1.3实数
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文档简介
实数（一）
【教学目的】
1、使学生了解实数的概念，知道实数和数轴上的点一一对应。
2、使学生了解有理数的运算律在实数范围内仍然适用。
3、不用计算器，估计一个无理数的范围
【教学重点】实数的概念及实数运算律。
【教学难点】实数概念。
【教学方法】讲解、分析、对比
【教学过程】
复习提问：
1、什么叫有理数？有理数和小数的关系是什么？
2、什么叫有理数的相反数？什么叫有理数的绝对值？怎样表示的？
3、有理数有哪几条运算律？
4、什么叫数轴？怎样比较有理数的大小？
5、什么叫无理数？
新课讲解：
1、实数概念
我们知道，有理数包括整数和分数。任何一个有理数都可以写成有限小数 (整数可看作小数点后面是0的小数 )或者循环小数的形式。例如，3 = 3. 0 ，－=－0. 6 ，－ =。
反过来，任何有限小数或循环小数也都是有理数。是不是所有的数都可以写成有限小数或循环小数的形式呢？不是的，例如：
= 1. 41421356 …， = 1. 73205080 …，－= 2. 64575131…，
= 1. 2599210 …， π= 3. 14159265 …。
这些小数的小数位数是无限的，而且是不循环的。这样的小数叫做无限不循环小数，又叫做无理数。无理数的小数是无限多的。
注意：用根号形式表示的数并不都是无理数。例如、就不是无理数。无理数可分为正无理数和负无理数。例如、、π…是正无理数；－、－、－π… 是负无理数。
有理数和无理数统称实数。
有理数
无理数
实数还可按大小分类如下：
实数 实数
2、实数与数轴上点的关系
探究：你能在数轴上表示吗？（单位长为1）
回顾“发现无理数的代价”的故事，启发思维
我们知道，每个有理数，都可以用数轴上的点来表示。但是数轴上的点并不都表示有理数，每个无理数也都可以用数轴上的点来表示。我们可以运用几何作图的办法，在数轴上表示某些无理数。如图3-1所示，以数轴的单位长线段为边作一个正方形，那么根据正方形面积法，以数轴的原点为圆心，正方形对角线为半径画弧与数轴正半轴的交点就表示。
. . . . . .
-3 -2 -1 0 1 2
反过来，数轴上的每个点都表示一个实数，我们就说实数何数轴上的点一一对应.
思考：如何在数轴上画出表示等数的点？
引出结论：每一个实数都可以用数轴上唯一的一个点来表示。
数轴上每一个点都表示唯一的一个实数。
即：实数和数轴上的点一一对应。
如果 a表示一个正实数，－a 就表示一个负实数。a与－a互为相反数，另外规定：0的相反数仍是0。
实数的绝对值意义也和有理数一样：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。
有关实数的运算：关于有理数的运算律和运算性质，在进行实数运算时仍然成立。在实数范围内，不仅可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且正数和零总可以进行开平方和开立方运算。负数只能进行开立方运算，应该注意负数不能开平方。
学生自学书P13----P14，填好书上的空格部分。
讲解书上的例1，2
注：与2比大小时，运用了面积与边长的大小关系，这是一种数形结合的思想。
总结：实数的大小比较
实数的大小比较法则与有理数相同；如
被开方数越大，则算术平方根也越大；如
利用数轴比较实数的大小：在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大.
