沪科版数学八年级下册 第16章 二次根式 单元测试题（word版 含解析）

第16章 二次根式单元测试题
一、单选题：本题共10个小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。
1．（2022·全国.八年级期末）若二次根式有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·重庆市巴川中学校八年级期末）下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·上海·虹口实验学校八年级期中）下列式中，与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2022·福建省福州第十九中学八年级期末）下列二次根式中，化简后可以合并的是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
5．（2022·福建·厦门市松柏中学八年级期末）若a＝2021×2022﹣20212，b＝1013×1008﹣1012×1007，c，则a，b，c的大小关系是（　　）
A．c＜b＜a B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a
6．（2022·北京顺义·八年级期末）当时，化简二次根式，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·山东·临邑县兴隆镇中学八年级期中）已知等腰三角形的两边长满足，那么这个等腰三角形的周长为（ ）
A．8 B．10 C．8或10 D．9
8．（2021·贵州毕节·八年级期中）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则（ ）
A．2a-b B．b C．-b D．2a+b
9．（2021·山东省青岛第六十三中学八年级期中）下列结论正确的有（　　）个
①＝±4；②＝；③无理数是无限小数；④两个无理数的和还是无理数
A．1 B．2 C．3 D．
10．（2021·河北·石家庄外国语教育集团八年级期中）下列说法：①＝±2；②立方根是本身的数为0，1；③若二次根式有意义，则x＞3；④2﹣的倒数是2+；⑤近似数10.0×104精确到千位，其中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题：本题共8个小题，每题3分，共24分。
11．（2021·北京·和平街第一中学八年级期中）使二次根式有意义的x的取值范围是______________．
12．（2022·福建省福州第十九中学八年级期末）写出一个最简二次根式a，使得，则a可以是______．
13．（2021·全国·八年级期中）如图，实数，在数轴上的位置，化简__．
14．（2021·上海市莘光学校八年级期中）当等式成立时，＝___．
15．（2022·甘肃·高台县城关初级中学八年级期末）估算比较大小：_______；______．
16．（2022·广东禅城·八年级期末）我们知道是一个无理数，设它的整数部分为a，小数部分为b，则（+a）·b的值是_________．
17．（2020·浙江·宁波市第七中学八年级期末）实数a、b满足，则的最大值为_________．
18．（2021·重庆巴南·八年级期中）甲容器中装有浓度为a的果汁，乙容器中装有浓度为b的果汁，两个容器都倒出m kg，把甲容器倒出的果汁混入乙容器，把乙容器倒出的果汁混入甲容器，混合后，两容器内的果汁浓度相同，则m的值为_________．
三、解答题：本题共7个小题，19-23每题7分，24小题9分，25每题12分，共56分。
19．（2021·重庆市实验学校八年级期中）计算：
(1)（）×；
(2)
（2022·江苏启东·八年级期末）化简求值。
（1）先化简，再求值：，其中；
（2）当时，求的值．
21．（2022·贵州松桃·八年级期末）先阅读下列材料，再解决问题：
阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及一次根式的性质化去一层根号．
例如：
．
解决问题：化简下列各式
(1)；
(2)．
22．（2022·云南昆明·八年级期末）如图，在中，、分别是上的高和中线，，，求的长．
23．（2021·河北沧县·八年级期中）在数学课外学习活动中，嘉琪遇到一道题：已知，求2a2﹣8a+1的值．他是这样解答的：
∵，
∴．
∴（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3．
∴a2﹣4a＝﹣1．
∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
请你根据嘉琪的解题过程，解决如下问题：
（1）试化简和；
（2）化简；
（3）若，求4a2﹣8a+1的值．
24．（2020·四川郫都·八年级期末）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索：
设（其中a、b、m、n均为正整数），则有，
∴a＝m2+2n2，b＝2mn．
这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝　 　，b＝　 　；
（2）若，且a、m、n均为正整数，求a的值；
（3）化简：．
25．（2022·四川·成都新津为明学校八年级期中）先阅读下面的解题过程，然后再解答，形如的化简，我们只要找到两个数a，b，使，，即，，那么便有：.
