初中数学北师大版七年级下册4.1 认识三角形 同步测试
一、单选题
1．（2022八下·长兴开学考）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．3cm，5cm，6cm B．3cm，3cm，6cm
C．3cm，4 cm，8cm D．4cm，5cm，1cm
【答案】A
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、∵3+5＞6，∴长3cm，5cm，6cm的三条线段能组成三角形，故选项A符合题意；
B、∵3+3=6，∴长3cm，3cm，6cm的三条线段能组不成三角形，故选项B不符合题意；
C、∵3+4＜8，∴长3cm，4cm，8cm的三条线段能组不成三角形，故选项C不符合题意；
D、∵1+4＜5，∴长4cm，5cm，1cm的三条线段能组不成三角形，故选项D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边即可一一判断得出答案.
2．（2022七下·义乌开学考）在下列图形中，线段 AD 的长表示点 A 到直线 BC 的距离的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】A、∵AD不垂直BC，∴线段AD的长不是点A到直线BC距离，错误；
B、∵AD不垂直BC，∴线段AD的长不是点A到直线BC距离，错误；
C、∵AD不垂直BC，∴线段AD的长不是点A到直线BC距离，错误；
D、∵AD⊥BC，∴线段AD的长是点A到直线BC距离，正确；
故答案为：D.
【分析】 直线外一点到这条直线垂线段的长度叫点到直线的距离，根据定义逐项判断即可.
3．（2021·潮南模拟）已知两条线段a=2cm，b=3.5cm，下列线段中能和a，b构成三角形的是（ ）
A．5.5cm B．3.5cm C．1.3cm D．1.5cm
【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】根据三角形的三边关系，得：第三边应＞两边之差，即3.5 2＝1.5cm；而＜两边之和，即3.5+2＝5.5cm．
所给的答案中，只有3.5cm符合条件．
故答案为：B．
【分析】根据三角形三边的关系可得3.5 2=1.5<第三边<3.5+2＝5.5，再求解即可。
4．（2021八上·汉阴期末）如图， 于点D， 于点C， 于点F，下列关于高的说法错误的是（ ）
A．在 中， 是 边上的高
B．在 中， 是 边上的高
C．在 中， 是 边上的高
D．在 中， 是 边上的高
【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：A、在△ABC中， AD是BC边上的高，该说法正确，故本选项不符合题意；
B、在△GBC 中，CF是BG边上的高，该说法正确，故本选项不符合题意；
C、在△ABC 中，GC不是BC边上的高，该说法错误，故本选项符合题意；
D、在△GBC 中，GC 是BC边上的高，该说法正确，故本选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】过三角形一个顶点向其对边所在的直线引垂线，顶点与垂足间的线段就是三角形的高，利用三角形高线的定义，对各选项逐一判断即可.
5．（2021八上·伊通期末）一个三角形三个内角之比为1：3 ：5，则最小的角的度数为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．60°
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】三角形的最小的角＝×180°＝20°，
故答案为：A．
【分析】利用三角形的内角和列出算式×180°求解即可。
6．（2021八上·嵩县期末）等腰三角形的一个内角是 ，则它底角的度数是（ ）
A． B． 或
C． 或 D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当70°角为顶角时，它的底角为 ，
当70°角为底角时，它底角的度数是70°
故答案为：C.
【分析】分情况讨论：当70°角为底角时；当70°角为顶角时，利用三角形的内角和定理求出其底角的度数，即可求解.
7．（2021八上·灌阳期末）三角形一边上的中线把原三角形分成两个（ ）
A．形状相同的三角形 B．面积相等的三角形
C．直角三角形 D．周长相等的三角形
【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：三角形一边上的中线把原三角形分成两个面积相等的三角形.
故答案为：B.
【分析】根据等底同高，可知三角形一边上的中线把原三角形分成两个面积相等的三角形.
8．（2021八上·滨城期末）在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C，则∠C＝（ ）
A．70° B．80° C．100° D．120°
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，，∠A＝∠B＝∠C，
∴
解得
故答案为：D
【分析】根据∠A＝∠B＝∠C，再结合三角形的内角和列出方程求解即可。
9．（2021八上·徐汇期末）满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A．三内角之比为3：4：5 B．三边长的平方之比为1：2：3
C．三边长之比为7：24：25 D．三内角之比为1：2：3
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、由三内角之比为3：4：5可设这个三角形的三个内角分别为，根据三角形内角和可得，所以，所以这个三角形的最大角为5×15°=75°，故不是直角三角形，符合题意；
B、由三边长的平方之比为1：2：3可知该三角形满足勾股定理逆定理，即1+2=3，所以是直角三角形，故不符合题意；
C、由三边长之比为7：24：25可设这个三角形的三边长分别为，则有，所以是直角三角形，故不符合题意；
D、由三内角之比为1：2：3可设这个三角形的三个内角分别为，根据三角形内角和可得，所以，所以这个三角形的最大角为3×30°=90°，是直角三角形，故不符合题意；
故答案为：A．
【分析】利用三角形的内角和及勾股定理的逆定理逐项判断即可。
10．（2021八上·西城期末）已知三条线段的长分别是4，4，m，若它们能构成三角形，则整数m的最大值是（ ）
A．10 B．8 C．7 D．4
【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：条线段的长分别是4，4，m，若它们能构成三角形，则
，即
又为整数，则整数m的最大值是7
故答案为：C
【分析】根据三角形的三边关系即可得出答案。
二、填空题
11．（2022七下·渠县开学考）已知 中，∠A：∠B：∠C=1：3：5，则这个三角形是 三角形.
【答案】钝角
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵∠A：∠B：∠C=1：3：5，∠A＋∠B＋∠C=180°，
∴∠A=20°，∠B=60°∠C=100°，
∵∠C>90°，
∴这个三角形是钝角三角形.
故答案为：钝角.
【分析】根据已知条件结合内角和定理求出∠A、∠B、∠C的度数，据此判断.
12．（2022八下·蓬安开学考）一个等腰三角形的一边长为4cm，一边长为9cm，则它的周长为 ．
【答案】22
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当腰长为4时，
∵4×2=8＜9
∴腰长不能为4；
当腰长为4时，
∵4+9＞9
∴它的周长为：9×2+4=22.
故答案为：22.
【分析】分情况讨论：当腰长为4时；当腰长为4时；再利用三角形的三边关系定理，可知当腰长只能为4时，由此可求出此三角形的周长.
13．（2021八上·南京期末）如图，在 ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，点D在AC上，且BD＝BC，则∠BDC＝ .
【答案】72°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴ ，
∵BD＝BC，
∴∠BDC＝∠ACB＝72°，
故答案为：72°.
【分析】根据等腰三角形的性质及三角形的内角和求出，由等边对等角可得∠BDC＝∠ACB＝72°.
14．在 中， ，设 ，那么 的取值范围是
【答案】1＜a＜7
【知识点】三角形三边关系；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD，
∴OA=AC=×6=3，OB=BD=×8=4，
在△ABO中，4-3＜AB＜3+4
∴1＜a＜7.
故答案为：1＜a＜7.
【分析】利用平行四边形的对角线互相平分，可求出OA，OB的长，在△ABO中，利用三角形的三边关系定理，可求出a的取值范围.
15．（2021九上·茂南期末）已知三角形三边长分别为1，3，，若为奇数，则值为 ．
【答案】3
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵三角形三边长为1，3，x，
∴，
∵x是奇数，
∴
故答案为：3．
【分析】利用三角形的三边关系先求出，再根据x是奇数，求解即可。
16．（2021八上·包河期末）不等边△ABC的两条高的长度分别为4和12，若第三条高也为整数，那么它的长度最大值是
【答案】5
【知识点】三角形三边关系；三角形的综合
【解析】【解答】解：因为不等边△ABC的两条高的长度分别为4和12，根据面积相等可设 △ABC的两边长为3x，x；
因为 3x×4＝12×x（2倍的面积），面积S＝6x，
因为知道两条边的假设长度，根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可得：2x＜第三边长度＜4x，
因为要求高的最大长度，所以当第三边最短时，在第三边上的高就越长，
S＝×第三边的长×高，6x＞×2x×高，6x＜×4x×高，
∴6＞高＞3，
∵是不等边三角形，且高为整数，
∴高的最大值为5，
故答案为：5．
【分析】根据 不等边△ABC的两条高的长度分别为4和12， 求解即可。
三、解答题
17．（2021八上·东城期末）如图，AD是的高，CE是的角平分线．若，，求的度数．
【答案】解：∵AD是的高
∴
∵
∴
∵CE是的角平分线
∴
∵
∴
∴在中，．
【知识点】角的运算；三角形的角平分线、中线和高
【解析】【分析】先利用三角形的内角和求出，再利用角平分线的性质求出，最后利用三角形的内角和求出的度数即可。
18．（2021八上·肥西期末）如图所示，在△ABC中，点D是BC边上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝66°，求∠DAC的度数．
【答案】解：设∠1=∠2=x°，则∠3=∠4=2x°，
∵∠2+∠4+∠BAC=180°，
∴x+2x+66=180，
解得x=38，
即∠1=38°，
∴∠DAC=∠BAC-∠1=66°-38°=28°．
【知识点】三角形内角和定理；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】设∠1=∠2=x°，则∠3=∠4=2x°，根据三角形的内角和列出方程x+2x+66=180求出x的值，再利用角的运算列出算式∠DAC=∠BAC-∠1=66°-38°=28°求解即可。
19．（2021八上·乌兰察布期末）等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm两部分，求这个等腰三角形的底边长.
【答案】解：如答图所示．设AD=DC=x，BC=y，由题意得
或
解得 或
当时，等腰三角形的三边为8，8，17，显然不符合三角形的三边关系．
当时，等腰三角形的三边为14，14，5，
∴这个等腰三角形的底边长是5．
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【分析】作出图形，设AD=DC=x，BC=y，再分两种情况列出方程组求解，再根据三角形的三边关系判断即可得解。
1 / 1初中数学北师大版七年级下册4.1 认识三角形 同步测试
一、单选题
1．（2022八下·长兴开学考）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．3cm，5cm，6cm B．3cm，3cm，6cm
C．3cm，4 cm，8cm D．4cm，5cm，1cm
2．（2022七下·义乌开学考）在下列图形中，线段 AD 的长表示点 A 到直线 BC 的距离的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2021·潮南模拟）已知两条线段a=2cm，b=3.5cm，下列线段中能和a，b构成三角形的是（ ）
A．5.5cm B．3.5cm C．1.3cm D．1.5cm
4．（2021八上·汉阴期末）如图， 于点D， 于点C， 于点F，下列关于高的说法错误的是（ ）
A．在 中， 是 边上的高
B．在 中， 是 边上的高
C．在 中， 是 边上的高
D．在 中， 是 边上的高
5．（2021八上·伊通期末）一个三角形三个内角之比为1：3 ：5，则最小的角的度数为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．60°
6．（2021八上·嵩县期末）等腰三角形的一个内角是 ，则它底角的度数是（ ）
A． B． 或
C． 或 D．
7．（2021八上·灌阳期末）三角形一边上的中线把原三角形分成两个（ ）
A．形状相同的三角形 B．面积相等的三角形
C．直角三角形 D．周长相等的三角形
8．（2021八上·滨城期末）在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C，则∠C＝（ ）
A．70° B．80° C．100° D．120°
9．（2021八上·徐汇期末）满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A．三内角之比为3：4：5 B．三边长的平方之比为1：2：3
C．三边长之比为7：24：25 D．三内角之比为1：2：3
10．（2021八上·西城期末）已知三条线段的长分别是4，4，m，若它们能构成三角形，则整数m的最大值是（ ）
A．10 B．8 C．7 D．4
二、填空题
11．（2022七下·渠县开学考）已知 中，∠A：∠B：∠C=1：3：5，则这个三角形是 三角形.
