初中数学北师大版七年级下学期 第三章 3.2 用关系式表示的变量间关系
一、单选题
1．（2020九上·重庆月考）已知两个变量x与y之间的对应值如下表，则y与x之间的函数解析式可能是（ ）
x … -2 -1 1 2 …
y … -6 -12 12 6 …
A． B． C． D．
2．（2020·乐东模拟）下列函数中自变量的取值范围是x＞2的是（ ）
A．y＝x﹣2 B．y＝ C．y＝ D．y＝
3．（2019八上·长兴月考）函数y= 中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x=-2 B．x=1 C．x≠-2 D．x≠1
4．（2019八上·浦东月考）函数 中，自变量x的取值范围是（ ）
A． B．
C． 且 D． 且
5．若函数y＝ ，则当y＝20时，自变量x的值是（ ）
A．± B．4
C．± 或4 D．4或－
6．（2020八上·普陀月考）若直线 上每一点都能在直线 上找到关于 轴对称的点，则它的解析式是（ ）
A． B． C． D．
7．（2020八下·偃师期中）函数 的自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．某地的地面温度为21℃，如果高度每升高1千米，气温下降3℃，则气温T（℃）与高度h（千米）之间的表达式为（ ）
A．T=21-3h B．T=3h-21 C．T=21+3h D．T=（21-3）h
二、填空题
9．（2020·麻城模拟）在函数y＝ 中，自变量x的取值范围是 .
10．（2019·邹平模拟）函数 中，自变量x的取值范围是 ．
11．（2019七下·余杭期中）已知 ，用含x的代数式表示y为：y＝ ．
12．一个正方形的边长为5cm，它的边长减少xcm后得到的新正方形的周长为ycm，则y与x的关系式是 ，自变量的取值范围是 ．
13．若用一根长16米的铁丝围成一个长方形，长方形的面积S（m2）与长方形的一条边长x（m）之间的关系如下表：
x/m 1 2 3 4 5 6 7
S/m2 7 12 15 16 15 12 7
根据表格中两个变量之间的关系，写出你发现的一条信息 .
14．梯形的上底长是x，下底长是16，高是8，则梯形的面积y与上底长x之间的关系式是 .
15．（2018·安顺模拟）在函数y= + 中，自变量x的取值范围是 .
16．（2020·麒麟模拟）函数 中，自变量x的取值范围是 .
三、解答题
17．（2019八下·哈尔滨期中）如图，在靠墙（墙长8m）的地方围建一个矩形的养鸡场，另外三边用栅栏围成，如果栅栏总长为32m，求鸡场的一边y（m）与另一边x（m）的函数关系式，并求出自变量的取值范围．
18．（2019八上·浦东期末）已知y=y1+y2，y1与x2成正比例，y2与x-1成反比例，当x=-1时，y=3；当x=2时，y=-3，求y与x之间的函数关系式．
19．已知函数f（x）= ，求函数的定义域及f（4）．
20．如图，正方形ABCD的边长为2，P为DC上的点（不与C，D点重合）．设线段DP的长为x，求梯形ABCP的面积y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
21．（2020八下·镇平月考）写出下列各问题中的函数关系式，并指出自变量的取值范围.
（1）如果直角三角形中一个锐角的度数为α，另一个锐角的度数β与α之间的关系；
（2）一支蜡烛原长为20cm，每分钟燃烧0.5cm，点燃x（分钟）后，蜡烛的长度y(cm)与x（分钟）之间的关系；
（3）有一边长为2cm的正方形，若其边长增加xcm，则增加的面积y（cm2）与x之间的关系.
22．如图，在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝8.点P在AB上运动，设PB＝x，图中阴影部分的面积为y.
（1）写出阴影部分的面积y与x之间的函数表达式和自变量x的取值范围．
（2）当PB的长为多少时，阴影部分的面积等于20
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】函数解析式
【解析】【解答】由表格可知， ，
则y与x之间的函数解析式可能是 ，
故答案为：C.
【分析】观察表格中几组数据可知，每一组对应的x、y的值的积都相等，于是根据反比例函数的定义可求解.
2．【答案】D
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：A项中x的取值范围是全体实数，故此选项不符合题意；
B项中x的取值范围是x≠2，故此选项不符合题意；
C项中x的取值范围是x≥2，故此选项不符合题意；
D项根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件得x﹣2＞0，解得：x＞2，故此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，考虑被开方数为非负数.
