高中数学人教A版（2019） 必修二 第六章 第四节 平面向量的应用

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高中数学人教A版（2019） 必修二 第六章 第四节 平面向量的应用
一、单选题
1．（2021高一下·湛江期末）在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ， ， ，则 （　　）
A．3 B．2 C．1 D．
2．（2021高一下·宁波期末）如图，已知 为 中 的角平分线，若 ， ，则 （　　）
A．1 B．2 C．3 D．
3．（2021高一下·东莞期末）在四边形 中， ， ， ， ，则 的长为（　　）
A． B． C． D．
4．（2021高一下·温州期末）在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 ， ，若满足条件的 有两个，则 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
5．（2021高一下·沈阳期末）在 中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且 ， ，则 的面积为（　　）
A． B． C． D．
6．（2021高一下·运城期末）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶，到 处时测得公路北侧一山顶 在西偏北45°的方向上，行驶 后到达 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为60°，则此山的高度 为（　　）
A． B． C． D．600
7．（2021高一下·无锡期末）已知 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 ， ，则 面积的最大值为（　　）
A． B． C． D．
8．（2021高一下·沈阳期末）在 中，A，B，C分别为 三边a，b，c所对的角．若 ，且满足关系式 ，则 （　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
二、多选题
9．（2021高一上·重庆月考）如图， 的三个内角 ， ， 对应的三条边分别是 ， ， ， 为钝角， ， ， ， ，则下列结论正确的有（　　）
A． B．
C． D． 的面积为
10．（2021高一下·宁波期末）已知 的三个内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，则下列条件能推导出 一定是锐角三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
11．（2021高一下·越秀期末）已知点 在 所在平面内，则（　　）
A．满足 时， 是 的外心
B．满足 时， 是 的重心
C．满足 时， 是 的内心
D．满足 时， 是 的垂心
12．（2021高一下·三明期末）在△ 中， ， ， ，P为△ 内一点， ，下列结论正确的是（　　）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．△ 的面积的最大值为
D．△ 的面积的取值范围是
三、填空题
13．（2021高一下·丽水期末）在锐角 中，角 的对边分别为 ，若 ， ，则边 的取值范围是　 　．
14．（2021高一下·茂名期末）在 中，点D在边 上， ，则 的长为　 　．
15．（2021高一下·盐城期末）在 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，若 ，则 　 　.
16．（2021高一下·常州期末）在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ， ， ，若点 在边 上，并且 ， 为 的外心，则 之长为　 　．
四、解答题
17．（2021高一下·沈阳期末）已知a，b，c是 的内角A，B，C的对边，且 ．
（1）求角A的大小；
（2）若 ， 的周长为 ，求c．
18．（2021高一上·南阳月考）中，内角，，所对的边分别为，，，，且．
（1）求的大小；
（2）若的周长为，求边上中线的长度．
19．（2021高一下·台州期末）已知 的内角 所对的边分别为 ，且__________.请从下面三个条件中任选一个，补充在题目的横线上，并作答.
① ；② ：③ 的面积为 .
（1）求角 的大小；
（2）若点 满足 ，且 ，求 的最小值.
20．（2021高一下·顺德期末）如图，在平面四边形 中， ， ， ， ．
（1）若角 时，求四边形 的面积；
（2）求 的最大值．
21．（2021高一下·汕尾期末）从① ，② ，③ 三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答：
已知 三个内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知_________.
（1）求角 的大小；
（2）若 为锐角三角形， ，求a的取值范围.
22．（2021高一下·东莞期末）在△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， .现有下列四个条件：① ，② ，③ ，④ .
（1）③④两个条件可以同时成立吗？请说明理由；
（2）请在上述四个条件中选择使△ 有解的三个条件，并求出△ 的面积.
答案解析部分
1．【答案】C
【考点】正弦定理
【解析】【解答】因为 ， ，所以 ，
由 ，即 ，
解得 .
故答案为：C.
【分析】 由已知利用三角形内角和定理可求B的值，进而利用正弦定理即可解得b的值.
