初中数学北师大版九年级上学期 第四章 4.7 相似三角形的性质
一、单选题
1．（2019·沈阳）已知△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'是它们的对应中线，若AD＝10，A'D'＝6，则△ABC与△A'B'C'的周长比是（ ）
A．3：5 B．9：25 C．5：3 D．25：9
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'是它们的对应中线，AD＝10，A'D'＝6，
∴△ABC与△A'B'C'的周长比＝AD：A′D′＝10：6＝5：3.
故答案为：C.
【分析】根据相似三角形的周长之比、对应中线的比都等于相似比即可得出答案。
2．（2019·绍兴模拟）把一个三角形变成和它相似的三角形，若面积扩大5倍，则边长扩大 ；若边长扩大5倍，则面积扩大 。（ ）
A．5倍，10倍 B．10倍，25倍 C． 倍，25倍 D．25倍，25倍
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：因为面积扩大了5倍，所以边长扩大了 倍，边长扩大5倍，则面积扩大25倍．
故答案为：C．
【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可得出答案。
3．（2019·兰州）已知 ∽ ，AB=8，A`B`=6，则 （ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵ ∽ ，
∴,
∵ AB=8，A'B'=6,
∴.
故答案为：B。
【分析】根据相似三角形对应边成比例即可得出答案。
4．（2019·重庆）如图，△ABO∽△CDO，若BO＝6，DO＝3，CD＝2，则AB的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABO∽△CDO，
∴ ＝ ，
∵BO＝6，DO＝3，CD＝2，
∴ ＝ ，
解得：AB＝4.
故答案为：C.
【分析】根据相似三角形对应边成比例得出 ＝ ，根据比例式即可求出AB的长。
5．（2019·广元）如图，在正方形ABCD的对角线AC上取一点E．使得 ，连接BE并延长BE到F，使 ，BF与CD相交于点H，若 ，有下列结论：① ；② ；③ ；④ ．则其中正确的结论有（ ）
A．①②③ B．①②③④ C．①②④ D．①③④
【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；相似三角形的性质
【解析】【解答】证明：①∵四边形ABCD是正方形，
∴ ， ， ．
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，故①符合题意；
②在EF上取一点G，使 ，连结CG，
∵ ，
∴ ．
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ 是等边三角形．
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，故②符合题意；
③过D作 交于M，
根据勾股定理求出 ，
由面积公式得： ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴
∴ ，故③符合题意；
④在 中， ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故④不符合题意；
综上，正确的结论有①②③，
故答案为：A．
【分析】根据全等三角形和相似三角形、矩形的性质，进行证明，可得出正确的结论。
二、填空题
6．（2019·温州）三个形状大小相同的菱形按如图所示方式摆放，已知∠AOB＝∠AOE＝90°，菱形的较短对角线长为2cm．若点C落在AH的延长线上，则△ABE的周长为 cm．
【答案】12+8
【知识点】相似三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：连接AC交BD于K，
根据菱形的性质OA和HG互相垂直平分，
又∵∠AOB=90°得HG∥KO，又OG∥KH，
∴则四边形HKOG为平行四边形，则OK=HG=2。
∠CDB+∠HDB=∠ADH+∠HDB=90°。
又OH=OC，
则△HOC为等腰直角△，∠CHO=45°，
∵HG=KO=2，∠BOC=∠CAO，∠OCK=∠ACK，
∴△OCK∽△ACO，
，
则BE=2OA=
，AB=
，
则△ABE周长为BE+2AB=
。
在故答案为：
。
【分析】利用四边形HKOG是平行四边形得KO=2，由△COH是等腰直角三角形，得各边之比确定，本题关键是抓住A、H、C三点共线，找三角形相似，利用相似比可求OA的长，OA求出，∵△ABE是等腰直角三角形，则其他各边可求，得其周长。
7．（2019·烟台）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系， 与 是以点P为位似中心的位似图形，它们的顶点均在格点（网格线的交点）上，则点P的坐标为
【答案】
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】根据位似图形的性质“位似图形对应点连线的交点是位似中心”，
连接 并延长， 并延长， 与 的交点即为位似中心P点，由图可知 、B、P在一条直线上，则P点横坐标为-3，
由图可得 和 的位似比为 ， ，
所以 ，
解得PB=2，
所以P点纵坐标为 ，
即P点坐标为 .
