初中数学苏科版九年级下册 6.7 用相似三角形解决问题 同步训练

初中数学苏科版九年级下册 6.7 用相似三角形解决问题 同步训练
一、单选题
1．（2017·平川模拟）在相同时刻物高与影长成比例，如果高为1.5m的测竿的影长为 2.5m，那么影长为30m的旗杆的高度是（　　）
A．20m B．16m C．18m D．15m
2．（2020·玉林）一个三角形木架三边长分别是75cm，100cm，120cm，现要再做一个与其相似的三角形木架，而只有长为60cm和120cm的两根木条.要求以其中一根为一边，从另一根截下两段作为另两边（允许有余料），则不同的截法有（　　）
A．一种 B．两种 C．三种 D．四种
3．（2020九上·潜山期末）如图，一同学在湖边看到一棵树，他目测出自己与树的距离为20m，树的顶端在水中的倒影距自己5m 远，该同学的身高为1.7m ，则树高为（　　）.
A．3.4m B．4.7 m C．5.1m D．6.8m
4．（2020九上·重庆月考）如图，身高1.5米的小西站在点D处，此时路灯M照射的影子AD为2.5米，小西沿着 的方向行走4.5米至点F，此时影子 为1米，则路灯BM的高度为（　　）
A．3米 B．3.5米 C．4.5米 D．6米
5．（新人教版数学九年级上册第二十七章《相似三角形应用举例》同步练习）一张等腰三角形纸片，底边长15cm，底边上的高长22.5cm，现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图所示，已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（　　）
A．第4张 B．第5张 C．第6张 D．第7张
6．（2020九上·成都月考）如图，锐角三角形 ，边 ，高 ，其内接的正方形的一边在 上，其余两个顶点分别在 ， 上，则正方形的边长 为（　　）
A．2.6 B．2.4 C．3 D．1.2
7．（2019·平房模拟）如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上．已知铁塔底座宽CD＝12 m，塔影长DE＝18 m，小明和小华的身高都是1.6m，同一时刻，小明站在点E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m和1m，那么塔高AB为（　　）
A．24m B．22m C．20m D．18m
8．（2019·长春模拟）如图所示，某超市在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板与地面平行.张强扛着箱子(人与箱子的总高度约为2.2m)乘电梯刚好安全通过，请你根据图中数据回答，两层楼之间的高约为（　　）
A． B． C．11m D．
9．（华师大版数学九年级上册第23章图形的相似23.3.4相似三角形的应用 同步练习）如图，路边有一根电线杆AB和一块正方形广告牌（不用考虑牌子的厚度）．有一天，小明突然发现，在太阳光照射下，电线杆顶端A的影子刚好落在正方形广告牌的上边中点G处，而正方形广告牌的影子刚好落在地面上E点，已知BC=5米，正方形边长为2米，DE=4米．则此时电线杆的高度是（　　）米．
A．8 B．7 C．6 D．5
10．如图，在平面直角坐标系xOy中，A(2，0)，B(0，2)，⊙C的圆心为点C(-1，0)，半径为1．若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值是（　　）
A．2
B．
C．
D．
二、填空题
11．（2019九上·柯桥月考）如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE＝20m，CE＝10m，CD＝20m，则河的宽度AB等于　 　m
12．（2018-2019学年数学沪科版九年级上册22.5 综合与实践 测量与误差 同步练习 ）如图，身高为1.8米的某学生想测量学校旗杆的高度，当他站在B处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AB=2米，BC=18米，则旗杆CD的高度是　 　米．
13．（2019九上·青羊期中）如图是圆桌正上方的灯泡O发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）的示意图．已知桌面的直径为1.2m，桌面距离地面1m，若灯泡O距离地面3m，则地面上阴影部分的面积为　 　m2．
14．（2020九上·柯桥月考）相邻两根电杆都用钢索在地面上固定，如图，一根电杆钢索系在离地面4米处，另一根电杆钢索系在离地面6米处，两根电线杆的钢索都有一根固定在另一根电线杆底部，则中间两根钢索相交处点P离地面　 　米
15．（2020九上·长春月考）如图，一电线杆 的影子分别落在了地上和墙上．同一时刻，小明竖起 米高的直杆 ，量得其影长 为 米，量得电线杆 落在地上的影子 长 米，落在墙上的影子 的高为 米，则电线杆 的高为　 　米．
16．（2018-2019学年数学沪科版九年级上册22.5 综合与实践 测量与误差 同步练习 ）如图，阳光通过窗口照到室内，在地面上留下1.6m宽的亮区DE ， 已知亮区一边到窗下的墙脚距离CE=3.6m，窗高AB=1.2m，那么窗口底边离地面的高度BC=　 　m．
17．（2019九上·保定期中）如图1，长、宽均为3高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度为　 　．
18．如图， ABCD中，AB＞AD，AE，BE，CM，DM分别为∠DAB，∠ABC，∠BCD，∠CDA的平分线，AE与DM相交于点F，BE与CM相交于点N，连接EM．若 ABCD的周长为42cm，FM=3cm，EF=4cm，则EM= 　 　cm，AB= 　 　cm．
三、解答题
19．（2020九上·宿迁月考）某天，小芳走到如图所示的C处时，看到正对面一条东西走向的笔直公路.上有一辆汽车从东面驶来，到达Q处时，恰好被公路北侧边上竖着的一个长12m的广告牌AB挡住，3s后在P处又重新看到该汽车的全部车身，已知该汽车的行驶速度是6m/s，假设AB PQ，公路宽为10m，求小芳所在C处到公路南侧PQ的距离.
20．（2021九上·杭州期末）在一次数学活动课上，小芳到操场上测量旗杆的高度，她的测量方法是：拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的C处（如图），然后沿BC方向走到D处，这时目测旗杆顶部A与竹竿顶部E恰好在同一直线上，又测得C、D两点的距离为3米，小芳的目高为1.5米，利用她所测数据，求旗杆的高.
21．（2020九上·泰兴期中）如图，小明用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB.他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上.已知纸板的两条直角边 ， ，测得 ，边DF离地面的高度 ，求树高AB.
22．（2020九上·宝安期中）如图，某同学想测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.5米，在同时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上影长为21米，留在墙上的影高为2米，求旗杆的高度．
23．（2020九上·宝鸡期中）李师傅用镜子测量一棵古树的高，但树旁有一条小河，不便测量镜子与树之间的距离，于是他两次利用镜子，第一次把镜子放在C点（如图所示），人在F点正好在镜中看到树尖A；第二次他把镜子放在 处，人在 处正好看到树尖A.已知李师傅眼睛距地面的高度为 ，量得 为 ， 为 ， 为 ，求树高.
24．（2019九上·大邑期中）学习了相似三角形的知识后，爱探究的小明下晚自习后利用路灯的光线去测量了一路灯的高度，并作出了示意图：如图，路灯（点P）距地面若干米，身高1.6米的小明站在距路灯的底部（O点）20米的A点时，身影的长度AM为5米；
（1）请帮助小明求出路灯距地面的高度；
（2）若另一名身高为1.5米小龙站在直线OA上的C点时，测得他与小明的距离AC为7米，求小龙的身影的长度．
25．（2020·淮安模拟）如图，灯杆AB与墙MN的距离为18米，小丽在离灯杆（底部）9米的D处测得其影长DF为3m，设小丽身高为1.6m.
