第7章相交线与平行线解答题练习（河北地区专用）2021－2022学年下学期河北省各地冀教版七年级数学期中复习（Word版含解析）

第7章 相交线与平行线解答题
1．（2021·河北邯郸·七年级期中）如图，点E在直线DF上，点B在直线AC上，若∠AGB=∠EHF，∠C=∠D．试说明：∠A=∠F．
请同学们补充下面的解答过程，并填空（理由或数学式）．
解：∵∠AGB=∠DGF（　　　）
∠AGB=∠EHF（已知），
∴∠DGF=∠EHF（　　　），
∴DG∥　　　　（　　　），
∴∠D=　　　　（两直线平行，同位角相等）
∵∠D=∠C（已知），
∴　　　　=∠C，
∴DF∥　　　　（　　　），
∴∠A=∠F（　　　）
2．（2021·河北邯郸·七年级期中）如图，直线相交于点平分．
（1）若，求的度数．
（2）若，求的度数．
3．（2021·河北衡水·七年级期中）完成下列推理过程：
如图，已知∠A＝∠EDF，∠C＝∠F，求证：BC∥EF
证明：∵∠A＝∠EDF（已知）
∴________∥________（__________________________________）
∴∠C＝________（_____________________________________）
又∵∠C＝∠F（已知）
∴_______＝∠F（等量代换）
∴________∥________（_________________________________）
4．（2021·河北秦皇岛·七年级期中）如图，AB∥DE∥CF，若∠ABC=80°，∠CDE=135°，求∠BCD的度数．
5．（2021·河北·曲阳县教育和体育局教研室七年级期中）已知：某品牌不锈钢锥体的平面图如图所示，设计要求是，且，请你帮设计师计算一下的度数，并说明理由．
6．（2021·河北唐山·七年级期中）如图，将水平向右平移得到，，两点的距离为1，，．根据题意完成下列各题：
（1）和的数量关系为__________；和的位置关系为___________；
（2）求的度数；
（3）__________．
7．（2021·河北张家口·七年级期中）解答下列各题：
如图，已知，，试说明．请将过程填写完整．
解：∵
又（______）
∴______．（______）
∴____________（______）
又∵
∴______
∴（______）
8．（2021·河北石家庄·七年级期中）完成推理过程：如图
∵∠1＝∠2（已知），∠2＝∠4（ ）
∴∠4＝∠1（ ）
∴DB∥CE（ ）
∴∠C＝∠ABD（ ）
∵∠C＝∠D（ 已知 ）
∴∠D＝∠ABD （ ）
∴AC∥DF（ ）
9．（2021·河北沧州·七年级期中）如图，ABC的顶点都在方格纸的格点上，将ABC向左平移2格，再向上平移3格，其中每个格子的边长为1个单位长度．
（1）画出ABC的边AB上的高CD（过点C画出线段AB的垂线）；
（2）请在图中画出平移后的，并求出此时的面积；
（3）若连接，，则这两条线段之间的关系是 ．
10．（2021·河北石家庄·七年级期中）作图题：在方格纸中，将△ABC向右平移4个单位得到△A1B1C1
（1）画出△A1B1C1
（2）∠CAB＝70°，∠CBA＝54°，求∠CBC1度数．
11．（2021·河北唐山·七年级期中）如图，直线CD与直线AB相交于C，根据下列语句画图、解答．
（1）过点P作PQCD，交AB于点Q；
（2）过点P作PR⊥CD，垂足为R；
（3）若∠DCB＝120°，求∠PQC的度数．
12．（2021·河北秦皇岛·七年级期中）已知：如图，∠1＋∠2＝180°，∠3＝∠B，试判断∠AED与∠C的大小关系，并说明理由．
解：∠C与∠AED相等，理由如下：
