平方根(一)
目的要求:
初步了解学习数的开方的意义,了解一个数的平方根的意义,会用根号表示一个数的平方根。
教学重点:平方根与算术平方根的概念。
教学难点:弄清平方根与算术平方根的意义。
教学方法:启发式
教学过程:
情境引入:
我们已经学过那些数的运算?
加法与减法这两种运算之间有什么关系? 乘法与除法之间呢?
那么乘方是不是有逆运算呢? 我们来看下面的问题。
如:一个面积为 10.8 平方米的正方形展厅,用去正方形的地砖120块,它的边长应是多少?
一个数的平方等于1000,这个数是多少?
这些问题的共同特点是:已知乘方的结果的值, 求底数的值。 为了解决这些问题,就要进行乘方运算的逆运算,也就是要进行开方运算。
在这一章里, 我们来学习数的开方和实数的初步知识。
新课讲解:
一个数的平方是9,那么这个数是什么数?
因为3 2= 9, ( -3 ) 2= 9 ,所以这个数是 3 或-3。
又如 ,一个数的平方是,因为、,所以这个数是或
-。
一般的,如果一个数r的平方等于 a ,这个数r就叫做 a 一个的平方根 。就是说,如果,x 就叫做 a 的平方根。
上面,3与-3 都是 9 的平方根,与-都是的平方根。
启发学生观察,正数的两个平方根之间,有什么关系?其它数呢?
进一步,总结一般结论:
一个正数有两个平方根,它们互为相反数;
0有一个平方根,它是0本身;
负数没有平方根。
求一个非负数 a 的平方根的运算,叫做开平方。
我们看到,3与-3 的平方都是 9 , 9 的平方根是 3与-3。就是说,平方与开平方互为逆运算。根据这种运算关系,我们可以通过平方运算来求一个数的平方根,以及检验一个数是不是另一个数的平方根。
一个正数 a 的正的平方根, 用符号“” 表示,称为a 的算术平方根,读作“根号 a”,其中a 叫做被开方数。正数a 的负的平方根,用符号“- ”表示。这两个平方根合起来可以记作“±”。这里,也可记作,只是通常将这个 2 省略不写,如,±记作±,读作“正、负根号 a ”。
注:3是9的平方根,9的平方根是3。这句话对吗?
例1 求下列各数的算术平方根:
(1)900 ; (2)1 ; (3) (4)14 .
解:(1)因为,所以900的算术平方根是30,即
(2)因为,所以1的算术平方根是1,即
(3)因为所以的算术平方根是,即
(4)14的算术平方根是
例2 求下列各数的平方根:
(1)64 ; (2) (3)0.0004 ; (4) (5)11。
解:(1)因为所以64的平方根是,即
(2)因为所以的平方根是,即;
(3)因为所以的平方根是,即;
(4)因为
(5)11是平方根是。
注意以下几点:
1、引导学生根据平方根的意义来求解。并使学生加深对数的平方根意义的认识。
2、注意抓住学生可能遗漏负平方根的错误,强化正数的平方根有两个这一特点。
3、注意±表示互为相反数的两个数。注意平方根与算术平方根的区别与联系。
课堂练习:
课本4页练习 1,2,3
写出下列各数的平方根:36 ,0.25 ,2.89 , , 0 , -16
课堂小结:
这一节课的主要内容是:乘方的逆运算是开方; 平方根的定义; 正数、0、负数的平方根的个数;平方根的符号表示与读法。
课外作业:习题1.1 A组第1,2 题。
教学后记:
平方根(二)
目的要求:
通过例题讲解与练习, 进一步认识一个数的平方根的意义,熟悉平方根的符号表示。
教学重点:会计算一个数的平方根,认识平方与开平方的互逆性。(B组2,3题)
教学难点:进一步理解平方根与算术平方根的概念
教学方法:启发式
教学过程:
复习提问:
1、什么叫做一个数的平方根?
2、100 的平方根是什么?0.01 的呢?
3、0 的平方根是什么?负数有平方根吗?
4、怎样用符号表示 10 的平方根?
新课讲解:
例1 下列各数有平方根吗?如果有,求出它的平方根;如果没有,说明理由。
( 1 ) -64 ; ( 2 ) 0 ; ( 3 ) (-4 )2;
解:( 1 ) 因为-64 是负数,所以-64 没有平方根;
( 2 ) 0 有一个平方根,它是 0 ;
( 3 ) 因为 (-4 ) 2 =16 >0 ,所以 (-4 ) 2有两个平方根,
即:±=±=±4 ;
想一想
课堂练习:
教科书第8页练习B组:1、2、 3
难度较大,注意学生之间的探究学习与小组合作学习。
课堂小结 :
这一堂课主要讲算术平方根与平方根的区别与联系,如何根据带根号的式子的形式来判断它所表示的是算术平方根、负平方根还是平方根。
课外作业:
1、填空:
(1)25的平方根是 ;
(2);
(3);
2、(1)一个正数的平方等于361,求这个正数;
(2)一个负数的平方等于121,求这个负数;
(3)一个数的平方等于196,求这个数。
3、求满足下列条件的未知数x:
(1)x2=49 (2)x2=
4、求下列各式的值:
(1) (2) (3)
试一试
对于任意数a,一定等于a吗?
