第27章 相似 达标检测卷(含答案)
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人教版九年级下册数学第二十七章达标检测卷
【检测内容：第二十七章 相似形 满分：150分】
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)
1.若a∶b＝c∶d，则下列各式成立的是( )
A.a∶d＝c∶b B.b∶d＝c∶a
C.＝ D.＝(b＋d≠0)
2.如图，AB∥CD∥MN，点M，N分别在线段AD，BC上，AC与MN交于点E.下列说法正确的是( )
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
3.如图，四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，AB＝12，CD＝15，A1B1＝9，则边C1D1的长是( )
A.10 B.12 C. D.
4.如图，已知∠DAB＝∠CAE，那么添加下列一个条件后，仍然无法判定△ABC∽△ADE的是( )
A.＝ B.＝ C.∠B＝∠D D.∠C＝∠AED
5.如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，当△ACP∽△PDB时，∠APB的度数为( )
A.100° B.120° C.115° D.135°
6.如图所示是一个直角三角形的苗圃，由一个正方形花坛和两块直角三角形的草皮组成.如果两个直角三角形的两条斜边长分别为4 m和6 m，则草皮的总面积为( )
A.9 m2 B.3 m2 C.12 m2 D.24 m2
7.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E.若AD＝3，DE＝2，则AC的长为( )
A. B. C. D.
8.如图，在△ABC中，A，B两个顶点在x轴上方，点C的坐标是(－1，0)，以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形，并把△ABC的边长放大到原来的2倍，得到△A'B'C.若设点B的对应点B'的横坐标为2，则点B的横坐标为( )
A.－1 B.－ C.－2 D.－
9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝12，点D在边BC上，点E在线段AD上，EF⊥AC于点F，EG⊥EF交AB于点G.若EF＝EG，则CD的长为( )
A.3.6 B.4 C.4.8 D.5
10.在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点M，N分别从顶点A，B同时出发，且分别沿着AD，BA运动，点N的速度是点M的2倍，点N到达顶点A时，则两点同时停止运动，连接BM，CN交于点P，过点P分别作AB，AD的垂线，垂足分别为E，F，则线段EF的最小值为( )
A. B.－1 C.－ D.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)
11.如图，在△ABC中，AB≠AC.D，E分别为边AB，AC上的点.AC＝3AD，AB＝3AE，F为BC边上一点，添加一个条件： ，可以使得△FDB与△ADE相似.(只需写出一个)
12.如图，AB∥GH∥CD，点H在BC上，AC与BD交于点G.若AB＝2，CD＝3，则GH的长为 .
13.如图，已知△ABO的顶点A(－4，8)，以原点O为位似中心，把△ABO缩小为原来的，则与点A对应的点A'的坐标是 .
14.如图，在等边△ABC的AC，BC边上各取一点P，Q，使AP＝CQ，AQ，BP相交于点O.若BO＝6，PO＝2，则
(1)AP的长为 ；
(2)AO的长为 .
三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
15.已知线段a，b，c满足a∶b∶c＝3∶2∶6，且a＋2b＋c＝26.
(1)求a，b，c的值；
(2)若线段x是线段a，b的比例中项，求x的值.
16.如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A'B'C'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且点B(3，1)，B'(6，2).
(1)请你根据位似的特征并结合点B的坐标变化回答下列问题：
①若点A(，3)，则A'的坐标为 ；
②△ABC与△A'B'C'的相似比为 .
(2)若△ABC的面积为m，求△A'B'C'的面积.(用含m的代数式表示)
四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
17.经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”.如图，线段CD是△ABC的“和谐分割线”，△ACD为等腰三角形，△CBD和△ABC相似，∠A＝46°，求∠ACB的度数.
18.如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(－2，4)，B(－3，1)，C(－1，1)，以坐标原点O为位似中心，相似比为2，在第二象限内将△ABC放大，放大后得到△A'B'C'.
(1)画出放大后的△A'B'C'，并写出点A'，B'，C'的坐标.(点A，B，C的对应点分别为A'，B'，C')
(2)求△A'B'C'的面积.
五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)
19.如图，已知四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，AE＝AD. EC与BD相交于点G，与AD相交于点F，AF＝AB.
(1)求证：BD⊥EC；
(2)若AB＝1，求AE的长.
