苏科版初中数学七年级下册 12.2 证明 同步训练（基础版）
一、单选题
1．（2020七下·吉林期中）已知a，b，c是三条直线，下列结论正确的是（ ）
A．若a∥b，b∥c，则a∥c B．若a⊥b，b⊥c，则a⊥c
C．若a∥b，b⊥c，则a∥c D．若a⊥b，b∥c，则a∥c
【答案】A
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：A、根据平行于同一直线的两直线平行，即可推出本选项符合题意，所以A符合题意，
B、根据同一平面内垂直于同一直线的两直线平行，即可推出a∥c，所以本选项不符合题意，
C、根据两直线平行，同位角相等，即可推出 ，所以本选项不符合题意，
D、根据两直线平行，同位角相等，即可推出 ，所以本选项不符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据平行公理，平行线的判定定理及性质定理与垂直的性质，逐项进行分析，即可找到答案．
2．（2020七下·肇庆月考）下列语句中，是命题的是（ ）
①若∠1＝60°，∠2＝60°，则∠1＝∠2；②同位角相等吗？③画线段AB＝CD；④如果a>b，b>c，那么a>c；⑤直角都相等．
A．①④⑤ B．①②④ C．①②⑤ D．②③④⑤
【答案】A
【知识点】定义、命题、定理、推论的概念
【解析】【解答】解：①若∠1＝60°，∠2＝60°，则∠1＝∠2，是命题，故①符合题意；
②对顶角相等吗？不是命题，故②不符合题意；
③画线段AB＝CD，不是命题，故③不符合题意；
④如果a＞b，b＞c，那么a＞c，是命题，故④符合题意；
⑤直角都相等，是命题，故⑤符合题意．
故答案为：A．
【分析】 可以判断真假的陈述句叫做命题，判断命题主要有两点：①能判断真假；②是陈述句.
3．（2020七下·曾都期末）如图，下列推理所注的理由正确的是（ ）
A．∵ ，∴ ∠ ＝∠ （内错角相等，两直线平行）
B．∵∠ ＝∠ ，∴ （内错角相等，两直线平行）
C．∵ ，∴∠ ＝∠ （两直线平行，内错角相等）
D．∵∠ ＝∠ ，∴ （内错角相等，两直线平行）
【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：A、∵AB∥CD，∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等），所以原题错误；
B、∵∠3=∠4，∴AD∥BC，故原题错误；
C、∠3和∠4不是AB和CD被直线所截形成的角，故原题错误；
D、∵∠1=∠2，∴AB∥CD（ 内错角相等，两直线平行 ），所以原说法正确.
故答案为：D.
【分析】利用两直线平行，内错角相等，可对A作出判断；利用∠3=∠4不能证明AB∥CD，可对B作出判断；利用内错角的定义，可对C作出判断；利用内错角相等，两直线平行，可对D作出判断.
4．（2020七下·右玉期末）直线AB∥CD，∠B＝23°，∠D＝42°，则∠E＝（ ）
A．23° B．42° C．65° D．19°
【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：过点E作EF∥AB，
∴∠B＝∠BEF，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠D＝∠FED，
∴∠BED＝∠BEF＋∠DEF＝∠B＋∠D＝23°＋42°＝65°．
故答案为：C．
【分析】过点E作EF∥AB，根据平行线的性质求解即可.
5．（2020七下·凤台月考）如图，已知 ， ，则下列判断中错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】 ，
，
，
，故 、 符合题意；
，故 符合题意.
故答案为： .
【分析】根据平行线的判定可得 ，再根据已知条件得出 ，再由平行线的性质进行判定即可.
6．（2020七下·铜仁期末）如图，直线 与直线 相交，已知 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：如图，
∵ ，
∴a∥b，
∴∠4+∠5=180°，
∵∠5= ，
∴∠4=80°.
故答案为：B.
【分析】如图，由 可得a∥b，进而可得∠4+∠5=180°，由对顶角相等可得∠5= ，进一步即可求出结果.
7．（2020七下·海淀月考）如图，已知∠DAE=∠B，∠DAB=∠C，则下列结论不成立的是（ ）
A．AD∥BC B．AB∥CD
C．∠DAB+∠B=180° D．∠B=∠C
【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：A．∵∠DAE=∠B，
∴AD∥BC，故A成立；
C．∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠B=180°，
∵∠DAB=∠C，
∴∠B+∠C=180°，故C成立；
B．∵∠B+∠C=180°，
∴AB//CD，故B成立；
D．无法证明∠B=∠C，故D不成立；
故答案为：D．
【分析】由∠DAE=∠B依据“同位角相等，两直线平行”即可得出AD∥BC即A成立；依据“两直线平行，同旁内角互补”可得出∠DAB+∠B=180°，即C成立；由等量替换即可得出∠B+∠C=180°，即B成立；无法判断D是否成立．由此即可得出结论．
8．（2021七上·平阳期中）如图，给出下列条件：① ；② ；③ ，且 ；④ 且 ；其中能推出 的条件为（ ）
A．①② B．②④ C．②③ D．②③④
【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解： ①∵ ，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），错误；
②∵ （内错角相等，两直线平行） ，∴BC∥AD，正确；
③∵ ，∴∠ADC+∠BAD=180°，又∵ ，∴∠B+∠BAD=180°，∴BC∥AD（同旁内角互补，两直线平行），正确；
④ ，∴∠ADE=∠BAD，又∵ ，∴∠ADE=∠BCD，∴BC∥AD（同位角相等，两直线平行），正确；
综上，正确的是②③④ .
