2021-2022学年人教版八年级数学下册18.2特殊平行四边形分类训练（Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年人教版八年级数学下册18.2特殊平行四边形分类训练（Word版含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 345.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-03-28 14:29:25 | ||
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文档简介
2021-2022学年人教版八年级数学下册《18-2特殊平行四边形》知识点分类训练（附答案）
一．直角三角形斜边上的中线
1．直角三角形斜边上的高与中线分别是5和6，则它的面积是（ ）
A．60 B．50 C．40 D．30
二．矩形的判定
2．若O是四边形ABCD对角线的交点且OA＝OB＝OC＝OD，则四边形ABCD是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．正方形 D．菱形
3．如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列选项能使平行四边形ABCD成为矩形的条件是（ ）
A．AB＝AD B．∠AOB＝60° C．AC⊥BD D．∠OBC＝∠OCB
三．矩形的性质
4．已知矩形的对角线为1，面积为m，则矩形的周长为（ ）
A． B． C．2 D．2
5．如图，在矩形ABCD中，AD＝10，AB＝6，点E为BC上的一点，ED平分∠AEC，则BE的长为（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
6．如图，在矩形ABCD中，AB＝9，AD＝12，对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AD于点E，则ED的长为（ ）
A． B． C．2 D．
7．如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，∠DAE＝3∠EAB，则∠EAC的度数为 ．
8．如图，已知长方形ABCD的边长AB＝20cm，BC＝16cm，点E在边AB上，AE＝6cm，如果点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C向运动，同时，点Q在线段CD上从点C到点D运动．则当时间t为（ ）s时，能够使△BPE与△CQP全等．
A．1 B．1或4 C．1或2 D．2或4
四．矩形的判定与性质
9．如图：在△ABC中，CE、CF分别平分∠ACB与它的邻补角∠ACD，AE⊥CE于E，AF⊥CF于F，直线EF分别交AB、AC于M、N．
（1）求证：四边形AECF为矩形；
（2）试猜想MN与BC的关系，并证明你的猜想；
（3）如果四边形AECF是菱形，试判断△ABC的形状，直接写出结果，不用说明理由．
五．菱形的判定
10．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定平行四边形ABCD为菱形的是（ ）
A．∠AOB＝∠BOC B．∠ABO＝∠OBC C．AB＝BC D．AC＝BD
六．菱形的性质
11．如图，在菱形ABCD中，AE，AF分别垂直平分BC，CD，垂足分别为E，F，则∠EAF的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
12．如图，已知点A的坐标是，2），点B的坐标是（﹣1，，菱形ABCD的对角线交于坐标原点O，则点D的坐标是 ．
13．已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1＝∠2．
（1）若CE＝1，求BC的长；
（2）求∠BCD的度数．
七．菱形的判定与性质
14．如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，以A为圆心，AB长为半径画弧交AD于F，若BF＝12，AB＝10，则AE的长为（ ）
A．16 B．15 C．14 D．13
15．如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O．AB＝10，AC＝12，BD＝16．
（1）求证： ABCD是菱形；
（2）若点P是对角线BD上一动点（不与点B、D重合），PE⊥AB于点E，PF⊥AD于点F，PE+PF是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
八．正方形的判定
16．如图，两张对边平行且等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成的四边形ABCD是（ ）
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
17．两条对角线相等且互相垂直平分的四边形是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
18．如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD、△ABE、△BCF．
（1）求证：△EBF≌△ABC；
（2）求证：四边形AEFD是平行四边形；
（3）△ABC满足 时，四边形AEFD是正方形．
九．正方形的性质
19．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形CDE，连接AE．则∠DAE的度数是（ ）
A．15° B．20° C．12.5° D．10°
20．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是（ ）
A． B． C． D．2
21．如图，直线L1、L2、L3分别过正方形ABCD的三个顶点A、D、C，且相互平行，若L1、L2的距离为2，L2、L3的距离为4，则正方形的边长是（ ）
A． B． C． D．
22．如图所示，在正方形ABCD中，以AB为边向正方形外作等边三角形ABE，连接CE、BD交于点G，连接AG，那么∠AGD的度数是 度．
23．如图，正方形ABCD的边长为，O是对角线BD上一动点（点O与端点B，D不重合），OM⊥AD于点M，ON⊥AB于点N，连接MN，则MN长的最小值为 ．
24．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点D在y轴上且A（﹣3，0），B（2，b），则正方形ABCD的面积是（ ）
A．20 B．16 C．34 D．25
25．如图，四边形ABDE和四边形ACFG都是正方形，CE与BG交于点M，点M在△ABC的外部．
（1）求证：BG＝CE；
（2）求证：CE⊥BG；
（3）求：∠AME的度数．
26．如图，点P在正方形ABCD的对角线AC上，点E在边BC上，且PE＝PB．
（1）求证：PE＝PD；
（2）试探究BC2，EC2，PE2三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．
27．如图，点E是正方形ABCD外一点，连接AE、BE和DE，过点A作AE垂线交DE于点P．若AE＝AP＝2，PB＝6．下列结论：①△APD≌△AEB；②EB⊥ED；③点B到直线AE的距离为2；④S正方形ABCD＝32+4．则正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