20.如图，已知AC，AD是☉O的两条割线，AC与☉O相交于B，C两点，AD过圆心O且与☉O相交于E，D两点，OB平分∠AOC.
(1)求证：△ACD∽△ABO.
(2)过点E的切线交AC于点F，若EF∥OC，OC＝3，求EF的值.
六、(本题满分12分)
21.如图，四边形ABCD内接于☉O，∠BAD＝90°，点E在BC的延长线上，且∠DEC＝∠BAC.
(1)求证：DE是☉O的切线.
(2)若AC∥DE，当AB＝8，CE＝2时，求AC的长.
七、(本题满分12分)
22.已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，BC＝2AD，E是BC的中点，连接AE，AC.
(1)F是DC上一点，连接EF，交AC于点O(如图1)，求证：△AOE∽△COF.
(2)若F是DC的中点，连接BD，交AE于点G(如图2)，求证：四边形EFDG是菱形.
八、(本题满分14分)
23.如图，已知四边形ABCD是菱形，E是对角线AC上一点，连接BE并延长，交AD于点F，交CD的延长线于点G，连接DE.
(1)求证：△ABE≌△ADE.
(2)求证：EB2＝EF·EG.
(3)若菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°，AE∶EC＝1∶3，求BG的长.
参 考 答 案
1.D 2.D 3.C 4.A 5.B 6.C 7.B 8.D 9.B 10.B
11.DF∥AC(答案不唯一) 12. 13.(－1，2)或(1，－2) 14.(1)4 (2)1＋
15.解：(1)∵a∶b∶c＝3∶2∶6，∴设a＝3k，b＝2k，c＝6k.∵a＋2b＋c＝26，∴3k＋2×2k＋6k＝26，解得k＝2，∴a＝6，b＝4，c＝12.(2)∵x是a，b的比例中项，∴x2＝ab，∴x2＝4×6，∴x＝2或x＝－2(舍去)，即x的值为2.
16.解：(1)①(5，6) ②1∶2
(2)∵△ABC与△A'B'C'的相似比为1∶2，∴＝.又∵△ABC的面积为m，∴△A'B'C'的面积为4m.
17.解：∵△BCD∽△BAC，∴∠BCD＝∠A＝46°.∵△ACD是等腰三角形，∠ADC>∠BCD，∴∠ADC>∠A，即AC≠CD.因此有如下两种情况：①当AC＝AD时，∠ACD＝∠ADC＝(180°－46°)＝67°，∴∠ACB＝67°＋46°＝113°；②当DA＝DC时，∠ACD＝∠A＝46°，∴∠ACB＝46°＋46°＝92°.综上所述，∠ACB的度数为113°或92°.
18.解：(1)图略；A'(－4，8)，B'(－6，2)，C'(－2，2).
(2)∵S△ABC＝×2×3＝3，△A'B'C'与△ABC的相似比为2∶1，∴＝4，∴S△A'B'C'＝4S△ABC＝12.
19.解：(1)∵四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，∴∠EAF＝∠DAB＝90°.又AE＝AD，AF＝AB，∴△AEF≌△ADB，∠AEF＝∠ADB，∴∠GEB＋∠GBE＝∠ADB＋∠ABD＝90°，即∠EGB＝90°，故BD⊥EC.
(2)由矩形性质知AE∥CD，∴∠AEF＝∠DCF，∠EAF＝∠CDF，∴△AEF∽△DCF，＝，即AE·DF＝AF·DC.设AE＝AD＝a(a>0)，则有a·(a－1)＝1，化简得a2－a－1＝0，解得a＝或(舍去)，∴AE的长为.
20.解：(1)∵OB平分∠AOC，∴∠BOA＝∠AOC.∵∠D＝∠AOC，∴∠D＝∠BOA.又∵∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABO.
(2)∵EF切☉O于点E，∴∠OEF＝90°.∵EF∥OC，∴∠DOC＝∠OEF＝90°.∵OC＝OD＝3，∴CD＝＝3.∵△ACD∽△ABO，∴＝，∴＝，∴AE＝3.∵EF∥OC，∴＝，∴＝，∴EF＝6－3.