3．【答案】D
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：由题意得：x-1≠0
解之：x≠1
故答案为：D.
【分析】观察含自变量的式子是分式，因此分母≠0，建立关于x的不等式，解不等式求出自变量的取值范围。
4．【答案】D
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】根据题意得： ，解得x≥-1且x≠2，
故答案为：D．
【分析】利用二次根式有意义的条件及分母不为0进行解答。
5．【答案】D
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：当x>3时，由y=20得5x=20，解得x=4，成立；
当x 3时，由y=20得x2+6=20，解得x= ，成立；
∴x=4或 ，
故答案为：D.
【分析】把y=20代入函数y的两个式子，并判断是否符合题意即可求解。
6．【答案】A
【知识点】函数解析式
【解析】【解答】取y=-6x上的任意一点的坐标为（1，-6），
可得关于x轴的对称点的坐标为（1，6），
把（1，6）代入y=kx中，解得：k=6
∴ .
故答案为：A.
【分析】任取一点，求出对称点，再代入求解即可。
7．【答案】B
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：根据题意得：x﹣2≥0且x﹣2≠0，解得：x＞2.
故答案为：B.
【分析】根据分式有意义的条件“分母≠0”和二次根式有意义的条件“被开方式非负”可得关于x的不等式组，解不等式组即可求解.
8．【答案】A
【知识点】用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】∵当高度为h时，降低3h，
∴气温T℃与高度h（千米）之间的关系式为T=21-3h
选：A．
【分析】气温=地面温度-降低的气温，把相关数值代入
9．【答案】x≥3且x≠4
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：根据题意知：
解得：x≥3且x≠4
故答案为：x≥3且x≠4.
【分析】二次根式有意义：被开方数非负；分式有意义：分母≠0.
10．【答案】x≧-2且x≠1
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：由题意可得x+2≥0且1-x≠0，
∴x≥-2且x≠1.
故答案为：x≥-2且x≠1.
【分析】求函数自变量的取值范围，使被开方数为非负数且分母不为0，建立不等式组，求出范围即可.
11．【答案】
【知识点】函数解析式
【解析】【解答】解：∵，
∴y=.
故答案为：.
【分析】根据题中给出的式子，用含x的代数式表示y即可.
12．【答案】y=20-4x；0≤x＜5
【知识点】函数解析式；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：（1）由题意可得： 与 间的函数关系式为： ；
（ 2 ）由题意可得，自变量 的取值需满足： ，解得： .
故答案为：（1） ；（2） .
【分析】（1）因为正方形的边长减少xcm，则边长变为（5-x）cm；根据正方形的周长=4边长可求解；
（2）因为原正方形边长为5cm，所以x不能大于5cm，而边长不能为负数，所以x又应该大于或等于0，即自变量x的取值范围是：。
13．【答案】长方形的周长不变时，长与宽的差越小，长方形的面积越大.（答案不唯一）
【知识点】函数解析式
【解析】【解答】解：观察表格可以发现：长方形的周长不变时，长与宽的差越小，长方形的面积越大，
故答案为：长方形的周长不变时，长与宽的差越小，长方形的面积越大.（答案不唯一）
【分析】由表格中的信息可知：长方形的周长固定时，长与宽的差越大，长方形的面积越小；长与宽的差越小，长方形的面积越大。或可得s与x之间的函数关系式为：s=x().（答案不唯一）
14．【答案】y=4x+64
【知识点】函数解析式
【解析】【解答】解：由题意得：y= （x+16）×8=4x+64．
故梯形的面积y与上底长x之间的关系式是y=4x+64．
故答案为：y=4x+64．
【分析】根据梯形面积公式即可解答。
15．【答案】1≤x≤2
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】由题意可知 ，
解得，1≤x≤2.
故答案为：1≤x≤2.
【分析】由二次根式有意义的条件可得x 1≥0，2 x≥0，解得1≤x≤2.
16．【答案】 且x≠4
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】
∴ 且x-4≠0，
∴自变量x的取值范围是 且x≠4.
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围.
17．【答案】解：(1)根据题意得:鸡场的长y(m)与宽x(m)有
y+2x=32:即y=-2x+32;(2)题中有8>y>0,-2x+32≤8
∴x≥12
又y>x
-2x+35>x,解得x＜16
则自变量的取值范围为故答案为: 12≤x<16.