28．如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于O．
（1）如图1，设E、F分别是AD、AB上的点，且∠EOF＝90°，线段AF、BF和EF之间存在一定的数量关系．请你用等式直接写出这个数量关系；
（2）如图2，设E、F分别是AB上不同的两个点，且∠EOF＝45°，请你用等式表示线段AE、BF和EF之间的数量关系，并证明．
29．如图①，正方形ABCD中，M是AB的中点，E是延长线上一点．MN⊥DM，且交∠CBE的平分线于N．
（1）若点F是AD的中点，求证：MD＝MN；
（2）若将上述条件中的“M是AB的中点”改为“M是AB上的任意一点”，其它条件不变．如图②所示，则结论“MD＝MN”是否成立．若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．
30．如图，已知在△ABC中，∠A是钝角，以AB为边作正方形ABDE，使△ABC正方形ABDE分居在AB两侧，以AC为边作正方形ACFG，使△ABC正方形ACFG分居在AC两侧，BG与CE交于点M，连接AM．
（1）求证：BG＝CE；
（2）求：∠AMC的度数；
（3）若BG＝a，MG＝b，ME＝c，求：S△ABM：S△ACM（结果可用含有a，b，c的式子表示）．
31．如图，正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于Q．
（1）如图①，当点Q在DC边上时，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系，并加以证明；
（2）如图②，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，并证明你的猜想．
十．正方形的判定与性质
32．如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，得到下列四个结论：①OA＝OD；②AD⊥EF；③当∠A＝90°时，四边形AEDF是正方形；④AE+DF＝AF+DE．其中正确的是（ ）
A．②③ B．②④ C．①③④ D．②③
参考答案
一．直角三角形斜边上的中线
1．解：∵直角三角形斜边上的中线CD是6，
∴斜边AB长为：2×CD＝6×2＝12，
∴它的面积＝×AB×CE＝×12×5＝30，
故选：D．
二．矩形的判定
2．解：∵OA＝OB＝OC＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形．
故选：B．
3．解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项A不符合题意；
B、由四边形ABCD是平行四边形，∠AOB＝60°，不能判定平行四边形ABCD为矩形，故选项B不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项C不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，
∵∠OBC＝∠OCB，
∴OB＝OC，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项D符合题意；
故选：D．
三．矩形的性质
4．解：设矩形的长、宽分别为a、b，
∵矩形的对角线为1，面积为m，
∴a +b ＝1，ab＝m，
∴a+b＝＝＝，
∴矩形的周长为2（a+b）＝2，
故选：C．
5．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DEC＝∠ADE，
又∵∠DEC＝∠AED，
∴∠ADE＝∠AED，
∴AE＝AD＝10，
在直角△ABE中，BE＝＝8．
故选：B．
6．解：连接EC，如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝OC．
∵EO⊥AC，
∴OE为线段AC的垂直平分线．
∴EC＝AE．
设DE＝x，则AE＝12﹣x．
∴EC＝12﹣x，
在Rt△ECD中，
∵EC2＝DE2+DC2，
∴（12﹣x）2＝x2+92．
解得：x＝．
∴DE＝．
故选：A．
7．解：∵四边形ABCD是矩形，AC、BD是矩形的对角线且相交于O，
∴OA＝OB，
∴∠BAC＝∠ABD，
∵∠DAE＝3∠BAE，∠DAE+∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝22.5°，∠DAE＝67.5°．
∵在矩形ABCD，∠DAE+∠ADB＝90°，∠ADB+∠ABD＝90°，
∴∠ABD＝∠DAE＝67.5°，即∠BAC＝∠ABD＝67.5°，
∴∠EAC＝∠BAC﹣∠BAE＝67.5°﹣22.5°＝45°，
故答案为：45°．
8．解：分两种情况：
①当EB＝PC，BP＝QC时，△BPE≌△CQP，
∵AB＝20cm，AE＝6cm，
∴EB＝14cm，
∴PC＝14cm，
∵BC＝16cm，
∴BP＝2cm，
∵点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C运动，
∴t＝2÷2＝1（s）；
②当BP＝CP，BE＝QC时，△BEP≌△CQP，
由题意得：2t＝16﹣2t，
解得：t＝4（s），
故选：B．
四．矩形的判定与性质
9．（1）证明：∵AE⊥CE于E，AF⊥CF于F，
∴∠AEC＝∠AFC＝90°，
又∵CE、CF分别平分∠ACB与它的邻补角∠ACD，
∴∠BCE＝∠ACE，∠ACF＝∠DCF，
∴∠ACE+∠ACF＝（∠BCE+∠ACE+∠ACF+∠DCF）＝×180°＝90°，
∴三个角为直角的四边形AECF为矩形．
（2）结论：MN∥BC且MN＝BC．
证明：∵四边形AECF为矩形，
∴对角线相等且互相平分，
∴NE＝NC，
∴∠NEC＝∠ACE＝∠BCE，
∴MN∥BC，
又∵AN＝CN（矩形的对角线相等且互相平分），
∴N是AC的中点，
若M不是AB的中点，则可在AB取中点M1，连接M1N，
则M1N是△ABC的中位线，MN∥BC，
而MN∥BC，M1即为点M，
所以MN是△ABC的中位线（也可以用平行线等分线段定理，证明AM＝BM）
∴MN＝BC；
法二：延长MN至K，使NK＝MN，
因为对角线互相平分，
所以AMCK是平行四边形，KC∥MA，KC＝AM因为MN∥BC，
所以MBCK是平行四边形，MK＝BC，
所以MN＝BC
（3）解：△ABC是直角三角形（∠ACB＝90°）．
理由：∵四边形AECF是菱形，
∴AC⊥EF，
∵EF∥AC，
∴AC⊥CB，
∴∠ACB＝90°．即△ABC是直角三角形．
五．菱形的判定
10．解：A、∵∠AOB＝∠BOC，∠AOB+∠BOC＝180°，
∴∠AOB＝∠BOC＝90°，
∴AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项A不符合题意；
B、过O作OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，如图所示：
∵∠ABO＝∠OBC，
∴OE＝OF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，
∴△AOB的面积＝△COB的面积，
又∵△AOB的面积＝AB×OE，△COB的面积＝BC×OF，
∴AB×OE＝BC×OF，
∴AB＝BC，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项B不符合题意；
C、∵平行四边形ABCD中，AB＝BC，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项C不符合题意；