∵∠1＋∠2＝180°(________________)，
∠1＋∠DFE＝180°(________________)，
∴∠2＝________(________________)，
∴ABEF(__________________)，
∴∠3＝∠ADE(__________________)．
又∠B＝∠3(________)，
∴∠B＝∠ADE，
∴DEBC(__________________)，
∴∠C＝∠AED(__________________)．
13．（2021·河北唐山·七年级期中）完成下列说理过程，并在括号内填上相应的依据．
已知：如图，如果AB∥CD，AB，CD与直线EF分别相交于点M和N，MP平分∠AMF，NQ平分∠END．则MP∥NQ，试说明理由．
理由：
∵AB∥CD（已知）
∴∠AMF= 　
∵MP平分LAMF（已知）
∴∠1= 　 （角平分线的定义）
同理∠2=∠END，
∴∠1=∠2 　
∴MP∥NQ 　
14．（2021·河北唐山·七年级期中）某小区门口的曲臂道闸如图所示，BA垂直地面AE于点A，横杆CD平行于地面AE．求∠ABC＋∠BCD的度数．
15．（2021·河北唐山·七年级期中）已知，如图a∥b，c∥d，∠1=73°，求∠2和∠3的度数．
16．（2021·河北·石家庄市栾城区教育局教研室七年级期中）如图，，，，垂足分别为点F，E，求证：FG∥BC．
17．（2021·河北张家口·七年级期中）如图1，于点，．
（1）求证：；
（2）如图2，点从点出发，沿线段运动到点停止，连接、．则、、三个角之间具有怎样的数量关系（不考虑点与点，，重合的情况）？并说明理由．
18．（2021·河北邢台·七年级期中）如图，直线，相交于点，，垂足为．
（1）若，求的度数；
（2）若，求的度数．
19．（2021·河北·曲阳县教育和体育局教研室七年级期中）已知：如图1，，．

（1）判断图中平行的直线，并给予证明；
（2）如图2，，，请判断与的数量关系，并证明．
20．（2021·河北邯郸·七年级期中）如图，已知∠1=∠BDC，∠2+∠3=180°
（1）请你判断DA与CE的位置关系，并说明理由；
（2）若DA平分∠BDC，CE⊥AE于点E，∠1=60°，求∠EAB的度数．
21．（2021·河北张家口·七年级期中）完成下列推理过程：
已知：如图，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B
求证：∠EDG+∠DGC＝180°
证明：∵∠1+∠2＝180°（已知）
∠1+∠DFE＝180°（　 　）
∴∠2＝　 　（　 　）
∴EF∥AB（　 　）
∴∠3＝　 　（　 　）
又∵∠3＝∠B（已知）
∴∠B＝∠ADE（　 　）
∴DE∥BC（　 　）
∴∠EDG+∠DGC＝180°（　 　）
22．（2021·河北沧州·七年级期中）如图，有如下四个论断：①，②，③平分，④平分．
（1）若选择四个论断中的三个作为条件，余下的一个论断作为结论，构成一个数学命题，其中正确的有哪些？不需说明理由．
（2）请你在上述正确的数学命题中选择一个进行说明理由．
23．（2021·河北秦皇岛·七年级期中）如图，直线AB与CD相交于点O，OF是以O为端点的射线．
（1）用量角器和直尺画∠EOD=∠BOF（点E在∠AOD的内部）．
（2）若∠COF=90°，在（1）中，求∠AOE的大小．
24．（2021·河北石家庄·七年级期中）综合与探究：
将三角形纸板如图放置，点P是边AB边上一点，DF∥CE，∠PCE=∠α，∠PDF=∠β，
探究:
(1)如果α=30°，β=40°，则∠DPC=___________.
