初中数学华师大版九年级上学期 第23章 23.3.3 相似三角形的性质
一、单选题
1．（2019·重庆）下列命题是真命题的是（ ）
A．如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的周长比为2:3；
B．如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的周长比为4:9；
C．如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的面积比为2:3；
D．如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的面积比为4:9.
2．（2019·沈阳）已知△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'是它们的对应中线，若AD＝10，A'D'＝6，则△ABC与△A'B'C'的周长比是（ ）
A．3：5 B．9：25 C．5：3 D．25：9
3．（2019·哈尔滨）如图，在 ABCD中，点E在对角线BD上，EM∥AD，交AB于点M，EN∥AB，交AD于点N，则下列式子一定正确的是( ）．
A． B． C． D．
4．（2019·贺州）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，DE∥BC，若AD＝2，AB＝3，DE＝4，则BC等于（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
5．（2019·黔东南）如图,在一斜边长30cm的直角三角形木板(即Rt△ACB)中截取一个正方形CDEF, 点D在边BC上,点E在斜边AB上,点F在边AC上,若AF:AC=1:3,则这块木板截取正方形CDEF后,剩余部分的面积为（ ）
A．200cm2 B．170cm2 C．150cm2 D．100 cm2
6．（2019·淄博模拟）如图，在 中， ， ， 为 边上的一点，且 ．若 的面积为 ，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．（2019·温州）三个形状大小相同的菱形按如图所示方式摆放，已知∠AOB＝∠AOE＝90°，菱形的较短对角线长为2cm．若点C落在AH的延长线上，则△ABE的周长为 cm．
三、综合题
8．（2019·舟山）小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展．
请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题．
（1）温故：如图1，在△ 中， ⊥ 于点 ，正方形 的边 在 上，顶点 ， 分别在 ， 上，若 BC=a，AD=h，求正方形 的边长(a,h表示)．
（2）操作：如何能画出这个正方形PQMN呢
如图2，小波画出了图1的△ABC，然后按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作，先在AB上任取一点 ，画正方形 ，使 ， 在 边上， 在△ 内，然后连结 并延长交 于点N，画 ⊥ 于点 ， ⊥ 交 于点 ， ⊥ 于点 ，得到四边形P ．
推理：证明图2中的四边形 是正方形．
（3）拓展：小波把图2中的线段BN称为“波利亚线”，在该线截取 ，连结 ， (如图3)．当∠ =90°时，求“波利亚线”BN的长（用a、h表示）．
9．（2019·绥化）如图①，在正方形ABCD中，AB=6，M为对角线BD上任意一点(不与B、D重合)，连接CM，过点M作MN⊥CM，交线段AB于点N
（1）求证：MN=MC；
（2）若DM：DB=2：5，求证：AN=4BN；
（3）如图②，连接MC交BD于点G.若BG：MG=3：5，求NG·CG的值
10．（2019·齐齐哈尔）综合与实践
折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识．
折一折：把边长为4的正方形纸片ABCD对折，使边AB与CD重合，展开后得到折痕EF，如图①；点M为CF上一点，将正方形纸片ABCD沿直线DM折叠，使点C落在EF上的点N处，展开后连接DN，MN，AN，如图②．
（1）(一)填一填，做一做：
图②中，∠CMD= °；线段NF= ；
（2）图②中，试判断△AND的形状，并给出证明．
剪一剪、折一折：将图②中的△AND剪下来，将其沿直线GH折叠，使点A落在点A’处，分别得到图③、图④．
（3）(二)填一填：
图③中阴影部分的周长为 ；
（4）图③中，若∠A'GN=80°，则∠A'HD= °；
（5）图③中的相似三角形(包括全等三角形)共有 对；
（6）如图④点A'落在边ND上，若 ，则 = (用含m，n的代数式表示)．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解： A：如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的周长比为4:9，故此答案错误，不符合题意；
B：如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的周长比为4:9， 故此答案正确，符合题意；
C：如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的面积比为16:81， 故此答案错误，不符合题意；
D：如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的面积比,14:81. 故此答案错误，不符合题意。
故答案为：B。
【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方，即可一一判断得出答案。
2．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'是它们的对应中线，AD＝10，A'D'＝6，
∴△ABC与△A'B'C'的周长比＝AD：A′D′＝10：6＝5：3.