D、∵平行四边形ABCD中，AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项D符合题意；
故选：D．
六．菱形的性质
11．解：连接AC，如图：
∵AE，AF分别垂直平分BC，CD，
∴AB＝AC，AD＝AC，∠AEC＝∠AFC＝90°，
又∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∴AB＝AC＝BC＝AD＝CD，
∴△ABC、△ACD是等边三角形，
∴∠B＝∠ACB＝∠ACD＝60°，
∴∠BCD＝120°，
∴在四边形AECF中，∠EAF＝360°﹣90°﹣90°﹣120°＝60°．
故选：C．
12．解：∵四边形ABCD为菱形，
∴OB＝OD，
又∵点O为坐标原点，
∴点B和点D关于原点对称，
∵点B的坐标为（﹣1，﹣），
∴D点坐标为（1，），
故答案为：（1，）．
13．解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
∴∠1＝∠ACD，
∵∠1＝∠2，
∴∠ACD＝∠2，
∴CM＝DM，
∵ME⊥CD，
∴CE＝DE＝CD＝1，
∴BC＝CD＝2；
（2）连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CB＝CD，∠ACB＝∠ACD，
∵F为边BC的中点，
∴CF＝CB，
∵CE＝CD，
∴CE＝CF，
在△MCF和△NCE中
∴△FCM≌△ECM（SAS），
∴∠CFM＝∠CEM＝90°，
∴DF⊥BC，
∴BD＝CD，
∴BC＝CD＝BC，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠BCD＝60°．
七．菱形的判定与性质
14．解：连接EF，AE与BF交于点O，如图，
∵AO平分∠BAD，
∴∠1＝∠2，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AF∥BE，
∴∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，
∴AB＝EB，
同理：AF＝BE，
又∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∴四边形ABEF是菱形，
∴AE⊥BF，OB＝OF＝6，OA＝OE，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：OA＝＝＝8，
∴AE＝2OA＝16．
故选：A．
15．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝12，BD＝16，AB＝10，
∴AO＝CO＝AC＝6，BO＝DO＝BD＝8，
∵62+82＝102，
∴AO2+BO2＝AB2，
∴∠AOB＝90°，
∴AC⊥BD，
∴ ABCD是菱形；
（2）解：是定值，
连接AP，过B作BH⊥DA于H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝10，S△ABD＝S菱形ABCD＝×AC BD＝×12×16＝48，
∵S△ABD＝S△ABO+S△ADO＝AB PE+AD PF＝AD（PE+PF）＝AD BH，
∴PE+PF＝BH，
∵S△ABD＝AD BH＝×10 BH＝48，
∴BH＝，
∴PE+PF＝．
故PE+PF定值为．
八．正方形的判定
16．解：由图可知，过A点作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，
∵两条纸条宽度相等，
∴AE＝AF．
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵SABCD＝BC×AE＝CD AF．
又∵AE＝AF，
∴BC＝CD，
∴四边形ABCD为菱形．
故选：B．
17．解：根据正方形的判别方法知，两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形，且相等又可判定为正方形，故选D．
18．（1）证明：∵△ABE、△BCF为等边三角形，
∴AB＝BE＝AE，BC＝CF＝FB，∠ABE＝∠CBF＝60°，
∴∠ABE﹣∠ABF＝∠FBC﹣∠ABF，
即∠CBA＝∠FBE，
在△EBF和△ABC中，
，
∴△EBF≌△ABC（SAS）；
（2）证明：∵△EBF≌△ABC，
∴EF＝AC，
又∵△ADC为等边三角形，
∴CD＝AD＝AC，
∴EF＝AD＝DC，
同理可得△ABC≌△DFC，
∴AB＝AE＝DF，
∴四边形AEFD是平行四边形；
（3）解：当AB＝AC，∠BAC＝150°时，四边形ADEF是正方形．
理由是：∵△ABE、△ACD为等边三角形，
∴AB＝AE，AC＝AD，∠EAB＝∠DAC＝60°，
∵AB＝AC，
∴AE＝AD，
∵四边形ADEF是平行四边形，
∴四边形ADEF是菱形，
∵∠BAC＝150°，
∴∠EAD＝360°﹣60°﹣60°﹣150°＝90°，
∴平行四边形ADEF是正方形，
故答案为：AB＝AC，∠BAC＝150°．
九．正方形的性质
19．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝90°，AD＝DC，
∵△CDE是等边三角形，
∴DE＝DC，∠EDC＝60°，
∴∠ADE＝90°+60°＝150°，AD＝ED，
∴∠DAE＝∠DEA＝（180°﹣∠ADE）＝15°，
故选：A．
20．解：连接AC、CF，如图，
∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，
∴∠ACD＝45°，∠FCG＝45°，AC＝BC＝，CF＝CE＝3，
∴∠ACF＝45°+45°＝90°，
在Rt△ACF中，AF＝＝2，
∵H是AF的中点，
∴CH＝AF＝．
故选：A．
21．解：如图，作CF⊥L2，垂足为F，AE⊥L2，垂足为E，
∴由同角的余角相等得，∠FCD＝∠EDA，
又∵AD＝CD，∠AED＝∠CFD＝90°，
∴△AED≌△DFC，
∴ED＝CF＝4，AE＝2，
∴AD＝．
故选：C．
22．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝AD＝CD，∠ABC＝90°，∠ADG＝∠CDG，∠ABD＝45°，
∵GD＝GD，
∴△ADG≌△CDG，
∴∠AGD＝∠CGD，
∵∠CGD＝∠EGB，
∴∠AGD＝∠EGB，
∵△ABE是等边三角形，
∴AB＝BE，∠ABE＝60°，
∴BE＝BC，∠EBC＝150°，
∴∠BEC＝∠ECB＝15°，
∴∠BGE＝180°﹣∠BEC﹣∠EBG＝180°﹣15°﹣60°﹣45°＝60°，
∴∠AGD＝60°
故答案为60．
23．解：如图，连接AO，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝，BD＝AB＝2，∠DAB＝90°，
又∵OM⊥AD，ON⊥AB，
∴四边形AMON是矩形，
∴AO＝MN，
∵当AO⊥BD时，AO有最小值，
∴当AO⊥BD时，MN有最小值，
此时AB＝AD，∠BAD＝90°，AO⊥BD，
∴AO＝BD＝1，
∴MN的最小值为1，
故答案为：1．
24．解：作BM⊥x轴于M．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝90°，
∴∠DAO+∠BAM＝90°，∠BAM+∠ABM＝90°，
∴∠DAO＝∠ABM，
∵∠AOD＝∠AMB＝90°，
∴在△DAO和△ABM中，
∴△DAO≌△ABM（AAS），
∴OA＝BM，AM＝OD，
∵A（﹣3，0），B（2，b），