课堂练习：教科书第15页练习第1，2题
课堂小结：
实数与数轴上的点具有一一对应关系；有理数的意义，无理数的意义，两者的区别；实数的意义及其两种分类，分类的方法；实数的绝对值与相反数的意义与有理数一样。
有理数的运算律和运算性质在实数范围内仍然适用，注意在实数范围内负数不能开平方。
课外作业：教科书第18页习题1.3A组的1、2题、B组的1题。
教学后记：
实数（二）
【教学目的】
1、在具体情景中了解近似数的运算及有效数字的概念。
2、会进行近似数的四则运算。
3、在现实情景中，会通过近似运算处理实际问题。
【教学重点】近似数的运算，有效数字概念。
【教学难点】有效数字的识别，近似数运算的技巧。
【教学过程】
一、创设问题情境引入
出示投影 如果两个正方形的面积分别是3，5平方厘米，那这两个正方形的边长之和大约是多少厘米？（精确到小数点后面第一位）
学生活动：独立思考，认真分析，并将结果与同伴交流
教师活动：针对学生中可能产生的两种答案3.9或4.1厘米,进行分析，由此引出今天的主要课题。
归纳：1、一般地，一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。
2、在实数运算中，当遇到小数或无理数，并且需要求出结果的近似值时，可以按照所要求的精确度，用相应的近似值有限小数去代替无理数，再进行计算。并且，如果对答案要求精确到小数点后第一位，那么参与运算的每个实数的近似值应当取几位？（第二位）
那么，一般地规律是怎样的呢？
3、上述1.73是的近似值，它是用四舍五入法得到的，我们一般称它有三位有效数字。
定义：从左边第一个不是为0的数字起，到精确到的数位止共有多少个数字，就说这个近似数有多少位有效数字。
4、判断：
0.003500 4.0503 3.250 各有几个有效数字，它们各精确到哪一位？
二、做一做，学会近似计算
例 2 计算：( 1 ) （精确到0. 01或小数点后第二位）；( 2 ) （结果保留三个有效数字）。
解： ( 1 ) ≈2. 236 + 3.142≈5. 38.
( 2 ) ≈1. 414×1. 732≈2. 45.
例3 分别求下列各数的近似值（保留六位有效数字）
注意：3.46410 中的0不能省略
例4 计算（保留四位有效数字）
（1） （2）
注意：0.07170 中的0不能省略
其实在生活中，通过测量得到的数往往是近似数。如，用尺子测量课本的边的长度时，得出的结论往往是近似值。我们一起测量，求出结果。（误差，平均数）
课堂练习：教科书第17页 例7
P18 练习1，2，3，4，5（可写在书上）
课堂小结：
本节课主要学习了有效数字的概念，及近似数的加减与乘除运算，并用之解决实际问题。特别注意，近似数的书写中最后一位是0，不能省略，且是一位有效数字。对于涉及无理数的计算，通常是按照所要求得精度取近似值，将它们转化成有理数进行计算。
课外作业：教科书第18页习题1.A组的1、2、3、4、5。
课后反思：
【教学目的】
1、使学生了解实数的概念，知道实数和数轴上的点一一对应。
2、使学生了解有理数的运算律在实数范围内仍然适用。
3、不用计算器，估计一个无理数的范围
【教学重点】实数的概念及实数运算律。
【教学难点】实数概念。
【教学方法】讲解、分析、对比
【教学过程】
复习提问：
1、什么叫有理数？有理数和小数的关系是什么？
2、什么叫有理数的相反数？什么叫有理数的绝对值？怎样表示的？
3、有理数有哪几条运算律？
4、什么叫数轴？怎样比较有理数的大小？
5、什么叫无理数？
新课讲解：
1、实数概念
我们知道，有理数包括整数和分数。任何一个有理数都可以写成有限小数 (整数可看作小数点后面是0的小数 )或者循环小数的形式。例如，3 = 3. 0 ，－=－0. 6 ，－ =。
反过来，任何有限小数或循环小数也都是有理数。是不是所有的数都可以写成有限小数或循环小数的形式呢？不是的，例如：
= 1. 41421356 …， = 1. 73205080 …，－= 2. 64575131…，
= 1. 2599210 …， π= 3. 14159265 …。
这些小数的小数位数是无限的，而且是不循环的。这样的小数叫做无限不循环小数，又叫做无理数。无理数的小数是无限多的。
注意：用根号形式表示的数并不都是无理数。例如、就不是无理数。无理数可分为正无理数和负无理数。例如、、π…是正无理数；－、－、－π… 是负无理数。
有理数和无理数统称实数。
有理数
无理数
实数还可按大小分类如下：
实数 实数
2、实数与数轴上点的关系
探究：你能在数轴上表示吗？（单位长为1）
回顾“发现无理数的代价”的故事，启发思维
我们知道，每个有理数，都可以用数轴上的点来表示。但是数轴上的点并不都表示有理数，每个无理数也都可以用数轴上的点来表示。我们可以运用几何作图的办法，在数轴上表示某些无理数。如图3-1所示，以数轴的单位长线段为边作一个正方形，那么根据正方形面积法，以数轴的原点为圆心，正方形对角线为半径画弧与数轴正半轴的交点就表示。
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-3 -2 -1 0 1 2
反过来，数轴上的每个点都表示一个实数，我们就说实数何数轴上的点一一对应.