2．【答案】A
【考点】平面向量数量积的运算；余弦定理
【解析】【解答】解： 为 中 的角平分线， ， ，由余弦定理可得 ，即 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以 ， ．
故答案为：A．
【分析】 利用已知条件，由余弦定理可得AC ，AD, 然后求解向量的数量积即可.
3．【答案】B
【考点】余弦定理
【解析】【解答】设 与 交于点 ，
因为 ， ， ， ，
所以 ， ，
，
所以 ，
，
所以 ．
故答案为：B．
【分析】 过D作DE// AC交BA的延长线于E，则在△DEB中可以利用余弦定理求得 的值，再在△ADE中，利用余弦定理可以得到AD的长.
4．【答案】D
【考点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】解：因为 ，所以 等价于 ，
即 ，展开化简为：
，所以有 或 （舍），即 ，因为 ，所以 .
由正弦定理可知： ，即 ，因为三角形有两解，所以 且 ，所以 ，则 .
故答案为：D
【分析】利用余弦定理化简，再结合满足条件的△ABC有两个,及其二次函数的单调性即可得出结论.
5．【答案】C
【考点】余弦定理
【解析】【解答】因为 ，故 ，
而 ，故 ，
故 ，故三角形的面积为 ，
故答案为：C.
【分析】 利用余弦定理表示出cosC，并利用完全平方公式变形，将已知等式及cosC的值代入求出ab的值，再由sinC的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积.
6．【答案】C
【考点】正弦定理
【解析】【解答】由题设可得在 中，有 ， ， ，
故 ，所以 ，
在 中， ，故 ，
故答案为：C.
【分析】 由题意利用三角形内角和公式求得∠BCA的值，再利用正弦定理求得BC的值，再利用直角三角形BCD中的边角关系，求得CD的值.
7．【答案】A
【考点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】解： ， ，即 ，
，
，
由正弦定理知， ，
，即 ，
，
由余弦定理知， ，
化简得 ，
面积
，
当 时， 有最大值为 ．
故答案为：A．
【分析】 结合同角三角函数的商数关系，两角和的正弦公式，推出sin A=3 cos BsinC,再由正弦定理化角为边，表示出cosB和sinB，然后通过余弦定理得到关系式 ，最后由，并结合二次函数的性质，求出△ABC面积的最大值.
8．【答案】A
【考点】正弦定理
【解析】【解答】因为 ，可得 ，即 ，
可得 ，即 ，
又因为 ，
由正弦定理和余弦定理，可得 ，
解得 ，
又由正弦定理得 .
故答案为：A.
【分析】 由 ，推导出B= 60°,由推导出b，进而根据正弦定理即可求解.
9．【答案】B,C,D
【考点】二倍角的余弦公式；余弦定理
【解析】【解答】解：由 ，得： ，
又角 为钝角，解得： ，
因为 ， ，
由余弦定理 ，得： ，
解得 ，可知 为等腰三角形，即 ，
所以 ，
解得 ，A不符合题意，
可得 ，
在 中， ，得 ，可得 ，B符合题意，
，可得 ，可得 ，C符合题意，
所以 的面积为 ，D符合题意．
故答案为：BCD．
【分析】 由已知利用二倍角的余弦函数公式可求cos∠ABC的值，利用余弦定理求得a的值，再计算sinA，由同角的三角函数关系求出cosA，根据直角三角形边角关系求出AD,BD, CD的值，再计算△BCD的面积从而得解.
10．【答案】B,D
【考点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】解：对于 ，若 ，由余弦定理可知 ，即角 为锐角，不能推出其他角均为锐角，故错误；
对于 ，因为 ，可得 ，可得 ，设 ， ， ， ，
可得 为最大边， 为三角形最大角，
根据余弦定理得 ，可得 为锐角，可得 一定是锐角三角形，故正确；
对于 ，因为 ，可得 ，整理可得 ，由正弦定理可得 ，可得 为直角，故错误；
对于 ，因为由于 ，整理得 ，
故 ，
由于 ，
故 ，
故 ， ， 均为锐角， 为锐角三角形，故正确．
故答案为：BD．
【分析】 利用三角函数关系式的恒等变换、正弦定理、余弦定理逐项判断即可求解.