（1）求灯杆AB的高度；
（2）小丽再向墙走7米，她的影子能否完全落在地面上？若能，求此时的影长；若不能，求落在墙上的影长.
26．（2020九上·肃州期末）如图，AB和DE直立在地面上的两根立柱，已知AB=5m，某一时刻AB在太阳光下的影子长BC=3m.
（1）在图中画出此时DE在太阳光下的影子EF；
（2）在测量AB影子长时，同时测量出EF=6m，计算DE的长.
27．（2019九上·福田期中）如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，AB=4.若△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E(点D不与点B重合，点E不与点C重合).
（1）求证：△ABE∽△DCA；
（2）若BE·CD=k（k为常数），求k的值；
（3）在旋转过程中，当△AFG旋转到如图2的位置时，AG与BC交于点E，AF的延长线与CB的延长线交于点D，那么（2）中k的值是否发生了变化 为什么
28．（2020·路桥模拟）已知菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=4，点M在BC边上，过点M作PM∥AB交对角线BD于点P，连接PC.
（1）如图1，当BM=1时，求PC的长；
（2）如图2，设AM与BD交于点E，当∠PCM=45°时，求证： = ；
（3）如图3，取PC的中点Q，连接MQ，AQ.
①请探究AQ和MQ之间的数量关系，并写出探究过程；
②△AMQ的面积有最小值吗？如果有，请直接写出这个最小值；如果没有，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
解得旗杆的高度= =18m．
故答案为：C．
【分析】由在相同时刻物高与影长成比例得出方程求解即可。
2．【答案】B
【知识点】三角形三边关系；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：长120cm的木条与三角形木架的最长边相等，则长120cm的木条不能作为一边，
设从120cm的木条上截下两段长分别为xcm，ycm（x+y≤120），
由于长60cm的木条不能与75cm的一边对应，否则x、y有大于120cm，
当长60cm的木条与100cm的一边对应，则 ，
解得：x＝45，y＝72；
当长60cm的木条与120cm的一边对应，则 ，
解得：x＝37.5，y＝50.
答：有两种不同的截法：把120cm的木条截成45cm、72cm两段或把120cm的木条截成37.5cm、50cm两段.
故答案为：B.
【分析】分类讨论：长120cm的木条与三角形木架的最长边相等，则长120cm的木条不能作为一边，设从120cm的一根上截下的两段长分别为xcm，ycm（x+y≤120），易得长60cm的木条不能与75cm的一边对应，所以当长60cm的木条与100cm的一边对应时有 ；当长60cm的木条与120cm的一边对应时有 ，然后分别利用比例的性质计算出两种情况下得x和y的值.
3．【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：由题意可得：∠BCA=∠EDA=90°，∠BAC=∠EAD，
故△ABC∽△AED，
由相似三角形的性质，设树高x米，
则 ，
∴x=5.1m．
故答案为：C．
【分析】由入射光线和反射光线与镜面的夹角相等，可得两个相似三角形，根据相似三角形的性质解答即可．
4．【答案】D
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：由图可知：CD⊥AB，MB⊥AB
∴CD∥MB
∴△ACD∽△AMB，
∴
同理可得：
由题意知：CD＝EF＝1.5，AD＝2.5，DF＝4.5，NF＝1
∴
设BF＝x，则
解得：
∴
∴BM＝6
故答案为：D
【分析】由题意可得CD∥MB，根据相似三角形的判定“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得△ACD∽△AMB，于是可得比例式，同理可得，结合已知的线段计算可得，设BF＝x，根据比例式可得关于x的方程，解之可求得x的值，于是BM的值可求解.
5．【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】已知剪得的纸条中有一张是正方形，则正方形中平行于底边的边是3，
所以根据相似三角形的性质可设从顶点到这个正方形的线段为x，
则 ，解得x=4.5，
所以另一段长为22.5-4.5=18，
因为18÷3=6，所以是第六张．
故答案为：C．
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质及等腰三角形的性质的综合运用．根据相似三角形的相似比求得顶点到这个正方形的长，再根据矩形的宽求得是第几张．
6．【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解： 四边形 是正方形，
， ，EG⊥BC，
∵ ， ，
∴KD=EG，
设 ，则 ，
，
，
，即 ，解得： ．
故答案为：B．
【分析】根据正方形的性质可得 ， ，根据平行线间的距离处处相等可得KD=EG，易证 ，设 ，根据相似三角形的性质可得关于a的方程，解方程即得答案．
7．【答案】A
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：过D作DF⊥CD，交AE于点F，过F作FG⊥AB，垂足为G．
由题意得： ．
∴DF＝DE×1.6÷2＝14.4（m）．
∴GF＝BD＝ CD＝6m．
又∵ ．
∴AG＝1.6×6＝9.6（m）．
∴AB＝14.4+9.6＝24（m）
答：铁塔的高度为24m．
故答案为：A．
【分析】作辅助线DF⊥CD，FG⊥AB将AB分成两部分，根据投影的性质推出小明在E点影子与身高的比等于△FDE中DF：DE，以此计算出DF的长度，同理，小华站在平地上影子与身高的比等于△AGF中AG：GF，计算出AG即可算出AB的长度。
8．【答案】A
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】如图，作DE⊥FC于点E，
∴△ABC∽△CED，∴ .
设AB＝x米，由题意得DE＝6米，EF＝2.2米.∴ ，解得x＝5.5.故答案为：A.
【分析】如图，作DE⊥FC于点E，由题意得DE＝6米，EF＝2.2米.根据两角相等的两个三角形相似，可证△ABC∽△CED，利用相似三角形的对应边成比例，可得，设AB＝x米，代入对应数据，求出x值即可.
9．【答案】D
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】过点G作GH∥BC，GM⊥BE，
根据题意，四边形BMGH是矩形，
∴BH=GM=2米，
△AHG∽△FDE，
∴ = ，
∴AH=3，
∴AB=2+3=5米．
故选D．
【分析】过点G作GH∥BC，可得四边形BCGH是矩形，然后且△AHG与△FDE相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出AH的长度，再加上BH即可．
10．【答案】D
【知识点】切线的性质；相似三角形的应用
【解析】【解答】若△ABE的面积最小，则AD与⊙C相切，连接CD，则CD⊥AD；
Rt△ACD中，CD=1，AC=OC+OA=3；
由勾股定理，得：AD=2
；
∴S△ACD=
AD CD=
；
易证得△AOE∽△ADC，
∴=（
)2=（
)2=
，
即S△AOE=
S△ADC=
；
∴S△ABE=S△AOB-S△AOE=
×2×2-
=2-
；
故选D．
【分析】由于 OA的长为定值，若△ABE的面积最小，则BE的长最短，此时AD与⊙相切；可连接CD，在Rt△ADC中，由勾股定理求得AD的长，即可得到△ADC的 面积；易证得△AEO∽△ACD，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出△AOE的面积，进而可得出△AOB和△AOE的面积差，由此得解．此题主要考查了切线的性质、相似三角形的性质、三角形面积的求法等知识；能够正确的判断出△BE面积最小时AD与⊙C的位置关系是解答此题的关键．
11．【答案】40
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴∠ABE=∠CED=90°
∵∠AEB=∠CED
∴△ABE∽△DCE
∴即
解之：AB=40.
