2021-2022学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册6.3.1二项式定理课件 (共15张PPT)

(共15张PPT)
6.3.1 二项式定理
创设情境
一
一 一
一 二 一
一 三 三 一
一 四 六 四 一
一 五 十 十 五 一
一 六 十五 二十 十五 六 一
杨辉是中国南宋末年数学家、 教育家。“杨辉三角”出现 在杨辉编著的《详解九章算 法》一书中，且我国北宋数学家贾宪(约公元11世纪)已经用过它，这表明我国发现这个表不晚于11世纪. 在欧洲，这个表被认为是法国数学家物理学家帕斯卡首先发现的,他们把这个表叫做帕斯卡三角. 杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右.
探究新知
杨辉三角的这七行数字表达的是什么内容，其内涵是什么？
？
探究
一
一 一
一 二 一
一 三 三 一
一 四 六 四 一
一 五 十 十 五 一
一 六 十五 二十 十五 六 一
此表是一张二项式系数表，第一行数字对应(a+b)0展开式，第二行数字对应(a+b)1展开式，那么第n行数字对应什么？
(a+b)0
(a+b)2
(a+b)3
(a+b)4
(a+b)5
(a+b)6
(a+b)1
探究新知
在初中，我们用多项式乘法法则得到了(a＋b)2 的展开式，如何利用分步乘法计数原理解释上述展开过程？
？
探究
(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)
＝a×a＋a×b＋b×a＋b×b
＝a2＋2ab＋b2
从上述过程可以看到，(a＋b)2是2个(a＋b)相乘，根据多项式乘法法则，每个(a＋b)在相乘时有两种选择，选a或选b，而且每个(a＋b)中的a或b都选定后，才能得到展开式的一项.
于是，由分步乘法计数原理，在合并同类项之前，(a＋b)2的展开式共有2×2＝22项，而且每一项都是a2－k×bk (k＝0,1,2)的形式.
项的形式：
2个(a+b)都不选b得到的，因此a2出现的次数相当于从2个(a+b)中取0个b（即都取a）的组合数 ，即a2只有1个；
由1个 (a+b) 中选a，另1个 (a+b) 中选b得到的. 由于b选定后，a的选法也随之确定，因此，ab出现的次数相当于从2个 (a+b) 中取1个b的组合数 ，即ab共有2个.
由2个 (a+b) 中都选b得到的. 因此，b2出现的次数相当于从2个 (a+b) 中取2个b的组合数 ，即b2只有1个.
探究新知
探究新知
同样地，如何利用分步乘法计数原理解释(a＋b)3 的展开式？
？
探究
a3
a2b
a2b
a2b
b3
ab2
ab2
ab2
展开式共有：
项的形式：
a4
a3b
ab3
b4
a2b2
探究新知
根据你发现的规律，你能写出(a＋b)4 的展开式吗？
？
探究
解：
（项的结构）
探究新知
进一步地，你能写出(a＋b)n 的展开式吗？
？
探究
（项的系数）
概念形成
上述公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做 (a＋b)n 的二项展开式，其中各项的系数 叫做二项式系数.
式中 的叫做二项展开式的通项，用 表示，即通项为展开式的第 项：
在二项式定理中，若设a=1, b=x，则得到公式
字母a按降幂排列,次数由n 递减到0;
字母b按升幂排列,次数由0递增到n.
例1
求　　　的展开式．
解：
典例分析
求　　　的展开式．
变式1：
解：
典例分析
例1 (1)求 (1＋2x)7 的展开式的第4项；
(2)求 (1＋2x)7 的展开式的第4项的系数；
(3)求 (1＋2x)7 的展开式的第4项的二项式系数.
解：
(1)
(2)求 (1＋2x)7 的展开式的第4项的系数为280.
(3)求 (1＋2x)7 的展开式的第4项的二项式系数为 .
解:
的展开式的通项为
根据题意，得
因此， x2的系数是
求 的展开式中 x2 的系数.
例3
典例分析
解:
1.求 (2a＋3b)6 的展开式的第3项.
巩固练习
2.求 的展开式的第r+1项.
解:
3.在 (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)的展开式中，含x4的项的系数是 .
-15
1.二项式定理
2.二项展开式的通项
3.二项式系数：
课堂小结