11．【答案】B,C
【考点】平面向量数量积的运算；正弦定理
【解析】【解答】A. ，得 ，即 ，
同理 ， ，所以点 是 三条垂线的交点，所以 是 的垂心，A不符合题意；
B.若 时， ，设点 是 的中点，所以 ，
同理设 是 和 的中点，所以 ， ，所以 是 的三条中线的交点，即点 是 的重心，B符合题意；
C. ，由正弦定理可知
，
所以 ,
故 ，所以点 在 的角平分线上，
同理可证明点 在 和 的角平分线上，故点 为 的内心，C符合题意；
D.当 是直角三角形，且 ， ， 时，满足 时，即 ，即点 是斜边 的中点，点 是 的外心，不是垂心，D不符合题意.
故答案为：BC
【分析】 由平面向量数量积的性质和三角形的外心、重心、内心、垂心的定义逐一进行判断即可.
12．【答案】B,C
【考点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】由题意知：如上图示， 在以 为直径的圆上，
A： 时， ， ，易知 ，故在△ 中 ，则 ，错误；
B： ，若 ，则 ， ，
∴在△ 中， ，即 ，可得 ，
∴ ，正确；
C：要使△ 的面积的最大，则 ，此时 ，正确；
D：由图知：若 在圆 与 的交点上， ，又P为△ 内一点，所以△ 的面积的取值范围是 ，错误.
故答案为：BC
【分析】 对于A:由余弦定理，求出PA,即可判断A是否正确；对于B:由正弦定理,求出，即可判断B是否正确；对于C:要使△ 的面积的最大，则 ，此时 ，即可判断C是否正确；对于D:若 在圆 与 的交点上，
然后求出△ABP的面积的取值范围，即可判断D是否正确.
13．【答案】
【考点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】在锐角 中，有 ， ， ，
由余弦定理得 ，
把 代入得， ，
又 ，所以 .有 ，
由 ，得 .
在 中由正弦定理得， ，
，
因为 ，所以 ， .
故答案为： .
【分析】 由已知利用余弦定理可得，结合A为锐角，可得A的值，由题意可求范围，利用正弦函数的性质可得 ，进而根据正弦定理可得的范围.
14．【答案】5
【考点】余弦定理
【解析】【解答】如图，在 中， ，设 ，则 ．
在 中，因为 ，所以 ．
在 中， ，
则 ．
因为 ，所以 ，
即 ，解得 ，所以 的长为5。
故答案为：5。
【分析】利用已知条件结合余弦函数的定义和两角互补余弦值的关系式，再结合余弦定理，从而求出线段AD的长。
15．【答案】9
【考点】两角和与差的正弦公式；正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】解：因为 ，
所以
，
即
故原式化为 ，
由正余弦定理得： ，即 ，所以 ，所以 ．
故答案为：9．
【分析】 将已知条件切化弦,然后结合两角和与差的正弦公式、正余弦定理，将等量关系转化为a2，b2, c2间的关系，则问题可解.
16．【答案】1
【考点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】解：在 中，由正弦定理得： ，
， ，
又 ， ；
外接圆的圆心为 ，设半径为 ，则由正弦定理得： ，
如图所示：取 的中点 ，
在 中， ；
在 中， ；
.
故答案为：1．
【分析】 根据已知条件，运用正弦定理，可推得A=60°，再结合外接圆的公式和余弦定理，即可求解.
17．【答案】（1）因为 ，
可得 ，即 ，
又因为 ，可得 ，
所以 ，即 ，
解得 或 （舍去），
因为 ，所以 .
（2）因为 ，可得 ，
又由 ，可得 ，即 ，
可得 ，解得 ，
则 ，可得 ，
又因为 的周长为 ，可得 ，
解得 .
【考点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】 (1)利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得 ，解方程可得 的值，结合范围0 < A < π,可得A的值；
(2)由正弦定理可得 ，又由 及余弦定理可求 ，由 ，可得 ，根据三角形的周长即可求解.