故答案为：40.
【分析】利用垂直的定义可证得∠ABE=∠CED，图形中隐含对顶角相等，可证得△ABE∽△DCE，再利用相似三角形的对应边成比例，列出比例式，由此可求出AB的长。
12．【答案】18
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图：
∵BE⊥AC，CD⊥AC，
∴BE∥CD，
∴△ABE∽△ACD，
∴ = ，
∴ = ，
解得：CD=18．
故答案为：18
【分析】先证明BE∥CD，可证得△ABE∽△ACD，再利用相似三角形的性质，得出对应边成比例，就可求出CD的长。
13．【答案】0.81π
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】如图设C，D分别是桌面和其地面影子的圆心，CB∥AD， ∴△OBC∽△OAD
∴而OD=3，CD=1， ∴OC=OD-CD=3-1=2，BC= ×1.2=0.6， ∴
∴AD=0.9 ， S=π×0.92=0.81πm2，这样地面上阴影部分的面积为0.81πm2．
【分析】如图设C，D分别是桌面和其地面影子的圆心，依题意可以得到△OBC∽△OAD，然后由它们的对应边成比例可以求出地面影子的半径，这样可以求出阴影部分的面积．
14．【答案】
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：过点P作PE⊥BC于点E，
∵CD∥AB
∴△CPD∽△APB
∴
∴
∵CD∥PE
∴△BPE∽△BDC
∴即
解之：PE=.
【分析】过点P作PE⊥BC于点E，利用CD∥AB，可证得△CPD∽△APB，再利用相似三角形的性质求出BE与CE的比值，再根据CD∥PE证明△BPE∽△BDC，再利用相似三角形的对应边成比例可求出PE的长。
15．【答案】8
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：过C点作CG⊥AB于点G，
∴GC＝BD＝3米，GB＝CD＝2米，
∵∠NMF＝∠AGC＝90°，NF∥AC，
∴∠NFM＝∠ACG，
∴△NMF∽△AGC，
∴ ，
∴AG＝ ＝6，
∴AB＝AG＋GB＝6＋2＝8(米)，
故电线杆AB的高为8米
故答案为8．
【分析】过C点作CG⊥AB于点G，把直角梯形ABCD分割成一个直角三角形和一个矩形，由于太阳光线是平行的，就可以构造出相似三角形，根据相似三角形的性质解答即可．
16．【答案】1.5
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵光是沿直线传播的，
∴BD∥AE ，
∴△CBD∽△CAE ，
∴ ，
即 ，
解得BC=1.5m．
故答案为：1.5
【分析】将实际问题转化为数学问题，可得出BD∥AE ，可证得△CBD∽△CAE 利用相似三角形的性质可得出对应边成比例，就可求出BC的长。
17．【答案】
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】过点C作CF⊥BG于点F，
设DE=x，则AD=8-x，
根据题意得： (8-x+8)×3×3=3×3×6，解得：x=4，
∴DE=4，
∵∠E=90°，
∴CD= ，
∵∠BCE=∠DCF=90°，
∴∠DCE=∠BCF，
∵∠DEC=∠BFC=90°，
∴ DEC~ BFC，
∴ ，即： ，
∴CF= ．
故答是： ．
【分析】过点C作CF⊥BG于点F，设DE=x，根据水的体积不变，列出方程，求出x的值，进而求出CD的值，由 DEC~ BFC，得 ，进而即可求解．
18．【答案】5；13
【知识点】勾股定理的应用；平行四边形的性质；矩形的判定与性质；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵AE为∠DAB的平分线，
∴∠DAE=∠EAB=∠DAB，
同理：∠ABE=∠CBE=∠ABC，
∠BCM=∠DCM=∠BCD，
∠CDM=∠ADM=∠ADC．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAB=∠BCD，∠ABC=∠ADC，AD=BC．
∴∠DAF=∠BCN，∠ADF=∠CBN．
在△ADF和△CBN中，
．
∴△ADF≌△CBN（ASA）．
∴DF=BN．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC=180°．
∴∠EAB+∠EBA=90°．
∴∠AEB=90°．
同理可得：∠AFD=∠DMC=90°．
∴∠EFM=90°．
∵FM=3，EF=4，
∴ME==5（cm）．
∵∠EFM=∠FMN=∠FEN=90°．
∴四边形EFMN是矩形．
∴EN=FM=3．
∵∠DAF=∠EAB，∠AFD=∠AEB，
∴△AFD∽△AEB．
∴=．
∴=．
∴4DF=3AF．
设DF=3k，则AF=4k．
∵∠AFD=90°，
∴AD=5k．
∵∠AEB=90°，AE=4（k+1），BE=3（k+1），
∴AB=5（k+1）．
∵2（AB+AD）=42，
∴AB+AD=21．
∴5（k+1）+5k=21．
∴k=1.6．
∴AB=13（cm）．
故答案为：5；13．
【分析】由条件易证∠AEB=∠AFD=∠DMC=90°．进而可证到四边形EFMN是矩形及∠EFM=90°，由FM=3cm，EF=4cm可求出EM．易证△ADF≌△CBN，从而得到DF=BN；易证△AFD∽△AEB，从而得到4DF=3AF．设DF=3k，则AF=4k．AE=4（k+1），BE=3（k+1），从而有AD=5k，AB=5（k+1）．由 ABCD的周长为42cm可求出k，从而求出AB长．
19．【答案】解：如图，过点C作 于点D，交AB于点E，
根据题意， ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，则 ，解得 ，
∴CE=CD+DE=30m，
答：小芳所在C处到公路南侧PQ的距离是30m .
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】过点C作 于点D，交AB于点E，根据△ABC∽△PQC 和△BDC∽△QEC 利用对应边成比例列式求出DC的长.
20．【答案】解：设旗杆高AB=x.过F作FG⊥AB于G，交CE于H（如图）.
因为CE∥AB
所以△AGF∽△EHF.
因为，FD=1.5，GF=27+3=30，HF=3，
所以，EH=3.5-1.5=2，AG=x-1.5.
由△AGF∽△EHF，
得 ，
即 ，
所以，x-1.5=20，
解得，x=21.5（米）
答：旗杆的高为21.5米.
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】设旗杆高AB=x.过F作FG⊥AB于G，交CE于H（如图），由CE∥AB，可证△AGF∽△EHF.，即得，解出x的值即可.
21．【答案】解： ， .
由题意得 ， .
∵ ， ，
∴ .
∴ .
∴ ，
∴ .
∴ .
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似求得BC的长后加上小明同学的身高即可求得树高AB.