思考：如何在数轴上画出表示等数的点？
引出结论：每一个实数都可以用数轴上唯一的一个点来表示。
数轴上每一个点都表示唯一的一个实数。
即：实数和数轴上的点一一对应。
如果 a表示一个正实数，－a 就表示一个负实数。a与－a互为相反数，另外规定：0的相反数仍是0。
实数的绝对值意义也和有理数一样：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。
有关实数的运算：关于有理数的运算律和运算性质，在进行实数运算时仍然成立。在实数范围内，不仅可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且正数和零总可以进行开平方和开立方运算。负数只能进行开立方运算，应该注意负数不能开平方。
学生自学书P13----P14，填好书上的空格部分。
讲解书上的例1，2
注：与2比大小时，运用了面积与边长的大小关系，这是一种数形结合的思想。
总结：实数的大小比较
实数的大小比较法则与有理数相同；如
被开方数越大，则算术平方根也越大；如
利用数轴比较实数的大小：在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大.
课堂练习：教科书第15页练习第1，2题
课堂小结：
实数与数轴上的点具有一一对应关系；有理数的意义，无理数的意义，两者的区别；实数的意义及其两种分类，分类的方法；实数的绝对值与相反数的意义与有理数一样。
有理数的运算律和运算性质在实数范围内仍然适用，注意在实数范围内负数不能开平方。
课外作业：教科书第18页习题1.3A组的1、2题、B组的1题。
教学后记：
实数（二）
【教学目的】
1、在具体情景中了解近似数的运算及有效数字的概念。
2、会进行近似数的四则运算。
3、在现实情景中，会通过近似运算处理实际问题。
【教学重点】近似数的运算，有效数字概念。
【教学难点】有效数字的识别，近似数运算的技巧。
【教学过程】
一、创设问题情境引入
出示投影 如果两个正方形的面积分别是3，5平方厘米，那这两个正方形的边长之和大约是多少厘米？（精确到小数点后面第一位）
学生活动：独立思考，认真分析，并将结果与同伴交流
教师活动：针对学生中可能产生的两种答案3.9或4.1厘米,进行分析，由此引出今天的主要课题。
归纳：1、一般地，一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。
2、在实数运算中，当遇到小数或无理数，并且需要求出结果的近似值时，可以按照所要求的精确度，用相应的近似值有限小数去代替无理数，再进行计算。并且，如果对答案要求精确到小数点后第一位，那么参与运算的每个实数的近似值应当取几位？（第二位）
那么，一般地规律是怎样的呢？
3、上述1.73是的近似值，它是用四舍五入法得到的，我们一般称它有三位有效数字。
定义：从左边第一个不是为0的数字起，到精确到的数位止共有多少个数字，就说这个近似数有多少位有效数字。
4、判断：
0.003500 4.0503 3.250 各有几个有效数字，它们各精确到哪一位？
二、做一做，学会近似计算
例 2 计算：( 1 ) （精确到0. 01或小数点后第二位）；( 2 ) （结果保留三个有效数字）。
解： ( 1 ) ≈2. 236 + 3.142≈5. 38.
( 2 ) ≈1. 414×1. 732≈2. 45.
例3 分别求下列各数的近似值（保留六位有效数字）
注意：3.46410 中的0不能省略
例4 计算（保留四位有效数字）
（1） （2）
注意：0.07170 中的0不能省略
其实在生活中，通过测量得到的数往往是近似数。如，用尺子测量课本的边的长度时，得出的结论往往是近似值。我们一起测量，求出结果。（误差，平均数）
课堂练习：教科书第17页 例7
P18 练习1，2，3，4，5（可写在书上）
课堂小结：
本节课主要学习了有效数字的概念，及近似数的加减与乘除运算，并用之解决实际问题。特别注意，近似数的书写中最后一位是0，不能省略，且是一位有效数字。对于涉及无理数的计算，通常是按照所要求得精度取近似值，将它们转化成有理数进行计算。
课外作业：教科书第18页习题1.A组的1、2、3、4、5。
课后反思：
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