1.4平面直角坐标系
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文档简介
平面直角坐标系（一）
教学目标
知识与技能：
1、从实际生活中感受有序实数对的意义，并会确定平面内物体的位置。
2、认识平面直角坐标系，了解点的坐标的意义，会用坐标表示点，能画出点的坐标位
3、渗透对应关系，提高学生的数感.
过程与方法：通过有序实数对确定位置，让学生感受二维空间观，发展符号感及抽象思维能力，让学生体会“具体－抽象－具体”的数学学习过程，进而顺利地过度到平面直角坐标系的有关知识。
情感、态度与价值观：培养学生的合作交流意识和探索精神，创造性思维意识。体验数学来源于生活及应用于生活的意识，更好的激发学习兴趣。
教学重点与难点
重点：1、有序实数对的概念及平面内确定点的方法。
2、平面直角坐标系和点的坐标.
难点：1、对有序实数对中的有序的理解，利用有序实数对表示平面内的点。
2、正确画坐标和找对应点
教学过程
（一）创设情境、导入新课
[引例1]近期剧院举办周杰伦个人演唱会，小华与朋友买了两张票去观看，座位号分别是10排12座和10排14座。怎样才能既快又准地找到座位呢？
[引例2]规定竖为列，横为排，如果我的朋友在“第5列”，你能知道他（她）是谁吗？
如果说我的朋友在“第5列，第4排”，那么你知道他（她）是谁吗？
归纳“10排12座”、“第5列，第4排”共同点：用两个数表示位置。
约定：影院座位，排数在前，座数在后；教室座位列数在前，排数在后。则上述位置可简记为（10，12），（5，4）。
追问：10排14座怎么表示？教室中（2，3）表示什么？（3，2）呢？它们意义相同吗？
可以发现，有顺序的两个数a与b组成的数对，如果约定了前面的数表示“列数”，后面的数表示“排数”，那么a与b组成的数对就表示一个确定的位置。
引入——有序实数对：有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对，记作（a，b）。
（二）合作交流、探究学习
请思考：我们为什么要学习有序实数对，有序实数对都有哪些用途？
[探究1]请学生结合“教室平面图”例子完成以下问题。（展示课件）
（1）说出李军、王莹的确切位置；
（2）若位置记法为（列数，排数），请问（3，4）和（4，3）表示的是哪个同学的座位？
（3）思考：（3，4）和（4，3）指的是不是同一位置？
[讨论]利用有序实数对，能够准确地表示一个位置，生活中利用有序实数对表示位置的情况很常见，如人们常用经纬度来表示地球上的地点等。（展示课件）
我们用数轴上点来表示任意一个实数，并且，实数与数轴上的点是一一对应的，那么，我们是否也能用图形来表示有序实数对呢？
由班上座位问题，可以启发我们，为了用有序实数对表示平面内的任一点，需用两根互相垂直的数轴。
明确概念
平面直角坐标系Oxy：平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系（orthogonal coordinate system）.水平的数轴称为x轴（abscissa axis）或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴为y轴（ordinate axis）或纵轴，取向上方向为正方向；两个坐标轴的交点O为平面直角坐标系的原点。
点的坐标：我们用一对有序实数对表示平面上的点，这对数叫坐标。表示方法为（a,b）.a是点对应横轴上的数值，称为横坐标，b是点在纵轴上对应的数值，称为纵坐标。
我们可以用有序实数对表示平面内的任一点，反过来，平面直角坐标系Oxy上任一点也可以用一对有序实数对表示。
即：在建立了平面直角坐标系后，平面上的点与有序实数对一一对应。
类比：实数与数轴上的点是一一对应的。
建立平面直角坐标系后，平面被坐标轴分成四个区域，分别叫第一象限，第二象限，第三象限和第四象限。
（三）应用迁移，巩固提高
例1 写出上图中A、B、C、D点的坐标。
问题1：各象限点的坐标有什么特征？ 你能说出例1中各点在第几象限吗？
例2 在平面直角坐标系中描出下列各点。
A（3，4）；B（-1，2）；C（-3，-2）；D（2，-2）
仿照例题1，画坐标轴，描点，要求能正确画平面直角坐标系
练习：教材21页：做一做
[小结]
有序实数对与平面直角坐标系；
点的坐标及其表示
各象限内点的坐标的特征
坐标的简单应用
[作业]
教科书22页1，2题
教学后记：
平面直角坐标系（第二课时）
教学目标：
1、使学生进一步熟悉由坐标确定点和由点求坐标的方法.理解平面内的点与有序实数对之间的一一对应关系.