22．【答案】解：过C作CE⊥AB于E，
∵CD⊥BD，AB⊥BD，
∴∠EBD＝∠CDB＝∠CEB＝90°，
∴四边形CDBE为矩形，
∴BD＝CE＝21，CD＝BE＝2，
设AE＝x，
∴ ，
解得：x＝14，
∴旗杆的高AB＝AE+BE＝14+2＝16米．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】过C作CE⊥AB于E，首先证明四边形CDBE为矩形，可得BD＝CE＝21，CD＝BE＝2，设AE＝x，则 ，求出x即可解决问题．
23．【答案】解：根据反射定律可以推出∠ACB＝∠ECF，∠AC′B＝∠E′C′F′，
∴△BAC∽△FEC、△AC′B∽△E′C′F′，
设AB＝x，BC＝y
∴
解得 .
∴这棵古树的高为10m.
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】根据反射定律可以推出∠ACB＝∠ECF，∠AC′B＝∠E′C′F′，所以可得△BAC∽△FEC、△AC′B∽△E′C′F′，再根据相似三角形的性质解答.
24．【答案】（1）∵AB⊥OM，PO⊥OM，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴OP=8，
即路灯距地面的高度为8米
（2）∵CD⊥OM，PO⊥OM，
∴ ，
∴ ，
∵OC=OA-AC=20-7=13，CD=1.5，OP=8，
∴ ，
∴CN=3，
即小龙的身影的长度为3米
【知识点】相似三角形的判定与性质；相似三角形的应用
【解析】【分析】（1）根据 得出 ，代入求解即可；（2）根据 得出 ，结合（1）代入求解即可．
25．【答案】（1）解：∵AB∥CD，
∴△CDF∽△ABF，
∴CD：AB=DF：BF，
∴1.6：AB=3：12，
解得：AB=6.4.
答：灯杆AB的高度为6.4米.
（2）解：假设全部在地上，设影长为x，
则CD：AB=DF：BF，
∴1.6：6.4=x：(9+7+x)，
解得：x= ，而9+7+ -18= ＞0.故有部分影子落在墙上.
因为超过的影长为 ，相当于墙上影长在地上的投影，故设落在墙上的影长为y，则有y：6.4= ：( +18)，解得：y=1.
故落在墙上的影子长为1米.
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】（1）由相似三角形对应成比例即可求出AB的长.（2）假设全部在地上，设影长为x，同样求出影长x，而9+7+影长＞18.故有部分影子落在墙上.超过的影长，相当于墙上影长在地上的投影，设落在墙上的影长为y，则有y：6.4= ：( +18)，求出y的值即可.
26．【答案】（1）解：连接AC，过点D作DF∥AC，交直线BC于点F，线段EF即为DE的投影.
（2）解：∵AC∥DF，
∴∠ACB=∠DFE，
∵∠ABC=∠DEF=90°，
∴△ABC∽△DEF，
∴AB：DE=BC：EF，
∵AB=5m，BC=3m，EF=6m，
∴5：DE=3：6，
∴DE=10m.
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】（1）连接AC，过点D作DF∥AC，交直线BC于点F，线段EF即为DE的投影；
（2）易证△ABC∽△DEF，再根据相似三角形的对应边成比例进行解答即可.
27．【答案】（1）证明：∵三角形ABC和三角形AFG是两个全等的等腰直角三角形，
∴∠FAG=∠ACB=45°，∠B=∠C=45°，
∴∠BAE=∠BAD+45°，∠CDA=∠BAD+∠B =∠BAD+45°，
∴∠BAE=∠CDA，
∴△ABE∽△DCA，
（2）解：由（1）可知△ABE∽△DCA，
∴ ，
∴
又∵三角形ABC是等腰直角三角形，AB=4，
∴AB=CA=4，
∴ ，
即 ，
（3）解：不变．
∵∠BEA=∠EAC+∠C =∠EAC+45°，
∠CAD=∠FAG +∠EAC=45°+∠EAC
∴∠BEA=∠CAD，
又∵∠ABE=∠DCA=45°，
∴△EBA∽△ACD，
∴ ，
∴ ，
【知识点】相似三角形的判定与性质；相似三角形的应用
【解析】【分析】（1）由于∠BAE=∠BAD+45°，∠CDA=∠BAD+45°，那么∠BAE=∠CDA，而∠B=∠C=45°，易证△ABE∽△DCA；
（2）由（1）知△ABE∽△DCA，可得 ，利用AB=CA=4，可求k的值；
（3）不变．由于∠BEA=∠EAC+45°，∠CAD=45°+∠EAC，易得∠BEA=∠CAD，而∠ABE=∠DCA=45°，可证△EBA∽△ACD，利用比例线段可求BE CD=AB AC，而根据题意知AB=CA=4，从而可求k的值，可得不变的结论．
28．【答案】（1）解：如图1，作PF⊥BC于点F.
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴∠ABD=∠CBD=30°，AB=BC=CD=AD=4.
∵PM∥AB，
∴∠ABD=∠BPM=∠CBD=30°，
∠PMF =∠ABC=60°，
∴PM=BM=1，
∴MF= PM= ，PF= ，
FC=BC-BM-MF=4-1- = ，
∴PC= =
（2）证明：如图2，作PG⊥BC于点G.
∵∠PCM=45°，
∴∠CPG=∠PCM=45°，
∴PG=GC.
设MG=x，由（1）可知：
BM=PM=2x，GC=PG= x，
由BM+MG+GC=BC得：2x+x+ x=4，
∴x= ，∴BM= .
∵四边形ABCD是菱形，∴BM∥AD，
∴△BEM∽△DEA，
∴
（3）解：①如图3，延长MQ与CD交于点H，连接AH，AC.
∵PM∥AB∥CD，
∴∠PMQ=∠CHQ，∠MPQ=∠HCQ.
∵Q是PC的中点，
∴PQ=CQ，
∴△PMQ≌△CHQ，
∴PM=CH=BM，MQ=HQ.
由四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，易得△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠ABM=∠ACH=60°，
∴△ABM≌△ACH，
∴AM=AH，∠BAM=∠CAH，
∴∠MAH=∠BAC=60°，
∴△AMH为等边三角形，
∴AQ⊥MH，∠MAQ= ∠MAH=30°，
∴AQ= MQ.
②△AMQ的面积有最小值，最小值为 .
【知识点】勾股定理；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：（3）②由①知△AMH为等边三角形；
△AMH面积最小时，AM最小，即AM⊥BC时；
在Rt△ABM中，
AB=4，∠ABC=60°；
∴ AM=23；
∴AQ=3；
S△AMH=12×23×3=33；
∴ S△AMQ=12S△AMH=12×33=323
【分析】(1)作辅助线 PF⊥BC，根据菱形的性质得出 ∠ABD=∠CBD=30°，AB=BC=CD=AD=4 ；再根据平行线的性质得出 ∠ABD=∠BPM=∠CBD=30° ，可以得出PM、MF、PF的长，进而求出 FC ，再根据勾股定理求出PC的长.
(2) 作辅助线 PG⊥BC ，设 MG=x ， 则BM=PM=2x，GC=PG= 3 x， 根据BM+MG+GC=BC ，求出x的值，再根据 △BEM∽△DEA ，对应边成比例得出结论.
(3) ① 延长MQ与CD交于点H，连接AH，AC，由 PM∥AB∥CD 得出 △PMQ≌△CHQ ，对应边相等，进而得出 △ABM≌△ACH ，由全等的性质可判断出 △AMH为等边三角形 ，即得出 AQ= MQ.