【知识点】函数解析式；函数自变量的取值范围
【解析】【分析】根据长方形的面积公式和围成的长方形仅有三边,找到函数关系解答即可
18．【答案】解：∵y1与x2成正比例，
∴y1=k1x2．
∵y2与x-1成反比例，
∴y2= ．
y=k1x2+ ．
当x=-1时，y=3；
x=2时，y=-3；
∴ ．
解得： ．
∴y= x2- ．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【分析】根据题意可设y1=k1x2，y2= ．从而可得y=k1x2+ ，分别将当x=-1时，y=3；当x=2时，y=-3代入可得关于k1、k2的方程组，求出k1、k2的值即可.
19．【答案】解：根据题意得， ，
解得 ，
定义域为：2＜x≤6；
f（4）= + ，
=3 + ，
=4 ．
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式求解即可得到函数定义域；把自变量x=4代入函数解析式进行计算即可求解．
20．【答案】解：梯形ABCP的面积y关于x的函数关系式：y=﹣x+4（0＜x＜2）
【知识点】函数解析式；函数自变量的取值范围
【解析】【分析】根据梯形的面积可得函数关系式，
21．【答案】（1）解：β＝90°－α，
∵α>0，β>0
∴0°<α<90°
（2）解：y＝20－0.5x，
∵20-0.5x≥0，x≥0
∴0≤x≤40
（3）解：y＝(x+2)2-22=x2＋4x，x>0.
【知识点】函数解析式；函数自变量的取值范围
【解析】【分析】（1）由“直角三角形的两个锐角互余”来写函数关系式；（2）根据点燃后蜡烛的长度＝原长 燃烧的长度，列函数关系式；（3）根据正方形增加的面积＝新正方形的面积 原正方形的面积.
22．【答案】（1）解：设PB=x，长方形ABCD中，AB=4，BC=8，
则图中阴影部分的面积为：y= （4-x+4）×8=32-4x（0≤x≤4）．
（2）解：当y=20时，20=32-4x，解得x=3，即PB=3
【知识点】函数解析式
【解析】【分析】（1）由题意根据梯形的面积=
即可求解，且
（0≤x≤4） ；
（2）把y=20代入（1）中的解析式计算即可求解。
1 / 1初中数学北师大版七年级下学期 第三章 3.2 用关系式表示的变量间关系
一、单选题
1．（2020九上·重庆月考）已知两个变量x与y之间的对应值如下表，则y与x之间的函数解析式可能是（ ）
x … -2 -1 1 2 …
y … -6 -12 12 6 …
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数解析式
【解析】【解答】由表格可知， ，
则y与x之间的函数解析式可能是 ，
故答案为：C.
【分析】观察表格中几组数据可知，每一组对应的x、y的值的积都相等，于是根据反比例函数的定义可求解.
2．（2020·乐东模拟）下列函数中自变量的取值范围是x＞2的是（ ）
A．y＝x﹣2 B．y＝ C．y＝ D．y＝
【答案】D
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：A项中x的取值范围是全体实数，故此选项不符合题意；
B项中x的取值范围是x≠2，故此选项不符合题意；
C项中x的取值范围是x≥2，故此选项不符合题意；
D项根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件得x﹣2＞0，解得：x＞2，故此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，考虑被开方数为非负数.
3．（2019八上·长兴月考）函数y= 中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x=-2 B．x=1 C．x≠-2 D．x≠1
【答案】D
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：由题意得：x-1≠0
解之：x≠1
故答案为：D.
【分析】观察含自变量的式子是分式，因此分母≠0，建立关于x的不等式，解不等式求出自变量的取值范围。
4．（2019八上·浦东月考）函数 中，自变量x的取值范围是（ ）
A． B．
C． 且 D． 且
【答案】D
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】根据题意得： ，解得x≥-1且x≠2，
故答案为：D．
【分析】利用二次根式有意义的条件及分母不为0进行解答。
5．若函数y＝ ，则当y＝20时，自变量x的值是（ ）
A．± B．4
C．± 或4 D．4或－
【答案】D
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：当x>3时，由y=20得5x=20，解得x=4，成立；
当x 3时，由y=20得x2+6=20，解得x= ，成立；
∴x=4或 ，
故答案为：D.