故答案为：D.
【分析】平行线的判定定理有内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；根据条件进行分别分析判断，即可解答.
9．（2021七下·西湖期末）如图，AB DE，BC⊥CD，则以下说法中正确的是（ ）
A．α，β的角度数之和为定值 B．α随β增大而增大
C．α，β的角度数之积为定值 D．α随β增大而减小
【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：过C点作MF∥AB，
∵AB∥DE，
∴MF∥DE，
∴∠α=∠BCM，∠β+∠DCM=180°，
∵BC⊥CD，
∴∠BCD=90°，
∴∠BCM+∠DCM=360°-∠BCD=270°，
∴∠α+（180°-∠β）=270°，
∴∠α-∠β=90°，
∴α随β增大而增大，
故答案为：B.
【分析】过C点作MF∥AB，可得AB∥DE∥MF，利用平行线的性质可得∠α=∠BCM，∠β+∠DCM=180°，由垂直的定义可得∠BCD=90°，利用周角的定义可得∠BCM+∠DCM=360°-∠BCD=270°，即得∠α-∠β=90°，据此判断即可.
10．（2021七下·洪山期末）如图， 若 平分 平分 ，则 的度数（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵AB//CD，
∴∠BEF+∠EFD=180°，∠AEN=∠ENF，
∵EM平分∠BEF，FM平分∠EFD，
∴∠BEM=∠FEM，∠EFM=∠DFM，
∴∠FEM+∠EFM=90°，
∴∠M=90°，
∴EM⊥FM，
∵NE⊥EM，
∴EN//MF，
∴∠ENF=∠MFD，
∵∠AEN=40°，
∴∠ENF=∠AEN=40°，
∴∠MFD=40°，
故答案为：C.
【分析】由平行线的性质可得∠BEF+∠EFD=180°，∠AEN=∠ENF=40°，由角平分线的定义可得∠BEM=∠FEM，∠EFM=∠DFM，从而求出∠M=90°，继而可证EN//MF，可得∠ENF=∠MFD，即得结论.
二、填空题
11．（2021七上·龙凤期末）如图，已知ABCD，，，则 ．
【答案】95°
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，过点E作EF∥AB，
∵EF//AB，
∴∠BEF+∠ABE=180°，
∵∠ABE=120°，
∴∠BEF=180°-∠ABE=180°-120°=60°，
∵EF//AB，AB//CD，
∴EF//CD，
∴∠FEC=∠DCE，
∵∠DCE=35°，
∴∠FEC=35°，
∴∠BEC=∠BEF+∠FEC=60°+35°=95°．
故答案为：95°
【分析】先求出∠BEF=60°，再求出∠FEC=∠DCE，最后计算求解即可。
12．（2021七下·镇海期末）已知：如图，∠1＝∠2＝∠3＝54°，则∠4的度数是 ．
【答案】126°
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，
∵∠1＝∠2＝∠3＝54°，
∵∠1=∠5，
∴∠5=∠2，
∴l1∥l2，
∴∠6=∠3，
∴∠4=180°-∠6=180°-54°=126°，
故答案为： 126°.
【分析】根据平行线的判定即可得出l1∥l2，然后依据平行线的性质即可求解.
13．（2021七下·五常期中）如图，已知，于O，交于N，，则 的度数为 ．
【答案】
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：过点
作直线
，
，
，
，
，
，
故答案是：
．
【分析】过点
作直线
，可得
，利用平行线的性质可得∠1=∠QFG=50°，
，根据
即可求解.
14．（2021七上·龙凤期末）如图，已知ABCD，和的平分线相交于，，求的度数 ．
【答案】110°
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：过点E作EH∥AB，如图所示，
∵AB∥CD，
∴AB∥EH∥CD，
∴∠ABE=∠BEH，∠CDE=∠DEH，
∵∠BEH+∠DEH+∠BED=360°，∠BED=140°，
∴∠BEH+∠DEH=220°，
∴∠ABE+∠CDE=220°，
∵∠ABE和∠CDE的平分线相交于F，
∴∠EBF+∠EDF=（∠ABE+∠CDE）=110°，
∵∠BFD+∠BED+∠EBF+∠EDF=360°，
∴∠BFD=110°．
故答案为：110°．
【分析】先求出∠ABE+∠CDE=220°，再利用角平分线的定义计算求解即可。
15．（2019七下·襄州期末）一大门栏杆的平面示意图如图所示，BA垂直地面AE于点A，CD平行于地面AE，若∠BCD=150°，则∠ABC= 度.
【答案】120
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，过点B作BF∥CD，
∵CD∥AE，
∴CD∥BF∥AE，
∴∠1+∠BCD=180°，∠2+∠BAE=180°，
∵∠BCD=150°，∠BAE=90°，
∴∠1=30°，∠2=90°，
∴∠ABC=∠1+∠2=120°.
故答案为：120.
【分析】先过点B作BF∥CD，由CD∥AE，可得CD∥BF∥AE，继而证得∠1+∠BCD=180°，∠2+∠BAE=180°，又由BA垂直于地面AE于A，∠BCD=150°，求得答案.
16．（2021七下·黄石港期末）如图， ， 的角平分线 的反向延长线和 的角平分线 的反向延长线交于点 ， ，则 .
【答案】55°
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【解答】如图，分别过K、H作AB的平行线MN和RS.