② △AMQ 的面积等于△AMH面积的一半，当AM⊥BC时，面积最小.
1 / 1初中数学苏科版九年级下册 6.7 用相似三角形解决问题 同步训练
一、单选题
1．（2017·平川模拟）在相同时刻物高与影长成比例，如果高为1.5m的测竿的影长为 2.5m，那么影长为30m的旗杆的高度是（　　）
A．20m B．16m C．18m D．15m
【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
解得旗杆的高度= =18m．
故答案为：C．
【分析】由在相同时刻物高与影长成比例得出方程求解即可。
2．（2020·玉林）一个三角形木架三边长分别是75cm，100cm，120cm，现要再做一个与其相似的三角形木架，而只有长为60cm和120cm的两根木条.要求以其中一根为一边，从另一根截下两段作为另两边（允许有余料），则不同的截法有（　　）
A．一种 B．两种 C．三种 D．四种
【答案】B
【知识点】三角形三边关系；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：长120cm的木条与三角形木架的最长边相等，则长120cm的木条不能作为一边，
设从120cm的木条上截下两段长分别为xcm，ycm（x+y≤120），
由于长60cm的木条不能与75cm的一边对应，否则x、y有大于120cm，
当长60cm的木条与100cm的一边对应，则 ，
解得：x＝45，y＝72；
当长60cm的木条与120cm的一边对应，则 ，
解得：x＝37.5，y＝50.
答：有两种不同的截法：把120cm的木条截成45cm、72cm两段或把120cm的木条截成37.5cm、50cm两段.
故答案为：B.
【分析】分类讨论：长120cm的木条与三角形木架的最长边相等，则长120cm的木条不能作为一边，设从120cm的一根上截下的两段长分别为xcm，ycm（x+y≤120），易得长60cm的木条不能与75cm的一边对应，所以当长60cm的木条与100cm的一边对应时有 ；当长60cm的木条与120cm的一边对应时有 ，然后分别利用比例的性质计算出两种情况下得x和y的值.
3．（2020九上·潜山期末）如图，一同学在湖边看到一棵树，他目测出自己与树的距离为20m，树的顶端在水中的倒影距自己5m 远，该同学的身高为1.7m ，则树高为（　　）.
A．3.4m B．4.7 m C．5.1m D．6.8m
【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：由题意可得：∠BCA=∠EDA=90°，∠BAC=∠EAD，
故△ABC∽△AED，
由相似三角形的性质，设树高x米，
则 ，
∴x=5.1m．
故答案为：C．
【分析】由入射光线和反射光线与镜面的夹角相等，可得两个相似三角形，根据相似三角形的性质解答即可．
4．（2020九上·重庆月考）如图，身高1.5米的小西站在点D处，此时路灯M照射的影子AD为2.5米，小西沿着 的方向行走4.5米至点F，此时影子 为1米，则路灯BM的高度为（　　）
A．3米 B．3.5米 C．4.5米 D．6米
【答案】D
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：由图可知：CD⊥AB，MB⊥AB
∴CD∥MB
∴△ACD∽△AMB，
∴
同理可得：
由题意知：CD＝EF＝1.5，AD＝2.5，DF＝4.5，NF＝1
∴
设BF＝x，则
解得：
∴
∴BM＝6
故答案为：D
【分析】由题意可得CD∥MB，根据相似三角形的判定“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得△ACD∽△AMB，于是可得比例式，同理可得，结合已知的线段计算可得，设BF＝x，根据比例式可得关于x的方程，解之可求得x的值，于是BM的值可求解.
5．（新人教版数学九年级上册第二十七章《相似三角形应用举例》同步练习）一张等腰三角形纸片，底边长15cm，底边上的高长22.5cm，现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图所示，已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（　　）
A．第4张 B．第5张 C．第6张 D．第7张
【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】已知剪得的纸条中有一张是正方形，则正方形中平行于底边的边是3，
所以根据相似三角形的性质可设从顶点到这个正方形的线段为x，
则 ，解得x=4.5，
所以另一段长为22.5-4.5=18，
因为18÷3=6，所以是第六张．
故答案为：C．
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质及等腰三角形的性质的综合运用．根据相似三角形的相似比求得顶点到这个正方形的长，再根据矩形的宽求得是第几张．
6．（2020九上·成都月考）如图，锐角三角形 ，边 ，高 ，其内接的正方形的一边在 上，其余两个顶点分别在 ， 上，则正方形的边长 为（　　）
A．2.6 B．2.4 C．3 D．1.2
【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解： 四边形 是正方形，
， ，EG⊥BC，
∵ ， ，
∴KD=EG，
设 ，则 ，
，
，
，即 ，解得： ．
故答案为：B．
【分析】根据正方形的性质可得 ， ，根据平行线间的距离处处相等可得KD=EG，易证 ，设 ，根据相似三角形的性质可得关于a的方程，解方程即得答案．
7．（2019·平房模拟）如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上．已知铁塔底座宽CD＝12 m，塔影长DE＝18 m，小明和小华的身高都是1.6m，同一时刻，小明站在点E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m和1m，那么塔高AB为（　　）
A．24m B．22m C．20m D．18m
【答案】A
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：过D作DF⊥CD，交AE于点F，过F作FG⊥AB，垂足为G．
由题意得： ．
∴DF＝DE×1.6÷2＝14.4（m）．
∴GF＝BD＝ CD＝6m．
又∵ ．
∴AG＝1.6×6＝9.6（m）．
∴AB＝14.4+9.6＝24（m）
答：铁塔的高度为24m．
故答案为：A．
【分析】作辅助线DF⊥CD，FG⊥AB将AB分成两部分，根据投影的性质推出小明在E点影子与身高的比等于△FDE中DF：DE，以此计算出DF的长度，同理，小华站在平地上影子与身高的比等于△AGF中AG：GF，计算出AG即可算出AB的长度。
8．（2019·长春模拟）如图所示，某超市在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板与地面平行.张强扛着箱子(人与箱子的总高度约为2.2m)乘电梯刚好安全通过，请你根据图中数据回答，两层楼之间的高约为（　　）
A． B． C．11m D．
【答案】A
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】如图，作DE⊥FC于点E，
∴△ABC∽△CED，∴ .
设AB＝x米，由题意得DE＝6米，EF＝2.2米.∴ ，解得x＝5.5.故答案为：A.
【分析】如图，作DE⊥FC于点E，由题意得DE＝6米，EF＝2.2米.根据两角相等的两个三角形相似，可证△ABC∽△CED，利用相似三角形的对应边成比例，可得，设AB＝x米，代入对应数据，求出x值即可.