【分析】把y=20代入函数y的两个式子，并判断是否符合题意即可求解。
6．（2020八上·普陀月考）若直线 上每一点都能在直线 上找到关于 轴对称的点，则它的解析式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数解析式
【解析】【解答】取y=-6x上的任意一点的坐标为（1，-6），
可得关于x轴的对称点的坐标为（1，6），
把（1，6）代入y=kx中，解得：k=6
∴ .
故答案为：A.
【分析】任取一点，求出对称点，再代入求解即可。
7．（2020八下·偃师期中）函数 的自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：根据题意得：x﹣2≥0且x﹣2≠0，解得：x＞2.
故答案为：B.
【分析】根据分式有意义的条件“分母≠0”和二次根式有意义的条件“被开方式非负”可得关于x的不等式组，解不等式组即可求解.
8．某地的地面温度为21℃，如果高度每升高1千米，气温下降3℃，则气温T（℃）与高度h（千米）之间的表达式为（ ）
A．T=21-3h B．T=3h-21 C．T=21+3h D．T=（21-3）h
【答案】A
【知识点】用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】∵当高度为h时，降低3h，
∴气温T℃与高度h（千米）之间的关系式为T=21-3h
选：A．
【分析】气温=地面温度-降低的气温，把相关数值代入
二、填空题
9．（2020·麻城模拟）在函数y＝ 中，自变量x的取值范围是 .
【答案】x≥3且x≠4
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：根据题意知：
解得：x≥3且x≠4
故答案为：x≥3且x≠4.
【分析】二次根式有意义：被开方数非负；分式有意义：分母≠0.
10．（2019·邹平模拟）函数 中，自变量x的取值范围是 ．
【答案】x≧-2且x≠1
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：由题意可得x+2≥0且1-x≠0，
∴x≥-2且x≠1.
故答案为：x≥-2且x≠1.
【分析】求函数自变量的取值范围，使被开方数为非负数且分母不为0，建立不等式组，求出范围即可.
11．（2019七下·余杭期中）已知 ，用含x的代数式表示y为：y＝ ．
【答案】
【知识点】函数解析式
【解析】【解答】解：∵，
∴y=.
故答案为：.
【分析】根据题中给出的式子，用含x的代数式表示y即可.
12．一个正方形的边长为5cm，它的边长减少xcm后得到的新正方形的周长为ycm，则y与x的关系式是 ，自变量的取值范围是 ．
【答案】y=20-4x；0≤x＜5
【知识点】函数解析式；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：（1）由题意可得： 与 间的函数关系式为： ；
（ 2 ）由题意可得，自变量 的取值需满足： ，解得： .
故答案为：（1） ；（2） .
【分析】（1）因为正方形的边长减少xcm，则边长变为（5-x）cm；根据正方形的周长=4边长可求解；
（2）因为原正方形边长为5cm，所以x不能大于5cm，而边长不能为负数，所以x又应该大于或等于0，即自变量x的取值范围是：。
13．若用一根长16米的铁丝围成一个长方形，长方形的面积S（m2）与长方形的一条边长x（m）之间的关系如下表：
x/m 1 2 3 4 5 6 7
S/m2 7 12 15 16 15 12 7
根据表格中两个变量之间的关系，写出你发现的一条信息 .
【答案】长方形的周长不变时，长与宽的差越小，长方形的面积越大.（答案不唯一）
【知识点】函数解析式
【解析】【解答】解：观察表格可以发现：长方形的周长不变时，长与宽的差越小，长方形的面积越大，
故答案为：长方形的周长不变时，长与宽的差越小，长方形的面积越大.（答案不唯一）
【分析】由表格中的信息可知：长方形的周长固定时，长与宽的差越大，长方形的面积越小；长与宽的差越小，长方形的面积越大。或可得s与x之间的函数关系式为：s=x().（答案不唯一）
14．梯形的上底长是x，下底长是16，高是8，则梯形的面积y与上底长x之间的关系式是 .
【答案】y=4x+64
【知识点】函数解析式
【解析】【解答】解：由题意得：y= （x+16）×8=4x+64．
故梯形的面积y与上底长x之间的关系式是y=4x+64．
故答案为：y=4x+64．
【分析】根据梯形面积公式即可解答。
15．（2018·安顺模拟）在函数y= + 中，自变量x的取值范围是 .
【答案】1≤x≤2
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】由题意可知 ，
解得，1≤x≤2.
