初中数学北师大版八年级下册第二章 第一~三节 不等式性质与不等式解集
一、单选题
1．学校组织同学们春游，租用45座和30座两种型号的客车，若租用45座客车x辆，租用30座客车y辆，则不等式“45x+30y≥500”表示的实际意义是（ ）
A．两种客车总的载客量不少于500人
B．两种客车总的载客量不超过500人
C．两种客车总的载客量不足500人
D．两种客车总的载客量恰好等于500人
2．下列式子：①a+b=b+a；②﹣2＞﹣5；③x≥﹣1；④ y﹣4＜1；⑤2m≥n；⑥2x﹣3，其中不等式有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．下列说法正确的是（ ）
A．﹣a比a小 B．一个有理数的平方是正数
C．a与b之和大于b D．一个数的绝对值不小于这个数
4．（2022八下·重庆开学考）若 ，则下列式子一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021八上·永州月考）关于x的不等式（m－1）x＞m－1可变成形为x＜1，则（ ）
A．m＜－1 B．m＞－1 C．m＞1 D．m＜1
6．（2021八上·义乌期中）交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在通过桥洞时，我们往往会看到如图所示的标志，这是限制车高的标志．则通过该桥洞的车高x（m）的范围在数轴上可表示为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2021七下·淮阴期末）不等式组 的解集在数轴上可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2021七下·阳江期末）下列说法正确的是（ ）
A．x＝2不是不等式x+2＞2的解 B．x＝2是不等式x+2＞2的解集
C．方程x+y＝3无解 D．不等式x+2＞2有无数个解
9．下列说法不一定成立的是（ ）
A．若a>b，则a+c>b+c B．若a+c>b+c，则a>b
C．若a>b，则ac2>bc2 D．若ac2>bc2，则a>b
10．（2020八上·下城期末）设m，n是实数，a，b是正整数，若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．（2021八上·柯桥期中）根据“ 的2倍与3的差不小于8”列出的不等式是 ．
12．（2020七下·密山期末）数学表达式中：①a2≥0 ②5p-6q<0 ③x-6=1 ④7x+8y ⑤-1<0 ⑥x≠3.不等式是 （填序号）
13． 的最大值是 .
14．（2021九上·河南月考）无理数-2的整数部分是 .
15．（2021八上·宁波期中）如果关于 x 的不等式 的解集为 ，那么 a 的取值范围是 .
16．（2021八上·乐山期末）定义：用符号
表示一个实数
的整数部分，例如：
，
，
.按此定义，计算
.
17．（2021八上·杭州期中）已知 ， ，则a的取值范围是 .
18．（2020七下·玄武期末）对于下列命题：①若a＞b，则a2＞b2；②在锐角三角形中，任意两个内角和一定大于第三个内角；③无论x取什么值，代数式x2－2x＋2的值都不小于1；④在同一平面内，有两两相交的3条直线，这些相交直线构成的所有角中，至少有一个角小于61°.其中，真命题的是 .（填所有真命题的序号）
19．（2021八上·北京开学考）下列命题中：
①若 ，则 ；
②若 ，则 ；
③若 ，则 ；
④若 ，则 ．
正确的有 ．（只填写正确命题的序号）
20．（2021七上·郫都期末）如图所示，两个天平都平衡，那么与6个球体质量相等的正方体的个数为 .
三、解答题
21．设“■”“▲”“●”表示三个不同的物体，现用天平称两次，发现其结果如图所示，这三种物体中如果球的重量为50g，请用不等式表示“■”和“▲”的物体重量．
22．（2020八上·镇海期中）某数学兴趣小组在学习“不等式的性质”时，有两名同学的对话如下：
你认为小英和小亮的结论正确吗？如果正确，请说明理由；如果不正确，请举出一个反例。
23．阅读下列材料：
解答“已知x﹣y=2，且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围”有如下解法：
解∵x﹣y=2，∴x=y+2．
又∵x＞1，∴y+2＞1．即y＞﹣1．
又∵y＜0，∴﹣1＜y＜0．…①
同理得：1＜x＜2． …②
由①+②得﹣1+1＜y+x＜0+2
∴x+y的取值范围是0＜x+y＜2
请按照上述方法，完成下列问题：已知x﹣y=3，且x＞2，y＜1，则x+y的取值范围．
24．赵军说不等式2a＞3a永远不会成立，因为如果在这个不等式两边同除以a，就会出现2＞3这样的错误结论．你同意他的说法对吗？若同意说明其依据，若不同意说出错误的原因．
四、综合题
25．（2021八上·长兴期中）若x（1）-2x与-2y；
（2）3-2x与3-2y．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】不等式的定义
【解析】【解答】解：不等式“45x+30y≥500”表示的实际意义是两种客车总的载客量不少于500人，
故选：A．
【分析】主要依据不等式的定义：用“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“≠”等不等号表示不相等关系的式子是不等式来判断．
2．【答案】C
【知识点】不等式的定义
【解析】【解答】解：②﹣2＞﹣5；③x≥﹣1；④ y﹣4＜1；⑤2m≥n是不等式，
故选：C．
【分析】主要依据不等式的定义﹣﹣﹣﹣﹣用“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“≠”等不等号表示不相等关系的式子是不等式来判断．
3．【答案】D
【知识点】不等式的定义
【解析】【解答】解：A、当a=0时，﹣a=a，故本选项错误；
B、一个有理数的平方是非负数，故本选项错误；
C、当a、b都是负数时，a与b之和不大于b，故本选项错误；
D、一个数的绝对值是非负数，所以不小于这个数，故本选项正确；
故选：D．
【分析】根据实数的性质和不等式的定义解答．
4．【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵ ，∴a+1>b+1，故答案为：A不符合题意；
∵ ，∴ ，故答案为：B符合题意；
∵ ，∴-2a<-2b，故答案为：C不符合题意；
∵ ，∴ ，故答案为：D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；
不等式两边同时乘（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变；
不等式两边同时乘（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变，据此判断即可.
5．【答案】D
【知识点】不等式的解及解集
【解析】【解答】解：∵关于x的不等式（m-1）x>m-1的解集为x<1，
∴m-1<0，
则m<1，
故答案为：D.
【分析】不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变，据此解答即可.
6．【答案】D
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集
【解析】【解答】解：通过该桥洞的车高x（m）的范围为0＜x≤4.
故答案为：D.
【分析】利用已知图标可得到x的取值范围，观察各选项中的数轴，可得答案.
7．【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集
【解析】【解答】解：不等式组 的解集是 ，
在数轴上表示为： ，
故答案为：B.
【分析】不等式组的解集为-28．【答案】D
【知识点】不等式的解及解集
【解析】【解答】解：A、x+2＞2的解集为：x＞0，所以x＝2是不等式x+2＞2的解，不符合题意；
B、x+2＞2的解集为：x＞0，所以x＝2是不等式x+2＞2的解，不符合题意；
C、方程x+y＝3有无数个解，不符合题意；
D、x+2＞2的解集为：x＞0，所以不等式x+2＞2有无数个解，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据不等式的解集逐项判定即可。
9．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、在不等式a＞b的两边同时加上c，不等式仍成立，即a+c＞b+c，故A不符合题意；
B、在不等式a+c＞b+c的两边同时减去c，不等式仍成立，即a＞b，故B不符合题意；
C、当c=0时，若a＞b，则不等式ac2＞bc2不成立，故C符合题意；
D、在不等式ac2＞bc2的两边同时除以不为0的c2，该不等式仍成立，即a＞b，故D不符合题意。
故应选：C．
【分析】根据不等式的性质：在不等式的两边都除以同一个正数，不等号方向不变，不等式的两边都乘以同一个正数，不等号方向不变 ；不等式的两边都乘以同一个负数，不等号方向改变 ；不等式的两边都除以同一个负数，不等号方向改变 ；不等式的两边都加上或减去同一个数，不等号方向不变；就可以一一判断。
10．【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：m，n是实数，则 、 和 都有可能，
①当 时，
∵ ，a，b是正整数
∴ ，
∴ ，
此时四个选项均成立；
②当 时，
a和b的大小不能确定，
此时A、B不一定成立，C不成立，D一定成立；
③当 时，
∵ ，a，b是正整数
∴ ，
∴ ，
此时A、B不成立，C、D成立；
综上可知D一定成立，
故答案为：D.
【分析】分别讨论 、 和 ，利用不等式的性质进行判断.
11．【答案】2x-3≥8
【知识点】不等式的定义
【解析】【解答】解：∵ “ 的2倍与3的差不小于8”
∴2x-3≥8.
故答案为：2x-3≥8.
【分析】利用不小于就是大于等于，列不等式即可.
12．【答案】①②⑤⑥
【知识点】不等式的定义
【解析】【解答】解：③是等式，④是式子.
故答案：①②⑤⑥.
【分析】根据不等式的定义进行判断：用“>，≥，<， ≤ ，≠”等不等号表示不相等关系的式子是不等式.
13．【答案】4
【知识点】算数平方根的非负性；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
∴
∴
∴
故答案为：4.
【分析】根据二次根式的性质结合不等式的性质进行分析，最主要的就是不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号要改变方向．
14．【答案】3
【知识点】估算无理数的大小；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵5＜＜6，
∴3＜－2＜4，
∴－2的整数部分是3.
故答案为：3.
【分析】根据估算无理数大小的方法可得5＜＜6，根据不等式的性质求出-2的范围，进而可得其整数部分.
15．【答案】
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵不等式 的解集为 ，
∴ ，
解得： ，
故答案为： .
【分析】根据不等式的性质，不等式的两边同时除以同一个负数，不等号的方向改变可得a+2021<0，求解可得a的范围.
16．【答案】3
【知识点】估算无理数的大小；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵16＜19＜25，
∴4＜
＜5.
∴3＜
＜4.
∴ .
故答案为：3.
【分析】先估算出
的大小，然后求得
的范围，最后依据定义求解即可.
17．【答案】
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，a＜0
∴ ，
∴ .
故答案为： .
【分析】由 得，由即得 且a＜0，进而根据不等式的性质解不等式组即可求解.
18．【答案】②③④
【知识点】三角形内角和定理；配方法的应用；相交线；真命题与假命题
【解析】【解答】解：①当a=-1，b=-2时，满足a＞b，但a2＜b2；原命题是假命题；
②在锐角三角形中，若任意两个内角和小于第三个内角，则这三个角的和小于180°，是真命题；
③无论x取什么值，代数式x2-2x+2=(x-1)2+1≥1，所以其值都不小于1，是真命题；
④如图1，当三条直线如图1相交时，若每个角都不小于61°，
则∠1+∠2+∠3>180°，这与平角定义相矛盾，
∴至少有一个角小于61°；
当三条直线如图2相交时，若每个角都不小于61°，则∠1+∠2+∠3>180°，这与三角形内角和定理相矛盾，
∴至少有一个角小于61°；
综上可知，在同一平面内，有两两相交的3条直线，这些相交直线构成的所有角中，至少有一个角小于61°，是真命题.
故答案为：②③④.
【分析】 ① 举一个反例即可否定； ② 用反证法证明，推出假设和三角形内角和定理相矛盾；③ 配方，可用完全平方式的非负性来验证；④用反证法证明，推出假设和平角的定义或三角形内角和定理相矛盾.
19．【答案】②③
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：①若 ，则 ，故①不符合题意；
②若 ，则 ，故②符合题意；
③若 ， ， ，故③符合题意；
④若 ，当 时，则 ；当 ，则 ，故④不符合题意；
故正确的有：②③，
故答案是：②③．
【分析】根据不等式的基本性质判断即可。
20．【答案】4
【知识点】不等式的定义
【解析】【解答】设一个球体的质量为x，一个圆柱的质量为y，一个正方体的质量为m，
根据第一个天平可得： ，
根据第二个天平可得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案是4.
【分析】设一个球体的质量为x，一个圆柱的质量为y，一个正方体的质量为m，列出关系式计算即可；
21．【答案】解：设“■”的重量为xg，“▲”的重量为yg，根据题意得：2x＞x+50，即x＞50；y+50＜100，即y＜50
【知识点】列一元一次不等式；不等式的定义
【解析】【分析】设“■”的重量为xg，“▲”的重量为yg，通过观察图发现，两个“■”的重量大于一个“■”与一个“●”的质量之和，从而得出不等式；两个“●”的质量大于一个“▲”与一个“●”的质量之和；从而列出不等式，求解即可。
22．【答案】解：（1）正确
∵a>b
∴a+c>b+c (1)不等式两边同时加一个相同的数不等号方向不变
∵c>d
∴b+c>b+d (2) 同上
∴a+c>b+d 不等式的传递性
（ 2 ）错误
举反例，答案不唯一。
【知识点】不等式的性质
【解析】【分析】利用不等式的性质及不等式的传递性可对小英的说法作出判断；对小亮的说法举出反例进行说明即可。
23．【答案】解：∵x﹣y=3，
∴x=y+3．
又∵x＞2，
∴y+3＞2．即y＞﹣1．
又∵y＜1，
∴﹣1＜y＜1． …①
同理得：2＜x＜4． …②
由①+②得﹣1+2＜y+x＜1+4
∴x+y的取值范围是1＜x+y＜5
【知识点】不等式的性质
【解析】【分析】仿照给出的阅读材料、根据不等式的性质计算．
24．【答案】解：他的说法不对．
∵a的值不确定，
∴解题时对这个不等式两边不能同时除以a，
若2a＞3a，
则2a﹣3a＞0，
﹣a＞0，
则a＜0．
所以，赵军错误的原因是两边除以a时不等号的方向没有改变
【知识点】不等式的性质
【解析】【分析】根据不等式的性质2和3，不等式的两边都除以一个数时要考虑这个数是正数还是负数判断．
25．【答案】（1）解：∵x- 2y(不等式的性质3)
（2）解：∵-2x>-2y，∴-2x+3>-2y+3，即∴3-2x>3-2y(不等式的性质2)
【知识点】不等式的性质
【解析】【分析】（1）利用不等式的性质3：在不等式的两边同时乘以-2，不等号的方向改变，由此可求解.
（2）利用不等式的性质3可得到-2x>- 2y；然后利用不等式的性质1，在不等式的两边同时加上3，不等号的方向不变，可得答案.
1 / 1初中数学北师大版八年级下册第二章 第一~三节 不等式性质与不等式解集
一、单选题
1．学校组织同学们春游，租用45座和30座两种型号的客车，若租用45座客车x辆，租用30座客车y辆，则不等式“45x+30y≥500”表示的实际意义是（ ）
A．两种客车总的载客量不少于500人
B．两种客车总的载客量不超过500人
C．两种客车总的载客量不足500人
D．两种客车总的载客量恰好等于500人
【答案】A
【知识点】不等式的定义
【解析】【解答】解：不等式“45x+30y≥500”表示的实际意义是两种客车总的载客量不少于500人，
故选：A．
【分析】主要依据不等式的定义：用“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“≠”等不等号表示不相等关系的式子是不等式来判断．
2．下列式子：①a+b=b+a；②﹣2＞﹣5；③x≥﹣1；④ y﹣4＜1；⑤2m≥n；⑥2x﹣3，其中不等式有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【知识点】不等式的定义
【解析】【解答】解：②﹣2＞﹣5；③x≥﹣1；④ y﹣4＜1；⑤2m≥n是不等式，
故选：C．
【分析】主要依据不等式的定义﹣﹣﹣﹣﹣用“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“≠”等不等号表示不相等关系的式子是不等式来判断．
3．下列说法正确的是（ ）
A．﹣a比a小 B．一个有理数的平方是正数
C．a与b之和大于b D．一个数的绝对值不小于这个数
【答案】D
【知识点】不等式的定义
【解析】【解答】解：A、当a=0时，﹣a=a，故本选项错误；
B、一个有理数的平方是非负数，故本选项错误；
C、当a、b都是负数时，a与b之和不大于b，故本选项错误；
D、一个数的绝对值是非负数，所以不小于这个数，故本选项正确；
故选：D．
【分析】根据实数的性质和不等式的定义解答．
4．（2022八下·重庆开学考）若 ，则下列式子一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵ ，∴a+1>b+1，故答案为：A不符合题意；
∵ ，∴ ，故答案为：B符合题意；
∵ ，∴-2a<-2b，故答案为：C不符合题意；
∵ ，∴ ，故答案为：D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；
不等式两边同时乘（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变；
不等式两边同时乘（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变，据此判断即可.
5．（2021八上·永州月考）关于x的不等式（m－1）x＞m－1可变成形为x＜1，则（ ）
A．m＜－1 B．m＞－1 C．m＞1 D．m＜1
【答案】D
【知识点】不等式的解及解集
【解析】【解答】解：∵关于x的不等式（m-1）x>m-1的解集为x<1，
∴m-1<0，
则m<1，
故答案为：D.
【分析】不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变，据此解答即可.
6．（2021八上·义乌期中）交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在通过桥洞时，我们往往会看到如图所示的标志，这是限制车高的标志．则通过该桥洞的车高x（m）的范围在数轴上可表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集
【解析】【解答】解：通过该桥洞的车高x（m）的范围为0＜x≤4.
故答案为：D.
【分析】利用已知图标可得到x的取值范围，观察各选项中的数轴，可得答案.
7．（2021七下·淮阴期末）不等式组 的解集在数轴上可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集
【解析】【解答】解：不等式组 的解集是 ，
在数轴上表示为： ，
故答案为：B.
【分析】不等式组的解集为-28．（2021七下·阳江期末）下列说法正确的是（ ）
A．x＝2不是不等式x+2＞2的解 B．x＝2是不等式x+2＞2的解集
C．方程x+y＝3无解 D．不等式x+2＞2有无数个解
【答案】D
【知识点】不等式的解及解集
【解析】【解答】解：A、x+2＞2的解集为：x＞0，所以x＝2是不等式x+2＞2的解，不符合题意；
B、x+2＞2的解集为：x＞0，所以x＝2是不等式x+2＞2的解，不符合题意；
C、方程x+y＝3有无数个解，不符合题意；
D、x+2＞2的解集为：x＞0，所以不等式x+2＞2有无数个解，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据不等式的解集逐项判定即可。
9．下列说法不一定成立的是（ ）
A．若a>b，则a+c>b+c B．若a+c>b+c，则a>b
C．若a>b，则ac2>bc2 D．若ac2>bc2，则a>b
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、在不等式a＞b的两边同时加上c，不等式仍成立，即a+c＞b+c，故A不符合题意；
B、在不等式a+c＞b+c的两边同时减去c，不等式仍成立，即a＞b，故B不符合题意；
C、当c=0时，若a＞b，则不等式ac2＞bc2不成立，故C符合题意；
D、在不等式ac2＞bc2的两边同时除以不为0的c2，该不等式仍成立，即a＞b，故D不符合题意。
故应选：C．
【分析】根据不等式的性质：在不等式的两边都除以同一个正数，不等号方向不变，不等式的两边都乘以同一个正数，不等号方向不变 ；不等式的两边都乘以同一个负数，不等号方向改变 ；不等式的两边都除以同一个负数，不等号方向改变 ；不等式的两边都加上或减去同一个数，不等号方向不变；就可以一一判断。
10．（2020八上·下城期末）设m，n是实数，a，b是正整数，若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：m，n是实数，则 、 和 都有可能，
①当 时，
∵ ，a，b是正整数
∴ ，
∴ ，
此时四个选项均成立；
②当 时，
a和b的大小不能确定，
此时A、B不一定成立，C不成立，D一定成立；
③当 时，
∵ ，a，b是正整数
∴ ，
∴ ，
此时A、B不成立，C、D成立；
综上可知D一定成立，
故答案为：D.
【分析】分别讨论 、 和 ，利用不等式的性质进行判断.
二、填空题
11．（2021八上·柯桥期中）根据“ 的2倍与3的差不小于8”列出的不等式是 ．
【答案】2x-3≥8
【知识点】不等式的定义
【解析】【解答】解：∵ “ 的2倍与3的差不小于8”
∴2x-3≥8.
故答案为：2x-3≥8.
【分析】利用不小于就是大于等于，列不等式即可.
12．（2020七下·密山期末）数学表达式中：①a2≥0 ②5p-6q<0 ③x-6=1 ④7x+8y ⑤-1<0 ⑥x≠3.不等式是 （填序号）
【答案】①②⑤⑥
【知识点】不等式的定义
【解析】【解答】解：③是等式，④是式子.
故答案：①②⑤⑥.
【分析】根据不等式的定义进行判断：用“>，≥，<， ≤ ，≠”等不等号表示不相等关系的式子是不等式.
13． 的最大值是 .
【答案】4
【知识点】算数平方根的非负性；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
∴
∴
∴
故答案为：4.
【分析】根据二次根式的性质结合不等式的性质进行分析，最主要的就是不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号要改变方向．
14．（2021九上·河南月考）无理数-2的整数部分是 .
【答案】3
【知识点】估算无理数的大小；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵5＜＜6，
∴3＜－2＜4，
∴－2的整数部分是3.
故答案为：3.
【分析】根据估算无理数大小的方法可得5＜＜6，根据不等式的性质求出-2的范围，进而可得其整数部分.
15．（2021八上·宁波期中）如果关于 x 的不等式 的解集为 ，那么 a 的取值范围是 .
【答案】
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵不等式 的解集为 ，
∴ ，
解得： ，
故答案为： .
【分析】根据不等式的性质，不等式的两边同时除以同一个负数，不等号的方向改变可得a+2021<0，求解可得a的范围.
16．（2021八上·乐山期末）定义：用符号
表示一个实数
的整数部分，例如：
，
，
.按此定义，计算
.
【答案】3
【知识点】估算无理数的大小；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵16＜19＜25，
∴4＜
＜5.
∴3＜
＜4.
∴ .
故答案为：3.
【分析】先估算出
的大小，然后求得
的范围，最后依据定义求解即可.
17．（2021八上·杭州期中）已知 ， ，则a的取值范围是 .
【答案】
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，a＜0
∴ ，
∴ .
故答案为： .
【分析】由 得，由即得 且a＜0，进而根据不等式的性质解不等式组即可求解.
18．（2020七下·玄武期末）对于下列命题：①若a＞b，则a2＞b2；②在锐角三角形中，任意两个内角和一定大于第三个内角；③无论x取什么值，代数式x2－2x＋2的值都不小于1；④在同一平面内，有两两相交的3条直线，这些相交直线构成的所有角中，至少有一个角小于61°.其中，真命题的是 .（填所有真命题的序号）
【答案】②③④
【知识点】三角形内角和定理；配方法的应用；相交线；真命题与假命题
【解析】【解答】解：①当a=-1，b=-2时，满足a＞b，但a2＜b2；原命题是假命题；
②在锐角三角形中，若任意两个内角和小于第三个内角，则这三个角的和小于180°，是真命题；
③无论x取什么值，代数式x2-2x+2=(x-1)2+1≥1，所以其值都不小于1，是真命题；
④如图1，当三条直线如图1相交时，若每个角都不小于61°，
则∠1+∠2+∠3>180°，这与平角定义相矛盾，
∴至少有一个角小于61°；
当三条直线如图2相交时，若每个角都不小于61°，则∠1+∠2+∠3>180°，这与三角形内角和定理相矛盾，
∴至少有一个角小于61°；
综上可知，在同一平面内，有两两相交的3条直线，这些相交直线构成的所有角中，至少有一个角小于61°，是真命题.
故答案为：②③④.
【分析】 ① 举一个反例即可否定； ② 用反证法证明，推出假设和三角形内角和定理相矛盾；③ 配方，可用完全平方式的非负性来验证；④用反证法证明，推出假设和平角的定义或三角形内角和定理相矛盾.
19．（2021八上·北京开学考）下列命题中：
①若 ，则 ；
②若 ，则 ；
③若 ，则 ；
④若 ，则 ．
正确的有 ．（只填写正确命题的序号）
【答案】②③
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：①若 ，则 ，故①不符合题意；
②若 ，则 ，故②符合题意；
③若 ， ， ，故③符合题意；
④若 ，当 时，则 ；当 ，则 ，故④不符合题意；
故正确的有：②③，
故答案是：②③．
【分析】根据不等式的基本性质判断即可。
20．（2021七上·郫都期末）如图所示，两个天平都平衡，那么与6个球体质量相等的正方体的个数为 .