9．（华师大版数学九年级上册第23章图形的相似23.3.4相似三角形的应用 同步练习）如图，路边有一根电线杆AB和一块正方形广告牌（不用考虑牌子的厚度）．有一天，小明突然发现，在太阳光照射下，电线杆顶端A的影子刚好落在正方形广告牌的上边中点G处，而正方形广告牌的影子刚好落在地面上E点，已知BC=5米，正方形边长为2米，DE=4米．则此时电线杆的高度是（　　）米．
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】D
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】过点G作GH∥BC，GM⊥BE，
根据题意，四边形BMGH是矩形，
∴BH=GM=2米，
△AHG∽△FDE，
∴ = ，
∴AH=3，
∴AB=2+3=5米．
故选D．
【分析】过点G作GH∥BC，可得四边形BCGH是矩形，然后且△AHG与△FDE相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出AH的长度，再加上BH即可．
10．如图，在平面直角坐标系xOy中，A(2，0)，B(0，2)，⊙C的圆心为点C(-1，0)，半径为1．若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值是（　　）
A．2
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】切线的性质；相似三角形的应用
【解析】【解答】若△ABE的面积最小，则AD与⊙C相切，连接CD，则CD⊥AD；
Rt△ACD中，CD=1，AC=OC+OA=3；
由勾股定理，得：AD=2
；
∴S△ACD=
AD CD=
；
易证得△AOE∽△ADC，
∴=（
)2=（
)2=
，
即S△AOE=
S△ADC=
；
∴S△ABE=S△AOB-S△AOE=
×2×2-
=2-
；
故选D．
【分析】由于 OA的长为定值，若△ABE的面积最小，则BE的长最短，此时AD与⊙相切；可连接CD，在Rt△ADC中，由勾股定理求得AD的长，即可得到△ADC的 面积；易证得△AEO∽△ACD，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出△AOE的面积，进而可得出△AOB和△AOE的面积差，由此得解．此题主要考查了切线的性质、相似三角形的性质、三角形面积的求法等知识；能够正确的判断出△BE面积最小时AD与⊙C的位置关系是解答此题的关键．
二、填空题
11．（2019九上·柯桥月考）如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE＝20m，CE＝10m，CD＝20m，则河的宽度AB等于　 　m
【答案】40
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴∠ABE=∠CED=90°
∵∠AEB=∠CED
∴△ABE∽△DCE
∴即
解之：AB=40.
故答案为：40.
【分析】利用垂直的定义可证得∠ABE=∠CED，图形中隐含对顶角相等，可证得△ABE∽△DCE，再利用相似三角形的对应边成比例，列出比例式，由此可求出AB的长。
12．（2018-2019学年数学沪科版九年级上册22.5 综合与实践 测量与误差 同步练习 ）如图，身高为1.8米的某学生想测量学校旗杆的高度，当他站在B处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AB=2米，BC=18米，则旗杆CD的高度是　 　米．
【答案】18
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图：
∵BE⊥AC，CD⊥AC，
∴BE∥CD，
∴△ABE∽△ACD，
∴ = ，
∴ = ，
解得：CD=18．
故答案为：18
【分析】先证明BE∥CD，可证得△ABE∽△ACD，再利用相似三角形的性质，得出对应边成比例，就可求出CD的长。
13．（2019九上·青羊期中）如图是圆桌正上方的灯泡O发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）的示意图．已知桌面的直径为1.2m，桌面距离地面1m，若灯泡O距离地面3m，则地面上阴影部分的面积为　 　m2．
【答案】0.81π
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】如图设C，D分别是桌面和其地面影子的圆心，CB∥AD， ∴△OBC∽△OAD
∴而OD=3，CD=1， ∴OC=OD-CD=3-1=2，BC= ×1.2=0.6， ∴
∴AD=0.9 ， S=π×0.92=0.81πm2，这样地面上阴影部分的面积为0.81πm2．
【分析】如图设C，D分别是桌面和其地面影子的圆心，依题意可以得到△OBC∽△OAD，然后由它们的对应边成比例可以求出地面影子的半径，这样可以求出阴影部分的面积．
14．（2020九上·柯桥月考）相邻两根电杆都用钢索在地面上固定，如图，一根电杆钢索系在离地面4米处，另一根电杆钢索系在离地面6米处，两根电线杆的钢索都有一根固定在另一根电线杆底部，则中间两根钢索相交处点P离地面　 　米
【答案】
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：过点P作PE⊥BC于点E，
∵CD∥AB
∴△CPD∽△APB
∴
∴
∵CD∥PE
∴△BPE∽△BDC
∴即
解之：PE=.
【分析】过点P作PE⊥BC于点E，利用CD∥AB，可证得△CPD∽△APB，再利用相似三角形的性质求出BE与CE的比值，再根据CD∥PE证明△BPE∽△BDC，再利用相似三角形的对应边成比例可求出PE的长。
15．（2020九上·长春月考）如图，一电线杆 的影子分别落在了地上和墙上．同一时刻，小明竖起 米高的直杆 ，量得其影长 为 米，量得电线杆 落在地上的影子 长 米，落在墙上的影子 的高为 米，则电线杆 的高为　 　米．
【答案】8
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：过C点作CG⊥AB于点G，
∴GC＝BD＝3米，GB＝CD＝2米，
∵∠NMF＝∠AGC＝90°，NF∥AC，
∴∠NFM＝∠ACG，
∴△NMF∽△AGC，
∴ ，
∴AG＝ ＝6，
∴AB＝AG＋GB＝6＋2＝8(米)，
故电线杆AB的高为8米
故答案为8．
【分析】过C点作CG⊥AB于点G，把直角梯形ABCD分割成一个直角三角形和一个矩形，由于太阳光线是平行的，就可以构造出相似三角形，根据相似三角形的性质解答即可．
16．（2018-2019学年数学沪科版九年级上册22.5 综合与实践 测量与误差 同步练习 ）如图，阳光通过窗口照到室内，在地面上留下1.6m宽的亮区DE ， 已知亮区一边到窗下的墙脚距离CE=3.6m，窗高AB=1.2m，那么窗口底边离地面的高度BC=　 　m．
【答案】1.5
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵光是沿直线传播的，
∴BD∥AE ，
∴△CBD∽△CAE ，
∴ ，
即 ，
解得BC=1.5m．
故答案为：1.5
【分析】将实际问题转化为数学问题，可得出BD∥AE ，可证得△CBD∽△CAE 利用相似三角形的性质可得出对应边成比例，就可求出BC的长。
17．（2019九上·保定期中）如图1，长、宽均为3高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度为　 　．
【答案】
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】过点C作CF⊥BG于点F，
设DE=x，则AD=8-x，
根据题意得： (8-x+8)×3×3=3×3×6，解得：x=4，
∴DE=4，
∵∠E=90°，
∴CD= ，
∵∠BCE=∠DCF=90°，
∴∠DCE=∠BCF，
∵∠DEC=∠BFC=90°，
∴ DEC~ BFC，
∴ ，即： ，
∴CF= ．
故答是： ．
【分析】过点C作CF⊥BG于点F，设DE=x，根据水的体积不变，列出方程，求出x的值，进而求出CD的值，由 DEC~ BFC，得 ，进而即可求解．
