7.3.2 离散型随机变量的方差 同步检测——2021-2022学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册（word含答案解析）

7.3.2 离散型随机变量的方差（同步检测）
一、选择题
1.已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝3，6，9，则D(X)等于(　　)
A．6 B．9 C．3 D．4
2.若随机变量X的分布列为
X 0 1
P 0.2 m
已知随机变量Y＝aX＋b(a，b∈R)且E(Y)＝10，D(Y)＝4，则a与b的值为(　　)
A．a＝10，b＝3 B．a＝3，b＝10
C．a＝5，b＝6 D．a＝6，b＝5
3.已知随机变量ξ满足P(ξ＝x)＝ax＋b(x＝－1，0，1)，其中a，b∈R.若E(ξ)＝，则D(ξ)＝(　　)
A． B． C． D．
4.(多选题)设离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P q 0.4 0.1 0.2 0.2
若离散型随机变量Y满足Y＝3X＋1，则下列结果正确的有(　　)
A．q＝0.2 B．E(X)＝2，D(X)＝1.4
C．E(X)＝2，D(X)＝1.8 D．E(Y)＝7，D(Y)＝16.2
5.设0X 0 a 1
P
则当a在(0，1)内增大时(　　)
A.D(X)增大 B.D(X)减小
C.D(X)先增大后减小 D.D(X)先减小后增大
6.(多选题)随机变量ξ有四个不同的取值，且其分布列如下：
ξ 2sin αsin β 3cos αsin β 3sin αcos β cos αcos β
P t
则E(ξ)的取值可能为(　　)
A． B．1
C．2 D．
7.(多选题)已知A＝B＝{1，2，3}，分别从集合A，B中各随机取一个数a，b，得到平面上一个点P(a，b)，事件“点P(a，b)恰好落在直线x＋y＝n上”对应的随机变量为X，P(X＝n)＝Pn，X的数学期望和方差分别为E(X)，D(X)，则(　　)
A．P4＝2P2 B．P(3≤X≤5)＝
C．E(X)＝4 D．D(X)＝
二、填空题
8.若事件在一次试验中发生次数的方差等于0.25，则该事件在一次试验中发生的概率为______
9.已知随机变量ξ的分布列如表，且满足E(ξ)＝1，则a＝_______；又η＝3ξ－1，则D(η)＝______
ξ 0 1 2
P a b
10.随机变量ξ的取值为0，1，2.若P(ξ＝0)＝，E(ξ)＝1，则D(ξ)＝_______
11.若随机变量X的分布列为P(X＝m)＝，P(X＝n)＝a，若E(X)＝2，则D(X)的最小值等于________，此时直线mx＋ny＝2的斜率为_______
12.若X是离散型随机变量，P(X＝x1)＝，P(X＝x2)＝，且x1三、解答题
13.有10张卡片，其中8张标有数字2，2张标有数字5，从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片数字之和为ξ，求E(ξ)和D(ξ).
14.口袋中有相同的黑色小球n个，红、白、蓝色的小球各一个，从中任取4个小球．ξ表示当n＝3时取出黑球的数目，η表示当n＝4时取出黑球的数目．试求E(ξ)，E(η)，D(ξ)，D(η)并比较大小．
15.A，B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2.根据市场分析，X1和X2的分布列分别为
X1 5% 10%
P 0.8 0.2
　
X2 2% 8% 12%
P 0.2 0.5 0.3
(1)在A，B两个项目上各投资100万元，Y1(单位：万元)和Y2(单位：万元)分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差D(Y1)，D(Y2)；
(2)将x(0≤x≤100)万元投资A项目，(100－x)万元投资B项目，f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和．求f(x)的最小值，并指出x为何值时，f(x)取到最小值．
参考答案：
一、选择题
1.A　 解析：E(X)＝3×＋6×＋9×＝6，D(X)＝(3－6)2×＋(6－6)2×＋(9－6)2×＝6.
2.C　
解析：因为0.2＋m＝1，所以m＝0.8，所以E(X)＝0×0.2＋1×0.8＝0.8，D(X)＝0.2×0.8＝0.16.
因为Y＝aX＋b(a，b∈R)，E(Y)＝10，D(Y)＝4，
所以aE(X)＋b＝0.8a＋b＝10，a2D(X)＝0.16a2＝4，解得a＝5，b＝6.]
3.B　
解析：由已知可得：P(ξ＝－1)＝－a＋b，P(ξ＝0)＝b，
P(ξ＝1)＝a＋b，则－a＋b＋b＋a＋b＝1，即b＝，
又E(ξ)＝－1×(－a＋b)＋0×b＋1×(a＋b)＝，所以a＝，所以ξ的分布列如下：
ξ －1 0 1
P
所以D(ξ)＝＋＋＝，故选B.]