猜想：
(2)当点P在E、F两点之间运动时，∠DPC与α、β之间有何数量关系？并说明理由；
拓展：
(3)如果点P在E、F两点外侧运动时（点P与点A、B、E、F四点不重合），上述（2）中的结论是否还成立？并说明理由．
25．（2021·河北唐山·七年级期中）如图，AD⊥BC，垂足为D，点E、F分别在线段AB、BC上，EF⊥BC，∠CAD＝∠DEF，
（1）求证：EF∥AD；
（2）判断ED与AC的位置关系，并证明你的猜想．
26．（2021·河北秦皇岛·七年级期中）如图：EF∥AD，∠1=∠2，∠BAC=75°．将求∠AGD的过程填写完整．
解：∵EF∥AD （已知）
∴∠2=　　　　　　（　 ）
又∵∠1=∠2 （已知）
∴∠1=　　　　　　（　 ）
∴AB∥DG （　 ）
∴∠BAC+　　　　　　 =180°（　 ）
∵∠BAC=75°（已知）
27．（2021·河北沧州·七年级期中）如图，直线AB、CD交于点O，OM⊥AB，垂足为O．
（1）若∠1＝∠2．求∠NOD的度数；
（2）若∠AOD＝4∠1，求∠AOC和∠MOD的度数．
28．（2021·河北石家庄·七年级期中）如图，已知直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，点O为垂足，OF平分∠AOC，∠COE＝58°，求∠DOF的度数．
29．（2021·河北沧州·七年级期中）（1）引入：在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，如图是一个“美味”的模型—“猪蹄模型”．如图所示，ABCD，点E在直线AB与CD之间，连接AE、CE，求证：∠AEC＝∠BAE+∠DCE．
嘉琪想到了下面的思路，请根据思路继续完成求证：
证明：如图，过点E作EFAB．
（2）思考：当点E在如图所示的位置时，其他条件不变，写出∠BAE，∠AEC，∠DCE三者之间的数量关系并说明理由．
（3）应用：如图，延长线段AE交直线CD于点M，已知∠BAE＝132°，∠DCE＝118°，求∠MEC的度数．
（4）提升：点E、F、G在直线AB与CD之间，连接AE、EF、FG和CG，其他条件不变，如图．若∠EFG＝m°，直接写出∠BAE+∠AEF+∠FGC+∠DCG的总度数．
30．（2021·河北唐山·七年级期中）如图所示，已知射线 DM与直线AB交于点A，线段EC与直线AB交于点C，AB∥DE.
(1)当∠MAC＝100°，∠BCE＝120°时，把EC绕点E旋转多大角度(所求角度小于180°)时，可判定MD∥EC？请你设计出两种方案，并画出草图；
(2)若将EC绕点E逆时针旋转60°时，点C与点A恰好重合，请画出草图，并在图中找出同位角、内错角各两对(先用数字标出角，再回答)．
31．（2021·河北唐山·七年级期中）如图，将三角形ABC沿射线BA的方向平移到三角形A'B'C'的位置，连接AC'，
（1）AA'与CC'的位置关系为　 　；
（2）试说明∠A'＋∠CAC'+∠AC'C=180°的理由．
（3）设∠AC'B'=x，∠ACB=y，试探索∠CAC'与x、y之间的数量关系，并说明你的理由．
32．（2021·河北唐山·七年级期中）已知，E，F分别在AB和CD上，∠1＝∠D，∠2与∠C互余，AF⊥CE于G，
求证：ABCD．
证明：∵AF⊥CE，
∴∠CGF＝90°，
∵∠1＝∠D（已知），
∴AF∥DE（ ），
∴∠4＝ ＝90°（ ），
又∵∠2与∠C互余（已知），∠2+∠3+∠4＝180°，
∴∠2+∠C＝∠2+∠3＝90°，
∴∠C＝ ，
∴AB∥CD．（ ）
33．（2021·河北保定·七年级期中）问题背景
如图1，已知，写出、与之间的数量关系，并说明理由．
知识迁移
如图2，，，则______．
方法应用