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥RS∥MN，
∴∠RHB=∠ABE ∠ABK，∠SHC=∠DCF ∠DCK，∠NKB+∠ABK=∠MKC+∠DCK=180°，
∴∠BHC=180°﹣∠RHB﹣∠SHC=180° （∠ABK+∠DCK），
∠BKC=180°﹣∠NKB﹣∠MKC=180°﹣（180°﹣∠ABK）﹣（180°﹣∠DCK）=∠ABK+∠DCK﹣180°，
∴∠BKC=360°﹣2∠BHC﹣180°=180°﹣2∠BHC.
又∵∠BKC﹣∠BHC=15°，
∴∠BHC=∠BKC﹣15°，
∴∠BKC=180°﹣2（∠BKC﹣15°），
∴∠BKC=70°.
∴∠BHC=70°-15°=55°；
故答案为55°.
【分析】分别过K、H作AB的平行线MN和RS，由平行线的传递性可得AB∥CD∥RS∥MN，根据角平分线的定义和平行线的性质可求解.
17．（2021七下·镇海期末）如图，直线MN分别与直线AB，CD相交于点E，F，EG平分∠BEF，交直线CD于点G，若∠MFD＝∠BEF＝62°，射线GP⊥EG于点G，则∠PGF的度数为 度．
【答案】59°或121°
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解： 如图，
①当射线GP⊥EG于点G时，∠PGE=90°，
∵∠MFD=∠BEF= 62°，
∴CD∥AB，
∴∠GEB=∠FGE，
∵EG平分∠BEF，
∴，
∴∠FGE= 31°，
∴∠PGF=∠PGE-∠FGE= 90°-31°= 59°；
②当射线GP⊥EG于点G时，∠PGE= 90°，同理：∠PGF=∠PGE+∠FGE= 90°+31°=121°.
综上所述：∠PGF的度数为59或121度.
故答案为： 59或121.
【分析】分类讨论：①当射线GP⊥EG于点G时，∠PGE=90°；②当射线GP⊥EG于点G时，∠PGE= 90°，根据平行线的性质与判定和角平分线的定义即可求出∠PGF的度数.
18．（2021七下·松原期中）如图，已知AD∥BE，点C是直线FG上的动点，若在点C的移动过程中，存在某时刻使得∠ACB=45°， ∠DAC=22°，则∠EBC的度数为 .
【答案】23°
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：过C作直线AD的平行线CP，
∵AD∥BE， ∴AD∥BE∥PC，
∵AD∥PC， ∴∠ACP=∠DAC，
同理可得：∠BCP=∠EBC，
∵∠ACB=∠ACP+∠EBC， ∠ACB=45°， ∠DAC=22°，
∴∠EBC=∠ACB-∠DAC =45°-22°=23°.
【分析】过C作直线AD的平行线CP，由AD∥BE，得出AD∥BE∥PC，同理可得：∠BCP=∠EBC，由∠ACB=∠ACP+∠EBC， ∠ACB=45°， ∠DAC=22°，得出∠EBC的度数。
三、解答题
19．（2021七下·黄陂期末）如图， ，点 为直线 ， 的交点， .
求证： .
【答案】证明：如图，
∵ ，
∴∠B=∠1，
∵ ，
∴ ，
∴ .
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】由平行线的性质可得∠B=∠1，由，可得，根据同旁内角互补两直线平行即证结论.
20．（2021七下·珠海期中）如图所示，∠B＝∠C，AB∥CD，证明：CE∥BF.
【答案】证明：∵AB∥CD，∴∠B＝∠BFD，又∵∠B＝∠C，∴∠BFD＝∠C，∴CE∥BF.
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】由平行线的性质可得∠B＝∠BFD，结合∠B＝∠C，可得∠BFD＝∠C，根据平行线的判定即证.
21．（2022七下·内江开学考）已知：如图， ， .
求证： ∥ .
【答案】证明：∵ ，
∴GD∥AC，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ∥EF.
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】由∠1=∠C得GD∥AC，由平行线的性质得∠2=∠DAE，结合已知条件得∠DAE+∠3=180°，然后利用平行线的判定定理进行证明.
22．如图，已知 .
（1） 吗？为什么？
（2） 和 是否相等？请说明理由.
【答案】（1）解： .理由：
，
，
（2）解： .理由：
.
【知识点】平行线的判定与性质；对顶角及其性质
【解析】【分析】(1)根据对顶角相等，结合∠1=∠2，得出∠2=∠4，则可判定BF和CE平行，然后由平行线的性质得出∠C=∠3，最后得到∠B=∠3，则可判定AB和CD平行；
(2)由平行线的性质分别得出∠AEC=∠C，∠C=∠3，从而得出∠AEC和∠3相等.
23．（2021七上·虎林期末）如图（1）所示，，说明：
（1）；
（2）当点在直线BF的右侧时，如图所示，若，则与，的关系如何？请说明理由
【答案】（1）证明：过C作CD∥AB，
∵AB∥EF，
∴CD∥AB∥EF，
∴∠B=∠BCD，∠F=∠FCD，
∴∠B+∠F=∠BCF．
（2）解：∠B+∠F+∠BCF=360°，
理由是：过C作CD∥AB，
则∠B+∠BCD=180°，
又∵AB∥EF，AB∥CD，
∴CD∥EF∥AB，
∴∠F+∠FCD=180°，
∴∠B+∠F+∠BCF=360°．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）过C作CD∥AB，可得CD∥AB∥EF，由平行线的性质可得∠B=∠BCD，∠F=∠FCD，从而得出∠B+∠F=∠BCF．
（2） ∠B+∠F+∠BCF=360°，理由是：过C作CD∥AB， 可得CD∥EF∥AB， 由平行线的性质可得 ∠B+∠BCD=180°，∠F+∠FCD=180°，从而得出∠B+∠F+∠BCF=360°．
24．（2021七下·北仑期中）如图，已知直线AB∥CD，直线MN分别交AB、CD于M、N两点，若ME、NF分别是∠AMN、∠DNM的角平分线，试说明：ME∥NF
解：∵AB∥CD，（
▲ ）
∴∠AMN＝∠DNM（
▲）
∵ME、NF分别是∠AMN、∠DNM的角平分线，（已知）
∴∠EMN＝
▲∠AMN，
∠FNM＝
▲∠DNM （角平分线的定义）
∴∠EMN＝∠FNM（等量代换）
∴ME∥NF（
▲）
由此我们可以得出一个结论：两条平行线被第三条直线所截，一对
▲角的平分线互相
▲．
【答案】解：∵AB∥CD，（已知）
∴∠AMN＝∠DNM（两直线平行，内错角相等）
∵ME、NF分别是∠AMN、∠DNM的角平分线，（已知）
∴∠EMN＝ ∠AMN，
∠FNM＝ ∠DNM （角平分线的定义）
∴∠EMN＝∠FNM（等量代换）
∴ME∥NF（内错角相等，两直线平行）
由此我们可以得出一个结论：两条平行线被第三条直线所截，一对内错角角的平分线互相平行．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】利用两直线平行，可得内错角相等，利用角平分线，可得 ∠EMN ＝∠FNM . 所以，可得 ME ∥NF .
25．（2021七下·永川月考）已知：如图， ， ，那么 .以下推理过程，请你填空：
解：∵ （已知），
∴ （__▲_）
∴ （两直线平行，内错角相等）
又∵ （已知）
∴ ，即__▲__＝__▲_.
∴_▲_ _▲_（__▲_）.
∴ （_▲_）
【答案】解：∵ ，（已知）
∴ ，（同旁内角互补，两直线平行）
∴ ，（两直线平行，内错角相等）
又∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，（内错角相等，两直线平行）
∴ .（两直线平行，内错角相等）
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】根据同旁内角互补，可得两直线平行；因为∠BAE=∠AEC，∠1=∠2，等量代换，得∠MAE=∠NEA，即内错角相等，两直线平行——AM∥EN，所以，再得内错角∠M=∠N.
26．（2021七下·鄞州期末）如图，已知 平分 交 于点E， .
（1）证明：
（2）若 于点D， ，求 的度数.
【答案】（1）证明：∵BC平分∠ABD，
∴∠1=∠2，
∵∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴AB∥CD.
（2）解：∵AD⊥BD，
∴∠ADB=90°，
∵∠CDA=34°，
∴∠CDB=∠CDA+∠ADB=34°+90°=124°，
∵AB∥CD，
∴∠ABD+∠CDB=180°，
∴∠ABD=180°-124°=56°，
∵BC平分∠ABD，∠1=∠3.
∴∠3＝∠1＝∠2＝ ∠ABD＝28°.
【知识点】垂线的概念；平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义可证得∠1=∠2，由此可证得∠2=∠3，再利用平行线的判定定理，可证得结论.
（2）利用垂直的定义可证得∠ADB=90°，由此可求出∠CDB的度数；再利用平行线的性质可求出∠ABD的度数；然后利用角平分线的定义可证得∠1=∠3，即可求出∠3的度数.
27．（2019七下·海州期中）如图，AB∥DG，∠1+∠2＝180°，
（1）求证：AD∥EF；
（2）若DG是∠ADC的平分线，∠2＝150°，求∠B的度数．
【答案】（1）证明：∵AB∥DG，
∴∠BAD=∠1，
∵∠1+∠2=180°，
∴∠2+∠BAD=180°，
∴AD∥EF
（2）解：∵∠1+∠2=180°，∠2=150°，
∴∠1=30°，
∵DG是∠ADC的平分线，
∴∠GDC=∠1=30°，
∵AB∥DG，
∴∠B=∠GDC=30°．
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质和判定证明即可；（2）根据角平分线的定义和平行线的性质解答即可．
28．（2021七下·仪征期末）已知：如图，CD⊥AB，FG⊥AB，垂足分别为D、G，点E在AC上，且∠1＝∠2.
（1）求证：DE BC；
（2）如果∠B＝46°，且∠A比∠ACB小10°，求∠DEC的度数.
【答案】（1）证明：∵CD⊥AB，FG⊥AB，
∴CD∥FG.
∴∠2=∠BCD，
又∵∠1=∠2，
∴∠1=∠BCD，
∴DE∥BC.
（2）解：∵∠B=46°，∠ACB-10°=∠A，
∴∠ACB+（∠ACB-10°）+46°=180°，
∴∠ACB=72°，
由（1）知，DE∥BC，
∴∠DEC+∠ACB=180°，
∴∠DEC=108°.
【知识点】垂线的概念；平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用已知易证CD∥FG，利用平行线的性质可证得∠2=∠BCD，结合已知条件可证得∠1=∠BCD，然后利用平行线的判定定理，可证得结论.
（2）利用已知条件：∠B＝46°，且∠A比∠ACB小10°，可求出∠ACB的度数；再利用平行线的性质，可求出∠DEC的度数.