∴OA＝3，OM＝2，
∴OD＝AM＝5，
∴AD＝＝，
∴正方形ABCD的面积＝34，
故选：C．
25．（1）证明：在正方形ABDE和ACFG中，AB＝AE，AC＝AG，∠BAE＝∠CAG＝90°，
∴∠BAE+∠BAC＝∠CAG+∠BAC，
即∠CAE＝∠BAG，
∵在△ABG和△AEC中，
，
∴△ABG≌△AEC（SAS），
∴BG＝CE；
（2）证明：设BG、CE相交于点N，
∵△ABG≌△AEC，
∴∠ACE＝∠AGB，
∵∠NCF+∠NGF＝∠ACF+∠AGF＝90°+90°＝180°，
∴∠CNG＝360°﹣（∠NCF+∠NGF+∠F）＝360°﹣（180°+90°）＝90°，
∴BG⊥CE；
（3）解：过A作BG，CE的垂线段交于点P，Q，
∵△ABG≌△AEC，
∴AP＝AQ，
∴AM是角平分线，
∴∠AMC＝45°，
∴∠AME＝135°．
26．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝DC，∠ACB＝∠ACD，
在△PBC和△PDC中，
，
∴△PBC≌△PDC（SAS），
∴PB＝PD，
∵PE＝PB，
∴PE＝PD；
（2）解：BC2+EC2＝2PE2，证明如下：
连接DE，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，BC＝CD，
由（1）得：△PBC≌△PDC，
∴∠PBC＝∠PDC，
∵PE＝PB，
∴∠PBC＝∠PEB，
∴∠PDC＝∠PEB，
∵∠PEB+∠PEC＝180°，
∴∠PDC+∠PEC＝180°，
∴∠EPD＝360°﹣（∠PDC+∠PEC）﹣∠BCD＝360°﹣180°﹣90°＝90°，
又∵PE＝PD，
∴△PDE是等腰直角三角形，
∴DE2＝PE2+PD2＝2PE2，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：CD2+EC2＝DE2，
∴BC2+EC2＝2PE2．
27．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝90°．
∴∠DAP+∠BAP＝90°．
又∠EAP+∠BAP＝90°，
∴∠EAP＝∠DAP．
又AE＝AP，
∴△APD≌△AEB（SAS）．
所以①正确；
∵AE＝AP，∠EAP＝90°，
∴∠APE＝∠AEP＝45°，
∴∠APD＝180°﹣45°＝135°．
∵△APD≌△AEB，
∴∠AEB＝∠APD＝135°，
∴∠BEP＝135°﹣45°＝90°，
即EB⊥ED，②正确；
在等腰Rt△AEP中，利用勾股定理可得EP＝＝2，
在Rt△BEP中，利用勾股定理可得BE＝＝2，
∵B点到直线AE的距离小于BE，所以点B到直线AE的距离为2是错误的，
所以③错误；
在△AEB中，∠AEB＝135°，AE＝2，BE＝2，
如图所示，过点A作AH⊥BE交BE延长线于H点．
在等腰Rt△AHE中，可得AH＝HE＝AE＝．
所以BH＝+2．
在Rt△AHB中利用勾股定理可得AB2＝BH2+AH2，
即AB2＝（+2）2+（）2＝32+4，
所以S正方形ABCD＝32+4．
所以④正确．
所以只有①和②、④的结论正确．
故选：C．
28．解：（1）EF2＝AF2+BF2．
理由：如图1，∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OB，∠OAE＝∠OBF＝45°，AC⊥BD，
∴∠EOF＝∠AOB＝90°，
∴∠EOA＝∠FOB，
在△EOA和△FOB中，
，
∴△EOA≌△FOB（ASA），
∴AE＝BF，
在Rt△EAF中，EF2＝AE2+AF2＝AF2+BF2；
（2）在BC上取一点H，使得BH＝AE．
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OB，∠OAE＝∠OBH，∠AOB＝90°，
在△OAE和△OBH中，
∴△OAE≌△OBH（SAS），
∴AE＝BH，∠AOE＝∠BOH，OE＝OH，
∵∠EOF＝45°，
∴∠AOE+∠BOF＝45°，
∴∠BOF+∠BOH＝45°，
∴∠FOE＝∠FOH＝45°，
在△FOE和△FOH中 ，
，
∴△FOE≌△FOH（SAS），
∴EF＝FH，
∵∠FBH＝90°，
∴FH2＝BF2+BH2，
∴EF2＝BF2+AE2，
29．解：（1）如图，取AD的中点F，连接FM．
∵∠FDM+∠DMA＝∠BMN+∠DMA＝90°，
∴∠FDM＝∠BMN，
∵AF＝AD＝AB＝AM＝MB＝DF，
∵BN平分∠CBE，即∠NBE＝∠CBE＝45°，
又∵AM＝AF，
∴∠AFM＝45°，
∴∠DFM＝∠MBN＝135°．
∵DF＝MB，
在△DFM和△MBN中
，
∴△DFM≌△MBN（ASA）．
∴DM＝MN．
（2）结论“DM＝MN”仍成立．
证明如下：如图，在AD上截取AF'＝AM，连接F'M．
∵DF'＝AD﹣AF'，MB＝AB﹣AM，AD＝AB，AF'＝AM，
∴DF'＝MB．
∵∠F'DM+∠DMA＝∠BMN+∠DMA＝90°，
∴∠F'DM＝∠BMN．
又∠DF'M＝∠MBN＝135°，
在△DF'M和△MBN中
，
∴△DF'M≌△MBN（ASA）．
∴DM＝MN．
30．证明：（1）由题意画出图形，如下图，
∵四边形ABDE是正方形，
∴AB＝AE，∠BAE＝90°．
∵四边形ACFG是正方形，
∴AG＝AC，∠GAC＝90°．
∵∠BAG＝∠BAE＝∠EAG＝90°+∠EAG，
∠EAC＝∠GAC+∠EAG＝90°+∠EAG，
∴∠BAG＝∠EAG．
在△BAG和△EAC中，
，
∴△BAG≌△EAC（SAS）．
∴BG＝CE．
解：（2）∵△BAG≌△EAC，
∴∠BGA＝∠ECA．
设EC与AG交于点N，
∵∠MNG＝∠ANC，
∴∠GMN＝∠CAN．
∵四边形ACFG是正方形，
∴∠GAC＝90°，
∴∠GMC＝90°．
∴∠BMC＝90°．
连接GC，如图，
∵四边形ACFG是正方形，
∴∠AGC＝45°．
∵∠GMC＝∠GAC＝90°，
∴A，M，G．C四点共圆．
∴∠AMC＝∠AGC＝45°．
解：（3）∵△BAG≌△EAC，
∴BG＝EC＝a，S△BAG＝S△EAC．
∵，
，
∴S△ABM＝S△BAG，S△ACM＝S△EAC．
∴＝．
31．解：（1）结论：PB＝PQ，
理由：如图①中，过P作PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为E，F．
∵P为正方形对角线AC上的点，
∴PC平分∠DCB，∠DCB＝90°，
∴PF＝PE，
∴四边形PECF为正方形．
∵∠BPE+∠QPE＝90°，∠QPE+∠QPF＝90°，
∴∠BPE＝∠QPF，
在△PQF和△PBE中，
，
∴Rt△PQF≌Rt△PBE，
∴PB＝PQ；
（2）结论：PB＝PQ．
理由：如图②，过P作PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为E，F，
∵P为正方形对角线AC上的点，
∴PC平分∠DCB，∠DCB＝90°，
∴PF＝PE，
∴四边形PECF为正方形，
∵∠BPF+∠QPF＝90°，∠BPF+∠BPE＝90°，
∴∠BPE＝∠QPF，
在△PQF和△PBE中，
，
∴Rt△PQF≌Rt△PBE，
∴PB＝PQ．
十．正方形的判定与性质
32．解：如果OA＝OD，则四边形AEDF是矩形，没有说∠A＝90°，不符合题意，故①错误；
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠EAD＝∠FAD，
在△AED和△AFD中，，
∴△AED≌△AFD（AAS），
∴AE＝AF，DE＝DF，
