【精品解析】人教版2019 必修一 5.6 函数y=Asin(wx+φ)同步练习

人教版2019 必修一 5.6 函数y=Asin(wx+φ)同步练习
一、单选题
1．（2021·全国乙卷）函数f（x）=sin
+cos
的最小正周期和最大值分别是（　　）
A．3
和
B．3
和2
C． 和
D． 和2
2．（2021·全国乙卷）把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移 个单位长度，得到函数y=sin(x- )的图像，则f(x)=（　　）
A．sin( ) B．sin( )
C．sin( ) D．sin( )
3．（2021·洛阳模拟）已知函数 的图像由函数 的图像经如下变换得到：先将 的图像向右平移 个单位，再将图像上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，则函数 的对称轴方程为（　　）
A． ， B． ，k∈Z
C． ， D． ，
4．（2021·海南模拟）已知函数 图象的一条对称轴为 ，则 的最小值为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
5．（2021·合肥模拟）已知曲线 ，曲线 ，则下面结论正确的是（　　）
A．把C上各点横坐标伸长到原来2倍（纵坐标不变）后，再向右平移 个单位长度得到曲线E
B．把C上各点横坐标伸长到原来2倍（纵坐标不变）后，再向左平移 个单位长度得到曲线E
C．把C上各点横坐标缩短到原来 倍（纵坐标不变）后，再向右平移 个单位长度得到曲线E
D．把C上各点横坐标缩短到原来 倍（纵坐标不变）后，再向左平移 个单位长度得到曲线E
6．（2021·沧县模拟）把函数 的图象向左平移 个单位长度，再将所得图象向上平移1个单位长度，可得到函数 的图象，则（　　）
A．
B． 的最小正周期为
C． 的图象关于直线 对称
D． 在 上单调递减
7．（2020高一上·百色期末）如图为 图象的一段，则 （　　）
A． B． C． D．
8．（2021·陕西模拟）已知函数 （ ， ， ），若 的图象经过点 ，相邻对称轴的距离为 ，则 的解析式可能为（　　）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．（2021·湖南模拟）为了得到函数 的图象，只需将函数 的图象（　　）
A．向左平移 个单位长度 B．向左平移 个单位长度
C．向右平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
10．（2021·顺德模拟）已知函数 ，且 ，则下列说法正确的是（　　）
A． 的最小正周期为
B．
C．将 图像向左平移 个单位得到一个偶函数
D． 在 上单调
11．（2021·珠海模拟）已知函数 ，则（　　）
A． 是函数 的一个周期
B． 是函数 的一条对称轴
C．函数 的一个增区间是
D．把函数 的图像向左平移 个单位，得到函数 的图像
12．（2021·漳州模拟）已知函数 在区间 和 上单调递增，下列说法中正确的是（　　）
A． 的最大值为3
B．方程 在 上至多有5个根
C．存在 和 使 为偶函数
D．存在 和 使 为奇函数
三、填空题
13．（2020高一上·济宁期末）函数 在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式为　 　.
14．（2020高三上·天津月考）将函数 的图象上各点的横坐标伸长到原来的 倍（纵坐标不变），再将所得到的图象向右平移 个单位长度，得到函数 的图象．若 为奇函数，则 的最小值为　 　．
15．（2020·南京模拟）将函数 图象向左平移 个单位，所得图象对应的函数恰为偶函数，则 的最小值为　 　.
16．（根的存在性及根的个数判断+++++++++++++++++++5 ）将函数f（x）=2sin2x的图象向左平移 单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象，对任意a∈R，y=g（x）在区间[a，a+10π]上零点个数的所有可能值　 　．
四、解答题
17．（2020高一上·合肥期末）函数 的部分图象如图所示：
（1）求图中a，b的值及函数 的递增区间；
（2）若 ，且 ，求 的值．
18．（2020高一上·公主岭期末）已知函数
（Ⅰ）用“五点法”画出它在一个周期内的闭区间上的图象（完成横、纵坐标列表）；
（Ⅱ）写出函数 图象的对称中心坐标及对称轴的方程.
19．（2020高二下·三明期末）已知函数 .
（1）求 的最小正周期；
（2）将 图象上每个点的横坐标变为原来的 倍，再将所得图象向右平移 个长度单位得到 的图象，若 时， 恰有一个零点和两个极值点，求实数 的取值范围.
20．（2020高一上·池州期末）已知函数 的图象相邻两个零点差的绝对值为 ．
（1）若 ，分别求 ；
（2）将 的图象上的所有点的横坐标变为原来的4倍，再将图象向右平移 得到函数 的图象，求函数 的单调递增区间．
21．（2020高一上·聊城期末）已知函数 为偶函数，且 图象的相邻两个最高点的距离为 ．
（1）当 时，求 的单调递增区间；
（2）将函数 的图象向右平移个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来 （纵坐标不变），得到函数 的图象．求函数 在区间 上的最大值和最小值．
22．（2020高一上·启东期末）已知函数 满足条件： ，且 ．
（1）求 的解析式；
（2）由函数 的图象经过适当的变换可以得到 的图象．现提供以下两种变换方案：① → → ② → → 请你选择其中一种方案作答，并将变换过程叙述完整．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的性质；y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义
【解析】【解答】因为 f（x）=sin +cos ＝ ，所以周期 值域
即最大值是
故答案为：C。
【分析】先将 f（x） 解析式化成 的形式，再由正弦函数的周期公式计算周期，再由正弦函数的性质，得到它的最大与最小值。
2．【答案】B
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】根据图象平移的规律可知，将y= y=sin(x- )的图像 上所有的点向左平移平移个单位，纵坐标不变，得到再把所得到的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，即函数的周期变原来的2倍，就得到函数y=，故答案为：B。
【分析】根据三角函数图象的相位，周期变化规律来解题。
3．【答案】A
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】函数 的图像向右平移 个单位，得到 的图像，
再将图像上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，得到 的图像，
即 ，则其对称轴满足： ，
即 ，
故答案为：A
【分析】根据题意由函数平移的性质整理得出，结合余弦函数的图象即可得出答案。
4．【答案】B
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】解：由题意知 ，得 ，∴ ．
故答案为：B．
【分析】根据题意利用正弦函数的图象由整体思想即可求出，对k赋值计算出结果即可。
5．【答案】A
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】对于A：由已知得 ，从而有 ，A符合题意；
对于B：由已知得 ，从而有 ，B不正确；
对于C：由已知得 ，从而有
，C不正确；
对于D：由已知得 ，从而有
，D不正确；
故答案为：A
【分析】 利用三角函数的伸缩变换以及平移变换，分析每一个选项是否正确即可.
6．【答案】D
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】将函数 图象向左平移 个单位长度得到 的图象，再向上平移1个单位长度可得到 的图象，A不符合题意.
，B不符合题意；
令 ，得 ，
当 时， ；当 时， ，C不符合题意.
令 ，
，
所以 在 上单调递减，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据题意由函数平移的性质整理即可得到函数的解析式，由此判断出选项A错误；结合正弦函数的周期公式就可求出周期值，由此判断出选项B错误；由正弦函数的图象即可判断出选项C错误，选项D正确，由此得出答案即可。
7．【答案】A
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，因此 。
故答案为：A.
【分析】利用正弦型函数的部分图象求出正弦型函数的解析式，即由最高点的纵坐标求出A的值，再利用正弦型函数的最小正周期公式求出的值，再利用五点对应法求出的值，进而求出正弦型函数的解析式。
8．【答案】A
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】因为相邻对称轴的距离为周期的一半，所以函数 的最小正周期 ，又 ，所以 ，故选项B，D错误；把点 代入选项A， ，选项A成立，而把点 代入选项C， ，选项C不成立.
故答案为：A.
【分析】 根据对称轴的距离得出周期，从而可求出的值，由图象过点 ，结合φ的取值范围
可求得φ的值，利用诱导公式结合选项即可得结论.
9．【答案】B,D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】因为 ，
所以将函数 的图象向左平移 个单位长度，纵坐标不变，得到 的图象，则A不符合题意，B符合题意；
因为 ，
所以将函数 的图象向右平移 个单位长度，纵坐标不变，得到 的图象，则C不符合题意，D符合题意.
故答案为：BD.
【分析】 根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．
10．【答案】A,B,D
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】由题意 ，其中 ， 为锐角，
最小正周期是 ，A符合题意；
， ，而 为锐角，所以 ， ，
，B符合题意；
将 图像向左平移 个单位得到的图象的解析式为 ，为奇函数，C不符合题意；
时， ， 是递增的，D符合题意．
故答案为：ABD．
【分析】 根据题意先得到，由函数的周期性可判断A，求出可判断B，由图象平移的性质和奇偶函数的定义可判断C，由函数的单调性可判断D.从而答案。
11．【答案】A,C,D
【知识点】正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】依题意： ，
对于A选项： 的周期 ，即A符合题意；
对于B选项：因 ，则 不是函数 的对称轴，即B不正确；
对于C选项： 得 ，
即 单调递增区间是 ，k=0时， 是 的一个增区间，即C符合题意；
对于D选项：函数 的图像向左平移 个单位得 ，即D符合题意.
故答案为：ACD
【分析】利用三角函数公式把 化为 =2sin（2x+)，对于A由周期公式判的A正确，B根据对称轴性质判的B错误，C根据单调区间可判断C正确，D根据正弦型函数图象变换可判断D正确。
12．【答案】A,B,D
【知识点】函数单调性的性质；正弦函数的图象；正弦函数的性质
【解析】【解答】由函数 在 和 上单调递增，
可知当周期 最小时，令 ，则 ， ，经检验 符合题意；当周期 最大时，令 ，则 ， ，因为 ，则 ，经检验 符合题意，则 的可能取值为1，2，3，A符合题意；
若方程 在 上的根最多，则函数 的周期最小，即 ，画出两个函数的图象，由图中可知至多有五个交点，B符合题意；
因为 在 上为增函数，故不可能存在 和 使 为偶函数，C不符合题意；
当 且 时， 为奇函数，满足题意，D符合题意，
故答案为：ABD.
【分析】利用单调区间即可求出单调区间进而得出周期的最值由此即可求出的值，从而判断出选项A正确；由此当周期取最小值时即最大作出函数的图象，数形结合找出交点的个数由此即可判断出选项C错误；由正弦函数的单调性结合整体思想即可判断出选项D正确，由此即可得出答案。
13．【答案】
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】由题意 ，又 ，∴ ，
由 得 ，又 ，∴ ．
故答案为： ．
【分析】 根据三角函数的图象求出A，ω和φ的值，即可得到结论．
14．【答案】
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】将函数 的图象上各点的横坐标伸长到原来的 倍（纵坐标不变），
得到函数 的图象，
再将所得函数图象向右平移 个单位长度，得到 的图象，
由于函数 为奇函数，则 ， ，
当 时，正数 取得最小值 .
故答案为： .
【分析】利用图象变换求得函数 的解析式，由函数 为奇函数，可得出关于 的代数式，进而可求得正数 的最小值.
15．【答案】
【知识点】二倍角的正弦公式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】 ，
向左平移 个单位得： ，
为偶函数， ，解得： ，
又 ， 的最小值为 .
故答案为： .
【分析】利用诱导公式和二倍角公式可化简函数为 ，根据三角函数左右平移原则可得到平移后的解析式，进而根据奇偶性构造方程求得 .
16．【答案】20或者21
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；根的存在性及根的个数判断
【解析】【解答】解：f（x）=2sin2x，
将y=f（x）的图象向左平移 个单位，再向上平移1个单位后得到y=2sin2（x+ ）+1的图象，所以g（x）=2sin2（x+ ）+1．
令g（x）=0，得x=kπ+ π或x=kπ+ π（k∈z），
因为[a，a+10π]恰含10个周期，所以，当a是零点时，在[a，a+10π]上零点个数21，
当a不是零点时，a+kπ（k∈z）也都不是零点，区间[a+kπ，a+（k+1）π]上恰有两个零点，故在[a，a+10π]上有20个零点．
综上，y=g（x）在[a，a+10π]上零点个数的所有可能值为21或20．
故答案为：20或者21．
【分析】根据图象平移变换求出g（x），令g（x）=0可得g（x）可能的零点，而[a，a+10π]恰含10个周期，分a是零点，a不是零点两种情况讨论，结合图象可得g（x）在[a，a+10π]上零点个数的所有可能值；
17．【答案】（1）解：由图可得 ， ，则 ， ，
，
，则 ，
则 ， ， ，
，
， ，
令 ，解得 ，
的递增区间为
（2）解： ，即 ，
， ，
或 ，则 或
【知识点】正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【分析】(1)根据题意由已知条件就可求出函数的周期，结合函数的周期公式即可计算出的值，再由点的坐标代入到函数的解析式即可求出由此求出函数的解析式；然后由特殊值法代入计算出a与b的值，结合正弦函数的单调性由整体思想即可求出函数的单调递增区间。
(2)首先已知条件把数值代入计算出，再由角的取值范围利用整体思想即可得出的取值范围，由此即可求出 或 ，进而得到答案。
18．【答案】解：（Ⅰ）
0
x
y 1 3 1 1
图象如下：
（II）观察图象可得出，
对称中心的坐标为： ， ，
对称轴方程为： ，
【知识点】正弦函数的图象；五点法画三角函数的图象；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【分析】 （Ⅰ） 由五点法列表描点即可作出函数的图象。
（II）由图象即可得出答案。
19．【答案】（1）解：因为
.
所以
（2）解：将 的横坐标变为原来的 倍后得到 ，
再将 向右平移 个长度单位得到 ，
当 时， ，因为 恰有唯一零点和两个极值点，
所以 ，
所以 ，即 的取值范围为
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；余弦函数的图象；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【分析】(1) 直接利用三角函数的关系式的恒等变换和余弦型函数性质的应用求出函数的最小正周期.
(2)利用函数的平移变换和伸缩变换的应用求出函数的关系式，进一步利用函数的零点和极值点的应用，建立不等式，进一步求出参数的范围.
20．【答案】（1）解： ，所以 ，
因为 的相邻两个零点差的绝对值为 ，则 ，即 ，
所以 ，所以
（2）解：由（1）得， ，所以 ，
令 ，即 时，
函数 单调递增，
所以函数 的单调递增区间为
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【分析】（1）利用两角和的正弦公式化简函数的解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出；
（2）由题意利用函数 的图像变换规律，求得 的解析式，再利用正弦函数的单调性，得出结论。
21．【答案】（1）解：由题意函数
，
因为函数 图象的相邻两个最高点的距离为 ，
所以 ，可得 ．
又由函数 为偶函数可得 ，
所以 ， ，则 ， ．
因为 ，所以 ，所以函数 ，
令 ， ，解得 ， ，
当 时， ；当 时， ，又 ，
可得函数 的单调递增区间为 和
（2）解：将函数 的图象向右平移 个单位长度可得 的图象，再把各点的横坐标缩小为原来的 ，得到函数 的图象，
当 时， ．
当 ，即 时，
函数 取得最小值，最小值为 ；
当 ，即 时，
函数 取得最大值，最大值为2．
所以函数 在区间 上的最大值是 ，最小值是-1
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【分析】（1）利用二倍角的余弦公式结合辅助角公式化简函数为正弦型函数，再利用函数 图象的相邻两个最高点的距离为 结合正弦型函数的最小正周期公式，进而求出的值，再结合偶函数的定义结合的取值范围，进而求出的值，从而求出函数的解析式，再结合换元法将正弦型函数转化为正弦函数，再利用正弦函数的图象求出正弦型函数的单调递增区间。
（2）利用正弦型函数f(x)的图像变换求出函数g(x)的图象，再利用函数g(x)的图象结合x的取值范围，进而求出函数 在区间 上的最大值和最小值 。
22．【答案】（1）解：由 ，知函数 的周期为π ，
所以 ，即 .
由 ，知函数 的图象关于 对称
所以 ，即 ，
所以 .
因为 ，所以 ，
所以
（2）解：方案①：
将 的图象向右平移 个单位后，得到 的图象；再将图象上所有点的横坐标变为原来的 ，纵坐标不变，得到 的图象
方案②：
将 图象上所有点的横坐标变为原来的 ，纵坐标不变，得到 的图象；再将所得图象向右平移 个单位，得到得到 的图象
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【分析】（1）利用 结合周期函数的定义，进而求出函数的周期，再利用正弦型函数的最小正周期公式，进而求出的值，再利用 ，知函数 的图象关于 对称，从而求出的值，进而求出正弦型函数的解析式。
（3） 利用两种变换方案结合三角型函数的图象变换方法，进而得出变换过程。
1 / 1人教版2019 必修一 5.6 函数y=Asin(wx+φ)同步练习
一、单选题
1．（2021·全国乙卷）函数f（x）=sin
+cos
的最小正周期和最大值分别是（　　）
A．3
和
B．3
和2
C． 和
D． 和2
【答案】C
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的性质；y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义
【解析】【解答】因为 f（x）=sin +cos ＝ ，所以周期 值域
即最大值是
故答案为：C。
【分析】先将 f（x） 解析式化成 的形式，再由正弦函数的周期公式计算周期，再由正弦函数的性质，得到它的最大与最小值。
2．（2021·全国乙卷）把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移 个单位长度，得到函数y=sin(x- )的图像，则f(x)=（　　）
A．sin( ) B．sin( )
C．sin( ) D．sin( )
【答案】B
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】根据图象平移的规律可知，将y= y=sin(x- )的图像 上所有的点向左平移平移个单位，纵坐标不变，得到再把所得到的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，即函数的周期变原来的2倍，就得到函数y=，故答案为：B。
【分析】根据三角函数图象的相位，周期变化规律来解题。
3．（2021·洛阳模拟）已知函数 的图像由函数 的图像经如下变换得到：先将 的图像向右平移 个单位，再将图像上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，则函数 的对称轴方程为（　　）
A． ， B． ，k∈Z
C． ， D． ，
【答案】A
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】函数 的图像向右平移 个单位，得到 的图像，
再将图像上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，得到 的图像，
即 ，则其对称轴满足： ，
即 ，
故答案为：A
【分析】根据题意由函数平移的性质整理得出，结合余弦函数的图象即可得出答案。
4．（2021·海南模拟）已知函数 图象的一条对称轴为 ，则 的最小值为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】解：由题意知 ，得 ，∴ ．
故答案为：B．
【分析】根据题意利用正弦函数的图象由整体思想即可求出，对k赋值计算出结果即可。
5．（2021·合肥模拟）已知曲线 ，曲线 ，则下面结论正确的是（　　）
A．把C上各点横坐标伸长到原来2倍（纵坐标不变）后，再向右平移 个单位长度得到曲线E
B．把C上各点横坐标伸长到原来2倍（纵坐标不变）后，再向左平移 个单位长度得到曲线E
C．把C上各点横坐标缩短到原来 倍（纵坐标不变）后，再向右平移 个单位长度得到曲线E
D．把C上各点横坐标缩短到原来 倍（纵坐标不变）后，再向左平移 个单位长度得到曲线E
【答案】A
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】对于A：由已知得 ，从而有 ，A符合题意；
对于B：由已知得 ，从而有 ，B不正确；
对于C：由已知得 ，从而有
，C不正确；
对于D：由已知得 ，从而有
，D不正确；
故答案为：A
【分析】 利用三角函数的伸缩变换以及平移变换，分析每一个选项是否正确即可.
6．（2021·沧县模拟）把函数 的图象向左平移 个单位长度，再将所得图象向上平移1个单位长度，可得到函数 的图象，则（　　）
A．
B． 的最小正周期为
C． 的图象关于直线 对称
D． 在 上单调递减
【答案】D
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】将函数 图象向左平移 个单位长度得到 的图象，再向上平移1个单位长度可得到 的图象，A不符合题意.
，B不符合题意；
令 ，得 ，
当 时， ；当 时， ，C不符合题意.
令 ，
，
所以 在 上单调递减，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据题意由函数平移的性质整理即可得到函数的解析式，由此判断出选项A错误；结合正弦函数的周期公式就可求出周期值，由此判断出选项B错误；由正弦函数的图象即可判断出选项C错误，选项D正确，由此得出答案即可。
7．（2020高一上·百色期末）如图为 图象的一段，则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，因此 。
故答案为：A.
【分析】利用正弦型函数的部分图象求出正弦型函数的解析式，即由最高点的纵坐标求出A的值，再利用正弦型函数的最小正周期公式求出的值，再利用五点对应法求出的值，进而求出正弦型函数的解析式。
8．（2021·陕西模拟）已知函数 （ ， ， ），若 的图象经过点 ，相邻对称轴的距离为 ，则 的解析式可能为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】因为相邻对称轴的距离为周期的一半，所以函数 的最小正周期 ，又 ，所以 ，故选项B，D错误；把点 代入选项A， ，选项A成立，而把点 代入选项C， ，选项C不成立.
故答案为：A.
【分析】 根据对称轴的距离得出周期，从而可求出的值，由图象过点 ，结合φ的取值范围
可求得φ的值，利用诱导公式结合选项即可得结论.
二、多选题
9．（2021·湖南模拟）为了得到函数 的图象，只需将函数 的图象（　　）
A．向左平移 个单位长度 B．向左平移 个单位长度
C．向右平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
【答案】B,D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】因为 ，
所以将函数 的图象向左平移 个单位长度，纵坐标不变，得到 的图象，则A不符合题意，B符合题意；
因为 ，
所以将函数 的图象向右平移 个单位长度，纵坐标不变，得到 的图象，则C不符合题意，D符合题意.
故答案为：BD.
【分析】 根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．
10．（2021·顺德模拟）已知函数 ，且 ，则下列说法正确的是（　　）
A． 的最小正周期为
B．
C．将 图像向左平移 个单位得到一个偶函数
D． 在 上单调
【答案】A,B,D
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】由题意 ，其中 ， 为锐角，
最小正周期是 ，A符合题意；
， ，而 为锐角，所以 ， ，
，B符合题意；
将 图像向左平移 个单位得到的图象的解析式为 ，为奇函数，C不符合题意；
时， ， 是递增的，D符合题意．
故答案为：ABD．
【分析】 根据题意先得到，由函数的周期性可判断A，求出可判断B，由图象平移的性质和奇偶函数的定义可判断C，由函数的单调性可判断D.从而答案。
11．（2021·珠海模拟）已知函数 ，则（　　）
A． 是函数 的一个周期
B． 是函数 的一条对称轴
C．函数 的一个增区间是
D．把函数 的图像向左平移 个单位，得到函数 的图像
【答案】A,C,D
【知识点】正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】依题意： ，
对于A选项： 的周期 ，即A符合题意；
对于B选项：因 ，则 不是函数 的对称轴，即B不正确；
对于C选项： 得 ，
即 单调递增区间是 ，k=0时， 是 的一个增区间，即C符合题意；
对于D选项：函数 的图像向左平移 个单位得 ，即D符合题意.
故答案为：ACD
【分析】利用三角函数公式把 化为 =2sin（2x+)，对于A由周期公式判的A正确，B根据对称轴性质判的B错误，C根据单调区间可判断C正确，D根据正弦型函数图象变换可判断D正确。
12．（2021·漳州模拟）已知函数 在区间 和 上单调递增，下列说法中正确的是（　　）
A． 的最大值为3
B．方程 在 上至多有5个根
C．存在 和 使 为偶函数
D．存在 和 使 为奇函数
【答案】A,B,D
【知识点】函数单调性的性质；正弦函数的图象；正弦函数的性质
【解析】【解答】由函数 在 和 上单调递增，
可知当周期 最小时，令 ，则 ， ，经检验 符合题意；当周期 最大时，令 ，则 ， ，因为 ，则 ，经检验 符合题意，则 的可能取值为1，2，3，A符合题意；
若方程 在 上的根最多，则函数 的周期最小，即 ，画出两个函数的图象，由图中可知至多有五个交点，B符合题意；
因为 在 上为增函数，故不可能存在 和 使 为偶函数，C不符合题意；
当 且 时， 为奇函数，满足题意，D符合题意，
故答案为：ABD.
【分析】利用单调区间即可求出单调区间进而得出周期的最值由此即可求出的值，从而判断出选项A正确；由此当周期取最小值时即最大作出函数的图象，数形结合找出交点的个数由此即可判断出选项C错误；由正弦函数的单调性结合整体思想即可判断出选项D正确，由此即可得出答案。
三、填空题
13．（2020高一上·济宁期末）函数 在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式为　 　.
【答案】
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】由题意 ，又 ，∴ ，
由 得 ，又 ，∴ ．
故答案为： ．
【分析】 根据三角函数的图象求出A，ω和φ的值，即可得到结论．
14．（2020高三上·天津月考）将函数 的图象上各点的横坐标伸长到原来的 倍（纵坐标不变），再将所得到的图象向右平移 个单位长度，得到函数 的图象．若 为奇函数，则 的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】将函数 的图象上各点的横坐标伸长到原来的 倍（纵坐标不变），
得到函数 的图象，
再将所得函数图象向右平移 个单位长度，得到 的图象，
由于函数 为奇函数，则 ， ，
当 时，正数 取得最小值 .
故答案为： .
【分析】利用图象变换求得函数 的解析式，由函数 为奇函数，可得出关于 的代数式，进而可求得正数 的最小值.
15．（2020·南京模拟）将函数 图象向左平移 个单位，所得图象对应的函数恰为偶函数，则 的最小值为　 　.
【答案】
【知识点】二倍角的正弦公式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】 ，
向左平移 个单位得： ，
为偶函数， ，解得： ，
又 ， 的最小值为 .
故答案为： .
【分析】利用诱导公式和二倍角公式可化简函数为 ，根据三角函数左右平移原则可得到平移后的解析式，进而根据奇偶性构造方程求得 .
16．（根的存在性及根的个数判断+++++++++++++++++++5 ）将函数f（x）=2sin2x的图象向左平移 单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象，对任意a∈R，y=g（x）在区间[a，a+10π]上零点个数的所有可能值　 　．
【答案】20或者21
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；根的存在性及根的个数判断
【解析】【解答】解：f（x）=2sin2x，
将y=f（x）的图象向左平移 个单位，再向上平移1个单位后得到y=2sin2（x+ ）+1的图象，所以g（x）=2sin2（x+ ）+1．
令g（x）=0，得x=kπ+ π或x=kπ+ π（k∈z），
因为[a，a+10π]恰含10个周期，所以，当a是零点时，在[a，a+10π]上零点个数21，
当a不是零点时，a+kπ（k∈z）也都不是零点，区间[a+kπ，a+（k+1）π]上恰有两个零点，故在[a，a+10π]上有20个零点．
综上，y=g（x）在[a，a+10π]上零点个数的所有可能值为21或20．
故答案为：20或者21．
【分析】根据图象平移变换求出g（x），令g（x）=0可得g（x）可能的零点，而[a，a+10π]恰含10个周期，分a是零点，a不是零点两种情况讨论，结合图象可得g（x）在[a，a+10π]上零点个数的所有可能值；
四、解答题
17．（2020高一上·合肥期末）函数 的部分图象如图所示：
（1）求图中a，b的值及函数 的递增区间；
（2）若 ，且 ，求 的值．
【答案】（1）解：由图可得 ， ，则 ， ，
，
，则 ，
则 ， ， ，
，
， ，
令 ，解得 ，
的递增区间为
（2）解： ，即 ，
， ，
或 ，则 或
【知识点】正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【分析】(1)根据题意由已知条件就可求出函数的周期，结合函数的周期公式即可计算出的值，再由点的坐标代入到函数的解析式即可求出由此求出函数的解析式；然后由特殊值法代入计算出a与b的值，结合正弦函数的单调性由整体思想即可求出函数的单调递增区间。
(2)首先已知条件把数值代入计算出，再由角的取值范围利用整体思想即可得出的取值范围，由此即可求出 或 ，进而得到答案。
18．（2020高一上·公主岭期末）已知函数
（Ⅰ）用“五点法”画出它在一个周期内的闭区间上的图象（完成横、纵坐标列表）；
（Ⅱ）写出函数 图象的对称中心坐标及对称轴的方程.
【答案】解：（Ⅰ）
0
x
y 1 3 1 1
图象如下：
（II）观察图象可得出，
对称中心的坐标为： ， ，
对称轴方程为： ，
【知识点】正弦函数的图象；五点法画三角函数的图象；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【分析】 （Ⅰ） 由五点法列表描点即可作出函数的图象。
（II）由图象即可得出答案。
19．（2020高二下·三明期末）已知函数 .
（1）求 的最小正周期；
（2）将 图象上每个点的横坐标变为原来的 倍，再将所得图象向右平移 个长度单位得到 的图象，若 时， 恰有一个零点和两个极值点，求实数 的取值范围.
【答案】（1）解：因为
.
所以
（2）解：将 的横坐标变为原来的 倍后得到 ，
再将 向右平移 个长度单位得到 ，
当 时， ，因为 恰有唯一零点和两个极值点，
所以 ，
所以 ，即 的取值范围为
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；余弦函数的图象；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【分析】(1) 直接利用三角函数的关系式的恒等变换和余弦型函数性质的应用求出函数的最小正周期.
(2)利用函数的平移变换和伸缩变换的应用求出函数的关系式，进一步利用函数的零点和极值点的应用，建立不等式，进一步求出参数的范围.
20．（2020高一上·池州期末）已知函数 的图象相邻两个零点差的绝对值为 ．
（1）若 ，分别求 ；
（2）将 的图象上的所有点的横坐标变为原来的4倍，再将图象向右平移 得到函数 的图象，求函数 的单调递增区间．
【答案】（1）解： ，所以 ，
因为 的相邻两个零点差的绝对值为 ，则 ，即 ，
所以 ，所以
（2）解：由（1）得， ，所以 ，
令 ，即 时，
函数 单调递增，
所以函数 的单调递增区间为
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【分析】（1）利用两角和的正弦公式化简函数的解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出；
（2）由题意利用函数 的图像变换规律，求得 的解析式，再利用正弦函数的单调性，得出结论。
21．（2020高一上·聊城期末）已知函数 为偶函数，且 图象的相邻两个最高点的距离为 ．
（1）当 时，求 的单调递增区间；
（2）将函数 的图象向右平移个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来 （纵坐标不变），得到函数 的图象．求函数 在区间 上的最大值和最小值．
【答案】（1）解：由题意函数
，
因为函数 图象的相邻两个最高点的距离为 ，
所以 ，可得 ．
又由函数 为偶函数可得 ，
所以 ， ，则 ， ．
因为 ，所以 ，所以函数 ，
令 ， ，解得 ， ，
当 时， ；当 时， ，又 ，
可得函数 的单调递增区间为 和
（2）解：将函数 的图象向右平移 个单位长度可得 的图象，再把各点的横坐标缩小为原来的 ，得到函数 的图象，
当 时， ．
当 ，即 时，
函数 取得最小值，最小值为 ；
当 ，即 时，
函数 取得最大值，最大值为2．
所以函数 在区间 上的最大值是 ，最小值是-1
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【分析】（1）利用二倍角的余弦公式结合辅助角公式化简函数为正弦型函数，再利用函数 图象的相邻两个最高点的距离为 结合正弦型函数的最小正周期公式，进而求出的值，再结合偶函数的定义结合的取值范围，进而求出的值，从而求出函数的解析式，再结合换元法将正弦型函数转化为正弦函数，再利用正弦函数的图象求出正弦型函数的单调递增区间。
（2）利用正弦型函数f(x)的图像变换求出函数g(x)的图象，再利用函数g(x)的图象结合x的取值范围，进而求出函数 在区间 上的最大值和最小值 。
22．（2020高一上·启东期末）已知函数 满足条件： ，且 ．
（1）求 的解析式；
（2）由函数 的图象经过适当的变换可以得到 的图象．现提供以下两种变换方案：① → → ② → → 请你选择其中一种方案作答，并将变换过程叙述完整．
【答案】（1）解：由 ，知函数 的周期为π ，
所以 ，即 .
由 ，知函数 的图象关于 对称
所以 ，即 ，
所以 .
因为 ，所以 ，
所以
（2）解：方案①：
将 的图象向右平移 个单位后，得到 的图象；再将图象上所有点的横坐标变为原来的 ，纵坐标不变，得到 的图象
方案②：
将 图象上所有点的横坐标变为原来的 ，纵坐标不变，得到 的图象；再将所得图象向右平移 个单位，得到得到 的图象
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【分析】（1）利用 结合周期函数的定义，进而求出函数的周期，再利用正弦型函数的最小正周期公式，进而求出的值，再利用 ，知函数 的图象关于 对称，从而求出的值，进而求出正弦型函数的解析式。
（3） 利用两种变换方案结合三角型函数的图象变换方法，进而得出变换过程。
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