18．【答案】（1）解：因为，
所以由正弦定理边角互化得：，
因为，
所以，所以
因为，所以，，
所以，即，
所以
（2）解：由（1）得为等腰三角形，设，
故，代入数据解得：，
因为的周长为，所以，解得，
所以,,
在中，，
所以，即，解得，
所以边上中线的长度为.
【考点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）根据正弦定理进行边角互化，再由角的范围可求得 的大小；
（2） 设， 根据三角形的周长可求得 ， 在中 ，运用余弦定理可求得 边上中线的长度．
19．【答案】（1）若选①，
因为 ，
所以 ，即 ，解得 或 (舍去)
又 ，所以 .
若选②，
因为 ，
所以由正弦定理边角互化得 ，即 ，
所以
又 ，所以 .
若选③，
因为 ， 的面积为 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
又 ，所以 .
（2）因为 ，
所以 ，即
所以 ，即 ，
所以 ，即
所以
当且仅当 ，即 ， 有最小值9.
【考点】基本不等式；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】 (1)若选择①,由所给条件可得 ，解方程可得 ，结合范围0若选择②,所给条件可得bc= - 2bccos A,可得cos A的值,进而可求A的值;
若选择③,由题意，利用三角形的面积公式，同角三角函数基本关系式可求tan A，进而可求A的值.
(2)由题意可求 即 ，进而可得 ，利用基本不等式即可求解 。
20．【答案】（1）在 中， ， ， ，
所以 ，
由余弦定理得 ，
所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以四边形 的面积为 ；
（2）连接 ，设 ，在 中由余弦定理得
，
因为 ，所以 ，
由正弦定理得 ，
所以 ，因为 ，所以 ，
在 中，由余弦定理得 ，
所以
，
因为 ，所以 ，所以当 即 时，
取最大值为1，此时 ，
综上所述， 的最大值为5．
【考点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】 (1 )由已知结合勾股定理可求DC与BD、BC的关系，再利用余弦定理求BD,再由三角形的面积公式可求四边形面积；
( 2 )连接AC，将AC构造在△ABC中进行求解，即需要先知道∠ABC与边BC的大小关系， 设 ，在 中由余弦定理得 ，由，得 ，又据正弦定理得 ，即可得到AC与的关系，从而判断AC的最大值.
21．【答案】（1）选①：∵ ，
∴ .
∴ .
∴ .
又∵ ，∴ .
选②：∵ ，
由正弦定理得 .
∵ ，∴ ，
∴ ，∴ .
又∵ ，∴ .
选③：∵ ，
∴ .
∴ .
∴ .
又∵ ，∴ .
（2）由正弦定理 ，
∴ .
∴
.
∵ 为锐角三角形， ，
可得 ，解得： ，
∴ ，∴
∴ ，∴ .
∴ 的范围是 .
【考点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】 （1）选①:整理条件,结合余弦定理可求得cosC,从而得解；选②:利用正弦定理整理条件可得tanC,从而得解；选③:结合诱导公式与同角三角函数的平方关系，可解cosC,从而得解；
（2） 由正弦定理 ，可求出 ，由 为锐角三角形， ，可得 ，解出B，即可求出a 的取值范围.
22．【答案】（1）由③及正弦定理得 ，又 ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，即 ，又 ，
∴ .
由④得 ，又 ， ，
∴ ，在△ 中， 不符合题意，
∴△ 不能同时满足条件③④.
（2）∵△ 同时满足上述四个条件中的三个，不能同时满足③④，
∴满足三角形有解的所有组合为①②③或①②④.
若选择组合①②③：由 ，得 ，解得 ，又 ，
∴ ，即△ 为直角三角形，解得 ，
∴△ 的面积 .
若选择组合①②④：由 ，即 ，解得 ，
由 ，且 ，得 ，
∴△ 的面积 .
【考点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】 (1)由条件③及正弦定理，三角函数恒等变换的应用可得 ，结合范围A∈(0,π),可得 ;由条件④可得cosB的值，结合 ， ，可求 ，可得 不符合题意，可求△A BC不能同时满足条件③④；
(2)若选择组合①②③:由正弦定理可得sinB= 1,结合范围B∈(0,π), 可求B，解得c的值，利用三角形的面积公式即可求解;若选择组合①②④:利用余弦定理可得 ，解得c的值，利用同角三角函数基本关系式可求sinB的值，进而根据三角形的面积公式即可求解.
