜色,这称为依次摸球试验.之后把它放回袋中,搅匀后,再继续摸出一球.以下是利用计算机模拟的摸球试验次数与摸出黑球次数的列表:
摸球试验次数 100 1000 5000 10000 50000 100000
摸出黑球次数 46 487 2506 5008 24996 50007
根据列表,可以估计出m的值是 ( )
A.5 B.10
C.15 D.20
[解析] 因为通过大量重复试验后发现,摸到黑球的频率稳定于0.5附近,所以=0.5,解得m=10.
[答案] B
在大量重复实验时,事件发生的频率在某个常数左右摆动,并且摆动的幅度越来越小,这就是频率的稳定性,可以用这个常数作为频率进行计算.
探究点2 用频率估计概率
典例2 (北京中考)如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果.
下面有三个推断:
①当投掷次数是500时,计算机记录“钉尖向上”的次数是308,所以“钉尖向上”的概率是0.616;
②随着试验次数的增加,“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动,显示出一定的稳定性,可以估计“钉尖向上”的概率是0.618;
③若再次用计算机模拟此实验,则当投掷次数为1000时,“钉尖向上”的频率一定是0.620.
其中合理的是 ( )
A.① B.②
C.①② D.①③
[解析] 当投掷次数是500时,计算机记录“钉尖向上”的次数是308,所以此时“钉尖向上”的频率是308÷500=0.616,但“钉尖向上”的概率不一定是0.616,①错误;随着实验次数的增加,“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动,显示出一定的稳定性,可以估计“钉尖向上”的概率是0.618,②正确;若再次用计算机模拟实验,则当投掷次数为1000时,“钉尖向上”的概率可能是0.620,但不一定是0.620,③错误.
[答案] B
【技巧点拨】在大量的重复试验中,我们常用某一事件发生的频率来估计该事件发生的概率.解决这类问题时还要注意运用数形结合思想.
变式训练 下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果,那么该球员投篮一次,投中的概率约是 ( )
投篮次数 10 50 100 150 200 250 300 500
投中次数 4 35 60 78 104 123 152 251
投中频率 0.40 0.70 0.60 0.52 0.52 0.49 0.51 0.50
A.0.7 B.0.6
C.0.5 D.0.4
[答案] C
三、板书设计
频率的稳定性
◇教学反思◇
通过具体的现实情境,充分利用学生的生活经验,让学生体验到数学来源于生活,打破了传统的注入式的教学模式,通过一系列精心设计把它改成由学生所经历的情境引入课题,从而激发学生的学习兴趣.在教学中引导学生进行“猜想—实验—分析—交流—发现—应用”,学生在操作、思考、交流中不断地发现问题,解决问题,极大地调动了学生的学习积极性.
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第六章 概率初步
6.2 频率的稳定性
七年级数学下册同步（北师大版）
抛掷一枚图钉，落地后会
出现两种情况：钉尖朝上 ，
钉尖朝下。你认为钉尖朝上和
钉尖朝下的可能性一样
大吗
小明和小丽在玩抛图钉游戏
直觉告诉我任意掷一枚图钉，钉尖朝上和钉尖朝下的可能性是不相同的。
我的直觉跟你一样，但我不知道对不对。
不妨让我们用试验来验证吧！
活动一：做一做
（1）两人一组做20次掷图钉游戏，并将数据记录在下表中：
试验总次数
钉尖朝上次数
钉尖朝下次数
钉尖朝上频率（钉尖朝上次数/试验总次数）
钉尖朝下频率（钉尖朝下次数/试验总次数）
频率：在n次重复试验中，不确定事件A
发生了m次，则比值 称为事件
发生的频率。
（2）累计全班同学的实验2结果，并将试验
数据汇总填入下表：
试验总次数n 20 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400
钉尖朝上次数m
钉尖朝上频率m/n
（3）根据上表完成下面的折线统计图：
20
40
80
120
200
240
160
320
280
0.2
400
360
1.0
0.6
0.8
0.4
钉尖朝上的频率
试验总次数
20
40
80
120
200
240
160
320
280
0.2
400
360
1.0
0.6
0.8
0.4
钉尖朝上的频率
试验总次数
（4）老师共做了400次掷图钉游戏，并记录了游戏的结果绘制了下面的折线统计图，观察图像，钉尖朝上的频率的变化有什么规律？
结论：
在试验次数很大时，钉尖朝上的频率都会在一个常数附近摆动，即钉尖朝上的频率具有稳定性
活动二：议一议
（1）通过上面的试验，你认为钉尖朝上和钉尖朝下的可能性一样大吗？你是怎样想的？
（2）小明和小丽一起做了1000次掷图钉
的试验，其中有640次钉尖朝上。据此，他们认为钉尖朝上的可能性比钉尖朝下的可能性大。你同意他们的说法吗？
人们在长期的实践中发现,在随机试验中,
由于众多微小的偶然因素的影响,每次测
得的结果虽不尽相同,但大量重复试验所
得结果却能反应客观规律.
频率的稳定性是由瑞士数学家雅克布·伯努利（1654－1705）最早阐明的，他还提出了由频率可以估计事件发生的可能性大小。
频率稳定性定理
数学史实
1、某射击运动员在同一条件下进行射击，结果如下表：
射击总次数n 10 20 50 100 200 500 1000
击中靶心的次数m 9 16 41 88 168 429 861
击中靶心的频率m/n
（1）完成上表；
（2）根据上表画出该运动员击中靶心的频率的折线统计图；
（3）观察画出的折线统计图，击中靶心的频率变化有什么规律？
活动三：练一练
2、某林业部门要考查某种幼
树在一定条件下的移植成活
率,应采用什么具体做法
在同样条件下，大量地对这种幼树进行移植并统计成活情况，计算成活的频率．如果随着移植棵数的越来越大，频率越来越稳定于某个常数，那么这个常数就可以被当作成活率的近似值
移植总数 成活数 成活的频率
10 8
0.8
50 47
270 235 0.870
400 369
750 662
1500 1335 0.890
3500 3203 0.915
7000 6335
9000 8073
14000 12628 0.902
0.94
0.923
0.883
0.905
0.897
（1）下表是统计试验中的部分数据，请补充完整：
（2）由下表可以发现，幼树移植成活的频率在＿＿＿＿左右摆动，并且随着移植棵数越来越大，这种规律愈加明显.
0.9
（3）林业部门种植了该幼树1000棵,估计能成活
_______棵.
（4）我们学校需种植这样的树苗500棵来绿化校
园,则至少向林业部门购买约_______棵.
900
556
3.某厂打算生产一种中学生
使用的笔袋，但无法确定各
种颜色的产量，于是该文具
厂就笔袋的颜色随机调查了5000名中学生，并在调查到1000名、2000名、3000名、4 000名、5 000名时分别计算了各种颜色的频率，绘制折线图如下：
(1)随着调查次数的增加，红色的频率如何变化？
随着调查次数的增加，红色的频率基本稳定在40%左右.
(2)你能估计调查到10000名同学时，红色的频率是多少吗？
估计调查到10000名同学时，红色的频率大约仍是40%左右.
(3)若你是该厂的负责人,你将如何安排生产各种颜色的产量？
红、黄、蓝、绿及其它颜色的生产比例大约为4:2:1:2:1 .
数学理解
抛一个如图所示的瓶盖，盖口向上或盖口向下的可能性是否一样大？怎样才能验证自己结论的正确性？
课堂小结：
1、通过本节课的学习，你了解了哪些知识？
2、在本节课的教学活动中，你获得了哪些活动体验？
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