故答案为：C.
【分析】根据相似三角形的周长之比、对应中线的比都等于相似比即可得出答案。
3．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵ EM∥AD ， EN∥AB
∴△DNE∽△DAB∽△EMB
∴
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD=BC
∴
故答案为：D
【分析】利用已知条件易证△DNE∽△DAB∽△EMB，利用相似三角形的性质，可证得，再根据平行四边形的性质，可证得一定正确的结论。
4．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ＝ ，
即 ＝ ，
解得：BC＝6。
故答案为：B。
【分析】根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形原三角形相似得出△ADE∽△ABC，根据相似三角形对应边成比例得出 ＝ ，根据比例式即可算出BC的长。
5．【答案】D
【知识点】三角形的面积；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：设AF=k,则AC=3k,FC=2k, EF∥BC，则∠AEF=∠EBD，∴Rt△AEF∽Rt△EBD，AF:EF=ED:BD，
k:2k=2k:BD,∴BD=4k, BC=6k,由勾股定理得：AB2=AC2+BC2 ,AB2=15k2=300, ∴k2=20cm2, 所以S△ABC-S正方形CDEF=S△AEF+S△BDE=（4k×2k+2k×k）÷2=5k2=100cm2
故答案为：D
【分析】设AF=k, 根据三角形相似，把各边用k表示，统一量，在△ABC中利用勾股定理列式求出k2的值，把剩余部分的面积用k来表示，最后代入k2的值即可。
6．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得， 的面积为 ，
∴ 的面积为： ，
故答案为：C．
【分析】根据两角分别相等可证△ACD∽△BCA，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方可得S△BCA=4S△ACD=4a，从而求出△ABD的面积.
7．【答案】12+8
【知识点】相似三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：连接AC交BD于K，
根据菱形的性质OA和HG互相垂直平分，
又∵∠AOB=90°得HG∥KO，又OG∥KH，
∴则四边形HKOG为平行四边形，则OK=HG=2。
∠CDB+∠HDB=∠ADH+∠HDB=90°。
又OH=OC，
则△HOC为等腰直角△，∠CHO=45°，
∵HG=KO=2，∠BOC=∠CAO，∠OCK=∠ACK，
∴△OCK∽△ACO，
，
则BE=2OA=
，AB=
，
则△ABE周长为BE+2AB=
。
在故答案为：
。
【分析】利用四边形HKOG是平行四边形得KO=2，由△COH是等腰直角三角形，得各边之比确定，本题关键是抓住A、H、C三点共线，找三角形相似，利用相似比可求OA的长，OA求出，∵△ABE是等腰直角三角形，则其他各边可求，得其周长。
8．【答案】（1）解：由正方形PQMN得PN∥BC，
∴△APN∽△ABC.
∴ ,即.
解得PN=
（2）证明：推理：由画法可得∠QMN=∠PNM=∠PQM=∠Q'M'N'=90°,
∴四边形PQMN为矩形，MN∥M'N'.
∴△BN'M'∽△BNM.