故答案为：
【分析】由题意根据位似图形的性质特点，位似图形对应点连线的交点是位似中心，根据位似比一定，即可求出点P的坐标。
8．（2019·吉林模拟）如图，在阳光下，身高1.6m的小明站在旗杆AB影子的顶端C处，他立即沿CB的方向行走，走了5步，发现自己的影子顶端恰好也在C处，继续走了45步到达旗杆的底端B处，假设每步长度相等，则旗杆AB的高度为 m．
【答案】16
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：根据题意可知，，解得，AB=16.
故答案为：16。
【分析】根据题意，利用相似三角形的性质进行作答即可，相似三角形的对应边成比例，即可得到AB的长度。
三、解答题
9．（2019·荆门）如图，为了测量一栋楼的高度 ,小明同学先在操场上 处放一面镜子，向后退到 处,恰好在镜子中看到楼的顶部 ；再将镜子放到 处，然后后退到 处,恰好再次在镜子中看到楼的顶部 （ 在同一条直线上）.测得 , ,如果小明眼睛距地面高度 为 ，试确定楼的高度 .
【答案】解：设 关于点 的对称点为 ,由光的反射定律知，延长 相交于 ，
连接 并延长交 于 ,
∥ , ∽ ,
,
即 ,
,
.
答：楼的高度 为32米。
【知识点】平行线分线段成比例；相似三角形的性质
【解析】【分析】根据光的反射定律作出相关光路图，因为GF∥AC，利用三角形相似分别列比例式。因为根据平面镜成像特点，像和物是等大的，找出有关相等的线段，进行一系列相关的等量代换，使关系式用用已知线段表示，代入已知数据，得出楼的高度。
四、综合题
10．（2019·张家界）如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线AC，延长AB至点E，使 ，连接DE，分别交BC，AC交于点F，G．
（1）求证： BF=CF ；
（2）若 ， ，求FG的长．
【答案】（1）证明： 四边形ABCD是平行四边形，
， ，
，
∴ ，
∵BE=AB，AE=AB+BE，
，
，
（2）解： 四边形ABCD是平行四边形，
，
，
，即 ，
解得， ．
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质，即可证明△EBF∽△EAD，根据相似的性质从而得到答案。
（2）根据平行四边形的性质证明△FGC∽△DGA，根据相似三角形的性质即可得到答案。
11．△ABC∽△A`B`C`， ，边上的中线CD＝4cm，△ABC的周长为20cm，△A`B`C`的面积是64 cm2，求：
（1）A`B`边上的中线C`D`的长；
（2）△A`B`C`的周长
（3）△ABC的面积
【答案】（1）解：∵△ABC∽△A′B′C′， ，AB边上的中线CD=4cm，
∴ = ，
∴C′D′=4cm×2=8cm，
∴A′B′边上的中线C′D′的长为8cm
（2）解：∵△ABC∽△A′B′C′， ，△ABC的周长为20cm，
∴ ，
∴C△A′B′C′=20cm×2=40cm，
∴△A′B′C′的周长为40cm
（3）解：∵△ABC∽△A′B′C′， ，△A′B′C′的面积是64cm2，
∴ ，
∴S△ABC=64cm2÷4=16cm2，
∴△ABC的面积是16cm2.
