初中数学华师大版七年级下学期 第7章 7.3 三元一次方程组及其解法
一、单选题
1．（2020七下·越秀期中）下列方程组中，是三元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解： A.4个未知数，不符合题意；
B.2个未知数，不符合题意；
C.有三个未知数，每个方程的次数是1，是三元一次方程组，符合题意；
D.方程的次数为2，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用三元一次方程组的定义判断即可．
2．（2021七上·嘉兴期末）小明和小亮在一起探究一个数学活动.首先小亮站立在箱子上，小明站立在地面上（如图1），然后交换位置（如图2），测量的数据如图所示，想要探究的问题有：①小明的身高；②小亮的身高；③箱子的高度；④小明与小亮的身高和.根据图上信息，你认为可以计算出的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】C
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设小亮身高为x，小明身高为y，木箱高度为a
根据图1信息，可得：x+a=y+48①
根据图2信息，可得：y+a=x+24②
由①+②可得：x+y+2a=x+y+48+24，解得：a=36
∴箱子的高度可以求出.
故答案为：C.
【分析】设小亮身高为x，小明身高为y，木箱高度为a，根据图1信息得出小亮身高+木箱高度=小明身高+48①，根据图2信息得出小明身高+木箱高度=小亮身高+24②，利用①+②即可求出结论.
3．（2020八上·光明期末）解三元一次方程组 要使解法较为简便，首先应进行的变形为（ ）
A．①+② B．①-② C．①+③ D．②-③
【答案】A
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：①+②得：2x+y=-2 ④，
④和③组成二元一次方程组.
故A符合题意.
故答案为：A.
【分析】解三元一次方程组的方法就是消元，由①+②消去z，与③组成二元一次方程组，即可得出答案.
4．（2020七上·重庆月考）如图所示，两个天平都平衡，则三个苹果的重量等于多少个香蕉的重量？答（ ）个.
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设一个苹果的重量为x，一只香蕉的重量为y，一个三角形的重量为z，
∴2x=5z，2y=3z，
∴ ，
∴3x=5y，
故答案为：D.
【分析】设一个苹果的重量为x，一只香蕉的重量为y，一个三角形的重量为z，利用两个天平建立关于x，y，z的方程组，分别用含x,y的式子表示出z，从而可得到x与y之间的数量关系.
5．（2020八上·郑州开学考）三元一次方程组 ，的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】 ，
得 ……④，
得 ，解得 .把 代入①，
得 ，解得 ，把 代入③，
得 ，解得 ，
所以原方程组的解为 .
故答案为：D.
【分析】根据接三元一次方程组的步骤“先将原方程组中的三元化为二元，解二元一次方程组，再求第三个未知数，然后写出结论”计算即可求解.
6．（2020·龙东）在抗击疫情网络知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，学校计划用200元钱购买A、B、C三种奖品，A种每个10元，B种每个20元，C种每个30元，在C种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（ ）
A．12种 B．15种 C．16种 D．14种
【答案】D
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设购买A、B、C三种奖品分别为 个，
根据题意列方程得 ，
即 ，
由题意得 均为正整数．
①当z=1时，
∴ ，
∴y分别取1，3，5，7，9，11，13，15共8种情况时，x为正整数；
②当z=2时，
∴ ，
∴y可以分别取2，4，6，8，10，12共6种情况，x为正整数；
综上所述：共有8+6=14种购买方案．
故答案为：D
【分析】设购买A、B、C三种奖品分别为 个，根据题意列方程得 ，化简后根据 均为正整数，结合C种奖品不超过两个分类讨论，确定解的个数即可．
二、填空题
7．（2020八上·重庆期中）“九九重阳节， 浓浓敬老情”，今年某花店在重阳节推出“松鹤长春”“欢乐远长”“健康长寿”三种花束.“松鹤长春”花束中有8枝百合，16 枝康乃馨；“欢乐远长”花束中有6枝百合，16枝康乃馨，2枝剑兰；“健康长寿”花束中有4枝百合，12枝康乃馨，2枝剑兰.已知百合花每枝1元，康乃馨每枝 元，剑兰每枝5元，重阳节当天销售这三种花束共2549元，其中百合花的销售额为458元，则剑兰的销售量为 枝.