教学后记:
平方根(三)
教学目标:
1、通过操作,拼出面积为8的正方形,抽象出无理数的概念。
2、能用科学计算器求平方根及其近似值。
重点:无理数的定义及用科学计算器求平方根及其近似值
难点:如何拼出面积为8的正方形。
教学过程:
情境引入:
发现无理数的代价
说到无理数,还得从公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派的一个成员名叫希伯斯的说起.
伟大的数学家——毕达哥拉斯认为:世界上只存在整数和分数,除此以外,没有别的什么数了.可是不久就出现了一个问题:当一个正方形的边长是1的时候,对角线的长m等于多少?是整数呢,还是分数?毕达哥拉斯和他的门徒费了九牛二虎之力,也不知道这个m究竟是什么数.世界上除了整数和分数以外还有没有别的数?这个问题引起了学派成员希伯斯的兴趣,他花费了很多的时间去钻研,最终希伯斯断言:m既不是整数也不是分数,是当时人们还没有认识的新数.
从希伯斯的发现中,人们知道了除了整数和分数以外,还存在着一种新数.给新发现的数起个什么名字呢?当时人们觉得,整数和分数是容易理解的,就把整数和分数合称“有理数”,而希伯斯发现的这种新数不好理解,就取名为“无理数”.
希伯斯的发现,推翻了毕达哥拉斯学派的理论,动摇了这个学派的基础,为此引起了他们的恐慌.为了维护学派的威信,他们严密封锁希伯斯的发现,如果有人胆敢泄露出去,就处以极刑——活埋.然而真理是封锁不住的,尽管毕达哥拉斯学派规矩森严,希伯斯的发现还是被许多人知道了.他们追查泄密的人,追查的结果,发现泄密的不是别人,正是希伯斯本人!这还了得!希伯斯竟背叛老师,背叛自己的学派.毕达哥拉斯学派按着规矩,要活埋希伯斯.希伯斯听到风声逃跑了.希伯斯在国外流浪了好几年,由于思念家乡,他偷偷地返回希腊.在地中海的一条海船上,毕达哥拉斯的忠实门徒发现了希伯斯,他们残忍地将希伯斯扔进地中海.这样,无理数的发现人被谋杀了!
我们已经知道,开方开不尽时所得到的数都是无限不循环小数,即无理数.但是,也确有一些无限不循环小数不是由于开方开不尽而产生的,在中学数学里遇到的有两个数:π和e就是如此.
π的实际意义是圆的周长与该圆的直径之比,称为圆周率.我国伟大的数学家祖冲之对π值的推算结果为:3.1415926< π< 3.1415927.
对于e的实际意义由于超出目前的知识范围,暂不作叙述,只介绍它的值为e=2.71828….
综上所说,无理数可分为两类:一类是由于开方开不尽而产生的,称根数;另一类是像π和e这样的数,它们不是由于开方开不尽而产生的,称超越数.
同学们读完后有怎样的感触呢?希伯斯勇于追求真理的精神令人敬佩,而人类对数学的研究也在不断的深入和拓展……希望同学们能以此为鉴,努力学习,将来拥有足够的能力去探索和开拓数学领域的新世界.
今天,我们就来学习一些与上面故事有关的知识:
探究:1、当一个正方形的边长是1的时候,对角线的长m等于多少?能否用面积法与平方根的有关知识求解呢?
注:探的目的是让学生通过自己的动手操作,得出答案,进一步感受到无理数的客观存在,在操作的过程中,有些学生也许会出现这样那样的问题,教师不要急于纠正,可以让学生小组合作讨论交流得出正确的结论。
2、大概是多少?你能估计出来吗?
新授:
1、无理数的概念:无限不循环小数。
哪些数是无理数呢?
2、如何用计算器求的近似值?
学生研读书本P4---P7的内容。
课堂练习:书P7 1,2
小结:1、在学习的过程中,你有什么疑难问题,你觉得本节课最大的收获在哪里?
2、家里有电脑的同学可以到网上查阅有关无理数的知识。
课外作业:书P8 A 3,4,5 B 1,2,3
教学后记: