初中数学北师大版八年级下册第二章第五节 一元一次不等式与一次函数 同步练习

初中数学北师大版八年级下册第二章第五节 一元一次不等式与一次函数 同步练习
一、单选题
1．（2021八上·南京期末）已知一次函数y1＝kx+1和y2＝x﹣2.当x＜1时，y1＞y2，则k的值可以是（　　）
A．－3 B．－1 C．2 D．4
2．（2021八上·鼓楼期末）已知一次函数与一次函数中，函数、与自变量x的部分对应值分别如表1、表2所示：
表1：
x … 0 1 …
… 3 4 …
表2：
x … 0 1 …
… 5 4 3 …
则关于x的不等式的解集是（　　）
A． B． C． D．
3．（2021八上·广南期末）如图，直线l是一次函数的图象，下列说法中，错误的是（　　）
A．，
B．若点（－1，）和点（2，）是直线l上的点，则
C．若点（2，0）在直线l上，则关于x的方程的解为
D．将直线l向下平移b个单位长度后，所得直线的解析式为
4．（2021八上·乐清期中）数形结合是解决数学问题常用的思想方法.如图，直线y=2x-1与直线y=kx+b（k≠0）相交于点P（2，3）.根据图象可知，关于x的不等式2x-1＞kx+b的解集是（　　）
A．x＜2 B．x＜3 C．x＞3 D．x＞2
5．（2021九上·青岛开学考）如图，已知直线 过点 ，过点 的直线 交 轴于点 ，则关于的不等式组 的解集为（　　）
A． B． C． D．
6．（2021九上·长沙开学考）已知一次函数 与 的图象如图所示，则关于 的不等式 的解集为（　　）
A． B． C． D．
7．（2021·娄底）如图，直线 和 与x轴分别相交于点 ，点 ，则 解集为（　　）
A． B．
C． D． 或
8．（2020·内江）在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，已知直线 （ ）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则t的取值范围是（　　）
A． B．
C． D． 且
二、填空题
9．（2021八上·南京期末）在平面直角坐标系中，一次函数 （ 是常数， ）与 （m、n是常数， ）的图象如图所示，则关于x的不等式 的解集为　 　.
10．（2021八上·鼓楼月考）如图，已知直线：与直线：相交于点：，则关于x的不等式的解集为 　 　．
11．（2021九上·北京开学考）如图，直线 经过点 ，当 时， 的取值范围为　 　．
12．（2021八下·浉河期末）如图，直线 经过点 和点 ，直线 过点A，则不等式 的解集为　 　.
13．（2021八下·殷都期末）如图，直线 与 的交点的坐标为5，则关于x的不等式组 的解集是　 　.
14．（2021八下·自贡期末）已知一次函数 和 ，当 时， 的取值范围是 　 　
15．（2021八下·硚口期末）直线l： （k、b是常数， ）经过 、 两点，其中 ，下列四个结论：①方程 的解在 和0之间；②若点 、 在直线l上，则 ；③ ；④不等式 的解集为 时， ，其中正确的结论有　 　.（只需填写序号）
16．（2021八下·汉阳期末）一次函数 与 的图象如图所示，下列说法：①函数 中 随 的增大而减小；②函数 经过第一、二、四象限；③不等式 的解集是 ；④ .其中正确的是　 　（只填序号）.
三、解答题
17．（2020八上·包河期中）在给出的网格中画出一次函数 的图象，并结合图象求：
①方程 的解；
②不等式 的解集；
③不等式 的解集.
四、综合题
18．（2021八下·樊城期末）如图：已知直线y1＝kx＋b经过点A（5，0），B（1，4），与直线y2＝2x﹣4交于C点.
（1）求直线y1的解析式以及y2与x轴的交点D的坐标；
（2）求C点的坐标；
（3）根据图象，直接写出关于x的不等式y1＞y2＞0时x的取值范围.
19．（2021八上·拱墅期末）在平面直角坐标系中，设一次函数 ， （k，b是实数，且 ）
（1）若函数 的图象过点 ，求函数 与x轴的交点坐标；
（2）若函数 的图象经过点 ，求证：函数 的图象经过点 ；
（3）若函数 的图象不经过第一象限，且过点 ，当 时，求k的取值范围.
20．（2022八下·重庆开学考）2022年翻开序章，冬奥集结号已经吹响，冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”深受广大人民的喜爱.2021年十一月初，奥林匹克官方旗舰店上架了“冰墩墩”和“雪容融”这两款毛绒玩具，当月售出了“冰墩墩”200个和“雪容融”100个，销售总额为32000元.十二月售出了“冰墩墩”300个和“雪容融”200个，销售总额为52000元.
（1）求“冰墩墩”和“雪容融”的销售单价；
（2）已知“冰墩墩”和“雪容融”的成本分别为90元/个和60元/个.进入2022年一月后，这两款毛绒玩具持续热销，于是旗舰店再购进了这两款毛绒玩具共600个，其中“雪容融”的数量不超过“冰墩墩”数量的2倍，且购进总价不超过43200元.为回馈新老客户，旗舰店决定对“冰墩墩”降价10%后再销售，若一月份购进的这两款毛绒玩具全部售出，则“冰墩墩”购进多少个时该旗舰店当月销售利润最大，并求出最大利润.
21．（2021八上·丹徒期末）如图，平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线AB分别与x轴、y轴交于点A（5，0）、B（0，5），动点P的坐标为（a， ）.
（1）求直线AB的函数表达式；
（2）连接AP，若直线AP将△AOB的面积分成相等的两部分，求此时P点的坐标.
（3）若动点P 在△AOB的内部（不包括边缘），求a的取值范围；
22．（2021八上·济南期中）在平面直角坐标系中，直线 与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 ，与直线 交于点 ，设点 的横坐标为-2．
（1）求点 的坐标及 的值；
（2）根据图象直接写出不等式 的解集；
（3）点 为 轴上一点，当 最大时，求点 的坐标．
23．（2021八下·洪山期末）在平面直角坐标系中，一次函数 和 的图象分别与 轴相交于A、B两点，且这两条直线的交点为C.已知A点坐标为
（1）当点C的横坐标是2时，直接写出不等式 的解集为　 　；
（2）当点C的横坐标是－2时，求 的面积；
（3）当 时，直线 和 有交点，直接写出k的取值范围　 　.
24．（2020九上·顺义期末）在平面直角坐标系xOy中，对于点P，若点Q满足条件：以线段PQ为对角线的正方形，边均与某条坐标轴垂直，则称点Q为点P的“正轨点”，该正方形为点P的“正轨正方形”如下图所示．
（1）已知点A的坐标是（1，3）．
①在（－3，－1），（2，2），（3，3）中，是点A的“正轨点”的坐标是　 　．
②若点A的“正轨正方形”的面积是4，写出一个点A的“正轨点”的坐标：　 　
（2）若点B（1，0）的“正轨点”在直线y＝2x＋2上，求点B的“正轨点”的坐标；
（3）已知点C（m，0），若直线y＝2x＋m上存在点C的“正轨点”，使得点C的“正轨正方形”面积小于4，直接写出m的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：把x=1代入y2=x-2得，y=-1，
把x=1， y=-1代入y1=kx+1得-1=k+1，解得k=-2，
由一次函数y2=x- 2可知， y随x的增大而增大，
∵当x<1时，y1>y2，
∴-2≤k<0或0故答案为：B.
【分析】把x= 1代入y2=x-2得，y=-1，把x=1，y=-1代入y1=kx+1得-1=k+1，解得k=-2，根据图形即可求得k的取值范围.
2．【答案】D
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：由表得：，在一次函数上，
∴，
解得：，
∴，
，在一次函数上，
∴，
解得：，
∴，
∴为，
解得：.
故答案为：D.
【分析】利用两个表中的x，y的对应值，可分别求出两个一次函数解析式，根据题意建立关于x的不等式，然后求出不等式的解集.
3．【答案】B
【知识点】一次函数与一元一次方程的综合应用；一次函数与不等式（组）的综合应用；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：A.由图象可知，，，不符合题意；
B. ∵-1<2，y随x的增大而减小，∴，符合题意；
C. ∵点（2，0）在直线l上，∴y=0时，x=2，∴关于x的方程的解为，不符合题意；
D. 将直线l向下平移b个单位长度后，所得直线的解析式为+b-b=kx，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据一次函数图象与系数的关系、一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征、平移的性质即可判断。
4．【答案】D
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：由图象可得：不等式2x-1>kx+b的解集为x>2.
故答案为：D.
【分析】根据图象，找出直线y=2x-1在直线y=kx+b上方部分所对应的x的范围即可.
5．【答案】D
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】过点A作AC y轴，交x轴于点C，
∵ ，
∴C（-2，0），
根据图象可知：直线AC与y轴之间的函数图象上的点所对应的x的取值范围（包含-2，不包含0）就是关于x的不等式组 的解集，
∴不等式组 的解集是： ．
故答案为：D.
【分析】先求出C（-2，0），再求出不等式组 的解集是： 即可作答。
6．【答案】A
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用；通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【解答】两条直线的交点坐标为（1，2），且当x＜1时，直线y2在直线y1的上方，故不等式 的解集为x＜1.
故答案为：A.
【分析】看图象找出直线y2在直线y1的上方时的x的范围，即是该不等式的解集.
7．【答案】A
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：∵直线 和 与x轴分别相交于点 ，点 ，
∴观察图象可知 解集为 ，
故答案为：A.
【分析】根据图形可得当x＞-4时，直线的图象在x轴上方，当x＜2时，直线的图象在x轴上方，然后求出x的公共部分即可.
8．【答案】D
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用；一次函数图象与坐标轴交点问题；数学思想
【解析】【解答】∵ ，
∴当y=0时，x= ；当x=0时，y=2t+2，
∴直线 与x轴的交点坐标为（ ，0），与y轴的交点坐标为（0，2t+2），
∵t>0，
∴2t+2>2，
当t= 时，2t+2=3，此时 =-6，由图象知：直线 （ ）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，如图1，
当t=2时，2t+2=6，此时 =-3，由图象知：直线 （ ）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，如图2，
当t=1时，2t+2=4， =-4，由图象知：直线 （ ）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有三个整点，如图3，
∴ 且 ，
故答案为：D.
【分析】画出函数图象，利用图象可得t的取值范围.
9．【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：由函数图象可知关于x的不等式 的解集即为正比例函数图象在一次函数图象上方自变量的取值范围，
∴关于x的不等式 的解集为 ，
故答案为： .
【分析】观察图象，可知两图象的交点的横坐标为x=-3，观察直线x=-3左右两边的图象，写出直线y1＝kx在直线y2＝mx＋n上方所对应的自变量的范围即可．
10．【答案】x＞-4
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：根据图象可知，不等式的解集为x＞-4．
故答案为：x＞-4．
【分析】根据图象，找出直线l2在直线l1下方部分所对应的x的范围即可.
11．【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：∵正比例函数 也经过点 ，
∴ 的解集为 ，
故答案为 ．
【分析】根据 直线 经过点 ， 再结合函数图象求解集即可。
12．【答案】 2＜x＜ 1
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：根据题意得到y＝kx＋b与y＝3x交点为 ，
解不等式3x＜kx＋b＜0的解集，就是指函数图象在A，B之间的部分，
又∵B（ 2，0），
此时自变量x的取值范围，是 2＜x＜ 1.
即不等式3x＜kx＋b＜0的解集为： 2＜x＜ 1.
故答案为： 2＜x＜ 1.
【分析】不等式3x＜kx＋b＜0的解集，就是指函数图象在A，B之间的部分的自变量的取值范围.
13．【答案】3＜x＜5
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：∵直线 与 的交点的坐标为5，
∴由图象可知， 时，解得 ；
∵由图象可知， 随x的增大而增大，
∴
∴ 时，解得 ；
∴ .
故答案为：3＜x＜5.
【分析】根据图象分别求得两个一元一次不等式的解集，即可求不等式组的解集.
14．【答案】-1＜x＜2
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：①当 ， 时， ，解得： ；
②当 时， ， ，解得 ；
综上-1＜x＜2；
故答案为：-1＜x＜2.
【分析】分情况讨论：当x＜0，y1＞y2时，可得到关于x的不等式组，求出不等式组的解集；当x≥0，y1＞y2时，可得到关于x的不等式组，求出不等式组的解集，综上所述可得到x的取值范围.
15．【答案】①③④
【知识点】一次函数的图象；一次函数与一元一次方程的综合应用；一次函数与不等式（组）的综合应用；一次函数的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵直线l：y＝kx＋b（k、b是常数，k≠0）经过A（0，2）、B（ 1，m）两点，其中m＜0，
∴直线与x轴的交点横坐标在 1和0之间，故①正确；
∵直线l：y＝kx＋b（k、b是常数，k≠0）经过A（0，2）、B（ 1，m）两点，其中m＜0，
∴b＝2，
∴m＝ k＋2＜0，
∴k＞2，故③正确；
∵k＞0，y随x的增大而增大，
∵x1＜x1＋1，
∴y1＜y2，故②错误；
∵b＝2，m＝ k＋2，
∴不等式kx＋b＞ m化为kx＋2＞k 2，
∴kx＞k 4，
∵不等式kx＋b＞ m的解集为x＞ ，
∴ ，
解得k＝3，故④正确；
故答案为①③④.
【分析】先画出直线l，即可判断①；由于直线l：y＝kx＋b（k、b是常数，k≠0）经过A（0，2）、B（ 1，m）两点，可得b=2，m＝ k＋2＜0，求出k＞2，据此判断③；由于k＞0，可知y随x的增大而增大，据此判断②；由于b＝2，m＝ k＋2，可将不等式kx＋b＞ m化为kx＋2＞k 2，结合不等式的解集可得 ，解得k=3，据此判断④.
16．【答案】①③④
【知识点】一次函数的图象；一次函数与不等式（组）的综合应用；一次函数的性质
【解析】【解答】解：由图象可得：对于函数y1=ax+b来说，y随x的增大而减小，故①正确；
由于a＜0，d＜0，所以函数y=ax+d的图象经过第二，三，四象限，故②错误，
由图象可得当x＜3时，一次函数y1=ax+b图象在y2=cx+d的图象上方，
∴ax+b＞cx+d的解集是x＜3，故③正确；
∵一次函数y1=ax+b与y2=cx+d的图象的交点的横坐标为3，
∴3a+b=3c+d
∴3a-3c=d-b，
∴a-c= （d-b），故④正确，
故答案①③④.
【分析】由图象可得：函数y1=ax+b，y随x的增大而减小，据此判断①；根据两函数图象先判断a、d的符号，再确定y=ax+d的位置，据此判断②；由图象可得当x＜3时，一次函数y1=ax+b图象在y2=cx+d的图象上方，据此判断③；将x=3代入两函数解析式中，可得y值相等，据此求出a-c，再判断④即可.
17．【答案】解：解：根据题意一次函数 的图象如下：
①根据函数图象可知一次函数 与x轴的交点为（ ，0）
∴方程 的解为x= ；
②根据函数图象可知不等式 的解集为：x> ；
③根据函数图象可知当x=1，时y=-1，当x=4，时y=5
∴不等式 的解集为：1【知识点】一次函数的图象；一次函数与一元一次方程的综合应用；一次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【分析】（1）根据函数解析式画出函数图象，然后找到与y轴的交点求出x即可；（2）根据函数图象找出不等式函数值大于零部分即可；（3）根据函数图象找出函数值在-1与5之间的自变量的值即可.
18．【答案】（1）解：根据题意得：
解得
∴y1的解析式为y1= x+5，
在y2＝2x﹣4中令y2=0，则可得：
2x-4=0，
∴x=2，
∴D点坐标为（2，0）
（2）解：由题意可得：
解得
∴C(3，2)
（3）解：如图，分别过D和C作x轴的垂线l和m，
则两直线夹在l和m之间的部分满足y1＞y2＞0，此时2∴满足不等式y1＞y2＞0的x的取值范围为2【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【分析】（1）由题意把点A、B的坐标代入直线y1的解析式可得关于k、b的方程组可求得k、b的值；再令y2=0可求得点D的坐标；
（2）将直线y1和y2的解析式联立解方程组即可求得点C的坐标；
（3）分别过D和C作x轴的垂线l和m，则两直线夹在l和m之间的部分满足y1＞y2＞0，写出对应的x的范围即可.
19．【答案】（1）解：∵函数 的图象过点 ，
∴
∴
∴
当 时， ；
∴
∴函数 与x轴的交点坐标为（-2，0）；
（2）证明：∵函数 的图象经过点 ，
∴
∴
∴ ；
当 时， ；
∴函数 的图象经过点 ；
（3）解：∵函数 的图象不经过第一象限，
∴ ；
∵ 的图象过点 ，
∴ ，
∴ ，
∵
∴ ，
∴ .
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的综合应用；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【分析】（1）把点 代入 可得函数 解析式，令y=0可得 与x轴交点；
（2）把点 代入 可得 解析式，代入x=，判断y的值，可得证；
（3）根据图象不经过第一象限可得 ，再代入点 ，可列关于k的不等式组，求解即可.
20．【答案】（1）解：设“冰墩墩”和“雪容融”的销售单价分别为 元，根据题意得，
解得
答：“冰墩墩”销售单价为120元，“雪容融”的销售单价为80元
（2）解：设购进“冰墩墩” 个，则购进“雪容融” 个，
则
解得
设一月份利润为 ，
则
当 取最小值， 取最大值
时， 的最大值为 （元）
“冰墩墩”购进200个时该旗舰店当月销售利润最大，最大值为 元
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】（1）设“冰墩墩”和“雪容融”的销售单价分别为x、y元，根据：“冰墩墩”200个和“雪容融”100个，销售总额为32000元可得200x+100y=32000，根据：“冰墩墩”300个和“雪容融”200个，销售总额为52000元可得300x+200y=52000，联立求解即可；
（2）设购进“冰墩墩”a个，则购进“雪容融”(600-a)个，根据“雪容融”的数量不超过“冰墩墩”数量的2倍 可得600-a≤2a，根据个数×单价=总价可得90a+60(600-a)≤43200，联立求解可得a的范围，设一月份利润为W，则 “冰墩墩” 的利润为120×(1-10%)-90， “雪容融” 的利润为80-60，然后根据单个的利润×个数=总利润可得W与a的关系式，然后结合一次函数的性质进行解答.
21．【答案】（1）解：设 的解析式为：
把 代入解析式：
解得：
所以 的解析式为：
（2）解：如图，取 的中点
直线AP将△AOB的面积分成相等的两部分，
一定经过 的中点
设直线 为：
解得：
所以直线 为
在直线 上，
解得：
（3）解：
把①代入②得：
在函数 的图象上，
动点P 在△AOB的内部（不包括边缘），
在第一象限，且在函数 的图象的下方，
由 ＞ 可得： ＞
由 ＜ 可得： ＜
所以 的取值范围为：
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【分析】（1）设 的解析式为： 把 代入解析式，利用待定系数法列方程组，解方程组即可得到答案；
（2）如图，取 的中点 则 由直线AP将△AOB的面积分成相等的两部分，则 一定经过 的中点 所以先求解 的解析式，再把 的坐标代入解析式，解方程即可得到答案；
（3）先说明 在函数 的图象上，由动点P 在△AOB的内部（不包括边缘），可得 在第一象限，且在函数 的图象的下方，再列不等式组 ，再解不等式组可得答案.
22．【答案】（1）解： 点 的横坐标为-2，点 在直线 上，
，
，
又点 在直线 上，
，
解得 ，
；
（2）解：根据函数图象可知， 的横坐标为 ，直线 在直线 的上方部分的自变量的取值范围为： ，
故不等式 的解集为
（3）解： ，
当 三点共线时， 取得最大值，
直线 与 轴的交点为 ，
令 ，解得 ，
．
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用；两一次函数图象相交或平行问题；一次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）对于 ，计算自变量为-2时的函数值可得出B点坐标，再把点B的坐标代入y=x+b即可得出b的值；
（2）观察函数图象，写出直线 在直线 的上方部分的自变量的取值范围即可；
（3）得出当 三点共线时， 取得最大值，令 ，解得 ，由此得出点P的坐标。
23．【答案】（1）-1＜x≤2
（2）解： 点 在直线 上，点 的横坐标是2，
，
的图象 轴相交于 点，
，
的面积
（3）k≥ 或k＜-6
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：（1）
点 在直线 上，点 的横坐标是2，
，
将点 ， 代入 中，
可得 ，
解得 ，
，
当 时， ，
时， ，
故答案为 ；
（3） 一次函数 经过点 ，
，
，
，
由 ，解得 ，
，
当 时， ，
解得 ；
当 时， ，
解得 ，
的取值范围是 或 .
故答案为 或 .
【分析】（1）先求出点C坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式，把y=0代入求出x值，结合点C坐标即可求出结论；
（2）先求出B、C坐标，然后根据三角形的面积公式即可求解；
（3）将点 代入中，可得，由 ，求出，即得，分两种情况：①当 时，②当 时，据此分别解不等式组即得结论.
24．【答案】（1）（-3，-1）或（2，2）；（-1，1）
（2）解：∵点B（1，0）的“正轨点”在直线y=2x+2上，
∴ 或 ．
∴ 或
∴点B的“正轨点”的坐标是 ，（-3，-4）
（3）解：设C的“正轨点”为H（n,2n+m），
①若H在C的右上方，此时m＜0，
则n-m=2n+m，n=-2m，
∴H（-2m，-3m），
∵（-2m-m）（-3m-0）＜4，
∴9m ＜4，m ＜ ，
∴- ，
∴ ；
②若H在C的左上方，此时m＞0，
m-n=2n+m，3n=0,n=0，
∴H（0，m），而C（m，0），
∴m×n＜4，
∴-2＜m＜2，
∴ ；
③若H在C的左下方，此时m＞0，
m-n=0-（2n+m），n=-2m，
∴H（-2m,-3m），而C（m，0），
∴（m+2m）（0+3m）＜4，
∴9m ＜4，m ＜ ，
∴- ，
∴ ；
④若H在C的右下方，此时m＜0，
n-m=0-（2n+m），n=0，∴H（0，m），而C（m,0），
∴（0-m）（0-m）＜4，m ＜4，
∴-2＜m＜2，
∴-2＜m＜0；
综上所述： 且 ．
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用；两一次函数图象相交或平行问题；定义新运算
【解析】【解答】解：如图：
（1）①由图得点A与点（－3，－1），（2，2）的连线都可以是边与坐标轴垂直的正方形的对角线，
∴点A的“正轨点”的坐标（-3，-1），（2，2）；
②（-1，1），∵（3-1）× =4，
∴（-1，1）符合要求；
【分析】（1）①根据正方形的性质可得出结论；②根据“正轨点”的坐标特征即可求得；
（2）根据题意列出关于x的绝对值方程，解方程即可；
（3）根据题意表示出“正轨点”，由“正轨正方形”面积小于4求解即可。
1 / 1初中数学北师大版八年级下册第二章第五节 一元一次不等式与一次函数 同步练习
一、单选题
1．（2021八上·南京期末）已知一次函数y1＝kx+1和y2＝x﹣2.当x＜1时，y1＞y2，则k的值可以是（　　）
A．－3 B．－1 C．2 D．4
【答案】B
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：把x=1代入y2=x-2得，y=-1，
把x=1， y=-1代入y1=kx+1得-1=k+1，解得k=-2，
由一次函数y2=x- 2可知， y随x的增大而增大，
∵当x<1时，y1>y2，
∴-2≤k<0或0故答案为：B.
【分析】把x= 1代入y2=x-2得，y=-1，把x=1，y=-1代入y1=kx+1得-1=k+1，解得k=-2，根据图形即可求得k的取值范围.
2．（2021八上·鼓楼期末）已知一次函数与一次函数中，函数、与自变量x的部分对应值分别如表1、表2所示：
表1：
x … 0 1 …
… 3 4 …
表2：
x … 0 1 …
… 5 4 3 …
则关于x的不等式的解集是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：由表得：，在一次函数上，
∴，
解得：，
∴，
，在一次函数上，
∴，
解得：，
∴，
∴为，
解得：.
故答案为：D.
【分析】利用两个表中的x，y的对应值，可分别求出两个一次函数解析式，根据题意建立关于x的不等式，然后求出不等式的解集.
3．（2021八上·广南期末）如图，直线l是一次函数的图象，下列说法中，错误的是（　　）
A．，
B．若点（－1，）和点（2，）是直线l上的点，则
C．若点（2，0）在直线l上，则关于x的方程的解为
D．将直线l向下平移b个单位长度后，所得直线的解析式为
【答案】B
【知识点】一次函数与一元一次方程的综合应用；一次函数与不等式（组）的综合应用；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：A.由图象可知，，，不符合题意；
B. ∵-1<2，y随x的增大而减小，∴，符合题意；
C. ∵点（2，0）在直线l上，∴y=0时，x=2，∴关于x的方程的解为，不符合题意；
D. 将直线l向下平移b个单位长度后，所得直线的解析式为+b-b=kx，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据一次函数图象与系数的关系、一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征、平移的性质即可判断。
4．（2021八上·乐清期中）数形结合是解决数学问题常用的思想方法.如图，直线y=2x-1与直线y=kx+b（k≠0）相交于点P（2，3）.根据图象可知，关于x的不等式2x-1＞kx+b的解集是（　　）
A．x＜2 B．x＜3 C．x＞3 D．x＞2
【答案】D
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：由图象可得：不等式2x-1>kx+b的解集为x>2.
故答案为：D.
【分析】根据图象，找出直线y=2x-1在直线y=kx+b上方部分所对应的x的范围即可.
5．（2021九上·青岛开学考）如图，已知直线 过点 ，过点 的直线 交 轴于点 ，则关于的不等式组 的解集为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】过点A作AC y轴，交x轴于点C，
∵ ，
∴C（-2，0），
根据图象可知：直线AC与y轴之间的函数图象上的点所对应的x的取值范围（包含-2，不包含0）就是关于x的不等式组 的解集，
∴不等式组 的解集是： ．
故答案为：D.
【分析】先求出C（-2，0），再求出不等式组 的解集是： 即可作答。
6．（2021九上·长沙开学考）已知一次函数 与 的图象如图所示，则关于 的不等式 的解集为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用；通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【解答】两条直线的交点坐标为（1，2），且当x＜1时，直线y2在直线y1的上方，故不等式 的解集为x＜1.
故答案为：A.
【分析】看图象找出直线y2在直线y1的上方时的x的范围，即是该不等式的解集.
7．（2021·娄底）如图，直线 和 与x轴分别相交于点 ，点 ，则 解集为（　　）
A． B．
C． D． 或
【答案】A
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：∵直线 和 与x轴分别相交于点 ，点 ，
∴观察图象可知 解集为 ，
故答案为：A.
【分析】根据图形可得当x＞-4时，直线的图象在x轴上方，当x＜2时，直线的图象在x轴上方，然后求出x的公共部分即可.
8．（2020·内江）在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，已知直线 （ ）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则t的取值范围是（　　）
A． B．
C． D． 且
【答案】D
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用；一次函数图象与坐标轴交点问题；数学思想
【解析】【解答】∵ ，
∴当y=0时，x= ；当x=0时，y=2t+2，
∴直线 与x轴的交点坐标为（ ，0），与y轴的交点坐标为（0，2t+2），
∵t>0，
∴2t+2>2，
当t= 时，2t+2=3，此时 =-6，由图象知：直线 （ ）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，如图1，
当t=2时，2t+2=6，此时 =-3，由图象知：直线 （ ）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，如图2，
当t=1时，2t+2=4， =-4，由图象知：直线 （ ）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有三个整点，如图3，
∴ 且 ，
故答案为：D.
【分析】画出函数图象，利用图象可得t的取值范围.
二、填空题
9．（2021八上·南京期末）在平面直角坐标系中，一次函数 （ 是常数， ）与 （m、n是常数， ）的图象如图所示，则关于x的不等式 的解集为　 　.
【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：由函数图象可知关于x的不等式 的解集即为正比例函数图象在一次函数图象上方自变量的取值范围，
∴关于x的不等式 的解集为 ，
故答案为： .
【分析】观察图象，可知两图象的交点的横坐标为x=-3，观察直线x=-3左右两边的图象，写出直线y1＝kx在直线y2＝mx＋n上方所对应的自变量的范围即可．
10．（2021八上·鼓楼月考）如图，已知直线：与直线：相交于点：，则关于x的不等式的解集为 　 　．
【答案】x＞-4
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：根据图象可知，不等式的解集为x＞-4．
故答案为：x＞-4．
【分析】根据图象，找出直线l2在直线l1下方部分所对应的x的范围即可.
11．（2021九上·北京开学考）如图，直线 经过点 ，当 时， 的取值范围为　 　．
【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：∵正比例函数 也经过点 ，
∴ 的解集为 ，
故答案为 ．
【分析】根据 直线 经过点 ， 再结合函数图象求解集即可。
12．（2021八下·浉河期末）如图，直线 经过点 和点 ，直线 过点A，则不等式 的解集为　 　.
【答案】 2＜x＜ 1
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：根据题意得到y＝kx＋b与y＝3x交点为 ，
解不等式3x＜kx＋b＜0的解集，就是指函数图象在A，B之间的部分，
又∵B（ 2，0），
此时自变量x的取值范围，是 2＜x＜ 1.
即不等式3x＜kx＋b＜0的解集为： 2＜x＜ 1.
故答案为： 2＜x＜ 1.
【分析】不等式3x＜kx＋b＜0的解集，就是指函数图象在A，B之间的部分的自变量的取值范围.
13．（2021八下·殷都期末）如图，直线 与 的交点的坐标为5，则关于x的不等式组 的解集是　 　.
【答案】3＜x＜5
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：∵直线 与 的交点的坐标为5，
∴由图象可知， 时，解得 ；
∵由图象可知， 随x的增大而增大，
∴
∴ 时，解得 ；
∴ .
故答案为：3＜x＜5.
【分析】根据图象分别求得两个一元一次不等式的解集，即可求不等式组的解集.
14．（2021八下·自贡期末）已知一次函数 和 ，当 时， 的取值范围是 　 　
【答案】-1＜x＜2
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：①当 ， 时， ，解得： ；
②当 时， ， ，解得 ；
综上-1＜x＜2；
故答案为：-1＜x＜2.
【分析】分情况讨论：当x＜0，y1＞y2时，可得到关于x的不等式组，求出不等式组的解集；当x≥0，y1＞y2时，可得到关于x的不等式组，求出不等式组的解集，综上所述可得到x的取值范围.
15．（2021八下·硚口期末）直线l： （k、b是常数， ）经过 、 两点，其中 ，下列四个结论：①方程 的解在 和0之间；②若点 、 在直线l上，则 ；③ ；④不等式 的解集为 时， ，其中正确的结论有　 　.（只需填写序号）
【答案】①③④
【知识点】一次函数的图象；一次函数与一元一次方程的综合应用；一次函数与不等式（组）的综合应用；一次函数的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵直线l：y＝kx＋b（k、b是常数，k≠0）经过A（0，2）、B（ 1，m）两点，其中m＜0，
∴直线与x轴的交点横坐标在 1和0之间，故①正确；
∵直线l：y＝kx＋b（k、b是常数，k≠0）经过A（0，2）、B（ 1，m）两点，其中m＜0，
∴b＝2，
∴m＝ k＋2＜0，
∴k＞2，故③正确；
∵k＞0，y随x的增大而增大，
∵x1＜x1＋1，
∴y1＜y2，故②错误；
∵b＝2，m＝ k＋2，
∴不等式kx＋b＞ m化为kx＋2＞k 2，
∴kx＞k 4，
∵不等式kx＋b＞ m的解集为x＞ ，
∴ ，
解得k＝3，故④正确；
故答案为①③④.
【分析】先画出直线l，即可判断①；由于直线l：y＝kx＋b（k、b是常数，k≠0）经过A（0，2）、B（ 1，m）两点，可得b=2，m＝ k＋2＜0，求出k＞2，据此判断③；由于k＞0，可知y随x的增大而增大，据此判断②；由于b＝2，m＝ k＋2，可将不等式kx＋b＞ m化为kx＋2＞k 2，结合不等式的解集可得 ，解得k=3，据此判断④.
16．（2021八下·汉阳期末）一次函数 与 的图象如图所示，下列说法：①函数 中 随 的增大而减小；②函数 经过第一、二、四象限；③不等式 的解集是 ；④ .其中正确的是　 　（只填序号）.
【答案】①③④
【知识点】一次函数的图象；一次函数与不等式（组）的综合应用；一次函数的性质
【解析】【解答】解：由图象可得：对于函数y1=ax+b来说，y随x的增大而减小，故①正确；
由于a＜0，d＜0，所以函数y=ax+d的图象经过第二，三，四象限，故②错误，
由图象可得当x＜3时，一次函数y1=ax+b图象在y2=cx+d的图象上方，
∴ax+b＞cx+d的解集是x＜3，故③正确；
∵一次函数y1=ax+b与y2=cx+d的图象的交点的横坐标为3，
∴3a+b=3c+d
∴3a-3c=d-b，
∴a-c= （d-b），故④正确，
故答案①③④.
【分析】由图象可得：函数y1=ax+b，y随x的增大而减小，据此判断①；根据两函数图象先判断a、d的符号，再确定y=ax+d的位置，据此判断②；由图象可得当x＜3时，一次函数y1=ax+b图象在y2=cx+d的图象上方，据此判断③；将x=3代入两函数解析式中，可得y值相等，据此求出a-c，再判断④即可.
三、解答题
17．（2020八上·包河期中）在给出的网格中画出一次函数 的图象，并结合图象求：
①方程 的解；
②不等式 的解集；
③不等式 的解集.