1 / 1苏科版初中数学七年级下册 12.2 证明 同步训练（基础版）
一、单选题
1．（2020七下·吉林期中）已知a，b，c是三条直线，下列结论正确的是（ ）
A．若a∥b，b∥c，则a∥c B．若a⊥b，b⊥c，则a⊥c
C．若a∥b，b⊥c，则a∥c D．若a⊥b，b∥c，则a∥c
2．（2020七下·肇庆月考）下列语句中，是命题的是（ ）
①若∠1＝60°，∠2＝60°，则∠1＝∠2；②同位角相等吗？③画线段AB＝CD；④如果a>b，b>c，那么a>c；⑤直角都相等．
A．①④⑤ B．①②④ C．①②⑤ D．②③④⑤
3．（2020七下·曾都期末）如图，下列推理所注的理由正确的是（ ）
A．∵ ，∴ ∠ ＝∠ （内错角相等，两直线平行）
B．∵∠ ＝∠ ，∴ （内错角相等，两直线平行）
C．∵ ，∴∠ ＝∠ （两直线平行，内错角相等）
D．∵∠ ＝∠ ，∴ （内错角相等，两直线平行）
4．（2020七下·右玉期末）直线AB∥CD，∠B＝23°，∠D＝42°，则∠E＝（ ）
A．23° B．42° C．65° D．19°
5．（2020七下·凤台月考）如图，已知 ， ，则下列判断中错误的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2020七下·铜仁期末）如图，直线 与直线 相交，已知 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．（2020七下·海淀月考）如图，已知∠DAE=∠B，∠DAB=∠C，则下列结论不成立的是（ ）
A．AD∥BC B．AB∥CD
C．∠DAB+∠B=180° D．∠B=∠C
8．（2021七上·平阳期中）如图，给出下列条件：① ；② ；③ ，且 ；④ 且 ；其中能推出 的条件为（ ）
A．①② B．②④ C．②③ D．②③④
9．（2021七下·西湖期末）如图，AB DE，BC⊥CD，则以下说法中正确的是（ ）
A．α，β的角度数之和为定值 B．α随β增大而增大
C．α，β的角度数之积为定值 D．α随β增大而减小
10．（2021七下·洪山期末）如图， 若 平分 平分 ，则 的度数（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2021七上·龙凤期末）如图，已知ABCD，，，则 ．
12．（2021七下·镇海期末）已知：如图，∠1＝∠2＝∠3＝54°，则∠4的度数是 ．
13．（2021七下·五常期中）如图，已知，于O，交于N，，则 的度数为 ．
14．（2021七上·龙凤期末）如图，已知ABCD，和的平分线相交于，，求的度数 ．
15．（2019七下·襄州期末）一大门栏杆的平面示意图如图所示，BA垂直地面AE于点A，CD平行于地面AE，若∠BCD=150°，则∠ABC= 度.
16．（2021七下·黄石港期末）如图， ， 的角平分线 的反向延长线和 的角平分线 的反向延长线交于点 ， ，则 .
17．（2021七下·镇海期末）如图，直线MN分别与直线AB，CD相交于点E，F，EG平分∠BEF，交直线CD于点G，若∠MFD＝∠BEF＝62°，射线GP⊥EG于点G，则∠PGF的度数为 度．
18．（2021七下·松原期中）如图，已知AD∥BE，点C是直线FG上的动点，若在点C的移动过程中，存在某时刻使得∠ACB=45°， ∠DAC=22°，则∠EBC的度数为 .
三、解答题
19．（2021七下·黄陂期末）如图， ，点 为直线 ， 的交点， .
求证： .
20．（2021七下·珠海期中）如图所示，∠B＝∠C，AB∥CD，证明：CE∥BF.
21．（2022七下·内江开学考）已知：如图， ， .
求证： ∥ .
22．如图，已知 .
（1） 吗？为什么？
（2） 和 是否相等？请说明理由.
23．（2021七上·虎林期末）如图（1）所示，，说明：
（1）；
（2）当点在直线BF的右侧时，如图所示，若，则与，的关系如何？请说明理由
24．（2021七下·北仑期中）如图，已知直线AB∥CD，直线MN分别交AB、CD于M、N两点，若ME、NF分别是∠AMN、∠DNM的角平分线，试说明：ME∥NF
解：∵AB∥CD，（
▲ ）
∴∠AMN＝∠DNM（
▲）
∵ME、NF分别是∠AMN、∠DNM的角平分线，（已知）
∴∠EMN＝
▲∠AMN，
∠FNM＝
▲∠DNM （角平分线的定义）
∴∠EMN＝∠FNM（等量代换）
∴ME∥NF（
▲）
由此我们可以得出一个结论：两条平行线被第三条直线所截，一对
▲角的平分线互相
▲．
25．（2021七下·永川月考）已知：如图， ， ，那么 .以下推理过程，请你填空：
解：∵ （已知），
∴ （__▲_）
∴ （两直线平行，内错角相等）
又∵ （已知）
∴ ，即__▲__＝__▲_.
∴_▲_ _▲_（__▲_）.
∴ （_▲_）
26．（2021七下·鄞州期末）如图，已知 平分 交 于点E， .
（1）证明：
（2）若 于点D， ，求 的度数.
27．（2019七下·海州期中）如图，AB∥DG，∠1+∠2＝180°，
（1）求证：AD∥EF；
（2）若DG是∠ADC的平分线，∠2＝150°，求∠B的度数．
28．（2021七下·仪征期末）已知：如图，CD⊥AB，FG⊥AB，垂足分别为D、G，点E在AC上，且∠1＝∠2.