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高中数学人教A版（2019） 必修二 第六章 第四节 平面向量的应用
一、单选题
1．（2021高一下·湛江期末）在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ， ， ，则 （　　）
A．3 B．2 C．1 D．
【答案】C
【考点】正弦定理
【解析】【解答】因为 ， ，所以 ，
由 ，即 ，
解得 .
故答案为：C.
【分析】 由已知利用三角形内角和定理可求B的值，进而利用正弦定理即可解得b的值.
2．（2021高一下·宁波期末）如图，已知 为 中 的角平分线，若 ， ，则 （　　）
A．1 B．2 C．3 D．
【答案】A
【考点】平面向量数量积的运算；余弦定理
【解析】【解答】解： 为 中 的角平分线， ， ，由余弦定理可得 ，即 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以 ， ．
故答案为：A．
【分析】 利用已知条件，由余弦定理可得AC ，AD, 然后求解向量的数量积即可.
3．（2021高一下·东莞期末）在四边形 中， ， ， ， ，则 的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【考点】余弦定理
【解析】【解答】设 与 交于点 ，
因为 ， ， ， ，
所以 ， ，
，
所以 ，
，
所以 ．
故答案为：B．
【分析】 过D作DE// AC交BA的延长线于E，则在△DEB中可以利用余弦定理求得 的值，再在△ADE中，利用余弦定理可以得到AD的长.
4．（2021高一下·温州期末）在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 ， ，若满足条件的 有两个，则 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【考点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】解：因为 ，所以 等价于 ，
即 ，展开化简为：
，所以有 或 （舍），即 ，因为 ，所以 .
由正弦定理可知： ，即 ，因为三角形有两解，所以 且 ，所以 ，则 .
故答案为：D
【分析】利用余弦定理化简，再结合满足条件的△ABC有两个,及其二次函数的单调性即可得出结论.
5．（2021高一下·沈阳期末）在 中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且 ， ，则 的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【考点】余弦定理
【解析】【解答】因为 ，故 ，
而 ，故 ，
故 ，故三角形的面积为 ，
故答案为：C.
【分析】 利用余弦定理表示出cosC，并利用完全平方公式变形，将已知等式及cosC的值代入求出ab的值，再由sinC的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积.
6．（2021高一下·运城期末）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶，到 处时测得公路北侧一山顶 在西偏北45°的方向上，行驶 后到达 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为60°，则此山的高度 为（　　）
A． B． C． D．600
【答案】C
【考点】正弦定理
【解析】【解答】由题设可得在 中，有 ， ， ，
故 ，所以 ，
在 中， ，故 ，
故答案为：C.
【分析】 由题意利用三角形内角和公式求得∠BCA的值，再利用正弦定理求得BC的值，再利用直角三角形BCD中的边角关系，求得CD的值.
7．（2021高一下·无锡期末）已知 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 ， ，则 面积的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【考点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】解： ， ，即 ，
，
，
由正弦定理知， ，
，即 ，
，
由余弦定理知， ，
化简得 ，
面积
，
当 时， 有最大值为 ．
故答案为：A．
【分析】 结合同角三角函数的商数关系，两角和的正弦公式，推出sin A=3 cos BsinC,再由正弦定理化角为边，表示出cosB和sinB，然后通过余弦定理得到关系式 ，最后由，并结合二次函数的性质，求出△ABC面积的最大值.
8．（2021高一下·沈阳期末）在 中，A，B，C分别为 三边a，b，c所对的角．若 ，且满足关系式 ，则 （　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】A
【考点】正弦定理
【解析】【解答】因为 ，可得 ，即 ，
可得 ，即 ，
又因为 ，
由正弦定理和余弦定理，可得 ，
解得 ，
又由正弦定理得 .
故答案为：A.
【分析】 由 ，推导出B= 60°,由推导出b，进而根据正弦定理即可求解.
二、多选题
9．（2021高一上·重庆月考）如图， 的三个内角 ， ， 对应的三条边分别是 ， ， ， 为钝角， ， ， ， ，则下列结论正确的有（　　）
A． B．
C． D． 的面积为
【答案】B,C,D
【考点】二倍角的余弦公式；余弦定理
【解析】【解答】解：由 ，得： ，
又角 为钝角，解得： ，
因为 ， ，
由余弦定理 ，得： ，
解得 ，可知 为等腰三角形，即 ，
所以 ，
解得 ，A不符合题意，
可得 ，
在 中， ，得 ，可得 ，B符合题意，
，可得 ，可得 ，C符合题意，
所以 的面积为 ，D符合题意．
故答案为：BCD．
【分析】 由已知利用二倍角的余弦函数公式可求cos∠ABC的值，利用余弦定理求得a的值，再计算sinA，由同角的三角函数关系求出cosA，根据直角三角形边角关系求出AD,BD, CD的值，再计算△BCD的面积从而得解.
10．（2021高一下·宁波期末）已知 的三个内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，则下列条件能推导出 一定是锐角三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B,D
【考点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】解：对于 ，若 ，由余弦定理可知 ，即角 为锐角，不能推出其他角均为锐角，故错误；
对于 ，因为 ，可得 ，可得 ，设 ， ， ， ，
可得 为最大边， 为三角形最大角，
根据余弦定理得 ，可得 为锐角，可得 一定是锐角三角形，故正确；
对于 ，因为 ，可得 ，整理可得 ，由正弦定理可得 ，可得 为直角，故错误；
对于 ，因为由于 ，整理得 ，
故 ，
由于 ，
故 ，
故 ， ， 均为锐角， 为锐角三角形，故正确．
故答案为：BD．
【分析】 利用三角函数关系式的恒等变换、正弦定理、余弦定理逐项判断即可求解.
11．（2021高一下·越秀期末）已知点 在 所在平面内，则（　　）
A．满足 时， 是 的外心
B．满足 时， 是 的重心
C．满足 时， 是 的内心
D．满足 时， 是 的垂心
【答案】B,C
【考点】平面向量数量积的运算；正弦定理
【解析】【解答】A. ，得 ，即 ，
同理 ， ，所以点 是 三条垂线的交点，所以 是 的垂心，A不符合题意；
B.若 时， ，设点 是 的中点，所以 ，
同理设 是 和 的中点，所以 ， ，所以 是 的三条中线的交点，即点 是 的重心，B符合题意；
C. ，由正弦定理可知
，
所以 ,
故 ，所以点 在 的角平分线上，
同理可证明点 在 和 的角平分线上，故点 为 的内心，C符合题意；
D.当 是直角三角形，且 ， ， 时，满足 时，即 ，即点 是斜边 的中点，点 是 的外心，不是垂心，D不符合题意.
故答案为：BC
【分析】 由平面向量数量积的性质和三角形的外心、重心、内心、垂心的定义逐一进行判断即可.
12．（2021高一下·三明期末）在△ 中， ， ， ，P为△ 内一点， ，下列结论正确的是（　　）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．△ 的面积的最大值为
D．△ 的面积的取值范围是
【答案】B,C
【考点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】由题意知：如上图示， 在以 为直径的圆上，
A： 时， ， ，易知 ，故在△ 中 ，则 ，错误；
B： ，若 ，则 ， ，
∴在△ 中， ，即 ，可得 ，
∴ ，正确；
C：要使△ 的面积的最大，则 ，此时 ，正确；
D：由图知：若 在圆 与 的交点上， ，又P为△ 内一点，所以△ 的面积的取值范围是 ，错误.
故答案为：BC
【分析】 对于A:由余弦定理，求出PA,即可判断A是否正确；对于B:由正弦定理,求出，即可判断B是否正确；对于C:要使△ 的面积的最大，则 ，此时 ，即可判断C是否正确；对于D:若 在圆 与 的交点上，
然后求出△ABP的面积的取值范围，即可判断D是否正确.