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据相似三角形对应边的中线的比等于相似比可得方程求解；
（2）根据相似三角形周长的比等于相似比可得方程求解；
（3）根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可求解。
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一、单选题
1．（2019·沈阳）已知△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'是它们的对应中线，若AD＝10，A'D'＝6，则△ABC与△A'B'C'的周长比是（ ）
A．3：5 B．9：25 C．5：3 D．25：9
2．（2019·绍兴模拟）把一个三角形变成和它相似的三角形，若面积扩大5倍，则边长扩大 ；若边长扩大5倍，则面积扩大 。（ ）
A．5倍，10倍 B．10倍，25倍 C． 倍，25倍 D．25倍，25倍
3．（2019·兰州）已知 ∽ ，AB=8，A`B`=6，则 （ ）
A．2 B． C．3 D．
4．（2019·重庆）如图，△ABO∽△CDO，若BO＝6，DO＝3，CD＝2，则AB的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（2019·广元）如图，在正方形ABCD的对角线AC上取一点E．使得 ，连接BE并延长BE到F，使 ，BF与CD相交于点H，若 ，有下列结论：① ；② ；③ ；④ ．则其中正确的结论有（ ）
A．①②③ B．①②③④ C．①②④ D．①③④
二、填空题
6．（2019·温州）三个形状大小相同的菱形按如图所示方式摆放，已知∠AOB＝∠AOE＝90°，菱形的较短对角线长为2cm．若点C落在AH的延长线上，则△ABE的周长为 cm．
7．（2019·烟台）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系， 与 是以点P为位似中心的位似图形，它们的顶点均在格点（网格线的交点）上，则点P的坐标为
8．（2019·吉林模拟）如图，在阳光下，身高1.6m的小明站在旗杆AB影子的顶端C处，他立即沿CB的方向行走，走了5步，发现自己的影子顶端恰好也在C处，继续走了45步到达旗杆的底端B处，假设每步长度相等，则旗杆AB的高度为 m．
三、解答题
9．（2019·荆门）如图，为了测量一栋楼的高度 ,小明同学先在操场上 处放一面镜子，向后退到 处,恰好在镜子中看到楼的顶部 ；再将镜子放到 处，然后后退到 处,恰好再次在镜子中看到楼的顶部 （ 在同一条直线上）.测得 , ,如果小明眼睛距地面高度 为 ，试确定楼的高度 .
四、综合题
10．（2019·张家界）如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线AC，延长AB至点E，使 ，连接DE，分别交BC，AC交于点F，G．
（1）求证： BF=CF ；
（2）若 ， ，求FG的长．
11．△ABC∽△A`B`C`， ，边上的中线CD＝4cm，△ABC的周长为20cm，△A`B`C`的面积是64 cm2，求：
（1）A`B`边上的中线C`D`的长；
（2）△A`B`C`的周长
（3）△ABC的面积
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'是它们的对应中线，AD＝10，A'D'＝6，
∴△ABC与△A'B'C'的周长比＝AD：A′D′＝10：6＝5：3.
故答案为：C.
【分析】根据相似三角形的周长之比、对应中线的比都等于相似比即可得出答案。
2．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：因为面积扩大了5倍，所以边长扩大了 倍，边长扩大5倍，则面积扩大25倍．
故答案为：C．
【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可得出答案。
3．【答案】B
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵ ∽ ，
∴,
∵ AB=8，A'B'=6,
∴.
故答案为：B。
【分析】根据相似三角形对应边成比例即可得出答案。
4．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABO∽△CDO，
∴ ＝ ，
∵BO＝6，DO＝3，CD＝2，
∴ ＝ ，
解得：AB＝4.
故答案为：C.