18．如图， ABCD中，AB＞AD，AE，BE，CM，DM分别为∠DAB，∠ABC，∠BCD，∠CDA的平分线，AE与DM相交于点F，BE与CM相交于点N，连接EM．若 ABCD的周长为42cm，FM=3cm，EF=4cm，则EM= 　 　cm，AB= 　 　cm．
【答案】5；13
【知识点】勾股定理的应用；平行四边形的性质；矩形的判定与性质；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵AE为∠DAB的平分线，
∴∠DAE=∠EAB=∠DAB，
同理：∠ABE=∠CBE=∠ABC，
∠BCM=∠DCM=∠BCD，
∠CDM=∠ADM=∠ADC．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAB=∠BCD，∠ABC=∠ADC，AD=BC．
∴∠DAF=∠BCN，∠ADF=∠CBN．
在△ADF和△CBN中，
．
∴△ADF≌△CBN（ASA）．
∴DF=BN．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC=180°．
∴∠EAB+∠EBA=90°．
∴∠AEB=90°．
同理可得：∠AFD=∠DMC=90°．
∴∠EFM=90°．
∵FM=3，EF=4，
∴ME==5（cm）．
∵∠EFM=∠FMN=∠FEN=90°．
∴四边形EFMN是矩形．
∴EN=FM=3．
∵∠DAF=∠EAB，∠AFD=∠AEB，
∴△AFD∽△AEB．
∴=．
∴=．
∴4DF=3AF．
设DF=3k，则AF=4k．
∵∠AFD=90°，
∴AD=5k．
∵∠AEB=90°，AE=4（k+1），BE=3（k+1），
∴AB=5（k+1）．
∵2（AB+AD）=42，
∴AB+AD=21．
∴5（k+1）+5k=21．
∴k=1.6．
∴AB=13（cm）．
故答案为：5；13．
【分析】由条件易证∠AEB=∠AFD=∠DMC=90°．进而可证到四边形EFMN是矩形及∠EFM=90°，由FM=3cm，EF=4cm可求出EM．易证△ADF≌△CBN，从而得到DF=BN；易证△AFD∽△AEB，从而得到4DF=3AF．设DF=3k，则AF=4k．AE=4（k+1），BE=3（k+1），从而有AD=5k，AB=5（k+1）．由 ABCD的周长为42cm可求出k，从而求出AB长．
三、解答题
19．（2020九上·宿迁月考）某天，小芳走到如图所示的C处时，看到正对面一条东西走向的笔直公路.上有一辆汽车从东面驶来，到达Q处时，恰好被公路北侧边上竖着的一个长12m的广告牌AB挡住，3s后在P处又重新看到该汽车的全部车身，已知该汽车的行驶速度是6m/s，假设AB PQ，公路宽为10m，求小芳所在C处到公路南侧PQ的距离.
【答案】解：如图，过点C作 于点D，交AB于点E，
根据题意， ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，则 ，解得 ，
∴CE=CD+DE=30m，
答：小芳所在C处到公路南侧PQ的距离是30m .
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】过点C作 于点D，交AB于点E，根据△ABC∽△PQC 和△BDC∽△QEC 利用对应边成比例列式求出DC的长.
20．（2021九上·杭州期末）在一次数学活动课上，小芳到操场上测量旗杆的高度，她的测量方法是：拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的C处（如图），然后沿BC方向走到D处，这时目测旗杆顶部A与竹竿顶部E恰好在同一直线上，又测得C、D两点的距离为3米，小芳的目高为1.5米，利用她所测数据，求旗杆的高.
【答案】解：设旗杆高AB=x.过F作FG⊥AB于G，交CE于H（如图）.
因为CE∥AB
所以△AGF∽△EHF.
因为，FD=1.5，GF=27+3=30，HF=3，
所以，EH=3.5-1.5=2，AG=x-1.5.
由△AGF∽△EHF，
得 ，
即 ，
所以，x-1.5=20，
解得，x=21.5（米）
答：旗杆的高为21.5米.
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】设旗杆高AB=x.过F作FG⊥AB于G，交CE于H（如图），由CE∥AB，可证△AGF∽△EHF.，即得，解出x的值即可.
21．（2020九上·泰兴期中）如图，小明用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB.他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上.已知纸板的两条直角边 ， ，测得 ，边DF离地面的高度 ，求树高AB.
【答案】解： ， .
由题意得 ， .
∵ ， ，
∴ .
∴ .
∴ ，
∴ .
∴ .
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似求得BC的长后加上小明同学的身高即可求得树高AB.
22．（2020九上·宝安期中）如图，某同学想测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.5米，在同时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上影长为21米，留在墙上的影高为2米，求旗杆的高度．
【答案】解：过C作CE⊥AB于E，
∵CD⊥BD，AB⊥BD，
∴∠EBD＝∠CDB＝∠CEB＝90°，
∴四边形CDBE为矩形，
∴BD＝CE＝21，CD＝BE＝2，
设AE＝x，
∴ ，
解得：x＝14，
∴旗杆的高AB＝AE+BE＝14+2＝16米．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】过C作CE⊥AB于E，首先证明四边形CDBE为矩形，可得BD＝CE＝21，CD＝BE＝2，设AE＝x，则 ，求出x即可解决问题．
23．（2020九上·宝鸡期中）李师傅用镜子测量一棵古树的高，但树旁有一条小河，不便测量镜子与树之间的距离，于是他两次利用镜子，第一次把镜子放在C点（如图所示），人在F点正好在镜中看到树尖A；第二次他把镜子放在 处，人在 处正好看到树尖A.已知李师傅眼睛距地面的高度为 ，量得 为 ， 为 ， 为 ，求树高.
【答案】解：根据反射定律可以推出∠ACB＝∠ECF，∠AC′B＝∠E′C′F′，
∴△BAC∽△FEC、△AC′B∽△E′C′F′，
设AB＝x，BC＝y
∴
解得 .
∴这棵古树的高为10m.
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】根据反射定律可以推出∠ACB＝∠ECF，∠AC′B＝∠E′C′F′，所以可得△BAC∽△FEC、△AC′B∽△E′C′F′，再根据相似三角形的性质解答.
24．（2019九上·大邑期中）学习了相似三角形的知识后，爱探究的小明下晚自习后利用路灯的光线去测量了一路灯的高度，并作出了示意图：如图，路灯（点P）距地面若干米，身高1.6米的小明站在距路灯的底部（O点）20米的A点时，身影的长度AM为5米；
（1）请帮助小明求出路灯距地面的高度；
（2）若另一名身高为1.5米小龙站在直线OA上的C点时，测得他与小明的距离AC为7米，求小龙的身影的长度．
【答案】（1）∵AB⊥OM，PO⊥OM，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴OP=8，
即路灯距地面的高度为8米
（2）∵CD⊥OM，PO⊥OM，
∴ ，
∴ ，
∵OC=OA-AC=20-7=13，CD=1.5，OP=8，
∴ ，
∴CN=3，
即小龙的身影的长度为3米
【知识点】相似三角形的判定与性质；相似三角形的应用
【解析】【分析】（1）根据 得出 ，代入求解即可；（2）根据 得出 ，结合（1）代入求解即可．
25．（2020·淮安模拟）如图，灯杆AB与墙MN的距离为18米，小丽在离灯杆（底部）9米的D处测得其影长DF为3m，设小丽身高为1.6m.
（1）求灯杆AB的高度；
（2）小丽再向墙走7米，她的影子能否完全落在地面上？若能，求此时的影长；若不能，求落在墙上的影长.