∴
同理可得
∴
:M'N'=P'N'，∴MN=PN
∴四边形PQMN为正方形。
（3）解：过N作NR⊥EM于点R，
∵NE=NM，
∴∠NEM=∠NME，
∴ER=RM= EM，
又∵∠EQM+∠EMQ=∠EMQ+∠EMN=90°，
∴∠EQM=∠EMN，
又∠QEM=∠NRM=90°，NM=QM，
∴△EQM≌△RMN(AAS)
∴EQ=RM,
∴EQ= EM,
∵∠QEM=90°，
∴∠BEQ+∠NEM=90°，
∴BEQ=∠EMB，
又∵∠EBM=∠QBE,
∴△BEQ∽△BME，
∴ ，
设BQ=x，则BE=2x，BM=4x，
∴QM=BM-BQ=3x=MN=NE，
∴BN=BE+NE=5x，
∴BN= NM=
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）温故：利用正方形的性质易证PN∥BC，就可证得△PAN∽△ABC，再利用相似三角形的性质，得出对应边成比例，建立关于PN的方程，解方程求出PN的长。
（2）推理：根据画法易证四边形PQMN是矩形，可得到MN∥M'N'，易证△BMN和△BM'N'，再利用相似三角形的性质，得出对应边成比例，同理可证△P'BN'∽△PBN，得出对应边成比例，利用中间比及M'N'=P'N'，可证MN=PN，然后利用一组邻边相等的矩形是正方形，可证得结论。
（3） 拓展： 过N作NR⊥EM于点R， 根据已知条件去证明 △EQM≌△RMN，利用全等三角形的性质，可证得 EQ=RM，即可得到 EQ= EM ，再证明 △BEQ∽△BME，利用相似三角形的性质，得出对应边成比例，设BQ=x，用含x的代数式分别表示出BE、BM、QM、BN， 然后根据 BN= NM，就可求出“波利亚线”BN的长、
9．【答案】（1）解：如图，过M分别作ME∥AB交BC于点E，MF∥BC交AB于点F，
则四边形BEMF是平行四边形
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，∠ABD=∠CBD=∠BME=45°
∴ME= BE
∴平行四边形MEBF是正方形．
∴ME=MF
∵CM⊥MN，
∴∠CMN=90°
∵∠FME=90°
∴．∠CME=∠FMN
∴△MFN≌△MEC，
∴MN=MC
（2）证明：由(1)得：FM∥AD，EM∥CD
.
AF=24.CE=24.
△MFN≌△MEC
∴FN=EC=2.4
N=4.8，BN=6-4.8=1.2
AN=4BN
（3）解：把△DMC绕点C逆时针旋转90°得到△BHC，连接GH
∵△DMC≌△BHC，∠BCD=90°，
∴MC=HC，DM=BH，∠CDM=∠CBH，∠DCM=∠BCH=45°
∴∠MBH=90°，∠MCH=90°
MC=MN，MC⊥MN
∴△MNC是等腰直角三角形
∠MNC=45°
∴∠NCH=45°
∴△MCG≌△HCG
∴MG=HG
∵BG：MG=3：5，
∴设BG=3a，则MG=GH=5a
在Rt△BGH中，BH= =4a，则MD=4a
∵正方形ABCD的边长为6，
.BD=6
∴DM+MG+BG=12a=6
∴a=
∴BG= ，MG=
∵∠MGC=∠NGB，∠MNG=∠GBC=45°
∴△MGC∽△MGB.
∴
∴CG·NG=BG·MG≈
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的判定与性质；平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）如图，过M分别作ME∥AB交BC于点E，MF∥BC交AB于点F，先证四边形MEBF是正方形，可得ME=MF，根据同角的余角相等可得∠CME=∠FMN，根据“ASA”可证△MFN≌△MEC，利用全等三角形的对应边相等可得MN=MC.
（2）根据平行线分线段成比例定理可得 ，据此可得AF=24.CE=24，利用全等三角形对应边相等可得FN=EC=2.4，从而求出AN=4.8，BN=6-4.8=1.2，据此得出结论.
（3）把△DMC绕点C逆时针旋转90°得到△BHC，连接GH，根据旋转的性质可得△MNC是等腰直角三角形，可得∠NCH=45°，根据“SAS”可证△MCG≌△HCG，可得MG=HG.设BG=3a，则MG=GH=5a，在Rt△BGH中，利用勾股定理求出BH的长，从而可得MD.利用正方形的性质可得BD= ，由DM+MG+BG=12a=6 ，求出a值，从而求出BG、MG的长.根据两角分别相等可证 △MGC∽△MGB，可得，继而得出结论.
10．【答案】（1）75；4-2
（2）解：△AND等边三角形
证明：由折叠可知DN=CD=AD
∵DE= AD∴DE= DN
∵EF⊥AD∴∠END=30°
∴∠ADN=60°
∴△ADN是等边三角形
（3）12
（4）40
（5）4
（6）
【知识点】全等三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据折叠角和折叠边都相等，写出即可。
（2）根据折叠的性质，折叠边相等， 可判断三角形为等边三角形。
（3）根据图中的信息，利用周长公式，求得即可。
（4）根据角度关系的换算，可得出角的度数。
（5）根据全等三角形和相似三角形的判定定理可得出个数。
（6）根据题意，用m、n表示出线段的比即可。
1 / 1初中数学华师大版九年级上学期 第23章 23.3.3 相似三角形的性质
一、单选题
1．（2019·重庆）下列命题是真命题的是（ ）
A．如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的周长比为2:3；
B．如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的周长比为4:9；
C．如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的面积比为2:3；
D．如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的面积比为4:9.