三、填空题
13．（2021高一下·丽水期末）在锐角 中，角 的对边分别为 ，若 ， ，则边 的取值范围是　 　．
【答案】
【考点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】在锐角 中，有 ， ， ，
由余弦定理得 ，
把 代入得， ，
又 ，所以 .有 ，
由 ，得 .
在 中由正弦定理得， ，
，
因为 ，所以 ， .
故答案为： .
【分析】 由已知利用余弦定理可得，结合A为锐角，可得A的值，由题意可求范围，利用正弦函数的性质可得 ，进而根据正弦定理可得的范围.
14．（2021高一下·茂名期末）在 中，点D在边 上， ，则 的长为　 　．
【答案】5
【考点】余弦定理
【解析】【解答】如图，在 中， ，设 ，则 ．
在 中，因为 ，所以 ．
在 中， ，
则 ．
因为 ，所以 ，
即 ，解得 ，所以 的长为5。
故答案为：5。
【分析】利用已知条件结合余弦函数的定义和两角互补余弦值的关系式，再结合余弦定理，从而求出线段AD的长。
15．（2021高一下·盐城期末）在 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，若 ，则 　 　.
【答案】9
【考点】两角和与差的正弦公式；正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】解：因为 ，
所以
，
即
故原式化为 ，
由正余弦定理得： ，即 ，所以 ，所以 ．
故答案为：9．
【分析】 将已知条件切化弦,然后结合两角和与差的正弦公式、正余弦定理，将等量关系转化为a2，b2, c2间的关系，则问题可解.
16．（2021高一下·常州期末）在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ， ， ，若点 在边 上，并且 ， 为 的外心，则 之长为　 　．
【答案】1
【考点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】解：在 中，由正弦定理得： ，
， ，
又 ， ；
外接圆的圆心为 ，设半径为 ，则由正弦定理得： ，
如图所示：取 的中点 ，
在 中， ；
在 中， ；
.
故答案为：1．
【分析】 根据已知条件，运用正弦定理，可推得A=60°，再结合外接圆的公式和余弦定理，即可求解.
四、解答题
17．（2021高一下·沈阳期末）已知a，b，c是 的内角A，B，C的对边，且 ．
（1）求角A的大小；
（2）若 ， 的周长为 ，求c．
【答案】（1）因为 ，
可得 ，即 ，
又因为 ，可得 ，
所以 ，即 ，
解得 或 （舍去），
因为 ，所以 .
（2）因为 ，可得 ，
又由 ，可得 ，即 ，
可得 ，解得 ，
则 ，可得 ，
又因为 的周长为 ，可得 ，
解得 .
【考点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】 (1)利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得 ，解方程可得 的值，结合范围0 < A < π,可得A的值；
(2)由正弦定理可得 ，又由 及余弦定理可求 ，由 ，可得 ，根据三角形的周长即可求解.
18．（2021高一上·南阳月考）中，内角，，所对的边分别为，，，，且．
（1）求的大小；
（2）若的周长为，求边上中线的长度．
【答案】（1）解：因为，
所以由正弦定理边角互化得：，
因为，
所以，所以
因为，所以，，
所以，即，
所以
（2）解：由（1）得为等腰三角形，设，
故，代入数据解得：，
因为的周长为，所以，解得，
所以,,
在中，，
所以，即，解得，
所以边上中线的长度为.
【考点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）根据正弦定理进行边角互化，再由角的范围可求得 的大小；
（2） 设， 根据三角形的周长可求得 ， 在中 ，运用余弦定理可求得 边上中线的长度．
19．（2021高一下·台州期末）已知 的内角 所对的边分别为 ，且__________.请从下面三个条件中任选一个，补充在题目的横线上，并作答.
① ；② ：③ 的面积为 .
（1）求角 的大小；
（2）若点 满足 ，且 ，求 的最小值.
【答案】（1）若选①，
因为 ，
所以 ，即 ，解得 或 (舍去)
又 ，所以 .
若选②，
因为 ，
所以由正弦定理边角互化得 ，即 ，
所以
又 ，所以 .
若选③，
因为 ， 的面积为 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
又 ，所以 .
（2）因为 ，
所以 ，即
所以 ，即 ，
所以 ，即
所以
当且仅当 ，即 ， 有最小值9.