2、会用象限和坐标轴说明直角坐标系内点的位置，并会根据点的位置，确定点的横坐标、纵坐标的符号.
3、掌握确定已知点关于坐标轴（或原点）的对称点及平移的方法，培养学生观察，归纳总结的能力.
4、培养学生发现问题，主动探索的能力.在与同伴的合作交流中，培养学生的责任心.
5、渗透数形结合的思想，培养学生思维的严谨性和深刻性.
教学重点：
1、掌握象限或坐标轴上的点的坐标的特点.
2、会求已知点关于坐标轴或原点的对称点的坐标.
教学难点：理解平面内的点与有序实数对之间的一一对应关系.
教学用具：直尺、计算机
教学方法：合作学习，讨论，探究
教学过程：
1、提出问题，主动探索
上节课我们学习了平面直角坐标系的概念，并介绍了象限与坐标轴.初步体会到平面内的点与有序实数对是一一对应的.今天我们需要开始新的探索，发现数学知识.
下面看例1
例1、指出下列各点所在象限或坐标轴；
你能发现什么规律吗？
解：描点画图后，可以从图中观察出，A点在第二象限；B点在第三象限；C点在第四象限；D点在第一象限；E点在x轴上；F点在y轴上.
做完这道题后，你发现能直接从点的坐标判断出点所在象限或坐标轴吗？
通过学生的分组讨论后，可总结如下：
象限与坐标轴的定义都是以图形的形式直观给出的.通过本例题，又总结出了相应的代数规律.渗透了数与形的结合.并培养了学生由特殊到一般的抽象思维能力.
例2、在直角坐标系中,标出下列各对点的位置,并发现其中的规律.
(1)(3,5),(2,5)
(2)(1,2),(1,-3)
(3)(4,4),(6,6)
(4)（3，-3），（2，-2）
每位同学任写几个坐标，然后在坐标系里描出相应的点，前后几位同学相互交流，发现什么规律？
通过观察可以总结出：平行于x轴的直线上的点,其纵坐标相同，横坐标为任意实数；平行于y轴的直线上的点，其横坐标相同，纵坐标为任意实数.另外一、三象限内，两坐标轴夹角平分线上的点，其横坐标与纵坐标相同；二、四象限内，两坐标轴夹角平分线上的点，其横坐标与纵坐标互为相反数。
建议：如果学生在观察时有困难，可以适当增加题量，丰富观察的对象，逐步得出最后的结论.
这些规律也是有其必然的，如两点的纵坐标相同，则这两点在x轴的同侧，且到x轴的距离相等，由平面几何的知识，可推出这两点的连线平行于x轴.其它的性质也有其存在的道理.通过对规律的总结，渗透数形结合思想，并让学生体会数学知识的形成过程.而点的坐标不同，它在平面上的位置也不相同.即平面上的点与有序实数对是一一对应的.从图中可以看出.
例3、 在直角坐标系中，描出下列各点
⑴（2，1）， （－2，1）
⑵（-3，4）， （-3，-4）
⑶（5，－4）， （-5，－4）
你能发现上述各对点的位置有何特点吗？它们的坐标有何异同？你能总结出一般的规律吗？并说明其中的道理吗？
解：(略)
2、总结问题，得出结论
从图中出的点的位置特点，两点坐标间关系？
（1）两点关于y轴对称 横坐标为相反数，纵坐标相同
（2）两点关于x轴对称 横坐标相同，纵坐标为相反数
（3）两点关于原点对称 横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数
.我们可以这样说：对于直角坐标平面上的任意两点，如果它们的横坐标相反，纵坐标相同，则它们关于y轴对称；如果它们横坐标相同，纵坐标相反，则它们关于x轴对称；如果题目的横、纵坐标都相反，则它们关于原点对称，反之亦然.