【答案】216
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设“松鹤长春”“欢乐远长”“健康长寿”三种花束的销量分别为： （单位：束），
由题意可得：一束“松鹤长春”的单价为： （元），
一束“欢乐远长”花束的单价为： （元），
一束“健康长寿”花束的单价为： （元），
②① 得：
即剑兰的销量为：216枝.
故答案为：216
【分析】设“松鹤长春”“欢乐远长”“健康长寿”三种花束的销量分别为： （单位：束）.由题意，利用总价=单价×数量可求出每束“松鹤长春”、 “欢乐远长”、“健康长寿”三种花束的价格.根据数量关系：“重阳节当天销售这三种花束共2549元，其中百合花的销售额为458元”，即可列出关于x、y、z的三元一次方程组.利用2×②-5×①可得出26y+26z=2808，从而得出（y+z）的值，再将其代入（2y+2z）中即可得出答案.
8．（2020七上·海淀期中）设 ，则3x-2y+z= ．
【答案】10
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解： ，
①-②得， ③，
①+③得， ，
故答案为：10．
【分析】用方程①-②得， ③，把方程①③相加得， 问题可解．
9．（2020七上·硚口期中）如图，从左边第一个格子开始向右，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等.
5 4
则 ，第2019个格子填入的整数为
【答案】5；4
【知识点】三元一次方程组解法及应用；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵表格中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，
∴﹣8+x+y=x+y+z，x+y+z=y+z+5，
∴x=5，z=﹣8，表格中从左向右每三个数一次循环，
∴y=4，
∵2019÷3=673，
∴第2019个格子填入的整数为4.
故答案为：5，4.
【分析】由已知表格中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，可得到关于x，y，z的方程组，解方程组求出x，z的值，然后求出y的值；由此可得规律：表格中从左向右每三个数一次循环，然后用2019÷3，根据其余数可得到第2019个格子应该填入的整数。
三、计算题
10．（2020七下·陆川期末）解方程组，不等式（组）
（1）解方程组
（2）解方程组
（3）解不等式
（4）解不等式组 ，并把它在解集在数轴上表示出来.
【答案】（1）解：
①+②得：4x=12，
解得：x=3，
把x=3代入①得：3+2y=1，
解得：y=﹣1，
所以原方程组的解为：
（2）解： .
①+②得：3x+4z=﹣4④，
③×2得：4x﹣4z=﹣10⑤，
④+⑤得：7x=﹣14，
解得：x=﹣2，
把x=﹣2代入①得：﹣6﹣y=﹣7，
y=1，把y=1代入②得：1+4z=3，
z= ，
方程组的解为 .
（3）解：10﹣2（2﹣3x） 5（1+x），
10﹣4+6x 5+5x，
6x﹣5x 5﹣10+4，
x ﹣1.
（4）解：
解不等式①，得x ﹣2，
解不等式②，得x 1，
把不等式①和②的解集在数轴表示出来如下图所示：
从上图中可看出不等式组的解集为： .
【知识点】三元一次方程组解法及应用；在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式；解一元一次不等式组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）直接利用加减消元法方程组即可；（2）先消掉y，然后通过加减消元法解出x，然后代回方程组中即可求出y，z的值；（3）先去分母，然后按照去括号，移项，合并同类项和系数化为1的步骤解题即可；（4）先解出不等式组的解集，然后按照大于向右画，小于向左画，有等号为实心圆点，无等号为空心圆点表示在数轴上即可.
四、解答题
11．（2020八下·大庆期中）甲、乙两人同解方程组 ，甲正确解得 ，乙因抄错C解得 ，求A、B、C的值．
【答案】把 代入原方程组，得 ，
把 代入Ax+By=2，得：2A﹣6B=2．
可组成方程组 ，
解得 ．
【知识点】三元一次方程组解法及应用；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】根据方程组的解的定义得到关于A、B、C的方程组，再进一步运用加减消元法求解．
12．（2020·宁波模拟）列方程（组），解应用题.
根据图中的信息，求桌子的高.
【答案】解：解：设坐猫高xcm，卧猫高ycm，桌子高acm，
由题意得： ，
解得：2a＝260，
a＝130，
答：桌子高130cm.
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】设坐猫高xcm，卧猫高ycm，桌子高acm，根据图示可得坐猫高+桌子高﹣卧猫高＝150cm，卧猫高+桌子高﹣坐猫高＝110cm，根据等量关系列出方程组，再解即可.
五、综合题
13．（2019七下·广丰期末）有一场足球比赛，共有九支球队参加，采取单循环赛，其记分和奖励方案如下表：
标准 胜一场 平一场 负一场
积分 3 1 0
奖励（元／人） 2000 800 0
甲队参加完了全部8场比赛，共得积分16分．
（1）求甲队胜负的所有可能情况；
（2）若每一场比赛，每一个参赛队员均可得出场费500元，求甲队参加了所有8场比赛的队员的个人总收入（奖金加上出场费）．
【答案】（1）设甲队胜 场、平 场、负 场，以题意得方程组
解得 ，得整数解 或
即甲队胜负的所有可能情况有：“4胜4平”或者“5胜1平2负”.
（2）若是4胜4平，甲队参加了所有8场比赛的队员的个人总收入为：
2000×4+800×4+500×8=15200（元）
若是5胜1平2负，甲队参加了所有8场比赛的队员的总收入为：
2000×5+800+500×8=14800（元）．
答：若是4胜4平，总收入为15200元；若是5胜1平2负，总收入为14800元.
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】（1）设甲队胜 场、平 场、负 场，依题意得方程组 ，讨论求出整数解即可；（2）由（1）可得由两种情况，根据奖励规则可分别求出总收入.
1 / 1初中数学华师大版七年级下学期 第7章 7.3 三元一次方程组及其解法
一、单选题
1．（2020七下·越秀期中）下列方程组中，是三元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021七上·嘉兴期末）小明和小亮在一起探究一个数学活动.首先小亮站立在箱子上，小明站立在地面上（如图1），然后交换位置（如图2），测量的数据如图所示，想要探究的问题有：①小明的身高；②小亮的身高；③箱子的高度；④小明与小亮的身高和.根据图上信息，你认为可以计算出的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
3．（2020八上·光明期末）解三元一次方程组 要使解法较为简便，首先应进行的变形为（ ）
A．①+② B．①-② C．①+③ D．②-③
4．（2020七上·重庆月考）如图所示，两个天平都平衡，则三个苹果的重量等于多少个香蕉的重量？答（ ）个.
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（2020八上·郑州开学考）三元一次方程组 ，的解为（ ）
A． B． C． D．
6．（2020·龙东）在抗击疫情网络知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，学校计划用200元钱购买A、B、C三种奖品，A种每个10元，B种每个20元，C种每个30元，在C种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（ ）
A．12种 B．15种 C．16种 D．14种
二、填空题
7．（2020八上·重庆期中）“九九重阳节， 浓浓敬老情”，今年某花店在重阳节推出“松鹤长春”“欢乐远长”“健康长寿”三种花束.“松鹤长春”花束中有8枝百合，16 枝康乃馨；“欢乐远长”花束中有6枝百合，16枝康乃馨，2枝剑兰；“健康长寿”花束中有4枝百合，12枝康乃馨，2枝剑兰.已知百合花每枝1元，康乃馨每枝 元，剑兰每枝5元，重阳节当天销售这三种花束共2549元，其中百合花的销售额为458元，则剑兰的销售量为 枝.
8．（2020七上·海淀期中）设 ，则3x-2y+z= ．
9．（2020七上·硚口期中）如图，从左边第一个格子开始向右，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等.
5 4
则 ，第2019个格子填入的整数为
三、计算题
10．（2020七下·陆川期末）解方程组，不等式（组）
（1）解方程组
（2）解方程组
（3）解不等式
（4）解不等式组 ，并把它在解集在数轴上表示出来.
四、解答题
11．（2020八下·大庆期中）甲、乙两人同解方程组 ，甲正确解得 ，乙因抄错C解得 ，求A、B、C的值．
12．（2020·宁波模拟）列方程（组），解应用题.
根据图中的信息，求桌子的高.
五、综合题
13．（2019七下·广丰期末）有一场足球比赛，共有九支球队参加，采取单循环赛，其记分和奖励方案如下表：
标准 胜一场 平一场 负一场
积分 3 1 0
奖励（元／人） 2000 800 0
甲队参加完了全部8场比赛，共得积分16分．
（1）求甲队胜负的所有可能情况；
（2）若每一场比赛，每一个参赛队员均可得出场费500元，求甲队参加了所有8场比赛的队员的个人总收入（奖金加上出场费）．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解： A.4个未知数，不符合题意；
B.2个未知数，不符合题意；
C.有三个未知数，每个方程的次数是1，是三元一次方程组，符合题意；
D.方程的次数为2，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用三元一次方程组的定义判断即可．
2．【答案】C
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设小亮身高为x，小明身高为y，木箱高度为a
根据图1信息，可得：x+a=y+48①
根据图2信息，可得：y+a=x+24②
由①+②可得：x+y+2a=x+y+48+24，解得：a=36
∴箱子的高度可以求出.
故答案为：C.
【分析】设小亮身高为x，小明身高为y，木箱高度为a，根据图1信息得出小亮身高+木箱高度=小明身高+48①，根据图2信息得出小明身高+木箱高度=小亮身高+24②，利用①+②即可求出结论.
3．【答案】A
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：①+②得：2x+y=-2 ④，
④和③组成二元一次方程组.
故A符合题意.
故答案为：A.
【分析】解三元一次方程组的方法就是消元，由①+②消去z，与③组成二元一次方程组，即可得出答案.
4．【答案】D
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设一个苹果的重量为x，一只香蕉的重量为y，一个三角形的重量为z，
∴2x=5z，2y=3z，
∴ ，
∴3x=5y，
故答案为：D.
【分析】设一个苹果的重量为x，一只香蕉的重量为y，一个三角形的重量为z，利用两个天平建立关于x，y，z的方程组，分别用含x,y的式子表示出z，从而可得到x与y之间的数量关系.
5．【答案】D
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】 ，
得 ……④，
得 ，解得 .把 代入①，
得 ，解得 ，把 代入③，
得 ，解得 ，
所以原方程组的解为 .
故答案为：D.
【分析】根据接三元一次方程组的步骤“先将原方程组中的三元化为二元，解二元一次方程组，再求第三个未知数，然后写出结论”计算即可求解.
6．【答案】D
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设购买A、B、C三种奖品分别为 个，
根据题意列方程得 ，
即 ，
由题意得 均为正整数．
①当z=1时，
∴ ，
∴y分别取1，3，5，7，9，11，13，15共8种情况时，x为正整数；
②当z=2时，
∴ ，
∴y可以分别取2，4，6，8，10，12共6种情况，x为正整数；
综上所述：共有8+6=14种购买方案．
故答案为：D
【分析】设购买A、B、C三种奖品分别为 个，根据题意列方程得 ，化简后根据 均为正整数，结合C种奖品不超过两个分类讨论，确定解的个数即可．
7．【答案】216
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设“松鹤长春”“欢乐远长”“健康长寿”三种花束的销量分别为： （单位：束），
由题意可得：一束“松鹤长春”的单价为： （元），
一束“欢乐远长”花束的单价为： （元），
一束“健康长寿”花束的单价为： （元），
②① 得：
即剑兰的销量为：216枝.
故答案为：216
【分析】设“松鹤长春”“欢乐远长”“健康长寿”三种花束的销量分别为： （单位：束）.由题意，利用总价=单价×数量可求出每束“松鹤长春”、 “欢乐远长”、“健康长寿”三种花束的价格.根据数量关系：“重阳节当天销售这三种花束共2549元，其中百合花的销售额为458元”，即可列出关于x、y、z的三元一次方程组.利用2×②-5×①可得出26y+26z=2808，从而得出（y+z）的值，再将其代入（2y+2z）中即可得出答案.
8．【答案】10
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解： ，
①-②得， ③，
①+③得， ，
故答案为：10．
【分析】用方程①-②得， ③，把方程①③相加得， 问题可解．
9．【答案】5；4
【知识点】三元一次方程组解法及应用；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵表格中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，
∴﹣8+x+y=x+y+z，x+y+z=y+z+5，
∴x=5，z=﹣8，表格中从左向右每三个数一次循环，
∴y=4，
∵2019÷3=673，
∴第2019个格子填入的整数为4.
故答案为：5，4.
【分析】由已知表格中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，可得到关于x，y，z的方程组，解方程组求出x，z的值，然后求出y的值；由此可得规律：表格中从左向右每三个数一次循环，然后用2019÷3，根据其余数可得到第2019个格子应该填入的整数。
10．【答案】（1）解：
①+②得：4x=12，
解得：x=3，
把x=3代入①得：3+2y=1，
解得：y=﹣1，
所以原方程组的解为：
（2）解： .
①+②得：3x+4z=﹣4④，
③×2得：4x﹣4z=﹣10⑤，
④+⑤得：7x=﹣14，
解得：x=﹣2，
把x=﹣2代入①得：﹣6﹣y=﹣7，
y=1，把y=1代入②得：1+4z=3，
z= ，
方程组的解为 .
（3）解：10﹣2（2﹣3x） 5（1+x），
10﹣4+6x 5+5x，
6x﹣5x 5﹣10+4，
x ﹣1.
（4）解：
解不等式①，得x ﹣2，
解不等式②，得x 1，
把不等式①和②的解集在数轴表示出来如下图所示：
从上图中可看出不等式组的解集为： .
【知识点】三元一次方程组解法及应用；在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式；解一元一次不等式组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）直接利用加减消元法方程组即可；（2）先消掉y，然后通过加减消元法解出x，然后代回方程组中即可求出y，z的值；（3）先去分母，然后按照去括号，移项，合并同类项和系数化为1的步骤解题即可；（4）先解出不等式组的解集，然后按照大于向右画，小于向左画，有等号为实心圆点，无等号为空心圆点表示在数轴上即可.
11．【答案】把 代入原方程组，得 ，
把 代入Ax+By=2，得：2A﹣6B=2．
可组成方程组 ，
解得 ．
【知识点】三元一次方程组解法及应用；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】根据方程组的解的定义得到关于A、B、C的方程组，再进一步运用加减消元法求解．
12．【答案】解：解：设坐猫高xcm，卧猫高ycm，桌子高acm，
由题意得： ，
解得：2a＝260，
a＝130，
答：桌子高130cm.
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】设坐猫高xcm，卧猫高ycm，桌子高acm，根据图示可得坐猫高+桌子高﹣卧猫高＝150cm，卧猫高+桌子高﹣坐猫高＝110cm，根据等量关系列出方程组，再解即可.
13．【答案】（1）设甲队胜 场、平 场、负 场，以题意得方程组
解得 ，得整数解 或
即甲队胜负的所有可能情况有：“4胜4平”或者“5胜1平2负”.
（2）若是4胜4平，甲队参加了所有8场比赛的队员的个人总收入为：
2000×4+800×4+500×8=15200（元）
若是5胜1平2负，甲队参加了所有8场比赛的队员的总收入为：
2000×5+800+500×8=14800（元）．
答：若是4胜4平，总收入为15200元；若是5胜1平2负，总收入为14800元.
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】（1）设甲队胜 场、平 场、负 场，依题意得方程组 ，讨论求出整数解即可；（2）由（1）可得由两种情况，根据奖励规则可分别求出总收入.
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