（1）求证：DE BC；
（2）如果∠B＝46°，且∠A比∠ACB小10°，求∠DEC的度数.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：A、根据平行于同一直线的两直线平行，即可推出本选项符合题意，所以A符合题意，
B、根据同一平面内垂直于同一直线的两直线平行，即可推出a∥c，所以本选项不符合题意，
C、根据两直线平行，同位角相等，即可推出 ，所以本选项不符合题意，
D、根据两直线平行，同位角相等，即可推出 ，所以本选项不符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据平行公理，平行线的判定定理及性质定理与垂直的性质，逐项进行分析，即可找到答案．
2．【答案】A
【知识点】定义、命题、定理、推论的概念
【解析】【解答】解：①若∠1＝60°，∠2＝60°，则∠1＝∠2，是命题，故①符合题意；
②对顶角相等吗？不是命题，故②不符合题意；
③画线段AB＝CD，不是命题，故③不符合题意；
④如果a＞b，b＞c，那么a＞c，是命题，故④符合题意；
⑤直角都相等，是命题，故⑤符合题意．
故答案为：A．
【分析】 可以判断真假的陈述句叫做命题，判断命题主要有两点：①能判断真假；②是陈述句.
3．【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：A、∵AB∥CD，∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等），所以原题错误；
B、∵∠3=∠4，∴AD∥BC，故原题错误；
C、∠3和∠4不是AB和CD被直线所截形成的角，故原题错误；
D、∵∠1=∠2，∴AB∥CD（ 内错角相等，两直线平行 ），所以原说法正确.
故答案为：D.
【分析】利用两直线平行，内错角相等，可对A作出判断；利用∠3=∠4不能证明AB∥CD，可对B作出判断；利用内错角的定义，可对C作出判断；利用内错角相等，两直线平行，可对D作出判断.
4．【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：过点E作EF∥AB，
∴∠B＝∠BEF，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠D＝∠FED，
∴∠BED＝∠BEF＋∠DEF＝∠B＋∠D＝23°＋42°＝65°．
故答案为：C．
【分析】过点E作EF∥AB，根据平行线的性质求解即可.
5．【答案】A
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】 ，
，
，
，故 、 符合题意；
，故 符合题意.
故答案为： .
【分析】根据平行线的判定可得 ，再根据已知条件得出 ，再由平行线的性质进行判定即可.
6．【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：如图，
∵ ，
∴a∥b，
∴∠4+∠5=180°，
∵∠5= ，
∴∠4=80°.
故答案为：B.
【分析】如图，由 可得a∥b，进而可得∠4+∠5=180°，由对顶角相等可得∠5= ，进一步即可求出结果.
7．【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：A．∵∠DAE=∠B，
∴AD∥BC，故A成立；
C．∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠B=180°，
∵∠DAB=∠C，
∴∠B+∠C=180°，故C成立；
B．∵∠B+∠C=180°，
∴AB//CD，故B成立；
D．无法证明∠B=∠C，故D不成立；
故答案为：D．
【分析】由∠DAE=∠B依据“同位角相等，两直线平行”即可得出AD∥BC即A成立；依据“两直线平行，同旁内角互补”可得出∠DAB+∠B=180°，即C成立；由等量替换即可得出∠B+∠C=180°，即B成立；无法判断D是否成立．由此即可得出结论．
8．【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解： ①∵ ，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），错误；
②∵ （内错角相等，两直线平行） ，∴BC∥AD，正确；
③∵ ，∴∠ADC+∠BAD=180°，又∵ ，∴∠B+∠BAD=180°，∴BC∥AD（同旁内角互补，两直线平行），正确；
④ ，∴∠ADE=∠BAD，又∵ ，∴∠ADE=∠BCD，∴BC∥AD（同位角相等，两直线平行），正确；
综上，正确的是②③④ .
故答案为：D.
【分析】平行线的判定定理有内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；根据条件进行分别分析判断，即可解答.
9．【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：过C点作MF∥AB，
∵AB∥DE，
∴MF∥DE，
∴∠α=∠BCM，∠β+∠DCM=180°，
∵BC⊥CD，
∴∠BCD=90°，
∴∠BCM+∠DCM=360°-∠BCD=270°，
∴∠α+（180°-∠β）=270°，
∴∠α-∠β=90°，
∴α随β增大而增大，
故答案为：B.
【分析】过C点作MF∥AB，可得AB∥DE∥MF，利用平行线的性质可得∠α=∠BCM，∠β+∠DCM=180°，由垂直的定义可得∠BCD=90°，利用周角的定义可得∠BCM+∠DCM=360°-∠BCD=270°，即得∠α-∠β=90°，据此判断即可.
10．【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵AB//CD，
∴∠BEF+∠EFD=180°，∠AEN=∠ENF，
∵EM平分∠BEF，FM平分∠EFD，
∴∠BEM=∠FEM，∠EFM=∠DFM，
∴∠FEM+∠EFM=90°，
∴∠M=90°，
∴EM⊥FM，
∵NE⊥EM，
∴EN//MF，
∴∠ENF=∠MFD，
∵∠AEN=40°，
∴∠ENF=∠AEN=40°，
∴∠MFD=40°，
故答案为：C.
【分析】由平行线的性质可得∠BEF+∠EFD=180°，∠AEN=∠ENF=40°，由角平分线的定义可得∠BEM=∠FEM，∠EFM=∠DFM，从而求出∠M=90°，继而可证EN//MF，可得∠ENF=∠MFD，即得结论.
11．【答案】95°
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，过点E作EF∥AB，
∵EF//AB，
∴∠BEF+∠ABE=180°，
∵∠ABE=120°，
∴∠BEF=180°-∠ABE=180°-120°=60°，
∵EF//AB，AB//CD，
∴EF//CD，
∴∠FEC=∠DCE，
∵∠DCE=35°，
∴∠FEC=35°，
∴∠BEC=∠BEF+∠FEC=60°+35°=95°．
故答案为：95°
【分析】先求出∠BEF=60°，再求出∠FEC=∠DCE，最后计算求解即可。
12．【答案】126°
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，
∵∠1＝∠2＝∠3＝54°，
∵∠1=∠5，
∴∠5=∠2，
∴l1∥l2，
∴∠6=∠3，
∴∠4=180°-∠6=180°-54°=126°，
故答案为： 126°.
【分析】根据平行线的判定即可得出l1∥l2，然后依据平行线的性质即可求解.
13．【答案】
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：过点
作直线
，
，
，
，
，
，
故答案是：
．
【分析】过点
作直线
，可得
，利用平行线的性质可得∠1=∠QFG=50°，
，根据
即可求解.
14．【答案】110°
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：过点E作EH∥AB，如图所示，
∵AB∥CD，
∴AB∥EH∥CD，
∴∠ABE=∠BEH，∠CDE=∠DEH，
∵∠BEH+∠DEH+∠BED=360°，∠BED=140°，
∴∠BEH+∠DEH=220°，
∴∠ABE+∠CDE=220°，
∵∠ABE和∠CDE的平分线相交于F，
∴∠EBF+∠EDF=（∠ABE+∠CDE）=110°，
∵∠BFD+∠BED+∠EBF+∠EDF=360°，
∴∠BFD=110°．
故答案为：110°．
【分析】先求出∠ABE+∠CDE=220°，再利用角平分线的定义计算求解即可。
15．【答案】120
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，过点B作BF∥CD，
∵CD∥AE，
∴CD∥BF∥AE，
∴∠1+∠BCD=180°，∠2+∠BAE=180°，
∵∠BCD=150°，∠BAE=90°，
∴∠1=30°，∠2=90°，
∴∠ABC=∠1+∠2=120°.
故答案为：120.
【分析】先过点B作BF∥CD，由CD∥AE，可得CD∥BF∥AE，继而证得∠1+∠BCD=180°，∠2+∠BAE=180°，又由BA垂直于地面AE于A，∠BCD=150°，求得答案.
16．【答案】55°
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【解答】如图，分别过K、H作AB的平行线MN和RS.
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥RS∥MN，
∴∠RHB=∠ABE ∠ABK，∠SHC=∠DCF ∠DCK，∠NKB+∠ABK=∠MKC+∠DCK=180°，
∴∠BHC=180°﹣∠RHB﹣∠SHC=180° （∠ABK+∠DCK），
∠BKC=180°﹣∠NKB﹣∠MKC=180°﹣（180°﹣∠ABK）﹣（180°﹣∠DCK）=∠ABK+∠DCK﹣180°，
∴∠BKC=360°﹣2∠BHC﹣180°=180°﹣2∠BHC.
又∵∠BKC﹣∠BHC=15°，
∴∠BHC=∠BKC﹣15°，
∴∠BKC=180°﹣2（∠BKC﹣15°），
∴∠BKC=70°.
∴∠BHC=70°-15°=55°；
故答案为55°.
【分析】分别过K、H作AB的平行线MN和RS，由平行线的传递性可得AB∥CD∥RS∥MN，根据角平分线的定义和平行线的性质可求解.
17．【答案】59°或121°
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解： 如图，
①当射线GP⊥EG于点G时，∠PGE=90°，
∵∠MFD=∠BEF= 62°，
∴CD∥AB，
∴∠GEB=∠FGE，
∵EG平分∠BEF，
∴，
∴∠FGE= 31°，
∴∠PGF=∠PGE-∠FGE= 90°-31°= 59°；
②当射线GP⊥EG于点G时，∠PGE= 90°，同理：∠PGF=∠PGE+∠FGE= 90°+31°=121°.
综上所述：∠PGF的度数为59或121度.
故答案为： 59或121.
【分析】分类讨论：①当射线GP⊥EG于点G时，∠PGE=90°；②当射线GP⊥EG于点G时，∠PGE= 90°，根据平行线的性质与判定和角平分线的定义即可求出∠PGF的度数.
18．【答案】23°
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：过C作直线AD的平行线CP，
∵AD∥BE， ∴AD∥BE∥PC，
∵AD∥PC， ∴∠ACP=∠DAC，
同理可得：∠BCP=∠EBC，
∵∠ACB=∠ACP+∠EBC， ∠ACB=45°， ∠DAC=22°，
∴∠EBC=∠ACB-∠DAC =45°-22°=23°.
【分析】过C作直线AD的平行线CP，由AD∥BE，得出AD∥BE∥PC，同理可得：∠BCP=∠EBC，由∠ACB=∠ACP+∠EBC， ∠ACB=45°， ∠DAC=22°，得出∠EBC的度数。
19．【答案】证明：如图，
∵ ，
∴∠B=∠1，
∵ ，
∴ ，
∴ .
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】由平行线的性质可得∠B=∠1，由，可得，根据同旁内角互补两直线平行即证结论.