【答案】（1）解：∵AB∥CD，
∴△CDF∽△ABF，
∴CD：AB=DF：BF，
∴1.6：AB=3：12，
解得：AB=6.4.
答：灯杆AB的高度为6.4米.
（2）解：假设全部在地上，设影长为x，
则CD：AB=DF：BF，
∴1.6：6.4=x：(9+7+x)，
解得：x= ，而9+7+ -18= ＞0.故有部分影子落在墙上.
因为超过的影长为 ，相当于墙上影长在地上的投影，故设落在墙上的影长为y，则有y：6.4= ：( +18)，解得：y=1.
故落在墙上的影子长为1米.
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】（1）由相似三角形对应成比例即可求出AB的长.（2）假设全部在地上，设影长为x，同样求出影长x，而9+7+影长＞18.故有部分影子落在墙上.超过的影长，相当于墙上影长在地上的投影，设落在墙上的影长为y，则有y：6.4= ：( +18)，求出y的值即可.
26．（2020九上·肃州期末）如图，AB和DE直立在地面上的两根立柱，已知AB=5m，某一时刻AB在太阳光下的影子长BC=3m.
（1）在图中画出此时DE在太阳光下的影子EF；
（2）在测量AB影子长时，同时测量出EF=6m，计算DE的长.
【答案】（1）解：连接AC，过点D作DF∥AC，交直线BC于点F，线段EF即为DE的投影.
（2）解：∵AC∥DF，
∴∠ACB=∠DFE，
∵∠ABC=∠DEF=90°，
∴△ABC∽△DEF，
∴AB：DE=BC：EF，
∵AB=5m，BC=3m，EF=6m，
∴5：DE=3：6，
∴DE=10m.
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】（1）连接AC，过点D作DF∥AC，交直线BC于点F，线段EF即为DE的投影；
（2）易证△ABC∽△DEF，再根据相似三角形的对应边成比例进行解答即可.
27．（2019九上·福田期中）如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，AB=4.若△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E(点D不与点B重合，点E不与点C重合).
（1）求证：△ABE∽△DCA；
（2）若BE·CD=k（k为常数），求k的值；
（3）在旋转过程中，当△AFG旋转到如图2的位置时，AG与BC交于点E，AF的延长线与CB的延长线交于点D，那么（2）中k的值是否发生了变化 为什么
【答案】（1）证明：∵三角形ABC和三角形AFG是两个全等的等腰直角三角形，
∴∠FAG=∠ACB=45°，∠B=∠C=45°，
∴∠BAE=∠BAD+45°，∠CDA=∠BAD+∠B =∠BAD+45°，
∴∠BAE=∠CDA，
∴△ABE∽△DCA，
（2）解：由（1）可知△ABE∽△DCA，
∴ ，
∴
又∵三角形ABC是等腰直角三角形，AB=4，
∴AB=CA=4，
∴ ，
即 ，
（3）解：不变．
∵∠BEA=∠EAC+∠C =∠EAC+45°，
∠CAD=∠FAG +∠EAC=45°+∠EAC
∴∠BEA=∠CAD，
又∵∠ABE=∠DCA=45°，
∴△EBA∽△ACD，
∴ ，
∴ ，
【知识点】相似三角形的判定与性质；相似三角形的应用
【解析】【分析】（1）由于∠BAE=∠BAD+45°，∠CDA=∠BAD+45°，那么∠BAE=∠CDA，而∠B=∠C=45°，易证△ABE∽△DCA；
（2）由（1）知△ABE∽△DCA，可得 ，利用AB=CA=4，可求k的值；
（3）不变．由于∠BEA=∠EAC+45°，∠CAD=45°+∠EAC，易得∠BEA=∠CAD，而∠ABE=∠DCA=45°，可证△EBA∽△ACD，利用比例线段可求BE CD=AB AC，而根据题意知AB=CA=4，从而可求k的值，可得不变的结论．
28．（2020·路桥模拟）已知菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=4，点M在BC边上，过点M作PM∥AB交对角线BD于点P，连接PC.
（1）如图1，当BM=1时，求PC的长；
（2）如图2，设AM与BD交于点E，当∠PCM=45°时，求证： = ；
（3）如图3，取PC的中点Q，连接MQ，AQ.
①请探究AQ和MQ之间的数量关系，并写出探究过程；
②△AMQ的面积有最小值吗？如果有，请直接写出这个最小值；如果没有，请说明理由.
【答案】（1）解：如图1，作PF⊥BC于点F.
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴∠ABD=∠CBD=30°，AB=BC=CD=AD=4.
∵PM∥AB，
∴∠ABD=∠BPM=∠CBD=30°，
∠PMF =∠ABC=60°，
∴PM=BM=1，
∴MF= PM= ，PF= ，
FC=BC-BM-MF=4-1- = ，
∴PC= =
（2）证明：如图2，作PG⊥BC于点G.
∵∠PCM=45°，
∴∠CPG=∠PCM=45°，
∴PG=GC.
设MG=x，由（1）可知：
BM=PM=2x，GC=PG= x，
由BM+MG+GC=BC得：2x+x+ x=4，
∴x= ，∴BM= .
∵四边形ABCD是菱形，∴BM∥AD，
∴△BEM∽△DEA，
∴
（3）解：①如图3，延长MQ与CD交于点H，连接AH，AC.
∵PM∥AB∥CD，
∴∠PMQ=∠CHQ，∠MPQ=∠HCQ.
∵Q是PC的中点，
∴PQ=CQ，
∴△PMQ≌△CHQ，
∴PM=CH=BM，MQ=HQ.
由四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，易得△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠ABM=∠ACH=60°，
∴△ABM≌△ACH，
∴AM=AH，∠BAM=∠CAH，
∴∠MAH=∠BAC=60°，
∴△AMH为等边三角形，
∴AQ⊥MH，∠MAQ= ∠MAH=30°，
∴AQ= MQ.
②△AMQ的面积有最小值，最小值为 .
【知识点】勾股定理；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：（3）②由①知△AMH为等边三角形；
△AMH面积最小时，AM最小，即AM⊥BC时；
在Rt△ABM中，
AB=4，∠ABC=60°；
∴ AM=23；
∴AQ=3；
S△AMH=12×23×3=33；
∴ S△AMQ=12S△AMH=12×33=323
【分析】(1)作辅助线 PF⊥BC，根据菱形的性质得出 ∠ABD=∠CBD=30°，AB=BC=CD=AD=4 ；再根据平行线的性质得出 ∠ABD=∠BPM=∠CBD=30° ，可以得出PM、MF、PF的长，进而求出 FC ，再根据勾股定理求出PC的长.
(2) 作辅助线 PG⊥BC ，设 MG=x ， 则BM=PM=2x，GC=PG= 3 x， 根据BM+MG+GC=BC ，求出x的值，再根据 △BEM∽△DEA ，对应边成比例得出结论.
(3) ① 延长MQ与CD交于点H，连接AH，AC，由 PM∥AB∥CD 得出 △PMQ≌△CHQ ，对应边相等，进而得出 △ABM≌△ACH ，由全等的性质可判断出 △AMH为等边三角形 ，即得出 AQ= MQ.
② △AMQ 的面积等于△AMH面积的一半，当AM⊥BC时，面积最小.
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