以上的规律可以解决很多问题，比如，已知点（-10，3）.求这个点关于x轴、y轴，及原点的对称点的坐标.
答：（-10，-3）；（10，3）；（10，-3）.
你想过这其中的道理吗？
如两点关于y轴对称.根据轴对称的定义，这两点的连线垂直于y轴，且到y轴的距离相等.所以这两点的连线就平行于x轴，它们的纵坐标相同，对称点在y轴的两点.到y轴的距离相等.即这两点的横坐标相反.
在坐标平面内，任找一点，将它向右平移2个单位后，你知道它的坐标吗？相互讨论，你们发现了什么？你能得出向右平移的规律吗？向左、上、下呢？
类似地，可以组织学生进行其它两种情况的讨论.这个规律只要求学生能理解，并不要求严格地证明.通过学生的主动探索，复习了对称的概念，体验了数形的结合.亲身经历了数学知识的形成过程.也增强了学生的自信心，激发了他们互动探索的精神
学生动手完成P24的做一做,说明表示平面上的点的方法有很多,你还能举出其他的例子吗?
课堂练习.：P25 T1、T2、T3
小结：
本节我们讨论了三道例题，这三道题都是大家共同讨论，通过观察归纳总结探索出的规律，这也是数学知识产生的一种过程.而且每道题的解决都离不开数形结合的思想.而且也能逐步体会出平面内的点与有序实数对之间的一一对应关系.这一部分知识为今后的学习打下了基础，希望大家能真正地理解并能熟练应用.
作业：习题1·4A组的1、2、3、4
教学后记：
教学目标
知识与技能：
1、从实际生活中感受有序实数对的意义，并会确定平面内物体的位置。
2、认识平面直角坐标系，了解点的坐标的意义，会用坐标表示点，能画出点的坐标位
3、渗透对应关系，提高学生的数感.
过程与方法：通过有序实数对确定位置，让学生感受二维空间观，发展符号感及抽象思维能力，让学生体会“具体－抽象－具体”的数学学习过程，进而顺利地过度到平面直角坐标系的有关知识。
情感、态度与价值观：培养学生的合作交流意识和探索精神，创造性思维意识。体验数学来源于生活及应用于生活的意识，更好的激发学习兴趣。
教学重点与难点
重点：1、有序实数对的概念及平面内确定点的方法。
2、平面直角坐标系和点的坐标.