21.解：(1)连接BD，∵∠BAD＝90°，∴点O必在BD上，即BD是直径，∴∠BCD＝90°，∴∠DEC＋∠CDE＝90°.∵∠DEC＝∠BAC，∴∠BAC＋∠CDE＝90°.∵∠BAC＝∠BDC，∴∠BDC＋∠CDE＝90°，∴∠BDE＝90°，即BD⊥DE.∵点D在☉O上，∴DE是☉O的切线.
(2)设BD交AC于点F，∵DE∥AC，∠BDE＝90°，∴∠BFC＝90°，∴CB＝AB＝8，AF＝CF＝AC.∵∠CDE＋∠BDC＝90°，∠BDC＋∠CBD＝90°，∴∠CDE＝∠CBD.∵∠DCE＝∠BCD＝90°，∴△BCD∽△DCE，∴＝，∴＝，∴CD＝4.在Rt△BCD中，BD＝＝4.同理△CFD∽△BCD，∴＝，∴＝，∴CF＝，∴AC＝2CF＝.
22.证明：(1)∵E是BC的中点，BC＝2AD，∴EC＝BE＝BC＝AD.又∵AD∥BC，∴四边形AECD为平行四边形，∴AE∥FC，∴△AOE∽△COF.
(2)连接DE.易得四边形ABED是矩形，∴GE＝GA＝GB＝GD＝BD＝AE.∵E，F分别是BC，CD的中点，∴EF，GE是△CBD的两条中位线，∴EF＝BD＝GD，GE＝CD＝DF.又∵GE＝GD，∴EF＝GD＝GE＝DF，∴四边形EFDG是菱形.
23.解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，又AE＝AE，∴△ABE≌△ADE.
(2)∵AB∥CG，∴∠ABG＝∠EGD，由(1)得△ABE≌△ADE，∴ED＝EB，∠ABG＝∠ADE，∴∠EGD＝∠ADE.∵∠FED＝∠DEG，∴△EDF∽△EGD，∴＝，∴ED2＝EF·EG，∴EB2＝EF·EG.
(3)∵AB＝BC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝4.连接BD，交AC于点O，则AC⊥BD，OA＝OC＝2，OB＝2.∵AE∶EC＝1∶3，∴AE＝OE＝1，∴BE＝＝.∵AB∥CG，∴△ABE∽△CGE，∴＝＝，∴EG＝3，∴BG＝BE＋EG＝4.
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【检测内容：第二十七章 相似形 满分：150分】
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)
1.若a∶b＝c∶d，则下列各式成立的是( )
A.a∶d＝c∶b B.b∶d＝c∶a
C.＝ D.＝(b＋d≠0)
2.如图，AB∥CD∥MN，点M，N分别在线段AD，BC上，AC与MN交于点E.下列说法正确的是( )
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
3.如图，四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，AB＝12，CD＝15，A1B1＝9，则边C1D1的长是( )
A.10 B.12 C. D.
4.如图，已知∠DAB＝∠CAE，那么添加下列一个条件后，仍然无法判定△ABC∽△ADE的是( )
A.＝ B.＝ C.∠B＝∠D D.∠C＝∠AED
5.如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，当△ACP∽△PDB时，∠APB的度数为( )
A.100° B.120° C.115° D.135°
6.如图所示是一个直角三角形的苗圃，由一个正方形花坛和两块直角三角形的草皮组成.如果两个直角三角形的两条斜边长分别为4 m和6 m，则草皮的总面积为( )
A.9 m2 B.3 m2 C.12 m2 D.24 m2
7.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E.若AD＝3，DE＝2，则AC的长为( )
A. B. C. D.
8.如图，在△ABC中，A，B两个顶点在x轴上方，点C的坐标是(－1，0)，以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形，并把△ABC的边长放大到原来的2倍，得到△A'B'C.若设点B的对应点B'的横坐标为2，则点B的横坐标为( )
A.－1 B.－ C.－2 D.－
9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝12，点D在边BC上，点E在线段AD上，EF⊥AC于点F，EG⊥EF交AB于点G.若EF＝EG，则CD的长为( )
A.3.6 B.4 C.4.8 D.5
10.在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点M，N分别从顶点A，B同时出发，且分别沿着AD，BA运动，点N的速度是点M的2倍，点N到达顶点A时，则两点同时停止运动，连接BM，CN交于点P，过点P分别作AB，AD的垂线，垂足分别为E，F，则线段EF的最小值为( )
A. B.－1 C.－ D.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)
11.如图，在△ABC中，AB≠AC.D，E分别为边AB，AC上的点.AC＝3AD，AB＝3AE，F为BC边上一点，添加一个条件： ，可以使得△FDB与△ADE相似.(只需写出一个)
12.如图，AB∥GH∥CD，点H在BC上，AC与BD交于点G.若AB＝2，CD＝3，则GH的长为 .