【分析】根据相似三角形对应边成比例得出 ＝ ，根据比例式即可求出AB的长。
5．【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；相似三角形的性质
【解析】【解答】证明：①∵四边形ABCD是正方形，
∴ ， ， ．
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，故①符合题意；
②在EF上取一点G，使 ，连结CG，
∵ ，
∴ ．
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ 是等边三角形．
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，故②符合题意；
③过D作 交于M，
根据勾股定理求出 ，
由面积公式得： ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴
∴ ，故③符合题意；
④在 中， ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故④不符合题意；
综上，正确的结论有①②③，
故答案为：A．
【分析】根据全等三角形和相似三角形、矩形的性质，进行证明，可得出正确的结论。
6．【答案】12+8
【知识点】相似三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：连接AC交BD于K，
根据菱形的性质OA和HG互相垂直平分，
又∵∠AOB=90°得HG∥KO，又OG∥KH，
∴则四边形HKOG为平行四边形，则OK=HG=2。
∠CDB+∠HDB=∠ADH+∠HDB=90°。
又OH=OC，
则△HOC为等腰直角△，∠CHO=45°，
∵HG=KO=2，∠BOC=∠CAO，∠OCK=∠ACK，
∴△OCK∽△ACO，
，
则BE=2OA=
，AB=
，
则△ABE周长为BE+2AB=
。
在故答案为：
。
【分析】利用四边形HKOG是平行四边形得KO=2，由△COH是等腰直角三角形，得各边之比确定，本题关键是抓住A、H、C三点共线，找三角形相似，利用相似比可求OA的长，OA求出，∵△ABE是等腰直角三角形，则其他各边可求，得其周长。
7．【答案】
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】根据位似图形的性质“位似图形对应点连线的交点是位似中心”，
连接 并延长， 并延长， 与 的交点即为位似中心P点，由图可知 、B、P在一条直线上，则P点横坐标为-3，
由图可得 和 的位似比为 ， ，
所以 ，
解得PB=2，
所以P点纵坐标为 ，
即P点坐标为 .
故答案为：
【分析】由题意根据位似图形的性质特点，位似图形对应点连线的交点是位似中心，根据位似比一定，即可求出点P的坐标。
8．【答案】16
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：根据题意可知，，解得，AB=16.
故答案为：16。
【分析】根据题意，利用相似三角形的性质进行作答即可，相似三角形的对应边成比例，即可得到AB的长度。
9．【答案】解：设 关于点 的对称点为 ,由光的反射定律知，延长 相交于 ，
连接 并延长交 于 ,
∥ , ∽ ,
,
即 ,
,
.
答：楼的高度 为32米。
【知识点】平行线分线段成比例；相似三角形的性质
【解析】【分析】根据光的反射定律作出相关光路图，因为GF∥AC，利用三角形相似分别列比例式。因为根据平面镜成像特点，像和物是等大的，找出有关相等的线段，进行一系列相关的等量代换，使关系式用用已知线段表示，代入已知数据，得出楼的高度。
10．【答案】（1）证明： 四边形ABCD是平行四边形，
， ，
，
∴ ，
∵BE=AB，AE=AB+BE，
，
，
（2）解： 四边形ABCD是平行四边形，
，
，
，即 ，
解得， ．
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质，即可证明△EBF∽△EAD，根据相似的性质从而得到答案。
（2）根据平行四边形的性质证明△FGC∽△DGA，根据相似三角形的性质即可得到答案。
11．【答案】（1）解：∵△ABC∽△A′B′C′， ，AB边上的中线CD=4cm，
∴ = ，
∴C′D′=4cm×2=8cm，
∴A′B′边上的中线C′D′的长为8cm
（2）解：∵△ABC∽△A′B′C′， ，△ABC的周长为20cm，
∴ ，
∴C△A′B′C′=20cm×2=40cm，
∴△A′B′C′的周长为40cm
（3）解：∵△ABC∽△A′B′C′， ，△A′B′C′的面积是64cm2，
∴ ，
∴S△ABC=64cm2÷4=16cm2，
∴△ABC的面积是16cm2.
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据相似三角形对应边的中线的比等于相似比可得方程求解；
（2）根据相似三角形周长的比等于相似比可得方程求解；
（3）根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可求解。
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