2021-2022学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册6.2.4组合数课件(共18张PPT)
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册6.2.4组合数课件(共18张PPT) |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-03-28 15:03:08 | ||
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文档简介
(共18张PPT)
6.2.4 组合数
1.组合的定义
2.判断一个计数问题是排列问题还是组合问题的方法：
排列问题
组合问题
若交换某两个元素的位置对结果有影响，则是排列问题，即排列问题与选取的顺序有关.
若交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题，即组合问题与选取的顺序无关.
一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合(combination).
复习引入
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，并用符号 表示.
“一个组合”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组”，它不是一个数；
“组合数”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数”，它是一个非零自然数.
探究新知
组合数的定义和表示：
例如，从3个不同元素中取出2个元素的组合数，表示为 ，
从4个不同元素中取出3个元素的组合数，表示为 .
组合与组合数的区别：
探究新知
前面已经提到，组合与排列有关系，我们能否利用这种关系，由排列数 来求组合数 呢？
？
探究
回顾：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，有多少种不同的选法？
组合
甲乙
甲丙
乙丙
甲乙，乙甲
甲丙，丙甲
乙丙，丙乙
排列
应用同样的方法，我们来求从4个不同元素中取出3个元素的组合数 .
组合
a b c
a b d
a c d
b c d
排列
abc bac cab acb bca cba
abd bad dab adb bda dba
acd cad dac adc cda dca
bcd cbd dbc bdc cdb dcb
探究新知
设这4个元素为a, b, c, d，那么从中取出3个元素的排列数 .
因此组合数 .
以“元素相同”为标准将这24个排列分组，一共有4组
探究新知
观察上图，也可以这样理解：求“4个元素中取出3个元素的排列数 ”.
第1步，从4个不同元素中取出3个元素，共有 种不同的取法;
第2步，将取出的3个元素作全排列，共有 种不同的排法.
根据分步乘法计数原理，有 ，
即
组合
a b c
a b d
a c d
b c d
排列
abc bac cab acb bca cba
abd bad dab adb bda dba
acd cad dac adc cda dca
bcd cbd dbc bdc cdb dcb
同样地，求“从n个不同元素中取出m个元素的排列数 ”，可以看作由以下两个步骤得到：
第1步，从n个不同元素中取出m个元素，共有 种不同的取法；
第2步，将取出的m个元素作全排列，共有 种不同的排法.
根据分步乘法计数原理，有
因此，
探究新知
因为 ，所以上面的组合数公式还可以写成
这里n,m∈N* ，并且m≤n. 这个公式叫做组合数公式.
规定
例1 计算: (1) ; (2) ; (3) ; (4) .
解：
典例分析
追问: 分别观察例中(1)与(2), (3)与(4)的结果，你有什么发现和猜想？
证明：
直观解释：
该性质反映了组合数的对称性. 其组合意义是从n个不同的元素中任取m个元素的组合与任取(n-m)个元素的组合是一一对应(一种取法对应一种剩法).
因为从n个不同元素中取出m个元素后，就剩下(n-m)个元素，因此从n个不同元素中取出m个元素的方法，与从n个不同元素中取出(n-m)个元素的方法是一一对应的，因此取法是一样多的，就是说从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合，都对应着从n个不同元素中取出(n-m)个元素的唯一的一个组合，反过来也一样. 即从n个不同元素中取出m个元素的组合数 等于从n个不同元素中取出(n-m)个元素的组合数 ，也就是 .
探究新知
证明：
直观解释：
该性质也可以根据组合数的定义与分类加法计数原理直接得出，在确定从(n+1)个不同元素中取m个元素的方法时，对于某一元素，只存在着取与不取两种可能.
如果取这一元素，则需从剩下的n个元素中再取出(m-1)个元素，所以共有 种取法；如果不取这一元素，则需从剩下的n个元素中再取出m个元素，所以共有 种取法. 由分类加法计数原理，得 .
探究新知
小试牛刀
1.计算：
解：
(1)每个小组有多少种选法
(2)如果还要从选出的同学中指定1名作替补，那么每小组有多少种选法
(3)如果还要将选出的同学分别指定为第一、二、三、四辩手，那么每小组有多少种选法
例2 班上每个小组有12名同学，现要从每个小组选4名同学代表本组与其他小组进行辩论赛.
典例分析
解答组合问题的关键是用好组合的定义和两个基本原理, 只选不排，合理分类、分步.
1.一位教练的足球队共有17名初级学员, 他们中以前没有一人参加过比赛, 按照足球比赛规则, 比赛时一个足球队的上场队员是11人. 问:
(1)这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场方案
(2)如果在选出11名上场队员时, 还要确定其中的守门员, 那么教练员有多少种方式做这件事情
巩固练习
解：(1)所有的不同抽法种数，就是从100件产品中抽出3件的组合数，
所以抽法种数为
典例分析
(2) 从2件次品中抽出1件的抽法有 种，从98件合格品中抽出2件的抽法有 种，因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法种数为
例3 在100件产品中，有98件合格品，2件次品. 从这100件产品中任意抽出3件.
(1)有多少种不同的抽法？
(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？
(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？
例3 在100件产品中，有98件合格品，2件次品. 从这100件产品中任意抽出3件.
(1)有多少种不同的抽法？
(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？
(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？
典例分析
方法2: 抽出的3件中至少有1件是次品的抽法种数，就是从100件产品中抽出3件的抽法种数减去3件都是合格品的抽法种数，即
解：(3)方法1:从100件产品抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品两种情况，因此根据分类加法计数原理，抽出的3件中至少有1件是次品的抽法种数为
“至少”“至多”的问题，通常用分类法或间接法求解
变式：把(3)中的“至少”改为“至多”， 则抽法有多少种
(4)如果物理和化学都没被选，那么共有多少种不同的选法
(5)如果物理、化学和生物至少有2门被选，那么共有多少种不同的选法
1.有政治、历史、地理、物理、化学、生物这6门学科的学业水平考试成绩，现要从中选3门考试成绩.
(1)一共有多少种不同的选法
(2)如果物理和化学恰有1门被选，那么共有多少种不同的选法
(3)如果物理和化学至少有1门被选，那么共有多少种不同的选法
巩固练习
2.按下列条件, 从12人中选出5人, 有多少种不同选法？
(1)甲、乙、丙三人必须当选；
(2)甲、乙、丙三人不能当选；
(3)甲必须当选，乙、丙不能当选；
(4)甲、乙、丙三人只有一人当选；
(5)甲、乙、丙三人至多2人当选；
(6)甲、乙、丙三人至少1人当选；
课堂练习
课堂小结
1.组合数的定义和表示
把从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，并用符号 表示.
2.组合数的公式
3.组合数的性质
6.2.4 组合数
1.组合的定义
2.判断一个计数问题是排列问题还是组合问题的方法：
排列问题
组合问题
若交换某两个元素的位置对结果有影响，则是排列问题，即排列问题与选取的顺序有关.
若交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题，即组合问题与选取的顺序无关.
一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合(combination).
复习引入
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，并用符号 表示.
“一个组合”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组”，它不是一个数；
“组合数”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数”，它是一个非零自然数.
探究新知
组合数的定义和表示：
例如，从3个不同元素中取出2个元素的组合数，表示为 ，
从4个不同元素中取出3个元素的组合数，表示为 .
组合与组合数的区别：
探究新知
前面已经提到，组合与排列有关系，我们能否利用这种关系，由排列数 来求组合数 呢？
？
探究
回顾：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，有多少种不同的选法？
组合
甲乙
甲丙
乙丙
甲乙，乙甲
甲丙，丙甲
乙丙，丙乙
排列
应用同样的方法，我们来求从4个不同元素中取出3个元素的组合数 .
组合
a b c
a b d
a c d
b c d
排列
abc bac cab acb bca cba
abd bad dab adb bda dba
acd cad dac adc cda dca
bcd cbd dbc bdc cdb dcb
探究新知
设这4个元素为a, b, c, d，那么从中取出3个元素的排列数 .
因此组合数 .
以“元素相同”为标准将这24个排列分组，一共有4组
探究新知
观察上图，也可以这样理解：求“4个元素中取出3个元素的排列数 ”.
第1步，从4个不同元素中取出3个元素，共有 种不同的取法;
第2步，将取出的3个元素作全排列，共有 种不同的排法.
根据分步乘法计数原理，有 ，
即
组合
a b c
a b d
a c d
b c d
排列
abc bac cab acb bca cba
abd bad dab adb bda dba
acd cad dac adc cda dca
bcd cbd dbc bdc cdb dcb
同样地，求“从n个不同元素中取出m个元素的排列数 ”，可以看作由以下两个步骤得到：
第1步，从n个不同元素中取出m个元素，共有 种不同的取法；
第2步，将取出的m个元素作全排列，共有 种不同的排法.