20．【答案】证明：∵AB∥CD，∴∠B＝∠BFD，又∵∠B＝∠C，∴∠BFD＝∠C，∴CE∥BF.
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】由平行线的性质可得∠B＝∠BFD，结合∠B＝∠C，可得∠BFD＝∠C，根据平行线的判定即证.
21．【答案】证明：∵ ，
∴GD∥AC，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ∥EF.
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】由∠1=∠C得GD∥AC，由平行线的性质得∠2=∠DAE，结合已知条件得∠DAE+∠3=180°，然后利用平行线的判定定理进行证明.
22．【答案】（1）解： .理由：
，
，
（2）解： .理由：
.
【知识点】平行线的判定与性质；对顶角及其性质
【解析】【分析】(1)根据对顶角相等，结合∠1=∠2，得出∠2=∠4，则可判定BF和CE平行，然后由平行线的性质得出∠C=∠3，最后得到∠B=∠3，则可判定AB和CD平行；
(2)由平行线的性质分别得出∠AEC=∠C，∠C=∠3，从而得出∠AEC和∠3相等.
23．【答案】（1）证明：过C作CD∥AB，
∵AB∥EF，
∴CD∥AB∥EF，
∴∠B=∠BCD，∠F=∠FCD，
∴∠B+∠F=∠BCF．
（2）解：∠B+∠F+∠BCF=360°，
理由是：过C作CD∥AB，
则∠B+∠BCD=180°，
又∵AB∥EF，AB∥CD，
∴CD∥EF∥AB，
∴∠F+∠FCD=180°，
∴∠B+∠F+∠BCF=360°．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）过C作CD∥AB，可得CD∥AB∥EF，由平行线的性质可得∠B=∠BCD，∠F=∠FCD，从而得出∠B+∠F=∠BCF．
（2） ∠B+∠F+∠BCF=360°，理由是：过C作CD∥AB， 可得CD∥EF∥AB， 由平行线的性质可得 ∠B+∠BCD=180°，∠F+∠FCD=180°，从而得出∠B+∠F+∠BCF=360°．
24．【答案】解：∵AB∥CD，（已知）
∴∠AMN＝∠DNM（两直线平行，内错角相等）
∵ME、NF分别是∠AMN、∠DNM的角平分线，（已知）
∴∠EMN＝ ∠AMN，
∠FNM＝ ∠DNM （角平分线的定义）
∴∠EMN＝∠FNM（等量代换）
∴ME∥NF（内错角相等，两直线平行）
由此我们可以得出一个结论：两条平行线被第三条直线所截，一对内错角角的平分线互相平行．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】利用两直线平行，可得内错角相等，利用角平分线，可得 ∠EMN ＝∠FNM . 所以，可得 ME ∥NF .
25．【答案】解：∵ ，（已知）
∴ ，（同旁内角互补，两直线平行）
∴ ，（两直线平行，内错角相等）
又∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，（内错角相等，两直线平行）
∴ .（两直线平行，内错角相等）
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】根据同旁内角互补，可得两直线平行；因为∠BAE=∠AEC，∠1=∠2，等量代换，得∠MAE=∠NEA，即内错角相等，两直线平行——AM∥EN，所以，再得内错角∠M=∠N.
26．【答案】（1）证明：∵BC平分∠ABD，
∴∠1=∠2，
∵∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴AB∥CD.
（2）解：∵AD⊥BD，
∴∠ADB=90°，
∵∠CDA=34°，
∴∠CDB=∠CDA+∠ADB=34°+90°=124°，
∵AB∥CD，
∴∠ABD+∠CDB=180°，
∴∠ABD=180°-124°=56°，
∵BC平分∠ABD，∠1=∠3.
∴∠3＝∠1＝∠2＝ ∠ABD＝28°.
【知识点】垂线的概念；平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义可证得∠1=∠2，由此可证得∠2=∠3，再利用平行线的判定定理，可证得结论.
（2）利用垂直的定义可证得∠ADB=90°，由此可求出∠CDB的度数；再利用平行线的性质可求出∠ABD的度数；然后利用角平分线的定义可证得∠1=∠3，即可求出∠3的度数.
27．【答案】（1）证明：∵AB∥DG，
∴∠BAD=∠1，
∵∠1+∠2=180°，
∴∠2+∠BAD=180°，
∴AD∥EF
（2）解：∵∠1+∠2=180°，∠2=150°，
∴∠1=30°，
∵DG是∠ADC的平分线，
∴∠GDC=∠1=30°，
∵AB∥DG，
∴∠B=∠GDC=30°．
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质和判定证明即可；（2）根据角平分线的定义和平行线的性质解答即可．
28．【答案】（1）证明：∵CD⊥AB，FG⊥AB，
∴CD∥FG.
∴∠2=∠BCD，
又∵∠1=∠2，
∴∠1=∠BCD，
∴DE∥BC.
（2）解：∵∠B=46°，∠ACB-10°=∠A，
∴∠ACB+（∠ACB-10°）+46°=180°，
∴∠ACB=72°，
由（1）知，DE∥BC，
∴∠DEC+∠ACB=180°，
∴∠DEC=108°.
【知识点】垂线的概念；平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用已知易证CD∥FG，利用平行线的性质可证得∠2=∠BCD，结合已知条件可证得∠1=∠BCD，然后利用平行线的判定定理，可证得结论.
（2）利用已知条件：∠B＝46°，且∠A比∠ACB小10°，可求出∠ACB的度数；再利用平行线的性质，可求出∠DEC的度数.
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