12．（2022八下·蓬安开学考）一个等腰三角形的一边长为4cm，一边长为9cm，则它的周长为 ．
13．（2021八上·南京期末）如图，在 ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，点D在AC上，且BD＝BC，则∠BDC＝ .
14．在 中， ，设 ，那么 的取值范围是
15．（2021九上·茂南期末）已知三角形三边长分别为1，3，，若为奇数，则值为 ．
16．（2021八上·包河期末）不等边△ABC的两条高的长度分别为4和12，若第三条高也为整数，那么它的长度最大值是
三、解答题
17．（2021八上·东城期末）如图，AD是的高，CE是的角平分线．若，，求的度数．
18．（2021八上·肥西期末）如图所示，在△ABC中，点D是BC边上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝66°，求∠DAC的度数．
19．（2021八上·乌兰察布期末）等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm两部分，求这个等腰三角形的底边长.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、∵3+5＞6，∴长3cm，5cm，6cm的三条线段能组成三角形，故选项A符合题意；
B、∵3+3=6，∴长3cm，3cm，6cm的三条线段能组不成三角形，故选项B不符合题意；
C、∵3+4＜8，∴长3cm，4cm，8cm的三条线段能组不成三角形，故选项C不符合题意；
D、∵1+4＜5，∴长4cm，5cm，1cm的三条线段能组不成三角形，故选项D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边即可一一判断得出答案.
2．【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】A、∵AD不垂直BC，∴线段AD的长不是点A到直线BC距离，错误；
B、∵AD不垂直BC，∴线段AD的长不是点A到直线BC距离，错误；
C、∵AD不垂直BC，∴线段AD的长不是点A到直线BC距离，错误；
D、∵AD⊥BC，∴线段AD的长是点A到直线BC距离，正确；
故答案为：D.
【分析】 直线外一点到这条直线垂线段的长度叫点到直线的距离，根据定义逐项判断即可.
3．【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】根据三角形的三边关系，得：第三边应＞两边之差，即3.5 2＝1.5cm；而＜两边之和，即3.5+2＝5.5cm．
所给的答案中，只有3.5cm符合条件．
故答案为：B．
【分析】根据三角形三边的关系可得3.5 2=1.5<第三边<3.5+2＝5.5，再求解即可。
4．【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：A、在△ABC中， AD是BC边上的高，该说法正确，故本选项不符合题意；
B、在△GBC 中，CF是BG边上的高，该说法正确，故本选项不符合题意；
C、在△ABC 中，GC不是BC边上的高，该说法错误，故本选项符合题意；
D、在△GBC 中，GC 是BC边上的高，该说法正确，故本选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】过三角形一个顶点向其对边所在的直线引垂线，顶点与垂足间的线段就是三角形的高，利用三角形高线的定义，对各选项逐一判断即可.
5．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】三角形的最小的角＝×180°＝20°，
故答案为：A．
【分析】利用三角形的内角和列出算式×180°求解即可。
6．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当70°角为顶角时，它的底角为 ，
当70°角为底角时，它底角的度数是70°
故答案为：C.
【分析】分情况讨论：当70°角为底角时；当70°角为顶角时，利用三角形的内角和定理求出其底角的度数，即可求解.
7．【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：三角形一边上的中线把原三角形分成两个面积相等的三角形.
故答案为：B.
【分析】根据等底同高，可知三角形一边上的中线把原三角形分成两个面积相等的三角形.
8．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，，∠A＝∠B＝∠C，
∴
解得
故答案为：D
【分析】根据∠A＝∠B＝∠C，再结合三角形的内角和列出方程求解即可。
9．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、由三内角之比为3：4：5可设这个三角形的三个内角分别为，根据三角形内角和可得，所以，所以这个三角形的最大角为5×15°=75°，故不是直角三角形，符合题意；
B、由三边长的平方之比为1：2：3可知该三角形满足勾股定理逆定理，即1+2=3，所以是直角三角形，故不符合题意；
C、由三边长之比为7：24：25可设这个三角形的三边长分别为，则有，所以是直角三角形，故不符合题意；
D、由三内角之比为1：2：3可设这个三角形的三个内角分别为，根据三角形内角和可得，所以，所以这个三角形的最大角为3×30°=90°，是直角三角形，故不符合题意；
故答案为：A．
【分析】利用三角形的内角和及勾股定理的逆定理逐项判断即可。
10．【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：条线段的长分别是4，4，m，若它们能构成三角形，则
，即
又为整数，则整数m的最大值是7
故答案为：C
【分析】根据三角形的三边关系即可得出答案。
11．【答案】钝角
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵∠A：∠B：∠C=1：3：5，∠A＋∠B＋∠C=180°，
∴∠A=20°，∠B=60°∠C=100°，
∵∠C>90°，
∴这个三角形是钝角三角形.
