2021-2022学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册7.1.1数系的扩充和复数的概念课件（18张ppt）

(共18张PPT)
7.1.1 数系的扩充和复数的概念第七章复数
引 入
引 入
数的扩充都是为了解决生产生活中的问题.
问题1 我们把一个数集连同规定的运算以及满足的运算律叫做一个数系.回顾从自然数系逐步到实数系的扩充过程，每一次数系扩充的主要原因是什么？
追问：分别解决了什么实际问题和数学问题？
自然数集
整数集
有理数集
实数集
刻画相反意义的量
引入了
负数
解决测量等分问题
引入了
分数
解决度量正方体对角线等问题
引入了
无理数
计数的需要
引入了
自然数
？
从社会实践来看
引入
新数
笛卡尔Descartes
法国
卡尔丹Cardano
意大利
复数概念的产生
1545年，卡尔丹 引入负数的平方根；
1637年，笛卡儿 给出“虚数”的名称；
1777年，欧 拉 首次使用符号i表示－1的平方根；
1831年，高 斯 主张用a＋bi表示复数；
...
高斯Gauss
德国
欧拉Euler
瑞士
复数概念的产生
引 入
问题2 你能借助下面的方程，从解方程的角度加以说明吗？
（1）在自然数集中求方程 x+1=0 的解；
（2）在整数集中求方程 2x-1=0 的解；
（3）在有理数集中求方程 x2-2=0 的解.
从数学发展的角度来看
（2）在整数集中求方程2x-1=0的解；
无解
有解
无解
有解
有解
无解
（3）在有理数集中求x2-2=0方程的解；
（4）在实数集中求x2+1=0方程的解．
无解
有解
？
（1）在自然集中求方程x+1=0的解；
自然数集
N
整数集
Z
有理数集
Q
实数集
R
数系的每一次扩充解决了原有数集中某种运算不能解决的问题．
引 入
问题3 数系扩充后，在运算上遵循了什么规则？
如果没有运算，数只是孤立的符号！
数系扩充规则：数集扩充后，新数集中规定的加法和乘法运算，与原数集中规定的加法和乘法运算协调一致，并且加法和乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律．
问题4 我们知道，方程x +1=0在实数集中无解.联系从自然数集到实数集的扩充过程，你能给出一种方法，适当扩充实数集，使这个方程有解吗
探究新知
为了解决 这样的方程在实数系中无解的问题,我们设想引入一个新数i, 使得x=i是方程 的解, 即使得 i2 = -1.
经过扩充后，我们任希望加法和乘法满足交换律、结合律，以及乘法对加法的分配律，
依此设想，我们
①把实数b与i相乘，结果记作bi
②把实数a与bi相加，结果记作a+bi
所有实数以及i都可写成a+bi (a,b∈R)的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中，我们把形如a+bi (a,b∈R)的数叫做复数.
i是数学家欧拉最早引入的，它取自imaginary
(想象的，假设的)一词的词头，i2=i·i.
探究新知
1. 复数的概念
形如a+bi (a,b∈R)的数叫做复数.
i 叫做虚数单位.
全体复数所构成的集合C={a+bi |a,b∈R}叫做复数集.
复数通常用字母z表示，即
z=a+bi (a,b∈R)
2. 复数的代数形式
a叫做复数的实部
b叫做复数的虚部
注意：复数z的实部和虚部都是 数.
-3
实
1．复数i－2的虚部是(　　)
A．i　 B． －2 C．1 D．2
C
课堂练习
这些都叫复数，
课本P70第1题
有些是实数，
有些还能叫虚数，有些还能叫纯虚数
z=a+bi (a,b∈R)
当且仅当 b=0 时，它叫做
当且仅当 b≠0 时，它叫做
当且仅当a=b=0时，它是实数0;
z=a
z=0
z=a+bi (b≠0)
z=bi (b≠0)
虚数
实数
当且仅当 时，它叫做
a=0
b≠0
纯虚数
探究新知
3. 复数的分类
复数
实数：
虚数：
纯虚数：
非纯虚数：
问题5 复数集C与实数集R之间有什么关系？
复
数
集
C
虚数集
实数集
R
纯虚数集
探究新知
虚数
纯虚数
实数
课本P70第2题
探究新知
例1
解：当m-1=0时，即m=1时，复数z 是实数；
当m-1≠0时，即m≠1时，复数z 是虚数；
当m+1=0,且m-1≠0时，即m=-1时，复数z 是纯虚数.
4.
课本P73
习题7.1 第2题
探究新知
4. 复数相等复数
如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．
即如果 ，那么
练习 5.已知x2－y2＋2xyi＝2i，则实数x，y的值分别为 ．
例2 求适合下列方程的实数x与y的值:
（1） （2）
（3） （4）
x=y=－1或x=y=1
例题讲解
例3
解：
练习6.若复数z=(m+1)+(m2-9)i<0，求实数m的值.
问题5 由3>2能否推出3十i>2+i？两个实数能比较大小，那么两个复数能比较大小吗？
由3>2不能推出3十i>2+i，
当两个复数都是实数时，可以比较大小，
当两个复数不全是实数时，不能比较大小.
m=－3
课堂练习
7.已知关于x的方程x2+(1-2i)x+(3m-i)=0有实数根n，求实数m的值.
8.下列命题：①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数②若a，b∈R，且a>b，则a＋i>b＋i③若(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±2④实数集是复数集的真子集其中正确的是(　D　) A.① B.② C.③ D.④
9.实数m为何值时，z＝lg(m2＋2m＋1)＋(m2＋3m＋2)i是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
课堂小结
1.虚数单位i的引入；
2.复数有关概念：
复数的代数形式:
复数的实部 、虚部
复数相等
虚数、纯虚数
布置作业
（1）教材
（2）同步作业
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