∴AE+DF＝AF+DE，故④正确；
∵在△AEO和△AFO中，，
∴△AEO≌△AFO（SAS），
∴EO＝FO，
又∵AE＝AF，
∴AO是EF的中垂线，
∴AD⊥EF，故②正确；
∵当∠A＝90°时，四边形AEDF的四个角都是直角，
∴四边形AEDF是矩形，
又∵DE＝DF，
∴四边形AEDF是正方形，故③正确．
综上可得：正确的是：②③④，
故选：D．
一．直角三角形斜边上的中线
1．直角三角形斜边上的高与中线分别是5和6，则它的面积是（ ）
A．60 B．50 C．40 D．30
二．矩形的判定
2．若O是四边形ABCD对角线的交点且OA＝OB＝OC＝OD，则四边形ABCD是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．正方形 D．菱形
3．如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列选项能使平行四边形ABCD成为矩形的条件是（ ）
A．AB＝AD B．∠AOB＝60° C．AC⊥BD D．∠OBC＝∠OCB
三．矩形的性质
4．已知矩形的对角线为1，面积为m，则矩形的周长为（ ）
A． B． C．2 D．2
5．如图，在矩形ABCD中，AD＝10，AB＝6，点E为BC上的一点，ED平分∠AEC，则BE的长为（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
6．如图，在矩形ABCD中，AB＝9，AD＝12，对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AD于点E，则ED的长为（ ）
A． B． C．2 D．
7．如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，∠DAE＝3∠EAB，则∠EAC的度数为 ．
8．如图，已知长方形ABCD的边长AB＝20cm，BC＝16cm，点E在边AB上，AE＝6cm，如果点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C向运动，同时，点Q在线段CD上从点C到点D运动．则当时间t为（ ）s时，能够使△BPE与△CQP全等．
A．1 B．1或4 C．1或2 D．2或4
四．矩形的判定与性质
9．如图：在△ABC中，CE、CF分别平分∠ACB与它的邻补角∠ACD，AE⊥CE于E，AF⊥CF于F，直线EF分别交AB、AC于M、N．
（1）求证：四边形AECF为矩形；
（2）试猜想MN与BC的关系，并证明你的猜想；
（3）如果四边形AECF是菱形，试判断△ABC的形状，直接写出结果，不用说明理由．
五．菱形的判定
10．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定平行四边形ABCD为菱形的是（ ）
A．∠AOB＝∠BOC B．∠ABO＝∠OBC C．AB＝BC D．AC＝BD
六．菱形的性质
11．如图，在菱形ABCD中，AE，AF分别垂直平分BC，CD，垂足分别为E，F，则∠EAF的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
12．如图，已知点A的坐标是，2），点B的坐标是（﹣1，，菱形ABCD的对角线交于坐标原点O，则点D的坐标是 ．
13．已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1＝∠2．
（1）若CE＝1，求BC的长；
（2）求∠BCD的度数．
七．菱形的判定与性质
14．如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，以A为圆心，AB长为半径画弧交AD于F，若BF＝12，AB＝10，则AE的长为（ ）
A．16 B．15 C．14 D．13
15．如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O．AB＝10，AC＝12，BD＝16．
（1）求证： ABCD是菱形；
（2）若点P是对角线BD上一动点（不与点B、D重合），PE⊥AB于点E，PF⊥AD于点F，PE+PF是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
八．正方形的判定
16．如图，两张对边平行且等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成的四边形ABCD是（ ）
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
17．两条对角线相等且互相垂直平分的四边形是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
18．如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD、△ABE、△BCF．
（1）求证：△EBF≌△ABC；
（2）求证：四边形AEFD是平行四边形；
（3）△ABC满足 时，四边形AEFD是正方形．
九．正方形的性质
19．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形CDE，连接AE．则∠DAE的度数是（ ）
A．15° B．20° C．12.5° D．10°
20．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是（ ）
A． B． C． D．2
21．如图，直线L1、L2、L3分别过正方形ABCD的三个顶点A、D、C，且相互平行，若L1、L2的距离为2，L2、L3的距离为4，则正方形的边长是（ ）
A． B． C． D．
22．如图所示，在正方形ABCD中，以AB为边向正方形外作等边三角形ABE，连接CE、BD交于点G，连接AG，那么∠AGD的度数是 度．
23．如图，正方形ABCD的边长为，O是对角线BD上一动点（点O与端点B，D不重合），OM⊥AD于点M，ON⊥AB于点N，连接MN，则MN长的最小值为 ．
24．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点D在y轴上且A（﹣3，0），B（2，b），则正方形ABCD的面积是（ ）
A．20 B．16 C．34 D．25
25．如图，四边形ABDE和四边形ACFG都是正方形，CE与BG交于点M，点M在△ABC的外部．
（1）求证：BG＝CE；
（2）求证：CE⊥BG；
（3）求：∠AME的度数．
26．如图，点P在正方形ABCD的对角线AC上，点E在边BC上，且PE＝PB．
（1）求证：PE＝PD；
（2）试探究BC2，EC2，PE2三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．
27．如图，点E是正方形ABCD外一点，连接AE、BE和DE，过点A作AE垂线交DE于点P．若AE＝AP＝2，PB＝6．下列结论：①△APD≌△AEB；②EB⊥ED；③点B到直线AE的距离为2；④S正方形ABCD＝32+4．则正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
28．如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于O．
（1）如图1，设E、F分别是AD、AB上的点，且∠EOF＝90°，线段AF、BF和EF之间存在一定的数量关系．请你用等式直接写出这个数量关系；
（2）如图2，设E、F分别是AB上不同的两个点，且∠EOF＝45°，请你用等式表示线段AE、BF和EF之间的数量关系，并证明．