故答案为：钝角.
【分析】根据已知条件结合内角和定理求出∠A、∠B、∠C的度数，据此判断.
12．【答案】22
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当腰长为4时，
∵4×2=8＜9
∴腰长不能为4；
当腰长为4时，
∵4+9＞9
∴它的周长为：9×2+4=22.
故答案为：22.
【分析】分情况讨论：当腰长为4时；当腰长为4时；再利用三角形的三边关系定理，可知当腰长只能为4时，由此可求出此三角形的周长.
13．【答案】72°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴ ，
∵BD＝BC，
∴∠BDC＝∠ACB＝72°，
故答案为：72°.
【分析】根据等腰三角形的性质及三角形的内角和求出，由等边对等角可得∠BDC＝∠ACB＝72°.
14．【答案】1＜a＜7
【知识点】三角形三边关系；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD，
∴OA=AC=×6=3，OB=BD=×8=4，
在△ABO中，4-3＜AB＜3+4
∴1＜a＜7.
故答案为：1＜a＜7.
【分析】利用平行四边形的对角线互相平分，可求出OA，OB的长，在△ABO中，利用三角形的三边关系定理，可求出a的取值范围.
15．【答案】3
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵三角形三边长为1，3，x，
∴，
∵x是奇数，
∴
故答案为：3．
【分析】利用三角形的三边关系先求出，再根据x是奇数，求解即可。
16．【答案】5
【知识点】三角形三边关系；三角形的综合
【解析】【解答】解：因为不等边△ABC的两条高的长度分别为4和12，根据面积相等可设 △ABC的两边长为3x，x；
因为 3x×4＝12×x（2倍的面积），面积S＝6x，
因为知道两条边的假设长度，根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可得：2x＜第三边长度＜4x，
因为要求高的最大长度，所以当第三边最短时，在第三边上的高就越长，
S＝×第三边的长×高，6x＞×2x×高，6x＜×4x×高，
∴6＞高＞3，
∵是不等边三角形，且高为整数，
∴高的最大值为5，
故答案为：5．
【分析】根据 不等边△ABC的两条高的长度分别为4和12， 求解即可。
17．【答案】解：∵AD是的高
∴
∵
∴
∵CE是的角平分线
∴
∵
∴
∴在中，．
【知识点】角的运算；三角形的角平分线、中线和高
【解析】【分析】先利用三角形的内角和求出，再利用角平分线的性质求出，最后利用三角形的内角和求出的度数即可。
18．【答案】解：设∠1=∠2=x°，则∠3=∠4=2x°，
∵∠2+∠4+∠BAC=180°，
∴x+2x+66=180，
解得x=38，
即∠1=38°，
∴∠DAC=∠BAC-∠1=66°-38°=28°．
【知识点】三角形内角和定理；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】设∠1=∠2=x°，则∠3=∠4=2x°，根据三角形的内角和列出方程x+2x+66=180求出x的值，再利用角的运算列出算式∠DAC=∠BAC-∠1=66°-38°=28°求解即可。
19．【答案】解：如答图所示．设AD=DC=x，BC=y，由题意得
或
解得 或
当时，等腰三角形的三边为8，8，17，显然不符合三角形的三边关系．
当时，等腰三角形的三边为14，14，5，
∴这个等腰三角形的底边长是5．
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【分析】作出图形，设AD=DC=x，BC=y，再分两种情况列出方程组求解，再根据三角形的三边关系判断即可得解。
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