【答案】解：解：根据题意一次函数 的图象如下：
①根据函数图象可知一次函数 与x轴的交点为（ ，0）
∴方程 的解为x= ；
②根据函数图象可知不等式 的解集为：x> ；
③根据函数图象可知当x=1，时y=-1，当x=4，时y=5
∴不等式 的解集为：1【知识点】一次函数的图象；一次函数与一元一次方程的综合应用；一次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【分析】（1）根据函数解析式画出函数图象，然后找到与y轴的交点求出x即可；（2）根据函数图象找出不等式函数值大于零部分即可；（3）根据函数图象找出函数值在-1与5之间的自变量的值即可.
四、综合题
18．（2021八下·樊城期末）如图：已知直线y1＝kx＋b经过点A（5，0），B（1，4），与直线y2＝2x﹣4交于C点.
（1）求直线y1的解析式以及y2与x轴的交点D的坐标；
（2）求C点的坐标；
（3）根据图象，直接写出关于x的不等式y1＞y2＞0时x的取值范围.
【答案】（1）解：根据题意得：
解得
∴y1的解析式为y1= x+5，
在y2＝2x﹣4中令y2=0，则可得：
2x-4=0，
∴x=2，
∴D点坐标为（2，0）
（2）解：由题意可得：
解得
∴C(3，2)
（3）解：如图，分别过D和C作x轴的垂线l和m，
则两直线夹在l和m之间的部分满足y1＞y2＞0，此时2∴满足不等式y1＞y2＞0的x的取值范围为2【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【分析】（1）由题意把点A、B的坐标代入直线y1的解析式可得关于k、b的方程组可求得k、b的值；再令y2=0可求得点D的坐标；
（2）将直线y1和y2的解析式联立解方程组即可求得点C的坐标；
（3）分别过D和C作x轴的垂线l和m，则两直线夹在l和m之间的部分满足y1＞y2＞0，写出对应的x的范围即可.
19．（2021八上·拱墅期末）在平面直角坐标系中，设一次函数 ， （k，b是实数，且 ）
（1）若函数 的图象过点 ，求函数 与x轴的交点坐标；
（2）若函数 的图象经过点 ，求证：函数 的图象经过点 ；
（3）若函数 的图象不经过第一象限，且过点 ，当 时，求k的取值范围.
【答案】（1）解：∵函数 的图象过点 ，
∴
∴
∴
当 时， ；
∴
∴函数 与x轴的交点坐标为（-2，0）；
（2）证明：∵函数 的图象经过点 ，
∴
∴
∴ ；
当 时， ；
∴函数 的图象经过点 ；
（3）解：∵函数 的图象不经过第一象限，
∴ ；
∵ 的图象过点 ，
∴ ，
∴ ，
∵
∴ ，
∴ .
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的综合应用；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【分析】（1）把点 代入 可得函数 解析式，令y=0可得 与x轴交点；
（2）把点 代入 可得 解析式，代入x=，判断y的值，可得证；
（3）根据图象不经过第一象限可得 ，再代入点 ，可列关于k的不等式组，求解即可.
20．（2022八下·重庆开学考）2022年翻开序章，冬奥集结号已经吹响，冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”深受广大人民的喜爱.2021年十一月初，奥林匹克官方旗舰店上架了“冰墩墩”和“雪容融”这两款毛绒玩具，当月售出了“冰墩墩”200个和“雪容融”100个，销售总额为32000元.十二月售出了“冰墩墩”300个和“雪容融”200个，销售总额为52000元.
（1）求“冰墩墩”和“雪容融”的销售单价；
（2）已知“冰墩墩”和“雪容融”的成本分别为90元/个和60元/个.进入2022年一月后，这两款毛绒玩具持续热销，于是旗舰店再购进了这两款毛绒玩具共600个，其中“雪容融”的数量不超过“冰墩墩”数量的2倍，且购进总价不超过43200元.为回馈新老客户，旗舰店决定对“冰墩墩”降价10%后再销售，若一月份购进的这两款毛绒玩具全部售出，则“冰墩墩”购进多少个时该旗舰店当月销售利润最大，并求出最大利润.
【答案】（1）解：设“冰墩墩”和“雪容融”的销售单价分别为 元，根据题意得，
解得
答：“冰墩墩”销售单价为120元，“雪容融”的销售单价为80元
（2）解：设购进“冰墩墩” 个，则购进“雪容融” 个，
则
解得
设一月份利润为 ，
则
当 取最小值， 取最大值
时， 的最大值为 （元）
“冰墩墩”购进200个时该旗舰店当月销售利润最大，最大值为 元
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】（1）设“冰墩墩”和“雪容融”的销售单价分别为x、y元，根据：“冰墩墩”200个和“雪容融”100个，销售总额为32000元可得200x+100y=32000，根据：“冰墩墩”300个和“雪容融”200个，销售总额为52000元可得300x+200y=52000，联立求解即可；
（2）设购进“冰墩墩”a个，则购进“雪容融”(600-a)个，根据“雪容融”的数量不超过“冰墩墩”数量的2倍 可得600-a≤2a，根据个数×单价=总价可得90a+60(600-a)≤43200，联立求解可得a的范围，设一月份利润为W，则 “冰墩墩” 的利润为120×(1-10%)-90， “雪容融” 的利润为80-60，然后根据单个的利润×个数=总利润可得W与a的关系式，然后结合一次函数的性质进行解答.
21．（2021八上·丹徒期末）如图，平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线AB分别与x轴、y轴交于点A（5，0）、B（0，5），动点P的坐标为（a， ）.
（1）求直线AB的函数表达式；
（2）连接AP，若直线AP将△AOB的面积分成相等的两部分，求此时P点的坐标.
