编号：088 精编【2012-2015】 彭龙升
向量的数量积运算
Ⅰ.向量与向量的运算回顾：
1.每种运算都是一种“游戏”，“游戏”必然有它的“规则”规则是人定的，为什么这样定？肯定有它的实际意义
2.不同的运算符号标志代表不同的向量运算
“+”代表一种 ▲ 运算.
“-” 代表一种 ▲ 运算.
“.” 代表一种 ▲ 运算.
3.运算意义生活体验：
1．实数与向量的积的定义：
一般地，实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下：
1）；
2）当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；
当 时，．
2．实数与向量的积的运算律：
1）（结合律）；
2）（第一分配律）； 3）（第二分配律）．
Ⅱ.新知讲授:
1．向量的夹角：
已知两个向量和（如图2），作，，则
（）叫做向量与的夹角。
当时，与同向；
当时，与反向；
当时，与的夹角是，我们说与垂直，记作．
2．向量数量积的定义：
已知两个非零向量和，它们的夹角为，则数量叫做与的数量积（或内积），记作，即．
说明：①两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关；
②实数与向量的积与向量数量积的本质区别：两个向量的数量积是一个数量；实数与向量的积是一个向量；
③规定，零向量与任一向量的数量积是．
④特别的
3．向量数量积的意义：
物理中，物体所做的功的计算方法：
（其中是与的夹角）．
Ⅲ.体验运用:
1.判断下列向量夹角:
2 .已知正的边长为，设，，，求．
解：如图，与、与、与夹角为，
∴原式
．
3.已知，，，且，求．
解：作，，∵， ∴，
∵且，
∴中，， ∴，∴，，
所以，．
Ⅳ.平面向量的运算律
交换律： a ( b = b ( a
结合律:(a)(b =(a(b) = a((b)
分配律: (a + b)(c = a(c + b(c
证：若> 0，(a)(b =|a||b|cos(，
(a(b) =|a||b|cos(，
a((b) =|a||b|cos(，
若< 0，(a)(b =|a||b|cos(((() = (|a||b|((cos() =|a||b|cos(，
(a(b) =|a||b|cos(，
a((b) =|a||b|cos(((() = (|a||b|((cos() =|a||b|cos(。
证：在平面内取一点O，作= a, = b，= c，
∵a + b （即）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，
即：|a + b| cos( = |a| cos(1 + |b| cos(2
∴| c | |a + b| cos( =|c| |a| cos(1 + |c| |b| cos(2
∴c((a + b) = c(a + c(b
即：(a + b)(c = a(c + b(c
Ⅴ。拓展探究：
Ⅳ.经典题型归类、方法梳理：
1.已知中.且求的值 ▲ .
2. 已知则 ▲ . ▲ .
3. 设是两个单位向量，它们的夹角为，则等于 ▲ .
4.化简= ▲ .
编号：088 精编【2012-2015】 彭龙升
向量的数量积坐标运算
Ⅰ.定义回顾：
．
Ⅱ.向量数量积的意义：
物理中，物体所做的功：（其中是与的夹角）．
Ⅲ.拓展结论：
Ⅳ.运用回顾:
1.已知向量与向量的夹角为, ||=2 , ||=3 ,·=，求。
变1：若=120°，求（4+）（3－2）和|+|的值。
变2：若（4+）（3－2）=－5，求。
变3：若|+|，求。
2.在中，三边长均为1，且=，=，=，求·+·+·的值。
3.判断下列各题正确与否，并说明理由。
（1）若，则对任意向量，有·； ______________________________
（2）若，则对任意向量，有·0； ______________________________
（3）若，·0，则； ______________________________
（4）若·0，则，中至少有一个为零； ______________________________
（5）若，··，则； ______________________________
（6）对任意向量，有； ______________________________
（7）对任意向量，，，有（·）··（·）；___________________
（8）非零向量，，若|+|=|－|，则；___________________________
（9）|·|≤||||。 ______________________________
Ⅴ.新知讲授:
1、设轴上的单位向量，轴上的单位向量，则
·= ，·= ，·= ，·= ，
2.若=，=，则= + . = + 。
3、推导坐标公式：·= 。
导学过程:
4、推导 1） =，则||=____ __；，则||= 。
2） = ；
3）⊥ ；
4） // 。
Ⅵ.经典体验;
已知=，=，求(3－)·(－2)，与的夹角。
例2、已知||=1，||=，+=，试求：
（1）|－|
（2）+与－的夹角
?巩固练习
1、若=，=，当为何值时：
（1） （2） （3）与的夹角为锐角
2、若=，=且与的夹角为钝角，则的取值范围是 。
3、已知=，则与垂直的单位向量的坐标为 。
4、已知的三个顶点的坐标分别为，，，判断三角形的形状。
5、已知向量=，||=2，求满足下列条件的的坐标。
（1）⊥ （2）
6、已知向量，，，其中分别为直角坐标系内轴与轴正方向上的单位向量。
（1）若能构成三角形，求实数应满足的条件；
（2）是直角三角形，求实数的值。
?课后作业:
编号：089 精编【2012-2015】 彭龙升
向量的数量积的运用
Ⅰ.定义回顾：
．
Ⅱ.拓展结论：
Ⅲ.运用回顾:
1）⊥ ；
2） // 。
Ⅳ.能力回顾：
1.，与的夹角为，则=
= ， ， 。
2.，，则 。
3.，若，，求向量。
4.设与是两个非零向量，如果，且，求与的夹角。
Ⅴ.新知讲授:
【探究1：】平行与垂直问题
1.若与的夹角是且则等于 ▲ .