【答案】B
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解： A：如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的周长比为4:9，故此答案错误，不符合题意；
B：如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的周长比为4:9， 故此答案正确，符合题意；
C：如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的面积比为16:81， 故此答案错误，不符合题意；
D：如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的面积比,14:81. 故此答案错误，不符合题意。
故答案为：B。
【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方，即可一一判断得出答案。
2．（2019·沈阳）已知△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'是它们的对应中线，若AD＝10，A'D'＝6，则△ABC与△A'B'C'的周长比是（ ）
A．3：5 B．9：25 C．5：3 D．25：9
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'是它们的对应中线，AD＝10，A'D'＝6，
∴△ABC与△A'B'C'的周长比＝AD：A′D′＝10：6＝5：3.
故答案为：C.
【分析】根据相似三角形的周长之比、对应中线的比都等于相似比即可得出答案。
3．（2019·哈尔滨）如图，在 ABCD中，点E在对角线BD上，EM∥AD，交AB于点M，EN∥AB，交AD于点N，则下列式子一定正确的是( ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵ EM∥AD ， EN∥AB
∴△DNE∽△DAB∽△EMB
∴
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD=BC
∴
故答案为：D
【分析】利用已知条件易证△DNE∽△DAB∽△EMB，利用相似三角形的性质，可证得，再根据平行四边形的性质，可证得一定正确的结论。
4．（2019·贺州）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，DE∥BC，若AD＝2，AB＝3，DE＝4，则BC等于（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ＝ ，
即 ＝ ，
解得：BC＝6。
故答案为：B。
【分析】根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形原三角形相似得出△ADE∽△ABC，根据相似三角形对应边成比例得出 ＝ ，根据比例式即可算出BC的长。
5．（2019·黔东南）如图,在一斜边长30cm的直角三角形木板(即Rt△ACB)中截取一个正方形CDEF, 点D在边BC上,点E在斜边AB上,点F在边AC上,若AF:AC=1:3,则这块木板截取正方形CDEF后,剩余部分的面积为（ ）
A．200cm2 B．170cm2 C．150cm2 D．100 cm2
【答案】D
【知识点】三角形的面积；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：设AF=k,则AC=3k,FC=2k, EF∥BC，则∠AEF=∠EBD，∴Rt△AEF∽Rt△EBD，AF:EF=ED:BD，
k:2k=2k:BD,∴BD=4k, BC=6k,由勾股定理得：AB2=AC2+BC2 ,AB2=15k2=300, ∴k2=20cm2, 所以S△ABC-S正方形CDEF=S△AEF+S△BDE=（4k×2k+2k×k）÷2=5k2=100cm2
故答案为：D
【分析】设AF=k, 根据三角形相似，把各边用k表示，统一量，在△ABC中利用勾股定理列式求出k2的值，把剩余部分的面积用k来表示，最后代入k2的值即可。
6．（2019·淄博模拟）如图，在 中， ， ， 为 边上的一点，且 ．若 的面积为 ，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得， 的面积为 ，
∴ 的面积为： ，
故答案为：C．
【分析】根据两角分别相等可证△ACD∽△BCA，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方可得S△BCA=4S△ACD=4a，从而求出△ABD的面积.