（3）若动点P 在△AOB的内部（不包括边缘），求a的取值范围；
【答案】（1）解：设 的解析式为：
把 代入解析式：
解得：
所以 的解析式为：
（2）解：如图，取 的中点
直线AP将△AOB的面积分成相等的两部分，
一定经过 的中点
设直线 为：
解得：
所以直线 为
在直线 上，
解得：
（3）解：
把①代入②得：
在函数 的图象上，
动点P 在△AOB的内部（不包括边缘），
在第一象限，且在函数 的图象的下方，
由 ＞ 可得： ＞
由 ＜ 可得： ＜
所以 的取值范围为：
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【分析】（1）设 的解析式为： 把 代入解析式，利用待定系数法列方程组，解方程组即可得到答案；
（2）如图，取 的中点 则 由直线AP将△AOB的面积分成相等的两部分，则 一定经过 的中点 所以先求解 的解析式，再把 的坐标代入解析式，解方程即可得到答案；
（3）先说明 在函数 的图象上，由动点P 在△AOB的内部（不包括边缘），可得 在第一象限，且在函数 的图象的下方，再列不等式组 ，再解不等式组可得答案.
22．（2021八上·济南期中）在平面直角坐标系中，直线 与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 ，与直线 交于点 ，设点 的横坐标为-2．
（1）求点 的坐标及 的值；
（2）根据图象直接写出不等式 的解集；
（3）点 为 轴上一点，当 最大时，求点 的坐标．
【答案】（1）解： 点 的横坐标为-2，点 在直线 上，
，
，
又点 在直线 上，
，
解得 ，
；
（2）解：根据函数图象可知， 的横坐标为 ，直线 在直线 的上方部分的自变量的取值范围为： ，
故不等式 的解集为
（3）解： ，
当 三点共线时， 取得最大值，
直线 与 轴的交点为 ，
令 ，解得 ，
．
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用；两一次函数图象相交或平行问题；一次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）对于 ，计算自变量为-2时的函数值可得出B点坐标，再把点B的坐标代入y=x+b即可得出b的值；
（2）观察函数图象，写出直线 在直线 的上方部分的自变量的取值范围即可；
（3）得出当 三点共线时， 取得最大值，令 ，解得 ，由此得出点P的坐标。
23．（2021八下·洪山期末）在平面直角坐标系中，一次函数 和 的图象分别与 轴相交于A、B两点，且这两条直线的交点为C.已知A点坐标为
（1）当点C的横坐标是2时，直接写出不等式 的解集为　 　；
（2）当点C的横坐标是－2时，求 的面积；
（3）当 时，直线 和 有交点，直接写出k的取值范围　 　.
【答案】（1）-1＜x≤2
（2）解： 点 在直线 上，点 的横坐标是2，
，
的图象 轴相交于 点，
，
的面积
（3）k≥ 或k＜-6
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：（1）
点 在直线 上，点 的横坐标是2，
，
将点 ， 代入 中，
可得 ，
解得 ，
，
当 时， ，
时， ，
故答案为 ；
（3） 一次函数 经过点 ，
，
，
，
由 ，解得 ，
，
当 时， ，
解得 ；
当 时， ，
解得 ，
的取值范围是 或 .
故答案为 或 .
【分析】（1）先求出点C坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式，把y=0代入求出x值，结合点C坐标即可求出结论；
（2）先求出B、C坐标，然后根据三角形的面积公式即可求解；
（3）将点 代入中，可得，由 ，求出，即得，分两种情况：①当 时，②当 时，据此分别解不等式组即得结论.
24．（2020九上·顺义期末）在平面直角坐标系xOy中，对于点P，若点Q满足条件：以线段PQ为对角线的正方形，边均与某条坐标轴垂直，则称点Q为点P的“正轨点”，该正方形为点P的“正轨正方形”如下图所示．
（1）已知点A的坐标是（1，3）．
①在（－3，－1），（2，2），（3，3）中，是点A的“正轨点”的坐标是　 　．
②若点A的“正轨正方形”的面积是4，写出一个点A的“正轨点”的坐标：　 　
（2）若点B（1，0）的“正轨点”在直线y＝2x＋2上，求点B的“正轨点”的坐标；
（3）已知点C（m，0），若直线y＝2x＋m上存在点C的“正轨点”，使得点C的“正轨正方形”面积小于4，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）（-3，-1）或（2，2）；（-1，1）
（2）解：∵点B（1，0）的“正轨点”在直线y=2x+2上，
∴ 或 ．
∴ 或
∴点B的“正轨点”的坐标是 ，（-3，-4）
（3）解：设C的“正轨点”为H（n,2n+m），
①若H在C的右上方，此时m＜0，
则n-m=2n+m，n=-2m，
∴H（-2m，-3m），
∵（-2m-m）（-3m-0）＜4，
∴9m ＜4，m ＜ ，
∴- ，
∴ ；
②若H在C的左上方，此时m＞0，
m-n=2n+m，3n=0,n=0，
∴H（0，m），而C（m，0），
∴m×n＜4，
∴-2＜m＜2，
∴ ；
③若H在C的左下方，此时m＞0，
m-n=0-（2n+m），n=-2m，
∴H（-2m,-3m），而C（m，0），
∴（m+2m）（0+3m）＜4，
∴9m ＜4，m ＜ ，
∴- ，
∴ ；
④若H在C的右下方，此时m＜0，
n-m=0-（2n+m），n=0，∴H（0，m），而C（m,0），
∴（0-m）（0-m）＜4，m ＜4，
∴-2＜m＜2，
∴-2＜m＜0；
综上所述： 且 ．
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用；两一次函数图象相交或平行问题；定义新运算
【解析】【解答】解：如图：
（1）①由图得点A与点（－3，－1），（2，2）的连线都可以是边与坐标轴垂直的正方形的对角线，
∴点A的“正轨点”的坐标（-3，-1），（2，2）；
②（-1，1），∵（3-1）× =4，
∴（-1，1）符合要求；
【分析】（1）①根据正方形的性质可得出结论；②根据“正轨点”的坐标特征即可求得；
（2）根据题意列出关于x的绝对值方程，解方程即可；
（3）根据题意表示出“正轨点”，由“正轨正方形”面积小于4求解即可。
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