例如化简：
解：首先把化为，
这里，，
由于，，
所以，
所以
（1）根据上述方法化简：
（2）根据上述方法化简：
（3）根据上述方法化简：
第16章 二次根式单元测试题
一、单选题：本题共10个小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。
1．（2022·全国.八年级期末）若二次根式有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据被开方数必须是非负数，可得答案．
【详解】解：由题意，得
x+4≥0，
解得x≥-4，
故选D．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，概念：式子（a≥0）叫二次根式．二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
2．（2021·重庆市巴川中学校八年级期末）下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据最简二次根式满足的两个条件进行判断即可．
【详解】解：A、是最简二次根式，符合题意；B、＝3，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；C、＝2，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；D、被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意，
故选：A．
【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念，解题的关键是掌握满足（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是最简二次根式．
3．（2021·上海·虹口实验学校八年级期中）下列式中，与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据二次根式的性质化成最简二次根式，再看看被开方数是否相同即可．
【详解】解：A、，即化成最简二次根式后被开方数相同（都是5），所以是同类二次根式，故本选项符合题意；B、最简二次根式和的被开方数不相同，所以不是同类二次根式，故本选项不符合题意；C、，即化成最简二次根式后被开方数不相同，所以不是同类二次根式，故本选项不符合题意；D、，即化成最简二次根式后被开方数不相同，所以不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简和同类二次根式的定义，能熟记同类二次根式的定义是解此题的关键．
4．（2022·福建省福州第十九中学八年级期末）下列二次根式中，化简后可以合并的是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
【答案】B
【分析】先化简，再根据同类二次根式的定义解答即可．
【详解】解：、化简得：和不是同类二次根式，不能合并同类项，不符合题意；、化简得：和是同类二次根式，可以合并，不符合题意；、化简得：和，不是同类二次根式，不能合并同类项，不符合题意；、和被开方数不同，不是同类二次根式，不符合题意；．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了同类二次根式的定义，解题的关键是掌握化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．
5．（2022·福建·厦门市松柏中学八年级期末）若a＝2021×2022﹣20212，b＝1013×1008﹣1012×1007，c，则a，b，c的大小关系是（　　）
A．c＜b＜a B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a
【答案】D
【分析】先分别化简各数，然后再进行比较即可．
【详解】解：a=2021×2022-20212
=2021×（2022-2021）
=2021，
b=1013×1008﹣1012×1007
=（1012+1）（1007+1）-1012×1007
=1012×1007+1012+1007+1-1012×1007
=1012+1007+1
=2020，
c
=
=
=
=，
∴2020∴b故选D．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，实数的大小比较，准确化简各数是解题的关键．
6．（2022·北京顺义·八年级期末）当时，化简二次根式，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先判断 再利用进行化简即可.
【详解】解：
故选D
【点睛】本题考查的是二次根式的化简，根据隐含条件判断是解本题的关键，易错点的是化简过程中出现二次根式没有意义的情况.
7．（2021·山东·临邑县兴隆镇中学八年级期中）已知等腰三角形的两边长满足，那么这个等腰三角形的周长为（ ）
A．8 B．10 C．8或10 D．9
【答案】B
【分析】根据二次根式和绝对值的性质，求得，分情况讨论，求解即可．
【详解】解：∵
∴，，解得，
当腰长为2，底边为4时，∵，不满足三角形三边条件，不符合题意；
当腰长为4，底边为2时，∵，，满足三角形三边条件，
此时等腰三角形的周长为．
故选：B
【点睛】本题主要考查的是非负数的性质、等腰三角形的定义，三角形的三边关系，利用三角形的三边关系进行验证是解题的关键．
8．（2021·贵州毕节·八年级期中）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则（ ）
A．2a-b B．b C．-b D．2a+b
【答案】C
【分析】首先根据数轴上a、b的位置，判断出、a的符号，然后再进行化简．
【详解】解：由图知：；
，；
，
故选：C．
【点睛】本题考查了数轴，绝对值，二次根式的性质的应用，能正确去绝对值符号及化简二次根式是解题关键．
9．（2021·山东省青岛第六十三中学八年级期中）下列结论正确的有（　　）个
①＝±4；②＝；③无理数是无限小数；④两个无理数的和还是无理数
A．1 B．2 C．3 D．
【答案】D
【分析】根据算术平方根，无理数的概念：即无限不循环小数，二次根式的化简进行判断即可．
【详解】解：①＝4，故错误，不符合题意；
②＝，故错误，不符合题意；
③无理数是无限不循环小数，故错误，不符合题意；
④两个无理数的和不一定是无理数，如，
故正确的有个，
故选：D．
【点睛】本题考查了求一个数的算术平方根，二次根式的化简，无理数的相关概念等知识点，熟练掌握相关定义是解本题的关键．
10．（2021·河北·石家庄外国语教育集团八年级期中）下列说法：①＝±2；②立方根是本身的数为0，1；③若二次根式有意义，则x＞3；④2﹣的倒数是2+；⑤近似数10.0×104精确到千位，其中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据算术平方根，立方根，二次根式有意义的条件，分母有理化，近似数的定义逐个分析判断即可
【详解】解：①，故①不正确；
②立方根是本身的数为0，，故②不正确；
③若二次根式有意义，则x3，故③不正确；
④2﹣的倒数是，故④正确；
⑤10.0×104
近似数10.0×104精确到千位，故⑤正确
故正确的有④⑤，共计2个
故选B
【点睛】本题考查了算术平方根，立方根，二次根式有意义的条件，分母有理化，近似数的定义，掌握以上知识是解题的关键．
二、填空题：本题共8个小题，每题3分，共24分。
11．（2021·北京·和平街第一中学八年级期中）使二次根式有意义的x的取值范围是______________．
【答案】
【分析】根据二次根式有意义的条件，列不等式求解即可．
【详解】解：由题意得：3+2x≥0，解得：．
故答案是．
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方式大于等于零．
12．（2022·福建省福州第十九中学八年级期末）写出一个最简二次根式a，使得，则a可以是______．
【答案】（答案不唯一）
【分析】由题意根据最简二次根式的定义进行分析可得答案．
【详解】解：由可得，
所以a可以是.