二、填空题
7．（2019·温州）三个形状大小相同的菱形按如图所示方式摆放，已知∠AOB＝∠AOE＝90°，菱形的较短对角线长为2cm．若点C落在AH的延长线上，则△ABE的周长为 cm．
【答案】12+8
【知识点】相似三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：连接AC交BD于K，
根据菱形的性质OA和HG互相垂直平分，
又∵∠AOB=90°得HG∥KO，又OG∥KH，
∴则四边形HKOG为平行四边形，则OK=HG=2。
∠CDB+∠HDB=∠ADH+∠HDB=90°。
又OH=OC，
则△HOC为等腰直角△，∠CHO=45°，
∵HG=KO=2，∠BOC=∠CAO，∠OCK=∠ACK，
∴△OCK∽△ACO，
，
则BE=2OA=
，AB=
，
则△ABE周长为BE+2AB=
。
在故答案为：
。
【分析】利用四边形HKOG是平行四边形得KO=2，由△COH是等腰直角三角形，得各边之比确定，本题关键是抓住A、H、C三点共线，找三角形相似，利用相似比可求OA的长，OA求出，∵△ABE是等腰直角三角形，则其他各边可求，得其周长。
三、综合题
8．（2019·舟山）小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展．
请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题．
（1）温故：如图1，在△ 中， ⊥ 于点 ，正方形 的边 在 上，顶点 ， 分别在 ， 上，若 BC=a，AD=h，求正方形 的边长(a,h表示)．
（2）操作：如何能画出这个正方形PQMN呢
如图2，小波画出了图1的△ABC，然后按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作，先在AB上任取一点 ，画正方形 ，使 ， 在 边上， 在△ 内，然后连结 并延长交 于点N，画 ⊥ 于点 ， ⊥ 交 于点 ， ⊥ 于点 ，得到四边形P ．
推理：证明图2中的四边形 是正方形．
（3）拓展：小波把图2中的线段BN称为“波利亚线”，在该线截取 ，连结 ， (如图3)．当∠ =90°时，求“波利亚线”BN的长（用a、h表示）．
【答案】（1）解：由正方形PQMN得PN∥BC，
∴△APN∽△ABC.
∴ ,即.
解得PN=
（2）证明：推理：由画法可得∠QMN=∠PNM=∠PQM=∠Q'M'N'=90°,
∴四边形PQMN为矩形，MN∥M'N'.
∴△BN'M'∽△BNM.
∴
同理可得
∴
:M'N'=P'N'，∴MN=PN
∴四边形PQMN为正方形。
（3）解：过N作NR⊥EM于点R，
∵NE=NM，
∴∠NEM=∠NME，
∴ER=RM= EM，
又∵∠EQM+∠EMQ=∠EMQ+∠EMN=90°，
∴∠EQM=∠EMN，
又∠QEM=∠NRM=90°，NM=QM，
∴△EQM≌△RMN(AAS)
∴EQ=RM,
∴EQ= EM,
∵∠QEM=90°，
∴∠BEQ+∠NEM=90°，
∴BEQ=∠EMB，
又∵∠EBM=∠QBE,
∴△BEQ∽△BME，
∴ ，
设BQ=x，则BE=2x，BM=4x，
∴QM=BM-BQ=3x=MN=NE，
∴BN=BE+NE=5x，
∴BN= NM=
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）温故：利用正方形的性质易证PN∥BC，就可证得△PAN∽△ABC，再利用相似三角形的性质，得出对应边成比例，建立关于PN的方程，解方程求出PN的长。
（2）推理：根据画法易证四边形PQMN是矩形，可得到MN∥M'N'，易证△BMN和△BM'N'，再利用相似三角形的性质，得出对应边成比例，同理可证△P'BN'∽△PBN，得出对应边成比例，利用中间比及M'N'=P'N'，可证MN=PN，然后利用一组邻边相等的矩形是正方形，可证得结论。
（3） 拓展： 过N作NR⊥EM于点R， 根据已知条件去证明 △EQM≌△RMN，利用全等三角形的性质，可证得 EQ=RM，即可得到 EQ= EM ，再证明 △BEQ∽△BME，利用相似三角形的性质，得出对应边成比例，设BQ=x，用含x的代数式分别表示出BE、BM、QM、BN， 然后根据 BN= NM，就可求出“波利亚线”BN的长、
9．（2019·绥化）如图①，在正方形ABCD中，AB=6，M为对角线BD上任意一点(不与B、D重合)，连接CM，过点M作MN⊥CM，交线段AB于点N
（1）求证：MN=MC；
（2）若DM：DB=2：5，求证：AN=4BN；
（3）如图②，连接MC交BD于点G.若BG：MG=3：5，求NG·CG的值
【答案】（1）解：如图，过M分别作ME∥AB交BC于点E，MF∥BC交AB于点F，
则四边形BEMF是平行四边形
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，∠ABD=∠CBD=∠BME=45°
∴ME= BE
∴平行四边形MEBF是正方形．
∴ME=MF
∵CM⊥MN，
∴∠CMN=90°
∵∠FME=90°
∴．∠CME=∠FMN
∴△MFN≌△MEC，
∴MN=MC
（2）证明：由(1)得：FM∥AD，EM∥CD
.