难点：1、对有序实数对中的有序的理解，利用有序实数对表示平面内的点。
2、正确画坐标和找对应点
教学过程
（一）创设情境、导入新课
[引例1]近期剧院举办周杰伦个人演唱会，小华与朋友买了两张票去观看，座位号分别是10排12座和10排14座。怎样才能既快又准地找到座位呢？
[引例2]规定竖为列，横为排，如果我的朋友在“第5列”，你能知道他（她）是谁吗？
如果说我的朋友在“第5列，第4排”，那么你知道他（她）是谁吗？
归纳“10排12座”、“第5列，第4排”共同点：用两个数表示位置。
约定：影院座位，排数在前，座数在后；教室座位列数在前，排数在后。则上述位置可简记为（10，12），（5，4）。
追问：10排14座怎么表示？教室中（2，3）表示什么？（3，2）呢？它们意义相同吗？
可以发现，有顺序的两个数a与b组成的数对，如果约定了前面的数表示“列数”，后面的数表示“排数”，那么a与b组成的数对就表示一个确定的位置。
引入——有序实数对：有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对，记作（a，b）。
（二）合作交流、探究学习
请思考：我们为什么要学习有序实数对，有序实数对都有哪些用途？
[探究1]请学生结合“教室平面图”例子完成以下问题。（展示课件）
（1）说出李军、王莹的确切位置；
（2）若位置记法为（列数，排数），请问（3，4）和（4，3）表示的是哪个同学的座位？
（3）思考：（3，4）和（4，3）指的是不是同一位置？
[讨论]利用有序实数对，能够准确地表示一个位置，生活中利用有序实数对表示位置的情况很常见，如人们常用经纬度来表示地球上的地点等。（展示课件）
我们用数轴上点来表示任意一个实数，并且，实数与数轴上的点是一一对应的，那么，我们是否也能用图形来表示有序实数对呢？
由班上座位问题，可以启发我们，为了用有序实数对表示平面内的任一点，需用两根互相垂直的数轴。
明确概念
平面直角坐标系Oxy：平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系（orthogonal coordinate system）.水平的数轴称为x轴（abscissa axis）或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴为y轴（ordinate axis）或纵轴，取向上方向为正方向；两个坐标轴的交点O为平面直角坐标系的原点。
点的坐标：我们用一对有序实数对表示平面上的点，这对数叫坐标。表示方法为（a,b）.a是点对应横轴上的数值，称为横坐标，b是点在纵轴上对应的数值，称为纵坐标。
我们可以用有序实数对表示平面内的任一点，反过来，平面直角坐标系Oxy上任一点也可以用一对有序实数对表示。
即：在建立了平面直角坐标系后，平面上的点与有序实数对一一对应。
类比：实数与数轴上的点是一一对应的。
建立平面直角坐标系后，平面被坐标轴分成四个区域，分别叫第一象限，第二象限，第三象限和第四象限。
（三）应用迁移，巩固提高
例1 写出上图中A、B、C、D点的坐标。
问题1：各象限点的坐标有什么特征？ 你能说出例1中各点在第几象限吗？
例2 在平面直角坐标系中描出下列各点。
A（3，4）；B（-1，2）；C（-3，-2）；D（2，-2）
仿照例题1，画坐标轴，描点，要求能正确画平面直角坐标系
练习：教材21页：做一做
[小结]
有序实数对与平面直角坐标系；
点的坐标及其表示
各象限内点的坐标的特征
坐标的简单应用
[作业]
教科书22页1，2题
教学后记：
平面直角坐标系（第二课时）
教学目标：
1、使学生进一步熟悉由坐标确定点和由点求坐标的方法.理解平面内的点与有序实数对之间的一一对应关系.
2、会用象限和坐标轴说明直角坐标系内点的位置，并会根据点的位置，确定点的横坐标、纵坐标的符号.
3、掌握确定已知点关于坐标轴（或原点）的对称点及平移的方法，培养学生观察，归纳总结的能力.
4、培养学生发现问题，主动探索的能力.在与同伴的合作交流中，培养学生的责任心.
5、渗透数形结合的思想，培养学生思维的严谨性和深刻性.
教学重点：
1、掌握象限或坐标轴上的点的坐标的特点.
2、会求已知点关于坐标轴或原点的对称点的坐标.
教学难点：理解平面内的点与有序实数对之间的一一对应关系.
教学用具：直尺、计算机
教学方法：合作学习，讨论，探究
教学过程：
1、提出问题，主动探索
上节课我们学习了平面直角坐标系的概念，并介绍了象限与坐标轴.初步体会到平面内的点与有序实数对是一一对应的.今天我们需要开始新的探索，发现数学知识.
下面看例1
例1、指出下列各点所在象限或坐标轴；
你能发现什么规律吗？
解：描点画图后，可以从图中观察出，A点在第二象限；B点在第三象限；C点在第四象限；D点在第一象限；E点在x轴上；F点在y轴上.