故答案为：（答案不唯一）.
【点睛】本题主要考查最简二次根式的定义（被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数的因数是整数，因式是整式。那么，这个根式叫做最简二次根式），注意掌握并利用最简二次根式进行分析．
13．（2021·全国·八年级期中）如图，实数，在数轴上的位置，化简__．
【答案】
【分析】直接利用数轴得出a<0，，a-b<0，进而化简求出答案．
【详解】解：由数轴可得：，，则，
∴
．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出各式的符号是解题关键．
14．（2021·上海市莘光学校八年级期中）当等式成立时，＝___．
【答案】##
【分析】由等式成立，得到再化简二次根式即可.
【详解】解： 等式成立，
由①得：，
由②得：，
所以
，
所以原式
故答案为：
【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，二次根式的化简，掌握“公式中二次根式有意义的条件”是化简二次根式的关键.
15．（2022·甘肃·高台县城关初级中学八年级期末）估算比较大小：_______；______．
【答案】 > <
【分析】
①二次根式比较大小，可比较其平方的大小；
②二者作差与作比较，可比较二者的大小．
【详解】解：①，，
故答案为：．
②，
故答案为：．
【点睛】本题考察了根式的大小比较．解题的关键在于识别根式适用的方法．常用的方法有：平方法、作差法、作商法、分子有理化、分母有理化等．
16．（2022·广东禅城·八年级期末）我们知道是一个无理数，设它的整数部分为a，小数部分为b，则（+a）·b的值是_________．
【答案】1
【分析】先根据2＜＜3，确定a=2，b=-2，代入所求代数式，运用平方差公式计算即可．
【详解】解：∵2＜＜3，
∴a=2，b=-2，
∴（+a）·b
=（+2）（-2）
=5-4
=1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了无理数的估算，无理数整数部分的表示法，平方差公式，正确进行无理数的估算，灵活运用平方差公式是解题的关键．
17．（2020·浙江·宁波市第七中学八年级期末）实数a、b满足，则的最大值为_________．
【答案】52．
【分析】首先化简，可得|a-2|+|a-6|+|b+4|+|b-2|=10，然后根据|a-2|+|a-6|≥4，|b+4|+|b-2|≥6，判断出a，b的取值范围，即可求出的最大值．
【详解】解：∵，
即，
∴，
∴，
∵，，
∴ ，，
∴2≤a≤6，-4≤b≤2，
∴的最大值为，
故答案为52．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，绝对值的意义，算术平方根的性质．解题的关键是要明确化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．
18．（2021·重庆巴南·八年级期中）甲容器中装有浓度为a的果汁，乙容器中装有浓度为b的果汁，两个容器都倒出m kg，把甲容器倒出的果汁混入乙容器，把乙容器倒出的果汁混入甲容器，混合后，两容器内的果汁浓度相同，则m的值为_________．
【答案】
【分析】分别求出甲，乙容器中原溶液中纯果汁的含量，再求出mkg溶液中纯果汁的含量，最后利用混合后果汁的浓度相等列出关系式，求出m即可．
【详解】解：根据题意，甲容器中纯果汁含量为akg，乙容器中纯果汁含量为bkg，
甲容器倒出mkg果汁中含有纯果汁makg，乙容器倒出mkg果汁中含有纯果汁mbkg，
重新混合后，甲容器内果汁的浓度为，
重新混合后，乙容器内果汁的浓度为，
由题意可得，，
整理得，6a-6b=5ma-5mb，∴6（a-b）=5m（a-b），
∴m=．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式的应用，能够正确理解题意，化简二次根式是解题的关键．
三、解答题：本题共7个小题，19-23每题7分，24小题9分，25每题12分，共56分。
19．（2021·重庆市实验学校八年级期中）计算：
(1)（）×；
(2)
【答案】(1)；(2)
【分析】
（1）根据二次根式的混合运算法则计算即可；
（2）根据平方差公式以及完全平方公式计算，再根据二次根式运算法则计算即可．
【详解】(1)解：（）×
＝（4-5+5）×（-）
＝-12+10-15
＝-27+10；
(2)
解：
＝52-（2）2-（28+4+1）
＝25-12-28-4-1
＝-16-4．
【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，乘法公式，熟练运用二次根式的混合运算法则是解题的关键．
20．（2022·江苏启东·八年级期末）（1）先化简，再求值：，其中；
（2）当时，求的值．