如图3，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，在，，三处经过三次拐弯此时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行（即），若，，则的度数是______．
34．（2021·河北保定·七年级期中）已知，．
（1）如图1，若点落在上，且，则的度数为______；
（2）如图2，点落在与之间，且两边分别与，相交．
①若，则的度数为______，你能发现与之间的关系吗？直接写出结果；
②若改变的度数，①中的结论是否还成立？如果成立，请推理说明；如果不成立，请说明理由．
③如图3，作与的平分线交于点，再作与的平分线交于点，…，以此类推，作次，请直接写出的度数．
35．（2021·河北沧州·七年级期中）如图，AB和CD相交于点O，E为线段AC上一点，过点E作EFAB交DB延长线于F，∠C＝∠COA，∠D＝∠BOD．
求证：∠A＝∠F，下面是小明同学进行的说理，请你将小明同学的说理过程或说理根据补充完整．
证明：∵∠C＝∠COA，∠D＝∠BOD（已知），
且∠COA＝∠BOD（ ）．
∴∠C＝ （ ）．
∴ACDF（ ）．
∴∠A＝ （ ）．
∵EFAB（已知），
∴∠F＝ （ ）．
∴∠A＝∠F（ ）．
36．（2021·河北保定·七年级期中）如图，已知．
（1）当与满足什么关系时，？并说明理由；
（2）在（1）的条件下，若，，求的度数．
37．（2021·河北邢台·七年级期中）如图，，在的右侧，平分，平分，试卷第1页，共3页
所在直线交于点，．
（1）若，求的度数；
（2）将线段沿方向平移，使得点在点的右侧，其他条件不变，若，求的度数．
参考答案：
1．对顶角相等；等量代换；EH；同位角相等，两直线平行；∠FEH；∠FEH；AC；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
【解析】
根据对顶角的性质、角的等量代换、平行线的判定和性质即可得解．
【详解】
解：和是对顶角，
，
故答案为：对顶角；
，，进行等量代换，
;
故答案为：等量代换；
和是同位角且，
，
故答案为：，同位角相等；
，与是同位角
故答案为：；
，，经过等量代换，
，
故答案为：；
，并且两个角是内错角，
，
故答案为：，内错角相等；
，与是内错角，
故答案为：内错角相等．
【点睛】
本题考查了平行线的性质和判定定理，角的等量代换、对顶角的性质；关键在于要熟悉平行线的性质和判定定理的知识，顺着题目证明．
2．（1）；（2）
【解析】
（1）首先根据角平分线的性质得出∠AOC，然后利用对顶角相等即可得出∠BOD；
（2）首先设，则，然后根据平角的性质构建方程，得出∠EOC，再利用角平分线的性质得出∠AOC，最后由对顶角相等即可得出∠BOD．
【详解】
平分
设，则,
解得
则
又平分,
【点睛】
此题主要考查利用角平分线、对顶角以及平角的性质求解角的度数，熟练掌握，即可解题．
3．证明见解析.
【解析】
由∠A=∠EDF，根据同位角相等，两直线平行，得出AC∥DF；再根据两直线平行，内错角相等，得出∠C=∠CGF，又∠C=∠F，则∠CGF =∠F，根据内错角相等，两直线平行，即可得BC∥EF．
【详解】
证明：∵∠A＝∠EDF（已知），
∴∥（同位角相等，两直线平行），
∴∠C＝∠CGF（两直线平行，内错角相等），
又∵∠C＝∠F（已知），
∴∠CGF＝∠F（等量代换），
∴∥（ 内错角相等，两直线平行），
故答案为：AC，DF，同位角相等，两直线平行，∠CGF，两直线平行，内错角相等，∠CGF，CB，FE，内错角相等，两直线平行.
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的性质与判定定理是解题的关键.