做完这道题后，你发现能直接从点的坐标判断出点所在象限或坐标轴吗？
通过学生的分组讨论后，可总结如下：
象限与坐标轴的定义都是以图形的形式直观给出的.通过本例题，又总结出了相应的代数规律.渗透了数与形的结合.并培养了学生由特殊到一般的抽象思维能力.
例2、在直角坐标系中,标出下列各对点的位置,并发现其中的规律.
(1)(3,5),(2,5)
(2)(1,2),(1,-3)
(3)(4,4),(6,6)
(4)（3，-3），（2，-2）
每位同学任写几个坐标，然后在坐标系里描出相应的点，前后几位同学相互交流，发现什么规律？
通过观察可以总结出：平行于x轴的直线上的点,其纵坐标相同，横坐标为任意实数；平行于y轴的直线上的点，其横坐标相同，纵坐标为任意实数.另外一、三象限内，两坐标轴夹角平分线上的点，其横坐标与纵坐标相同；二、四象限内，两坐标轴夹角平分线上的点，其横坐标与纵坐标互为相反数。
建议：如果学生在观察时有困难，可以适当增加题量，丰富观察的对象，逐步得出最后的结论.
这些规律也是有其必然的，如两点的纵坐标相同，则这两点在x轴的同侧，且到x轴的距离相等，由平面几何的知识，可推出这两点的连线平行于x轴.其它的性质也有其存在的道理.通过对规律的总结，渗透数形结合思想，并让学生体会数学知识的形成过程.而点的坐标不同，它在平面上的位置也不相同.即平面上的点与有序实数对是一一对应的.从图中可以看出.
例3、 在直角坐标系中，描出下列各点
⑴（2，1）， （－2，1）
⑵（-3，4）， （-3，-4）
⑶（5，－4）， （-5，－4）
你能发现上述各对点的位置有何特点吗？它们的坐标有何异同？你能总结出一般的规律吗？并说明其中的道理吗？
解：(略)
2、总结问题，得出结论
从图中出的点的位置特点，两点坐标间关系？
（1）两点关于y轴对称 横坐标为相反数，纵坐标相同
（2）两点关于x轴对称 横坐标相同，纵坐标为相反数
（3）两点关于原点对称 横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数
.我们可以这样说：对于直角坐标平面上的任意两点，如果它们的横坐标相反，纵坐标相同，则它们关于y轴对称；如果它们横坐标相同，纵坐标相反，则它们关于x轴对称；如果题目的横、纵坐标都相反，则它们关于原点对称，反之亦然.
以上的规律可以解决很多问题，比如，已知点（-10，3）.求这个点关于x轴、y轴，及原点的对称点的坐标.
答：（-10，-3）；（10，3）；（10，-3）.
你想过这其中的道理吗？
如两点关于y轴对称.根据轴对称的定义，这两点的连线垂直于y轴，且到y轴的距离相等.所以这两点的连线就平行于x轴，它们的纵坐标相同，对称点在y轴的两点.到y轴的距离相等.即这两点的横坐标相反.
在坐标平面内，任找一点，将它向右平移2个单位后，你知道它的坐标吗？相互讨论，你们发现了什么？你能得出向右平移的规律吗？向左、上、下呢？
类似地，可以组织学生进行其它两种情况的讨论.这个规律只要求学生能理解，并不要求严格地证明.通过学生的主动探索，复习了对称的概念，体验了数形的结合.亲身经历了数学知识的形成过程.也增强了学生的自信心，激发了他们互动探索的精神
学生动手完成P24的做一做,说明表示平面上的点的方法有很多,你还能举出其他的例子吗?
课堂练习.：P25 T1、T2、T3
小结：
本节我们讨论了三道例题，这三道题都是大家共同讨论，通过观察归纳总结探索出的规律，这也是数学知识产生的一种过程.而且每道题的解决都离不开数形结合的思想.而且也能逐步体会出平面内的点与有序实数对之间的一一对应关系.这一部分知识为今后的学习打下了基础，希望大家能真正地理解并能熟练应用.
作业：习题1·4A组的1、2、3、4
教学后记：
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