7.2离散型随机变量及其分布列 同步检测-2021-2022学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册（word含答案解析）

7.2 离散型随机变量及其分布列（同步检测）
一、选择题
1.(多选题)已知下列随机变量，其中X是离散型随机变量的是(　　)
A.10件产品中有2件次品，从中任选3件，取到次品的件数X
B.6张奖券中只有2张有奖，从这6张奖券中随机的抽取3张，用X表示抽到有奖的奖券张数
C.某运动员在一次110米跨栏比赛中的成绩X
D.在体育彩票的抽奖中，一次摇号产生的号码数X
2.设ξ是一个离散型随机变量，其分布列为如表，则q＝(　　)
ξ －1 0 1
P 2q－1 q
A． B． C． D．
3.已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝1，2，3，则P(X＝3)＝(　　)
A． B． C． D．
4.随机变量X所有可能取值的集合是{－2，0，3，5}，且P(X＝－2)＝，P(X＝3)＝，
P(X＝5)＝，则P(X＝0)的值为(　　)
A．0 B． C． D．
5.若随机变量X的分布列为
X －2 －1 0 1 2 3
P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1
则当P(XA．(－∞，2] B．[1，2] C．(1，2] D．(1，2)
6.(多选题)已知随机变量ξ的分布列为：
ξ －2 －1 0 1 2 3
P
若P(ξ2A．5 B．6 C．7 D．8
7.设随机变量X的概率分布列为
X 1 2 3 4
P m
则P(|X－3|＝1)＝(　　)
B．
C． D．
二、填空题
8.在一次比赛中，需回答三个问题，比赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，则选手甲回答这三个问题的总得分ξ的所有可能取值是____________
9.一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品为二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量ξ，则P＝________
10.设离散型随机变量X的概率分布列为：
X －1 0 1 2 3
P m
则P(X≤2)＝________
11.若随机变量X的分布列如表所示，则a＋b＝________，a2＋b2的最小值为________，此时P(X≤2)＝________
X 0 1 2 3
P a b
12.某篮球运动员在一次投篮训练中的得分X的分布列如下表，其中2b＝a＋c，且c＝ab，则这名运动员得3分的概率为________．
X 0 2 3
P a b c
三、解答题
13.以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示．
如果X＝9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数Y的分布列．
14.设离散型随机变量X的分布列为：
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
求：(1)2X＋1的分布列；(2)|X－1|的分布列．
15.袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用ξ表示取球终止所需要的取球次数．
(1)求袋中所有的白球的个数；
(2)求随机变量ξ的分布列；
(3)求甲取到白球的概率．
参考答案：
一、选择题
1.ABD　
解析：C中X的值可在某一区间内取值，不能一一列出，故不是离散型随机变量．
2.B　
解析：根据题意可得＋2q－1＋q＝1，解得q＝，故选B.
3.A　
解析：随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，(k＝1，2，3)，则a＝1，解得a＝，
∴P(X＝3)＝×＝，故选A.
4.C　
解析：因为P(X＝－2)＋P(X＝0)＋P(X＝3)＋P(X＝5)＝1，即＋P(X＝0)＋＋＝1，所以P(X＝0)＝＝，故选C.
5.C　
解析：由随机变量X的分布列，知P(X<－1)＝0.1，P(X<0)＝0.3，P(X<1)＝0.5，P(X<2)＝0.8，则当P(X6.ABCD　
解析：由随机变量ξ的分布列，知ξ2的可能取值为0，1，4，9，且P(ξ2＝0)＝；
P(ξ2＝1)＝＋＝；P(ξ2＝4)＝＋＝；P(ξ2＝9)＝.
∵P(ξ27.B　
解析：根据概率分布列的性质得出：＋m＋＋＝1，所以m＝，随机变量X的概率分布列为
X 1 2 3 4
P
所以P(|X－3|＝1)＝P(X＝4)＋P(X＝2)＝.故选B.
二、填空题
8.答案：300，100，－100，－300　
解析：可能回答全对，两对一错，两错一对，全错四种结果，相应得分为300分，100分，－100分，－300分．
9.答案：　
解析：设二级品有k个，则一级品有2k个，三级品有个，总数为个．
∴ξ的分布列为
ξ 1 2 3
P
P＝P(ξ＝1)＝.]
10.答案：　 解析：P(X≤2)＝1－＝.]
11.答案：，，　
解析：由分布列的性质，知a＋b＝，而a2＋b2≥＝，
当且仅当a＝b＝时等号成立，此时P(X≤2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝.]
12.答案：
解析：由题中条件，知2b＝a＋c，c＝ab，再由分布列的性质，知a＋b＋c＝1，且a，b，c都是非负数，由三个方程联立方程组，可解得a＝，b＝，c＝，所以得3分的概率是.]
三、解答题
13.解：当X＝9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵数分别是9，9，11，11；乙组同学的植树棵数分别是9，8，9，10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4＝16种可能的结果，这两名同学植树总棵树Y的可能取值为17，18，19，20，21.事件“Y＝17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”，所以该事件有2种可能的结果，因此P(Y＝17)＝＝.
同理可得P(Y＝18)＝；P(Y＝19)＝；P(Y＝20)＝；P(Y＝21)＝.
所以随机变量Y的分布列为
Y 17 18 19 20 21
P
14.解：由分布列的性质知：
0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3.首先列表为：
X 0 1 2 3 4
2X＋1 1 3 5 7 9
|X－1| 1 0 1 2 3
从而由上表得两个分布列为：
(1)2X＋1的分布列：
2X＋1 1 3 5 7 9
P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
(2)|X－1|的分布列：
|X－1| 0 1 2 3
P 0.1 0.3 0.3 0.3
15.解：(1)设袋中原有n个白球，由题意知＝＝＝.
可得n＝3或n＝－2(舍去)，即袋中原有3个白球．
(2)由题意，ξ的可能取值为1，2，3，4，5.
P(ξ＝1)＝；P(ξ＝2)＝＝；P(ξ＝3)＝＝；P(ξ＝4)＝＝；
P(ξ＝5)＝＝.
所以ξ的分布列为：
ξ 1 2 3 4 5
P
(3)因为甲先取，所以甲只有可能在第一次、第三次和第五次取到白球，记“甲取到白球”为事件A，则P(A)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝5)＝