4．35°
【解析】
先分别根据平行线的性质求出∠BCF=80°，∠DCF=45°，再根据角的和差关系即可求解．
【详解】
解：∵AB∥CF，
∴∠BCF=∠ABC=80°，
∵AB∥DE，
∴∠DCF=180°-∠CDE=45°，
∴∠BCD=∠BCF-∠CDE=35°．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质定理是解题关键．
5．74°，理由见解析
【解析】
过作，交于点F．由平行公理的推论可证，再由平行线的性质可求出，，即得到．
【详解】
如图，过作，交于点F．
∵，
∴，
∵，
∴（两直线平行，同旁内角互补）
∴（两直线平行，同旁内角互补）
∴．
【点睛】
本题考查平行公理的推论以及平行线的性质．正确的做出常用的辅助线是解答本题的关键．
6．（1）AC=DF，AC∥DF；（2）∠1=110°；（3）4．
【解析】
（1）根据平移前后对应线段平行且相等直接回答即可；
（2）平移前后对应角相等；
（3）用EC的长加上两个平移的距离即可．
【详解】
解：（1）AC和DF的关系式为AC=DF，AC∥DF．
故答案为：AC=DF，AC∥DF；
（2）∵三角形ABC水平向右平移得到三角形DEF，
∴AB∥DE，
∵∠A=70°，
∴∠1=110°；
（3）BF=BE+CE+CF=1+2+1=4．
故答案为：4．
【点睛】
本题主要考查了平移的性质，正确得出对应角是解题关键．
7．对顶角相等；；等量代换；；；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等
【解析】
由对顶角相等及等量替换推出∠1=∠2，根据平行线的判定推出AB∥CD，进而推出AB∥EF，根据平行线的性质得出即可．
【详解】
解：∵∠1=∠3
又∠2=∠3 (对顶角相等)
∴∠1=∠2(等量代换)
∴AB∥CD (同位角相等，两直线平行)
又∵CD∥EF
∴AB∥EF
∴(两直线平行，同位角相等)．
故答案是：对顶角相等； ∠2 ；等量代换； AB ； CD ；同位角相等，两直线平行； EF ；两直线平行，同位角相等．
【点睛】
本题考查了平行线的性质和判定定理，平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之即为判定定理．
8．对顶角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行
【解析】
求出∠4=∠1，根据平行线的判定得出DB//CE，根据平行线的性质得出∠C=∠ABD，求出∠D=∠ABD，根据平行线的判定得出即可．
【详解】
解：∵∠1=∠2（已知），∠2=∠4（对顶角相等），
∴∠4=∠1（等量代换），
∴DB//CE（同位角相等，两直线平行） ，
∴∠C=∠ABD（两直线平行，同位角相等），
∵∠C=∠D（已知），
∴∠D=∠ABD（等量代换），
∴AC//DF（内错角相等，两直线平行），
故答案为：对顶角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行
【点睛】
本题考查了平行线的性质和判定的应用，能运用性质和判定定理进行推理是解此题的关键．
9．（1）图见解析；（2）图见解析，8；（3）平行且相等．
【解析】
（1）结合方格纸特点，根据垂线的画法即可得；
（2）先根据平移的定义分别画出点，再顺次连接即可得，然后利用三角形的面积公式求出的面积即可得的面积；
（3）根据平移的性质即可得出结论．
【详解】
解：（1）如图，即为所求；
（2）如图，即为所求；
由平移的性质得：的面积与的面积相等，
的面积为，
则的面积为8；
（3）由平移的性质得：，
故答案为：平行且相等．
【点睛】
本题考查了画垂线、平移作图、平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题关键．
10．（1）见解析；（2）56°
【解析】
（1）先画出△ABC各个顶点平移后的对应点，再顺次连接起来，即可；
（2）根据平移的性质可得∠C1A1B1=∠CAB=70°，进而即可求解．
【详解】
解：（1）△A1B1C1如图所示；
（2）∵△ABC向右平移得到△A1B1C1，
∴∠C1A1B1=∠CAB=70°，
∴∠CBC1=180°﹣∠CBA﹣C1A1B1=180°﹣54°﹣70°=56°．
【点睛】
本题主要考查平移的性质，平角的定义，掌握平移的性质是解题的关键．
11．（1）见解析；（2）见解析；（3）60°
【解析】
（1）过点P作PQ∥CD，交AB于点Q；
（2）过点P作PR⊥CD，垂足为R；