2.已知向量若则与的夹角为 ▲ .
3.【09徐州】．已知，其中，若，则的值等于 ▲ ．
【探究2：】形状判断问题
1、已知直角坐标平面内，，
求证：△为等腰直角三角形。
2、已知向量，，满足条件++=，且||=||=||=1，求证：为正三角形。
3.设△中， 且。试判断△的形状。
【研讨：】（2010年全国联赛）的三边长，G为的重心，若满足，则的形状是 ▲ ．
简析：G为重心，则有代入，得
，故。
Ⅵ.经典体验：
1.若向量=，=，且，的夹角为钝角，则的取值范围是 ▲ .
.
错误分析：只由的夹角为钝角得到而忽视了不是夹角为钝角的充要条件,因为的夹角为时也有从而扩大的范围,导致错误.
正确解法: ，的夹角为钝角,
解得或 (1)
又由共线且反向可得 (2)
?巩固练习
1、若=，=且与的夹角为钝角，则的取值范围是 。
3、已知=，则与垂直的单位向量的坐标为 。
4、已知的三个顶点的坐标分别为，，，判断三角形的形状。
5、已知向量=，||=2，求满足下列条件的的坐标。
（1）⊥ （2）
?课后作业:
1、已知向量，，，其中分别为直角坐标系内轴与轴正方向上的单位向量。
（1）若能构成三角形，求实数应满足的条件；
（2）是直角三角形，求实数的值。
浙江省临海市白云高级中学高一数学 第一章《三角函数》学案（13分，人教A版必修4
编号：091 精编【2012-2015】 彭龙升
向量的数量积的求法
Ⅰ.定义回顾：
1.“”代表一种 ▲ 运算. ．
2．空间向量数量积运算律：
1）（数乘结合律）．
2）（交换律）．
3）（分配律）．
注意：数量积是一个实数，不是一个向量。向量的“乘法”不满足结合律，即
Ⅱ.数量积的求法:
直接用（几何）定义法；
② 坐标（代数）法；
③ 等价转移法（数量积转移）
Ⅲ.数量积运算策略梳理:
化简策略1.同点积
化简策略2.同平方
Ⅴ.新知讲授:
【探究1：】（几何）定义法
1.已知向量和向量的夹角为，，则向量和向量的数量积 ★ .
【解析】。
2.的夹角为，，则 ▲ 。
【解析】 ，=49。
例1：如图在四边形ABCD中,
则的值 ▲ .
【探究2：】（代数）坐标法
例：9．（2012年江苏省5分）如图，在矩形中，点为的中点，点在边上，若，则的值是 ▲ ．
【答案】。
【探究3：】(符号) 转移法
例3.设是两个单位向量，它们的夹角为，则等于 ▲ .
2.如图，在平面四边形中，若，则=_____
综合训练：
1、如图，已知A、B是函数的图象与x轴两相邻交点，C是图象上A，B之间的最低点，则 ▲
2.函数（其中，）的图象如图所示，若点A是函数的图象与x轴的交点，点B、D分别是函数的图象的最高点和最低点，点C是点B在x轴上的射影，则= ；
3.【2012高考湖南文15】如图4，在平行四边形ABCD中 ，AP⊥BD，垂足为P，且= .
【解析】设，则，=
.
4.【2012高考真题浙江理15】在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则=________.
.
5.【09—10期末】19．如图△ABC为正三角形，边长为2，以点A为圆心，1为半径作圆．
（1）若，求；
（2）PQ为圆A的任意一条直径，求的最大值．
解：（1）
；
（2）
（其中为的夹角）
所以 =0时，取最大值3．
1.如图，矩形内放置5个边长均为1的小正方形，其中在矩形的边上，且为的中点，则 ▲ 。7
2、如图，菱形ABCD的边长为1，，E、F分别
为AD、CD的中点，则＝ ▲
14：,,
14．定理：三角形的外心O、重心G、垂心H依次在同一条直线
（欧拉线）上，且，其中外心O是三条边的中垂线
的交点，重心G是三条边的中线的交点，垂心H是三条高的交
点．如图，在△ABC中，，，M是边BC的
中点，AH⊥BC（N是垂足），O是外心，G是重心，H是垂心，
，则根据定理可求得的最大值是 ．
【06年浙江预赛】手表的表面在一平面上。整点1，2，…，12这12个数字等间隔地分布在半径为的圆周上。从整点i到整点（i＋1）的向量记作，则＝ ▲ .
解：连接相邻刻度的线段构成半径为的圆内接正12边形.相邻两个边向量的夹角即为正12边形外角，为30度。各边向量的长为 . 则. 共有12个相等项. 所以求得数量积之和为 .
15.【2012高考真题山东理16】如图，在平面直角坐标系中，一单位圆的圆心的初始位置在，此时圆上一点的位置在，圆在轴上沿正向滚动。当圆滚动到圆心位于时，的坐标为______________.
【答案】
【解析】因为圆心移动的距离为2，所以劣弧，即圆心角, ,则,所以，，所以，，所以。
【2011.11.金陵中学】已知,,且在处最小，求的取值范围 ▲ .
已知中， ，、，若，且，则的形状是 ★ ．等腰直角三角形