【答案】4
【知识点】不等式的定义
【解析】【解答】设一个球体的质量为x，一个圆柱的质量为y，一个正方体的质量为m，
根据第一个天平可得： ，
根据第二个天平可得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案是4.
【分析】设一个球体的质量为x，一个圆柱的质量为y，一个正方体的质量为m，列出关系式计算即可；
三、解答题
21．设“■”“▲”“●”表示三个不同的物体，现用天平称两次，发现其结果如图所示，这三种物体中如果球的重量为50g，请用不等式表示“■”和“▲”的物体重量．
【答案】解：设“■”的重量为xg，“▲”的重量为yg，根据题意得：2x＞x+50，即x＞50；y+50＜100，即y＜50
【知识点】列一元一次不等式；不等式的定义
【解析】【分析】设“■”的重量为xg，“▲”的重量为yg，通过观察图发现，两个“■”的重量大于一个“■”与一个“●”的质量之和，从而得出不等式；两个“●”的质量大于一个“▲”与一个“●”的质量之和；从而列出不等式，求解即可。
22．（2020八上·镇海期中）某数学兴趣小组在学习“不等式的性质”时，有两名同学的对话如下：
你认为小英和小亮的结论正确吗？如果正确，请说明理由；如果不正确，请举出一个反例。
【答案】解：（1）正确
∵a>b
∴a+c>b+c (1)不等式两边同时加一个相同的数不等号方向不变
∵c>d
∴b+c>b+d (2) 同上
∴a+c>b+d 不等式的传递性
（ 2 ）错误
举反例，答案不唯一。
【知识点】不等式的性质
【解析】【分析】利用不等式的性质及不等式的传递性可对小英的说法作出判断；对小亮的说法举出反例进行说明即可。
23．阅读下列材料：
解答“已知x﹣y=2，且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围”有如下解法：
解∵x﹣y=2，∴x=y+2．
又∵x＞1，∴y+2＞1．即y＞﹣1．
又∵y＜0，∴﹣1＜y＜0．…①
同理得：1＜x＜2． …②
由①+②得﹣1+1＜y+x＜0+2
∴x+y的取值范围是0＜x+y＜2
请按照上述方法，完成下列问题：已知x﹣y=3，且x＞2，y＜1，则x+y的取值范围．
【答案】解：∵x﹣y=3，
∴x=y+3．
又∵x＞2，
∴y+3＞2．即y＞﹣1．
又∵y＜1，
∴﹣1＜y＜1． …①
同理得：2＜x＜4． …②
由①+②得﹣1+2＜y+x＜1+4
∴x+y的取值范围是1＜x+y＜5
【知识点】不等式的性质
【解析】【分析】仿照给出的阅读材料、根据不等式的性质计算．
24．赵军说不等式2a＞3a永远不会成立，因为如果在这个不等式两边同除以a，就会出现2＞3这样的错误结论．你同意他的说法对吗？若同意说明其依据，若不同意说出错误的原因．
【答案】解：他的说法不对．
∵a的值不确定，
∴解题时对这个不等式两边不能同时除以a，
若2a＞3a，
则2a﹣3a＞0，
﹣a＞0，
则a＜0．
所以，赵军错误的原因是两边除以a时不等号的方向没有改变
【知识点】不等式的性质
【解析】【分析】根据不等式的性质2和3，不等式的两边都除以一个数时要考虑这个数是正数还是负数判断．
四、综合题
25．（2021八上·长兴期中）若x（1）-2x与-2y；
（2）3-2x与3-2y．
【答案】（1）解：∵x- 2y(不等式的性质3)
（2）解：∵-2x>-2y，∴-2x+3>-2y+3，即∴3-2x>3-2y(不等式的性质2)
【知识点】不等式的性质
【解析】【分析】（1）利用不等式的性质3：在不等式的两边同时乘以-2，不等号的方向改变，由此可求解.
（2）利用不等式的性质3可得到-2x>- 2y；然后利用不等式的性质1，在不等式的两边同时加上3，不等号的方向不变，可得答案.
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