29．如图①，正方形ABCD中，M是AB的中点，E是延长线上一点．MN⊥DM，且交∠CBE的平分线于N．
（1）若点F是AD的中点，求证：MD＝MN；
（2）若将上述条件中的“M是AB的中点”改为“M是AB上的任意一点”，其它条件不变．如图②所示，则结论“MD＝MN”是否成立．若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．
30．如图，已知在△ABC中，∠A是钝角，以AB为边作正方形ABDE，使△ABC正方形ABDE分居在AB两侧，以AC为边作正方形ACFG，使△ABC正方形ACFG分居在AC两侧，BG与CE交于点M，连接AM．
（1）求证：BG＝CE；
（2）求：∠AMC的度数；
（3）若BG＝a，MG＝b，ME＝c，求：S△ABM：S△ACM（结果可用含有a，b，c的式子表示）．
31．如图，正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于Q．
（1）如图①，当点Q在DC边上时，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系，并加以证明；
（2）如图②，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，并证明你的猜想．
十．正方形的判定与性质
32．如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，得到下列四个结论：①OA＝OD；②AD⊥EF；③当∠A＝90°时，四边形AEDF是正方形；④AE+DF＝AF+DE．其中正确的是（ ）
A．②③ B．②④ C．①③④ D．②③
参考答案
一．直角三角形斜边上的中线
1．解：∵直角三角形斜边上的中线CD是6，
∴斜边AB长为：2×CD＝6×2＝12，
∴它的面积＝×AB×CE＝×12×5＝30，
故选：D．
二．矩形的判定
2．解：∵OA＝OB＝OC＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形．
故选：B．
3．解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项A不符合题意；
B、由四边形ABCD是平行四边形，∠AOB＝60°，不能判定平行四边形ABCD为矩形，故选项B不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项C不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，
∵∠OBC＝∠OCB，
∴OB＝OC，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项D符合题意；
故选：D．
三．矩形的性质
4．解：设矩形的长、宽分别为a、b，
∵矩形的对角线为1，面积为m，
∴a +b ＝1，ab＝m，
∴a+b＝＝＝，
∴矩形的周长为2（a+b）＝2，
故选：C．
5．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DEC＝∠ADE，
又∵∠DEC＝∠AED，
∴∠ADE＝∠AED，
∴AE＝AD＝10，
在直角△ABE中，BE＝＝8．
故选：B．
6．解：连接EC，如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝OC．
∵EO⊥AC，
∴OE为线段AC的垂直平分线．
∴EC＝AE．
设DE＝x，则AE＝12﹣x．
∴EC＝12﹣x，
在Rt△ECD中，
∵EC2＝DE2+DC2，
∴（12﹣x）2＝x2+92．
解得：x＝．
∴DE＝．
故选：A．
7．解：∵四边形ABCD是矩形，AC、BD是矩形的对角线且相交于O，
∴OA＝OB，
∴∠BAC＝∠ABD，
∵∠DAE＝3∠BAE，∠DAE+∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝22.5°，∠DAE＝67.5°．
∵在矩形ABCD，∠DAE+∠ADB＝90°，∠ADB+∠ABD＝90°，
∴∠ABD＝∠DAE＝67.5°，即∠BAC＝∠ABD＝67.5°，
∴∠EAC＝∠BAC﹣∠BAE＝67.5°﹣22.5°＝45°，
故答案为：45°．
8．解：分两种情况：
①当EB＝PC，BP＝QC时，△BPE≌△CQP，
∵AB＝20cm，AE＝6cm，
∴EB＝14cm，
∴PC＝14cm，
∵BC＝16cm，
∴BP＝2cm，
∵点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C运动，
∴t＝2÷2＝1（s）；
②当BP＝CP，BE＝QC时，△BEP≌△CQP，
由题意得：2t＝16﹣2t，
解得：t＝4（s），
故选：B．
四．矩形的判定与性质
9．（1）证明：∵AE⊥CE于E，AF⊥CF于F，
∴∠AEC＝∠AFC＝90°，
又∵CE、CF分别平分∠ACB与它的邻补角∠ACD，
∴∠BCE＝∠ACE，∠ACF＝∠DCF，
∴∠ACE+∠ACF＝（∠BCE+∠ACE+∠ACF+∠DCF）＝×180°＝90°，
∴三个角为直角的四边形AECF为矩形．
（2）结论：MN∥BC且MN＝BC．
证明：∵四边形AECF为矩形，
∴对角线相等且互相平分，
∴NE＝NC，
∴∠NEC＝∠ACE＝∠BCE，
∴MN∥BC，
又∵AN＝CN（矩形的对角线相等且互相平分），
∴N是AC的中点，
若M不是AB的中点，则可在AB取中点M1，连接M1N，
则M1N是△ABC的中位线，MN∥BC，
而MN∥BC，M1即为点M，
所以MN是△ABC的中位线（也可以用平行线等分线段定理，证明AM＝BM）
∴MN＝BC；
法二：延长MN至K，使NK＝MN，
因为对角线互相平分，
所以AMCK是平行四边形，KC∥MA，KC＝AM因为MN∥BC，
所以MBCK是平行四边形，MK＝BC，
所以MN＝BC
（3）解：△ABC是直角三角形（∠ACB＝90°）．
理由：∵四边形AECF是菱形，
∴AC⊥EF，
∵EF∥AC，
∴AC⊥CB，
∴∠ACB＝90°．即△ABC是直角三角形．
五．菱形的判定
10．解：A、∵∠AOB＝∠BOC，∠AOB+∠BOC＝180°，
∴∠AOB＝∠BOC＝90°，
∴AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项A不符合题意；
B、过O作OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，如图所示：
∵∠ABO＝∠OBC，
∴OE＝OF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，
∴△AOB的面积＝△COB的面积，
又∵△AOB的面积＝AB×OE，△COB的面积＝BC×OF，
∴AB×OE＝BC×OF，
∴AB＝BC，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项B不符合题意；
C、∵平行四边形ABCD中，AB＝BC，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项C不符合题意；
D、∵平行四边形ABCD中，AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项D符合题意；
故选：D．
六．菱形的性质
11．解：连接AC，如图：
∵AE，AF分别垂直平分BC，CD，
∴AB＝AC，AD＝AC，∠AEC＝∠AFC＝90°，
又∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∴AB＝AC＝BC＝AD＝CD，
