2021-2022学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册6.2.2排列数课件(共17张PPT)

(共17张PPT)
6.2.2 排列数
一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列(arrangement).
1.排列的定义：
2.排列问题的判断方法：
(1)元素的无重复性
(2)元素的有序性
判断的关键：变换元素的位置，看结果是否发生变化，有变化是有序，无变化就是无序.
复习引入
排列数的定义和表示：
我们把从n个不同元素中取出m (m≤n) 个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，并用符号 表示.
探究新知
例如，前面问题1是求从3个不同元素中取出2个元素的排列数，表示为 . 已经算得
问题2是求从4个不同元素中取出3个元素的排列数，表示为 . 已经算得
排列数与排列的区别：
一个排列就是完成一件事的一种方法，它不是数；排列数是所有排列的个数，它是一个数.
　　从n个不同元素中取出m个元素的排列数 (m≤n)是多少？
？
探究
探究新知
第1位
第2位
n 种
(n-1)种
追问1: 如何求排列数 ？
第1位
第2位
n 种
(n-1)种
第3位
(n-2)种
追问2: 如何求排列数 ？
假定有排好顺序的m个空位，从n个不同元素中取出m个元素去填空，一个空位填上一个元素，每一种填法就对应一个排列. 因此，所有不同填法的种数就是排列数 .
第1位
第2位
n 种
(n-1)种
第3位
(n-(m-1))种
第m位
(n-2)种
......
探究新知
利用分步乘法计数原理计算填法的种数，得到排列数公式:
一般地，求排列数 可以按依次填m个空位来考虑：
排列数公式
的连乘形式
探究新知
(1)观察公式的右边，共有几个因数？各因数的大小有什么规律？
(2)比较n与m的大小关系，并说明公式右边的最后一个因数有什么特点？
(3)利用排列数公式，计算 .
？
思考
特别地，我们把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列. 这时，排列数公式中m=n，即有
将n个不同的元素全部取出的排列数，等于正整数 1 到 n 的连乘积. 正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用 n! 表示. 于是，n个元素的全排列数公式可以写成 .
我们规定，0!=1.
例3 计算：
解：根据排列数公式，可得：
典例分析
排列数公式
的阶乘形式
排列数公式
的连乘形式
探究新知
由例3可以看到， , 观察这两个结果，从中你发现它们的共性吗？
？
思考
证：
例4 证明: (1) ； (2) .
典例分析
(1)
(2)
排列数的性质
变式练习：1.证明： .
证明：
例4 用0~9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？
分析：在0~9这10个数字中，因为0不能在百位上，而其他9个数字可以在任意数位上，因此0是一个特殊的元素. 一般地，我们可以从特殊元素的位置入手来考虑问题。
解法1：由于三位数的百位上的数字不能是0，所以可以分两步完成：
第2步，确定十位和个位上的数字，可以从剩下的9个数字中取出2个，有 种取法.
百位
十位
个位
典例分析
第1步，确定百位上的数字，可以从1~9这9个数字中取出1个，有 种取法；
根据分步乘法计数原理，所求的三位数的个数为:
解法2：符合条件的三位数可以分成三类：
百位
十位
个位
0
百位
十位
个位
0
百位
十位
个位
第3类, 十位上的数字是0的三位数, 可以从剩下的9个数字中取出2个放在百位和个位, 有 种取法.
第2类, 个位上的数字是0的三位数, 可以从剩下的9个数字中取出2个放在百位和十位, 有 种取法；
第1类, 每一位数字都不是0的三位数, 可以从1~9这9个数字中取出3个, 有 种取法；
根据分类加法计数原理，所求三位数的个数为
例4 用0~9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？
典例分析
解法3: 从0~9这10个数字中选取3个的排列数为
即所求三位数的个数为
它们的差就是用这10个数组成的没有重复数字的三位数的个数
其中0在百位上的排列数为
例4 用0~9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？
典例分析
带有限制条件的排列问题：“特殊”优先原则
直接法
间接法
位置分析法
元素分析法
以位置为主，优先考虑特殊位置
以元素为主，优先考虑特殊元素
先不考虑限制条件，计算出来所有排列数，再从中减去全部不符合条件的排列数，从而得出符合条件的排列数
方法归纳
分步
先分类
后分步
1.从5人中选3人站成一排照相，甲不站排头有几种不同的站法？
解法一: (特殊元素法)
第一类: 不选甲，则从剩下的4人中选3人排列，有 种;
第二类: 选甲,先排甲有 种，然后从剩下的4人中选2人排列有 种，则共有 种;
所以共有 种不同的排列方法.
巩固练习
解法二: (特殊位置法)
第一步: 从其余4位同学中找1人站排头, 有 种;
第二步: 剩下的4人(含甲)中找2人排列, 有 种;
所以共有 种不同的排列方法.
1.从5人中选3人站成一排照相，甲不站排头有几种不同的站法？
巩固练习
解法三: (间接法)
所以共有 种不同的排列方法.
先从5人中选3人排列, 有 种
然后计算甲站排头有 种
2. 排列数公式：
1. 排列数的定义和表示：
3. n个元素的全排列数公式：
0!=1
把从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，并用符号 表示.
4. 求解排列问题的方法：
课堂小结
(1)直接法：①位置分析法，②元素分析法
(2)间接法