13.如图，已知△ABO的顶点A(－4，8)，以原点O为位似中心，把△ABO缩小为原来的，则与点A对应的点A'的坐标是 .
14.如图，在等边△ABC的AC，BC边上各取一点P，Q，使AP＝CQ，AQ，BP相交于点O.若BO＝6，PO＝2，则
(1)AP的长为 ；
(2)AO的长为 .
三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
15.已知线段a，b，c满足a∶b∶c＝3∶2∶6，且a＋2b＋c＝26.
(1)求a，b，c的值；
(2)若线段x是线段a，b的比例中项，求x的值.
16.如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A'B'C'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且点B(3，1)，B'(6，2).
(1)请你根据位似的特征并结合点B的坐标变化回答下列问题：
①若点A(，3)，则A'的坐标为 ；
②△ABC与△A'B'C'的相似比为 .
(2)若△ABC的面积为m，求△A'B'C'的面积.(用含m的代数式表示)
四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
17.经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”.如图，线段CD是△ABC的“和谐分割线”，△ACD为等腰三角形，△CBD和△ABC相似，∠A＝46°，求∠ACB的度数.
18.如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(－2，4)，B(－3，1)，C(－1，1)，以坐标原点O为位似中心，相似比为2，在第二象限内将△ABC放大，放大后得到△A'B'C'.
(1)画出放大后的△A'B'C'，并写出点A'，B'，C'的坐标.(点A，B，C的对应点分别为A'，B'，C')
(2)求△A'B'C'的面积.
五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)
19.如图，已知四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，AE＝AD. EC与BD相交于点G，与AD相交于点F，AF＝AB.
(1)求证：BD⊥EC；
(2)若AB＝1，求AE的长.
20.如图，已知AC，AD是☉O的两条割线，AC与☉O相交于B，C两点，AD过圆心O且与☉O相交于E，D两点，OB平分∠AOC.
(1)求证：△ACD∽△ABO.
(2)过点E的切线交AC于点F，若EF∥OC，OC＝3，求EF的值.
六、(本题满分12分)
21.如图，四边形ABCD内接于☉O，∠BAD＝90°，点E在BC的延长线上，且∠DEC＝∠BAC.
(1)求证：DE是☉O的切线.
(2)若AC∥DE，当AB＝8，CE＝2时，求AC的长.
七、(本题满分12分)
22.已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，BC＝2AD，E是BC的中点，连接AE，AC.
(1)F是DC上一点，连接EF，交AC于点O(如图1)，求证：△AOE∽△COF.
(2)若F是DC的中点，连接BD，交AE于点G(如图2)，求证：四边形EFDG是菱形.
八、(本题满分14分)
23.如图，已知四边形ABCD是菱形，E是对角线AC上一点，连接BE并延长，交AD于点F，交CD的延长线于点G，连接DE.
(1)求证：△ABE≌△ADE.
(2)求证：EB2＝EF·EG.
(3)若菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°，AE∶EC＝1∶3，求BG的长.
参 考 答 案
1.D 2.D 3.C 4.A 5.B 6.C 7.B 8.D 9.B 10.B
11.DF∥AC(答案不唯一) 12. 13.(－1，2)或(1，－2) 14.(1)4 (2)1＋
15.解：(1)∵a∶b∶c＝3∶2∶6，∴设a＝3k，b＝2k，c＝6k.∵a＋2b＋c＝26，∴3k＋2×2k＋6k＝26，解得k＝2，∴a＝6，b＝4，c＝12.(2)∵x是a，b的比例中项，∴x2＝ab，∴x2＝4×6，∴x＝2或x＝－2(舍去)，即x的值为2.
16.解：(1)①(5，6) ②1∶2
(2)∵△ABC与△A'B'C'的相似比为1∶2，∴＝.又∵△ABC的面积为m，∴△A'B'C'的面积为4m.