∴△ABC、△ACD是等边三角形，
∴∠B＝∠ACB＝∠ACD＝60°，
∴∠BCD＝120°，
∴在四边形AECF中，∠EAF＝360°﹣90°﹣90°﹣120°＝60°．
故选：C．
12．解：∵四边形ABCD为菱形，
∴OB＝OD，
又∵点O为坐标原点，
∴点B和点D关于原点对称，
∵点B的坐标为（﹣1，﹣），
∴D点坐标为（1，），
故答案为：（1，）．
13．解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
∴∠1＝∠ACD，
∵∠1＝∠2，
∴∠ACD＝∠2，
∴CM＝DM，
∵ME⊥CD，
∴CE＝DE＝CD＝1，
∴BC＝CD＝2；
（2）连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CB＝CD，∠ACB＝∠ACD，
∵F为边BC的中点，
∴CF＝CB，
∵CE＝CD，
∴CE＝CF，
在△MCF和△NCE中
∴△FCM≌△ECM（SAS），
∴∠CFM＝∠CEM＝90°，
∴DF⊥BC，
∴BD＝CD，
∴BC＝CD＝BC，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠BCD＝60°．
七．菱形的判定与性质
14．解：连接EF，AE与BF交于点O，如图，
∵AO平分∠BAD，
∴∠1＝∠2，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AF∥BE，
∴∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，
∴AB＝EB，
同理：AF＝BE，
又∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∴四边形ABEF是菱形，
∴AE⊥BF，OB＝OF＝6，OA＝OE，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：OA＝＝＝8，
∴AE＝2OA＝16．
故选：A．
15．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝12，BD＝16，AB＝10，
∴AO＝CO＝AC＝6，BO＝DO＝BD＝8，
∵62+82＝102，
∴AO2+BO2＝AB2，
∴∠AOB＝90°，
∴AC⊥BD，
∴ ABCD是菱形；
（2）解：是定值，
连接AP，过B作BH⊥DA于H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝10，S△ABD＝S菱形ABCD＝×AC BD＝×12×16＝48，
∵S△ABD＝S△ABO+S△ADO＝AB PE+AD PF＝AD（PE+PF）＝AD BH，
∴PE+PF＝BH，
∵S△ABD＝AD BH＝×10 BH＝48，
∴BH＝，
∴PE+PF＝．
故PE+PF定值为．
八．正方形的判定
16．解：由图可知，过A点作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，
∵两条纸条宽度相等，
∴AE＝AF．
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵SABCD＝BC×AE＝CD AF．
又∵AE＝AF，
∴BC＝CD，
∴四边形ABCD为菱形．
故选：B．
17．解：根据正方形的判别方法知，两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形，且相等又可判定为正方形，故选D．
18．（1）证明：∵△ABE、△BCF为等边三角形，
∴AB＝BE＝AE，BC＝CF＝FB，∠ABE＝∠CBF＝60°，
∴∠ABE﹣∠ABF＝∠FBC﹣∠ABF，
即∠CBA＝∠FBE，
在△EBF和△ABC中，
，
∴△EBF≌△ABC（SAS）；
（2）证明：∵△EBF≌△ABC，
∴EF＝AC，
又∵△ADC为等边三角形，
∴CD＝AD＝AC，
∴EF＝AD＝DC，
同理可得△ABC≌△DFC，
∴AB＝AE＝DF，
∴四边形AEFD是平行四边形；
（3）解：当AB＝AC，∠BAC＝150°时，四边形ADEF是正方形．
理由是：∵△ABE、△ACD为等边三角形，
∴AB＝AE，AC＝AD，∠EAB＝∠DAC＝60°，
∵AB＝AC，
∴AE＝AD，
∵四边形ADEF是平行四边形，
∴四边形ADEF是菱形，
∵∠BAC＝150°，
∴∠EAD＝360°﹣60°﹣60°﹣150°＝90°，
∴平行四边形ADEF是正方形，
故答案为：AB＝AC，∠BAC＝150°．
九．正方形的性质
19．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝90°，AD＝DC，
∵△CDE是等边三角形，
∴DE＝DC，∠EDC＝60°，
∴∠ADE＝90°+60°＝150°，AD＝ED，
∴∠DAE＝∠DEA＝（180°﹣∠ADE）＝15°，
故选：A．
20．解：连接AC、CF，如图，
∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，
∴∠ACD＝45°，∠FCG＝45°，AC＝BC＝，CF＝CE＝3，
∴∠ACF＝45°+45°＝90°，
在Rt△ACF中，AF＝＝2，
∵H是AF的中点，
∴CH＝AF＝．
故选：A．
21．解：如图，作CF⊥L2，垂足为F，AE⊥L2，垂足为E，
∴由同角的余角相等得，∠FCD＝∠EDA，
又∵AD＝CD，∠AED＝∠CFD＝90°，
∴△AED≌△DFC，
∴ED＝CF＝4，AE＝2，
∴AD＝．
故选：C．
22．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝AD＝CD，∠ABC＝90°，∠ADG＝∠CDG，∠ABD＝45°，
∵GD＝GD，
∴△ADG≌△CDG，
∴∠AGD＝∠CGD，
∵∠CGD＝∠EGB，
∴∠AGD＝∠EGB，
∵△ABE是等边三角形，
∴AB＝BE，∠ABE＝60°，
∴BE＝BC，∠EBC＝150°，
∴∠BEC＝∠ECB＝15°，
∴∠BGE＝180°﹣∠BEC﹣∠EBG＝180°﹣15°﹣60°﹣45°＝60°，
∴∠AGD＝60°
故答案为60．
23．解：如图，连接AO，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝，BD＝AB＝2，∠DAB＝90°，
又∵OM⊥AD，ON⊥AB，
∴四边形AMON是矩形，
∴AO＝MN，
∵当AO⊥BD时，AO有最小值，
∴当AO⊥BD时，MN有最小值，
此时AB＝AD，∠BAD＝90°，AO⊥BD，
∴AO＝BD＝1，
∴MN的最小值为1，
故答案为：1．
24．解：作BM⊥x轴于M．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝90°，
∴∠DAO+∠BAM＝90°，∠BAM+∠ABM＝90°，
∴∠DAO＝∠ABM，
∵∠AOD＝∠AMB＝90°，
∴在△DAO和△ABM中，
∴△DAO≌△ABM（AAS），
∴OA＝BM，AM＝OD，
∵A（﹣3，0），B（2，b），
∴OA＝3，OM＝2，
∴OD＝AM＝5，
∴AD＝＝，
∴正方形ABCD的面积＝34，
故选：C．
25．（1）证明：在正方形ABDE和ACFG中，AB＝AE，AC＝AG，∠BAE＝∠CAG＝90°，
∴∠BAE+∠BAC＝∠CAG+∠BAC，
即∠CAE＝∠BAG，
∵在△ABG和△AEC中，
，
∴△ABG≌△AEC（SAS），
∴BG＝CE；