故答案为：1≤x≤2.
【分析】由二次根式有意义的条件可得x 1≥0，2 x≥0，解得1≤x≤2.
16．（2020·麒麟模拟）函数 中，自变量x的取值范围是 .
【答案】 且x≠4
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】
∴ 且x-4≠0，
∴自变量x的取值范围是 且x≠4.
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围.
三、解答题
17．（2019八下·哈尔滨期中）如图，在靠墙（墙长8m）的地方围建一个矩形的养鸡场，另外三边用栅栏围成，如果栅栏总长为32m，求鸡场的一边y（m）与另一边x（m）的函数关系式，并求出自变量的取值范围．
【答案】解：(1)根据题意得:鸡场的长y(m)与宽x(m)有
y+2x=32:即y=-2x+32;(2)题中有8>y>0,-2x+32≤8
∴x≥12
又y>x
-2x+35>x,解得x＜16
则自变量的取值范围为故答案为: 12≤x<16.
【知识点】函数解析式；函数自变量的取值范围
【解析】【分析】根据长方形的面积公式和围成的长方形仅有三边,找到函数关系解答即可
18．（2019八上·浦东期末）已知y=y1+y2，y1与x2成正比例，y2与x-1成反比例，当x=-1时，y=3；当x=2时，y=-3，求y与x之间的函数关系式．
【答案】解：∵y1与x2成正比例，
∴y1=k1x2．
∵y2与x-1成反比例，
∴y2= ．
y=k1x2+ ．
当x=-1时，y=3；
x=2时，y=-3；
∴ ．
解得： ．
∴y= x2- ．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【分析】根据题意可设y1=k1x2，y2= ．从而可得y=k1x2+ ，分别将当x=-1时，y=3；当x=2时，y=-3代入可得关于k1、k2的方程组，求出k1、k2的值即可.
19．已知函数f（x）= ，求函数的定义域及f（4）．
【答案】解：根据题意得， ，
解得 ，
定义域为：2＜x≤6；
f（4）= + ，
=3 + ，
=4 ．
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式求解即可得到函数定义域；把自变量x=4代入函数解析式进行计算即可求解．
20．如图，正方形ABCD的边长为2，P为DC上的点（不与C，D点重合）．设线段DP的长为x，求梯形ABCP的面积y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
【答案】解：梯形ABCP的面积y关于x的函数关系式：y=﹣x+4（0＜x＜2）
【知识点】函数解析式；函数自变量的取值范围
【解析】【分析】根据梯形的面积可得函数关系式，
21．（2020八下·镇平月考）写出下列各问题中的函数关系式，并指出自变量的取值范围.
（1）如果直角三角形中一个锐角的度数为α，另一个锐角的度数β与α之间的关系；
（2）一支蜡烛原长为20cm，每分钟燃烧0.5cm，点燃x（分钟）后，蜡烛的长度y(cm)与x（分钟）之间的关系；
（3）有一边长为2cm的正方形，若其边长增加xcm，则增加的面积y（cm2）与x之间的关系.
【答案】（1）解：β＝90°－α，
∵α>0，β>0
∴0°<α<90°
（2）解：y＝20－0.5x，
∵20-0.5x≥0，x≥0
∴0≤x≤40
（3）解：y＝(x+2)2-22=x2＋4x，x>0.
【知识点】函数解析式；函数自变量的取值范围
【解析】【分析】（1）由“直角三角形的两个锐角互余”来写函数关系式；（2）根据点燃后蜡烛的长度＝原长 燃烧的长度，列函数关系式；（3）根据正方形增加的面积＝新正方形的面积 原正方形的面积.
22．如图，在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝8.点P在AB上运动，设PB＝x，图中阴影部分的面积为y.
（1）写出阴影部分的面积y与x之间的函数表达式和自变量x的取值范围．
（2）当PB的长为多少时，阴影部分的面积等于20
【答案】（1）解：设PB=x，长方形ABCD中，AB=4，BC=8，
则图中阴影部分的面积为：y= （4-x+4）×8=32-4x（0≤x≤4）．
（2）解：当y=20时，20=32-4x，解得x=3，即PB=3
【知识点】函数解析式
【解析】【分析】（1）由题意根据梯形的面积=
即可求解，且
（0≤x≤4） ；
（2）把y=20代入（1）中的解析式计算即可求解。
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