根据分步乘法计数原理，有
因此，
探究新知
因为 ，所以上面的组合数公式还可以写成
这里n,m∈N* ，并且m≤n. 这个公式叫做组合数公式.
规定
例1 计算: (1) ; (2) ; (3) ; (4) .
解：
典例分析
追问: 分别观察例中(1)与(2), (3)与(4)的结果，你有什么发现和猜想？
证明：
直观解释：
该性质反映了组合数的对称性. 其组合意义是从n个不同的元素中任取m个元素的组合与任取(n-m)个元素的组合是一一对应(一种取法对应一种剩法).
因为从n个不同元素中取出m个元素后，就剩下(n-m)个元素，因此从n个不同元素中取出m个元素的方法，与从n个不同元素中取出(n-m)个元素的方法是一一对应的，因此取法是一样多的，就是说从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合，都对应着从n个不同元素中取出(n-m)个元素的唯一的一个组合，反过来也一样. 即从n个不同元素中取出m个元素的组合数 等于从n个不同元素中取出(n-m)个元素的组合数 ，也就是 .
探究新知
证明：
直观解释：
该性质也可以根据组合数的定义与分类加法计数原理直接得出，在确定从(n+1)个不同元素中取m个元素的方法时，对于某一元素，只存在着取与不取两种可能.
如果取这一元素，则需从剩下的n个元素中再取出(m-1)个元素，所以共有 种取法；如果不取这一元素，则需从剩下的n个元素中再取出m个元素，所以共有 种取法. 由分类加法计数原理，得 .
探究新知
小试牛刀
1.计算：
解：
(1)每个小组有多少种选法
(2)如果还要从选出的同学中指定1名作替补，那么每小组有多少种选法
(3)如果还要将选出的同学分别指定为第一、二、三、四辩手，那么每小组有多少种选法
例2 班上每个小组有12名同学，现要从每个小组选4名同学代表本组与其他小组进行辩论赛.
典例分析
解答组合问题的关键是用好组合的定义和两个基本原理, 只选不排，合理分类、分步.
1.一位教练的足球队共有17名初级学员, 他们中以前没有一人参加过比赛, 按照足球比赛规则, 比赛时一个足球队的上场队员是11人. 问:
(1)这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场方案
(2)如果在选出11名上场队员时, 还要确定其中的守门员, 那么教练员有多少种方式做这件事情
巩固练习
解：(1)所有的不同抽法种数，就是从100件产品中抽出3件的组合数，
所以抽法种数为
典例分析
(2) 从2件次品中抽出1件的抽法有 种，从98件合格品中抽出2件的抽法有 种，因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法种数为
例3 在100件产品中，有98件合格品，2件次品. 从这100件产品中任意抽出3件.
(1)有多少种不同的抽法？
(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？
(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？
例3 在100件产品中，有98件合格品，2件次品. 从这100件产品中任意抽出3件.
(1)有多少种不同的抽法？
(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？
(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？
典例分析
方法2: 抽出的3件中至少有1件是次品的抽法种数，就是从100件产品中抽出3件的抽法种数减去3件都是合格品的抽法种数，即
解：(3)方法1:从100件产品抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品两种情况，因此根据分类加法计数原理，抽出的3件中至少有1件是次品的抽法种数为
“至少”“至多”的问题，通常用分类法或间接法求解
变式：把(3)中的“至少”改为“至多”， 则抽法有多少种
(4)如果物理和化学都没被选，那么共有多少种不同的选法
(5)如果物理、化学和生物至少有2门被选，那么共有多少种不同的选法
1.有政治、历史、地理、物理、化学、生物这6门学科的学业水平考试成绩，现要从中选3门考试成绩.
(1)一共有多少种不同的选法
(2)如果物理和化学恰有1门被选，那么共有多少种不同的选法
(3)如果物理和化学至少有1门被选，那么共有多少种不同的选法
巩固练习
2.按下列条件, 从12人中选出5人, 有多少种不同选法？
(1)甲、乙、丙三人必须当选；
(2)甲、乙、丙三人不能当选；
(3)甲必须当选，乙、丙不能当选；
(4)甲、乙、丙三人只有一人当选；
(5)甲、乙、丙三人至多2人当选；
(6)甲、乙、丙三人至少1人当选；
课堂练习
课堂小结
1.组合数的定义和表示
把从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，并用符号 表示.
2.组合数的公式
3.组合数的性质