（2）证明：设BG、CE相交于点N，
∵△ABG≌△AEC，
∴∠ACE＝∠AGB，
∵∠NCF+∠NGF＝∠ACF+∠AGF＝90°+90°＝180°，
∴∠CNG＝360°﹣（∠NCF+∠NGF+∠F）＝360°﹣（180°+90°）＝90°，
∴BG⊥CE；
（3）解：过A作BG，CE的垂线段交于点P，Q，
∵△ABG≌△AEC，
∴AP＝AQ，
∴AM是角平分线，
∴∠AMC＝45°，
∴∠AME＝135°．
26．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝DC，∠ACB＝∠ACD，
在△PBC和△PDC中，
，
∴△PBC≌△PDC（SAS），
∴PB＝PD，
∵PE＝PB，
∴PE＝PD；
（2）解：BC2+EC2＝2PE2，证明如下：
连接DE，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，BC＝CD，
由（1）得：△PBC≌△PDC，
∴∠PBC＝∠PDC，
∵PE＝PB，
∴∠PBC＝∠PEB，
∴∠PDC＝∠PEB，
∵∠PEB+∠PEC＝180°，
∴∠PDC+∠PEC＝180°，
∴∠EPD＝360°﹣（∠PDC+∠PEC）﹣∠BCD＝360°﹣180°﹣90°＝90°，
又∵PE＝PD，
∴△PDE是等腰直角三角形，
∴DE2＝PE2+PD2＝2PE2，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：CD2+EC2＝DE2，
∴BC2+EC2＝2PE2．
27．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝90°．
∴∠DAP+∠BAP＝90°．
又∠EAP+∠BAP＝90°，
∴∠EAP＝∠DAP．
又AE＝AP，
∴△APD≌△AEB（SAS）．
所以①正确；
∵AE＝AP，∠EAP＝90°，
∴∠APE＝∠AEP＝45°，
∴∠APD＝180°﹣45°＝135°．
∵△APD≌△AEB，
∴∠AEB＝∠APD＝135°，
∴∠BEP＝135°﹣45°＝90°，
即EB⊥ED，②正确；
在等腰Rt△AEP中，利用勾股定理可得EP＝＝2，
在Rt△BEP中，利用勾股定理可得BE＝＝2，
∵B点到直线AE的距离小于BE，所以点B到直线AE的距离为2是错误的，
所以③错误；
在△AEB中，∠AEB＝135°，AE＝2，BE＝2，
如图所示，过点A作AH⊥BE交BE延长线于H点．
在等腰Rt△AHE中，可得AH＝HE＝AE＝．
所以BH＝+2．
在Rt△AHB中利用勾股定理可得AB2＝BH2+AH2，
即AB2＝（+2）2+（）2＝32+4，
所以S正方形ABCD＝32+4．
所以④正确．
所以只有①和②、④的结论正确．
故选：C．
28．解：（1）EF2＝AF2+BF2．
理由：如图1，∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OB，∠OAE＝∠OBF＝45°，AC⊥BD，
∴∠EOF＝∠AOB＝90°，
∴∠EOA＝∠FOB，
在△EOA和△FOB中，
，
∴△EOA≌△FOB（ASA），
∴AE＝BF，
在Rt△EAF中，EF2＝AE2+AF2＝AF2+BF2；
（2）在BC上取一点H，使得BH＝AE．
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OB，∠OAE＝∠OBH，∠AOB＝90°，
在△OAE和△OBH中，
∴△OAE≌△OBH（SAS），
∴AE＝BH，∠AOE＝∠BOH，OE＝OH，
∵∠EOF＝45°，
∴∠AOE+∠BOF＝45°，
∴∠BOF+∠BOH＝45°，
∴∠FOE＝∠FOH＝45°，
在△FOE和△FOH中 ，
，
∴△FOE≌△FOH（SAS），
∴EF＝FH，
∵∠FBH＝90°，
∴FH2＝BF2+BH2，
∴EF2＝BF2+AE2，
29．解：（1）如图，取AD的中点F，连接FM．
∵∠FDM+∠DMA＝∠BMN+∠DMA＝90°，
∴∠FDM＝∠BMN，
∵AF＝AD＝AB＝AM＝MB＝DF，
∵BN平分∠CBE，即∠NBE＝∠CBE＝45°，
又∵AM＝AF，
∴∠AFM＝45°，
∴∠DFM＝∠MBN＝135°．
∵DF＝MB，
在△DFM和△MBN中
，
∴△DFM≌△MBN（ASA）．
∴DM＝MN．
（2）结论“DM＝MN”仍成立．
证明如下：如图，在AD上截取AF'＝AM，连接F'M．
∵DF'＝AD﹣AF'，MB＝AB﹣AM，AD＝AB，AF'＝AM，
∴DF'＝MB．
∵∠F'DM+∠DMA＝∠BMN+∠DMA＝90°，
∴∠F'DM＝∠BMN．
又∠DF'M＝∠MBN＝135°，
在△DF'M和△MBN中
，
∴△DF'M≌△MBN（ASA）．
∴DM＝MN．
30．证明：（1）由题意画出图形，如下图，
∵四边形ABDE是正方形，
∴AB＝AE，∠BAE＝90°．
∵四边形ACFG是正方形，
∴AG＝AC，∠GAC＝90°．
∵∠BAG＝∠BAE＝∠EAG＝90°+∠EAG，
∠EAC＝∠GAC+∠EAG＝90°+∠EAG，
∴∠BAG＝∠EAG．
在△BAG和△EAC中，
，
∴△BAG≌△EAC（SAS）．
∴BG＝CE．
解：（2）∵△BAG≌△EAC，
∴∠BGA＝∠ECA．
设EC与AG交于点N，
∵∠MNG＝∠ANC，
∴∠GMN＝∠CAN．
∵四边形ACFG是正方形，
∴∠GAC＝90°，
∴∠GMC＝90°．
∴∠BMC＝90°．
连接GC，如图，
∵四边形ACFG是正方形，
∴∠AGC＝45°．
∵∠GMC＝∠GAC＝90°，
∴A，M，G．C四点共圆．
∴∠AMC＝∠AGC＝45°．
解：（3）∵△BAG≌△EAC，
∴BG＝EC＝a，S△BAG＝S△EAC．
∵，
，
∴S△ABM＝S△BAG，S△ACM＝S△EAC．
∴＝．
31．解：（1）结论：PB＝PQ，
理由：如图①中，过P作PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为E，F．
∵P为正方形对角线AC上的点，
∴PC平分∠DCB，∠DCB＝90°，
∴PF＝PE，
∴四边形PECF为正方形．
∵∠BPE+∠QPE＝90°，∠QPE+∠QPF＝90°，
∴∠BPE＝∠QPF，
在△PQF和△PBE中，
，
∴Rt△PQF≌Rt△PBE，
∴PB＝PQ；
（2）结论：PB＝PQ．
理由：如图②，过P作PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为E，F，
∵P为正方形对角线AC上的点，
∴PC平分∠DCB，∠DCB＝90°，
∴PF＝PE，
∴四边形PECF为正方形，
∵∠BPF+∠QPF＝90°，∠BPF+∠BPE＝90°，
∴∠BPE＝∠QPF，
在△PQF和△PBE中，
，
∴Rt△PQF≌Rt△PBE，
∴PB＝PQ．
十．正方形的判定与性质
32．解：如果OA＝OD，则四边形AEDF是矩形，没有说∠A＝90°，不符合题意，故①错误；
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠EAD＝∠FAD，
在△AED和△AFD中，，
∴△AED≌△AFD（AAS），
∴AE＝AF，DE＝DF，
∴AE+DF＝AF+DE，故④正确；
∵在△AEO和△AFO中，，
∴△AEO≌△AFO（SAS），
∴EO＝FO，
又∵AE＝AF，
∴AO是EF的中垂线，
∴AD⊥EF，故②正确；
∵当∠A＝90°时，四边形AEDF的四个角都是直角，
∴四边形AEDF是矩形，
又∵DE＝DF，
∴四边形AEDF是正方形，故③正确．
综上可得：正确的是：②③④，
故选：D．