17.解：∵△BCD∽△BAC，∴∠BCD＝∠A＝46°.∵△ACD是等腰三角形，∠ADC>∠BCD，∴∠ADC>∠A，即AC≠CD.因此有如下两种情况：①当AC＝AD时，∠ACD＝∠ADC＝(180°－46°)＝67°，∴∠ACB＝67°＋46°＝113°；②当DA＝DC时，∠ACD＝∠A＝46°，∴∠ACB＝46°＋46°＝92°.综上所述，∠ACB的度数为113°或92°.
18.解：(1)图略；A'(－4，8)，B'(－6，2)，C'(－2，2).
(2)∵S△ABC＝×2×3＝3，△A'B'C'与△ABC的相似比为2∶1，∴＝4，∴S△A'B'C'＝4S△ABC＝12.
19.解：(1)∵四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，∴∠EAF＝∠DAB＝90°.又AE＝AD，AF＝AB，∴△AEF≌△ADB，∠AEF＝∠ADB，∴∠GEB＋∠GBE＝∠ADB＋∠ABD＝90°，即∠EGB＝90°，故BD⊥EC.
(2)由矩形性质知AE∥CD，∴∠AEF＝∠DCF，∠EAF＝∠CDF，∴△AEF∽△DCF，＝，即AE·DF＝AF·DC.设AE＝AD＝a(a>0)，则有a·(a－1)＝1，化简得a2－a－1＝0，解得a＝或(舍去)，∴AE的长为.
20.解：(1)∵OB平分∠AOC，∴∠BOA＝∠AOC.∵∠D＝∠AOC，∴∠D＝∠BOA.又∵∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABO.
(2)∵EF切☉O于点E，∴∠OEF＝90°.∵EF∥OC，∴∠DOC＝∠OEF＝90°.∵OC＝OD＝3，∴CD＝＝3.∵△ACD∽△ABO，∴＝，∴＝，∴AE＝3.∵EF∥OC，∴＝，∴＝，∴EF＝6－3.
21.解：(1)连接BD，∵∠BAD＝90°，∴点O必在BD上，即BD是直径，∴∠BCD＝90°，∴∠DEC＋∠CDE＝90°.∵∠DEC＝∠BAC，∴∠BAC＋∠CDE＝90°.∵∠BAC＝∠BDC，∴∠BDC＋∠CDE＝90°，∴∠BDE＝90°，即BD⊥DE.∵点D在☉O上，∴DE是☉O的切线.
(2)设BD交AC于点F，∵DE∥AC，∠BDE＝90°，∴∠BFC＝90°，∴CB＝AB＝8，AF＝CF＝AC.∵∠CDE＋∠BDC＝90°，∠BDC＋∠CBD＝90°，∴∠CDE＝∠CBD.∵∠DCE＝∠BCD＝90°，∴△BCD∽△DCE，∴＝，∴＝，∴CD＝4.在Rt△BCD中，BD＝＝4.同理△CFD∽△BCD，∴＝，∴＝，∴CF＝，∴AC＝2CF＝.
22.证明：(1)∵E是BC的中点，BC＝2AD，∴EC＝BE＝BC＝AD.又∵AD∥BC，∴四边形AECD为平行四边形，∴AE∥FC，∴△AOE∽△COF.
(2)连接DE.易得四边形ABED是矩形，∴GE＝GA＝GB＝GD＝BD＝AE.∵E，F分别是BC，CD的中点，∴EF，GE是△CBD的两条中位线，∴EF＝BD＝GD，GE＝CD＝DF.又∵GE＝GD，∴EF＝GD＝GE＝DF，∴四边形EFDG是菱形.
23.解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，又AE＝AE，∴△ABE≌△ADE.
(2)∵AB∥CG，∴∠ABG＝∠EGD，由(1)得△ABE≌△ADE，∴ED＝EB，∠ABG＝∠ADE，∴∠EGD＝∠ADE.∵∠FED＝∠DEG，∴△EDF∽△EGD，∴＝，∴ED2＝EF·EG，∴EB2＝EF·EG.
(3)∵AB＝BC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝4.连接BD，交AC于点O，则AC⊥BD，OA＝OC＝2，OB＝2.∵AE∶EC＝1∶3，∴AE＝OE＝1，∴BE＝＝.∵AB∥CG，∴△ABE∽△CGE，∴＝＝，∴EG＝3，∴BG＝BE＋EG＝4.
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