【答案】（1），；（2）-2-
【分析】
（1）先根据分式运算法则进行化简，再代入数值计算即可；
（2）先分母有理化，再根据二次根式的性质化简求接即可．
【详解】解：（1）原式＝[]
＝
＝
当x＝时，原式＝
（2）解：∵，
∴a＝
∴a―1＝＜0
∴原式＝＝＝-2-
【点睛】本题考查了分式化简求值和二次根式化简求值，解题关键是熟练运用分式和二次根式运算法则进行化简，代入数值后准确计算．
21．（2022·贵州松桃·八年级期末）先阅读下列材料，再解决问题：
阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及一次根式的性质化去一层根号．
例如：
．
解决问题：化简下列各式
(1)；
(2)．
【答案】(1)；(2)
【分析】
（1）将根号里面的7拆分成4和3，4写成2的平方，3写成的平方，进而逆用完全平方和公式，最后将算式整体开方；
（2）将根号里面的9拆分成4和5，4写成2的平方，5写成的平方，进而逆用完全平方差公式，最后将算式整体开方．
【详解】(1)解：
(2)
解：
【点睛】本题考查乘法公式的逆用，能够快速的寻找，归纳，总结，并应用规律是解决本题的关键．
22．（2022·云南昆明·八年级期末）如图，在中，、分别是上的高和中线，，，求的长．
【答案】6cm
【分析】先根据中线的定义结合已知条件求得AB，然后再运用三角形的面积公式求解即可.
【详解】解：∵是边上的中线，
∴是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴=.
【点睛】本题主要考查了三角形的中线的定义以及三角形的面积公式，掌握三角形中线的定义成为解答本题的关键.
23．（2021·河北沧县·八年级期中）在数学课外学习活动中，嘉琪遇到一道题：已知，求2a2﹣8a+1的值．他是这样解答的：
∵，
∴．
∴（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3．
∴a2﹣4a＝﹣1．
∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
请你根据嘉琪的解题过程，解决如下问题：
（1）试化简和；
（2）化简；
（3）若，求4a2﹣8a+1的值．
【答案】（1），；（2）；（3）5
【分析】
（1）利用分母有理化计算；
（2）先分母有理化，然后合并即可；
（3）先将a的值化简为，进而可得到，两边平方得到，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：（1），
，
故答案为：，；
（2）原式
；
（3），
，
，
即．
．
．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．
24．（2020·四川郫都·八年级期末）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索：
设（其中a、b、m、n均为正整数），则有，
∴a＝m2+2n2，b＝2mn．
这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝　 　，b＝　 　；
（2）若，且a、m、n均为正整数，求a的值；
（3）化简：．
【答案】（1）m2+6n2，2mn；（2）a＝13或7；（3）﹣1．
【分析】
（1）利用完全平方公式展开得到，再利用对应值相等即可用m、n表示出a、b；
（2）直接利用完全平方公式，变形后得到对应值相等，即可求出答案；
（3）直接利用完全平方公式，变形化简即可．
【详解】解：（1）∵，
∴a＝m2+6n2，b＝2mn．
故答案为：m2+6n2，2mn；
（2）∵，
∴a＝m2+3n2，mn＝2，
∵m、n均为正整数，
∴m＝1、n＝2或m＝2，n＝1，
∴a＝13或7；
（3）∵，
则．
【点睛】本题考查了二次根式性质和完全平方式的内容，考生须先弄清材料中解题的方法，同时熟练掌握和灵活运用二次根式的相关运算法则以及二次根式的化简公式是解题的关键.
25．（2022·四川·成都新津为明学校八年级期中）先阅读下面的解题过程，然后再解答，形如的化简，我们只要找到两个数a，b，使，，即，，那么便有：.
例如化简：
解：首先把化为，
这里，，
由于，，
所以，
所以
（1）根据上述方法化简：
（2）根据上述方法化简：
（3）根据上述方法化简：
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】根据题意把题目中的无理式转化成的形式，然后仿照题意化简即可．
【详解】解：（1）∵，
∴，，
∵，，
∴，，
∴；
（2）∵，
∴，，
∵，，
∴，，
∴．
（3）∵，
∴，，
∵，，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查了二次根式的化简，根据题中的范例把根号内的式子整理成完全平方的形式是解答此题的关键．