【考点】基本不等式；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】 (1)若选择①,由所给条件可得 ，解方程可得 ，结合范围0若选择②,所给条件可得bc= - 2bccos A,可得cos A的值,进而可求A的值;
若选择③,由题意，利用三角形的面积公式，同角三角函数基本关系式可求tan A，进而可求A的值.
(2)由题意可求 即 ，进而可得 ，利用基本不等式即可求解 。
20．（2021高一下·顺德期末）如图，在平面四边形 中， ， ， ， ．
（1）若角 时，求四边形 的面积；
（2）求 的最大值．
【答案】（1）在 中， ， ， ，
所以 ，
由余弦定理得 ，
所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以四边形 的面积为 ；
（2）连接 ，设 ，在 中由余弦定理得
，
因为 ，所以 ，
由正弦定理得 ，
所以 ，因为 ，所以 ，
在 中，由余弦定理得 ，
所以
，
因为 ，所以 ，所以当 即 时，
取最大值为1，此时 ，
综上所述， 的最大值为5．
【考点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】 (1 )由已知结合勾股定理可求DC与BD、BC的关系，再利用余弦定理求BD,再由三角形的面积公式可求四边形面积；
( 2 )连接AC，将AC构造在△ABC中进行求解，即需要先知道∠ABC与边BC的大小关系， 设 ，在 中由余弦定理得 ，由，得 ，又据正弦定理得 ，即可得到AC与的关系，从而判断AC的最大值.
21．（2021高一下·汕尾期末）从① ，② ，③ 三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答：
已知 三个内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知_________.
（1）求角 的大小；
（2）若 为锐角三角形， ，求a的取值范围.
【答案】（1）选①：∵ ，
∴ .
∴ .
∴ .
又∵ ，∴ .
选②：∵ ，
由正弦定理得 .
∵ ，∴ ，
∴ ，∴ .
又∵ ，∴ .
选③：∵ ，
∴ .
∴ .
∴ .
又∵ ，∴ .
（2）由正弦定理 ，
∴ .
∴
.
∵ 为锐角三角形， ，
可得 ，解得： ，
∴ ，∴
∴ ，∴ .
∴ 的范围是 .
【考点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】 （1）选①:整理条件,结合余弦定理可求得cosC,从而得解；选②:利用正弦定理整理条件可得tanC,从而得解；选③:结合诱导公式与同角三角函数的平方关系，可解cosC,从而得解；
（2） 由正弦定理 ，可求出 ，由 为锐角三角形， ，可得 ，解出B，即可求出a 的取值范围.
22．（2021高一下·东莞期末）在△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， .现有下列四个条件：① ，② ，③ ，④ .
（1）③④两个条件可以同时成立吗？请说明理由；
（2）请在上述四个条件中选择使△ 有解的三个条件，并求出△ 的面积.
【答案】（1）由③及正弦定理得 ，又 ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，即 ，又 ，
∴ .
由④得 ，又 ， ，
∴ ，在△ 中， 不符合题意，
∴△ 不能同时满足条件③④.
（2）∵△ 同时满足上述四个条件中的三个，不能同时满足③④，
∴满足三角形有解的所有组合为①②③或①②④.
若选择组合①②③：由 ，得 ，解得 ，又 ，
∴ ，即△ 为直角三角形，解得 ，
∴△ 的面积 .
若选择组合①②④：由 ，即 ，解得 ，
由 ，且 ，得 ，
∴△ 的面积 .
【考点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】 (1)由条件③及正弦定理，三角函数恒等变换的应用可得 ，结合范围A∈(0,π),可得 ;由条件④可得cosB的值，结合 ， ，可求 ，可得 不符合题意，可求△A BC不能同时满足条件③④；
(2)若选择组合①②③:由正弦定理可得sinB= 1,结合范围B∈(0,π), 可求B，解得c的值，利用三角形的面积公式即可求解;若选择组合①②④:利用余弦定理可得 ，解得c的值，利用同角三角函数基本关系式可求sinB的值，进而根据三角形的面积公式即可求解.
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