AF=24.CE=24.
△MFN≌△MEC
∴FN=EC=2.4
N=4.8，BN=6-4.8=1.2
AN=4BN
（3）解：把△DMC绕点C逆时针旋转90°得到△BHC，连接GH
∵△DMC≌△BHC，∠BCD=90°，
∴MC=HC，DM=BH，∠CDM=∠CBH，∠DCM=∠BCH=45°
∴∠MBH=90°，∠MCH=90°
MC=MN，MC⊥MN
∴△MNC是等腰直角三角形
∠MNC=45°
∴∠NCH=45°
∴△MCG≌△HCG
∴MG=HG
∵BG：MG=3：5，
∴设BG=3a，则MG=GH=5a
在Rt△BGH中，BH= =4a，则MD=4a
∵正方形ABCD的边长为6，
.BD=6
∴DM+MG+BG=12a=6
∴a=
∴BG= ，MG=
∵∠MGC=∠NGB，∠MNG=∠GBC=45°
∴△MGC∽△MGB.
∴
∴CG·NG=BG·MG≈
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的判定与性质；平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）如图，过M分别作ME∥AB交BC于点E，MF∥BC交AB于点F，先证四边形MEBF是正方形，可得ME=MF，根据同角的余角相等可得∠CME=∠FMN，根据“ASA”可证△MFN≌△MEC，利用全等三角形的对应边相等可得MN=MC.
（2）根据平行线分线段成比例定理可得 ，据此可得AF=24.CE=24，利用全等三角形对应边相等可得FN=EC=2.4，从而求出AN=4.8，BN=6-4.8=1.2，据此得出结论.
（3）把△DMC绕点C逆时针旋转90°得到△BHC，连接GH，根据旋转的性质可得△MNC是等腰直角三角形，可得∠NCH=45°，根据“SAS”可证△MCG≌△HCG，可得MG=HG.设BG=3a，则MG=GH=5a，在Rt△BGH中，利用勾股定理求出BH的长，从而可得MD.利用正方形的性质可得BD= ，由DM+MG+BG=12a=6 ，求出a值，从而求出BG、MG的长.根据两角分别相等可证 △MGC∽△MGB，可得，继而得出结论.
10．（2019·齐齐哈尔）综合与实践
折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识．
折一折：把边长为4的正方形纸片ABCD对折，使边AB与CD重合，展开后得到折痕EF，如图①；点M为CF上一点，将正方形纸片ABCD沿直线DM折叠，使点C落在EF上的点N处，展开后连接DN，MN，AN，如图②．
（1）(一)填一填，做一做：
图②中，∠CMD= °；线段NF= ；
（2）图②中，试判断△AND的形状，并给出证明．
剪一剪、折一折：将图②中的△AND剪下来，将其沿直线GH折叠，使点A落在点A’处，分别得到图③、图④．
（3）(二)填一填：
图③中阴影部分的周长为 ；
（4）图③中，若∠A'GN=80°，则∠A'HD= °；
（5）图③中的相似三角形(包括全等三角形)共有 对；
（6）如图④点A'落在边ND上，若 ，则 = (用含m，n的代数式表示)．
【答案】（1）75；4-2
（2）解：△AND等边三角形
证明：由折叠可知DN=CD=AD
∵DE= AD∴DE= DN
∵EF⊥AD∴∠END=30°
∴∠ADN=60°
∴△ADN是等边三角形
（3）12
（4）40
（5）4
（6）
【知识点】全等三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据折叠角和折叠边都相等，写出即可。
（2）根据折叠的性质，折叠边相等， 可判断三角形为等边三角形。
（3）根据图中的信息，利用周长公式，求得即可。
（4）根据角度关系的换算，可得出角的度数。
（5）根据全等三角形和相似三角形的判定定理可得出个数。
（6）根据题意，用m、n表示出线段的比即可。
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