4.CD　
解析：由离散型随机变量X的分布列的性质得：q＝1－0.4－0.1－0.2－0.2＝0.1，
E(X)＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.1＋3×0.2＋4×0.2＝2，
D(X)＝(0－2)2×0.1＋(1－2)2×0.4＋(2－2)2×0.1＋(3－2)2×0.2＋(4－2)2×0.2＝1.8，
∵离散型随机变量Y满足Y＝3X＋1，∴E(Y)＝3E(X)＋1＝7，D(Y)＝9D(X)＝16.2.故选CD.]
5.D　
解析：由分布列得E(X)＝，则
D(X)＝×＋×＋×＝＋，则当a在(0，1)内增大时，D(X)先减小后增大．故选D.
6.AB　
解析：依题意，t＝1－3×＝，
所以E(ξ)＝(2sin αsin β＋3cos αsin β＋3sin αcos β)＋cos αcos β
＝(cos αsin β＋sin αcos β)＋(sin αsin β＋cos αcos β)＝sin (α＋β)＋cos (α－β)，
所以当α＋β＝＋2kπ，α－β＝2kπ(k∈Z)时，即(k∈Z)时，E(ξ)取得最大值＋＝1.则E(ξ)≤1
7.BCD　
解析：由题意得对应的点P有：
(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，
∴对应的X的可能取值为2，3，4，5，6，
P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，P(X＝4)＝，P(X＝5)＝，P(X＝6)＝，
对于A，P4＝P(X＝4)＝＝≠2P2＝，故A错误；
对于B，P(3≤X≤5)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＋P(X＝5)＝＋＋＝，故B正确；
对于C，E(X)＝2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝4，故C正确；
对于D，D(X)＝(2－4)2×＋(3－4)2×＋(4－4)2×＋(5－4)2×＋(6－4)2×＝，故D正确．故选BCD.
二、填空题
8.答案：0.5　
解析：在一次试验中发生次数记为ξ，则ξ服从两点分布，则D(ξ)＝p(1－p)，所以p(1－p)＝0.25，解得p＝0.5.
9.答案：，　
解析：根据ξ的分布列得：＋a＋b＝1， ①
∵E(ξ)＝1，∴0×＋1×a＋2×b＝1，②
由①②联立得a＝，b＝，D(ξ)＝(0－1)2＋(1－1)2＋×(2－1)2＝.
∵η＝3ξ－1，∴D(η)＝32D(ξ)＝.
10.答案：　
解析：设P(ξ＝1)＝a，P(ξ＝2)＝b，则解得
所以D(ξ)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×＝.
11.答案：0，－1　
解析：由分布列的性质，得a＋＝1，a＝.
∵E(X)＝2，∴＋＝2.∴m＝6－2n.
∴D(X)＝×(m－2)2＋×(n－2)2＝×(n－2)2＋×(6－2n－2)2＝2n2－8n＋8＝2(n－2)2.
∴n＝2时，D(X)取最小值0，此时m＝6－2×2＝2，mx＋ny＝2的斜率为－1.
12.答案：3　
解析：由已知得x1，x2满足解得或
∵x1三、解答题
13.解:这3张卡片上的数字之和为ξ，这一变量的可能取值为6，9，12.ξ＝6表示取出的3张卡片上均标有2，则P(ξ＝6)＝＝
ξ＝9表示取出的3张卡片上两张标有2，一张标有5，则P(ξ＝9)＝＝.
ξ＝12表示取出的3张卡片上一张标有2，两张标有5，则P(ξ＝12)＝＝.
∴ξ的分布列为：
ξ 6 9 12
P
∴E(ξ)＝6×＋9×＋12×＝7.8. D(ξ)＝(6－7.8)2×＋(9－7.8)2×＋(12－7.8)2×＝3.36.
14.解：当n＝3时，ξ的可能取值为1，2，3，
P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，∴E(ξ)＝＋2×＋3×＝2，D(ξ)＝＋＝；
当n＝4时，η可取1，2，3，4，
P(η＝1)＝＝，P(η＝2)＝＝，P(η＝3)＝＝，P(η＝4)＝＝，
∴E(η)＝＋2×＋3×＋4×＝，D(η)＝＋＋＋＝.
∴E(ξ)＜E(η)，D(ξ)＜D(η).
15.解:(1)由题设可知Y1和Y2的分布列分别为
Y1 5 10
P 0.8 0.2
　
Y2 2 8 12
P 0.2 0.5 0.3
E(Y1)＝5×0.8＋10×0.2＝6，D(Y1)＝(5－6)2×0.8＋(10－6)2×0.2＝4；
E(Y2)＝2×0.2＋8×0.5＋12×0.3＝8；D(Y2)＝(2－8)2×0.2＋(8－8)2×0.5＋(12－8)2×0.3＝12.
(2)f(x)＝D＋D＝D(Y1)＋D(Y2)＝[x2＋3(100－x)2]
＝(4x2－600x＋3×1002).
所以当x＝＝75时，f(x)＝3为最小值．