（3）利用两直线平行，同旁内角互补即可解决问题．
【详解】
解：（1）如图所示：PQ即为所求；
（2）如图所示：PR即为所求；
（3）∵PQ∥CD，
∴∠DCB+∠PQC=180°，
∵∠DCB=120°，
∴∠PQC=180°-120°=60°．
【点睛】
本题主要考查了画平行线和垂线，能利用平行线的性质来解决问题是解题关键．
12．已知；邻补角的定义；∠DFE；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；已知；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．
【解析】
首先求出∠2=∠DFE，两直线平行可判断出AB∥EF，进而得到∠B=∠ADE，可判断出DE∥BC，由平行线的性质即可得出答案．
【详解】
解：∠C与∠AED相等，理由如下：
∵∠1＋∠2＝180°(已知)，
∠1＋∠DFE＝180°(邻补角的定义)，
∴∠2＝∠DFE (同角的补角相等)，
∴ABEF(内错角相等，两直线平行)，
∴∠3＝∠ADE(两直线平行，内错角相等)．
又∠B＝∠3(已知)，
∴∠B＝∠ADE，
∴DEBC(同位角相等，两直线平行)，
∴∠C＝∠AED(两直线平行，同位角相等)．
【点睛】
此题考查平行线的判定与性质，对顶角、邻补角，解题关键在于掌握平行线的判定定理．
13．∠DNE，∠AMF，等量代换，内错角相等，两直线平行
【解析】
根据平行线的性质和判定定理以及角平分线的定义，即可得到答案．
【详解】
解：∵AB∥CD（已知）
∴∠AMF=∠DNE
∵MP平分∠AMF（已知）
∴∠1=∠AMF（角平分线的定义）
同理：∠2=∠END，
∴∠1=∠2(等量代换)
∴MP∥NQ(内错角相等，两直线平行)
故答案是：∠DNE，∠AMF，等量代换，内错角相等，两直线平行．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质和判定定理以及角平分线的定义，熟练掌握“内错角相等，两直线平行”，“两直线平行，内错角相等”，是解题的关键．
14．270°
【解析】
过B点作BF∥AE，根据平行公理可得BF∥CD，然后根据两直线平行，同旁内角互补可得∠BCD+∠CBF=180°，∠ABF=90°，然后求解即可．
【详解】
解：如图，过B点作BF∥AE，
∵CD∥AE，
∴BF∥CD ，
∴∠BCD＋∠CBF＝180°，∠FBA＋∠BAE＝180°，
∵BA垂直地面AE于点A，
∴∠ABF＝∠BAE＝90°，
∴∠ABC＋∠BCD＝∠ABF＋∠BCD＋∠CBF＝90°＋180°＝270°．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，垂线的定义，熟记平行线的性质并作辅助线是解题的关键．
15．73°，107°
【解析】
首先根据两直线平行，内错角相等得到∠2的度数，再根据两直线平行，同旁内角互补，求出∠3的度数．
【详解】
解：∵a∥b，
∴∠1=∠2=73°，
∵c∥d，
∴∠3=180°-73°=107°．
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质：内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．
16．见解析
【解析】
根据垂直定义求出∠BED=∠BFC，根据平行线的判定得出ED∥FC，根据平行线的性质得出∠1=∠BCF，求出∠2=∠BCF，根据平行线的判定推出即可．
【详解】
证明：∵CF⊥AB、DE⊥AB，
∴∠BED=90°，∠BFG=90°，
∴∠BED=∠BFC，
∴ED∥FC，
∴∠1=∠BCF，
∵∠1=∠2，
∴∠2=∠BCF，
∴FG∥BC．
【点睛】
本题考查了平行线的判定和性质的应用，能运用平行线的判定和性质进行推理是解此题的关键，难度适中．
17．（1）见详解；（2）当点P在A，D之间时，；当点P在C，D之间时，；当点P在C，F之间时，.
【解析】
（1）根据∠A+∠B=90°，∠A+∠1=90°，即可得到∠B=∠1，进而得出AB∥DE．
（2）分三种情况讨论：点P在A，D之间；点P在C，D之间；点P在C，F之间；分别过P作PG∥AB，利用平行线的性质，即可得到∠ABP，∠DEP，∠BPE三个角之间的数量关系．
【详解】
解：（1）如图1，∵BC⊥AF于点C，
∴∠A+∠B=90°，
又∵∠A+∠1=90°，
∴∠B=∠1，
∴AB∥DE．
（2）如图2，当点P在A，D之间时，过P作PG∥AB，
∵AB∥DE，
∴PG∥DE，
∴∠ABP=∠GPB，∠DEP=∠GPE，
∴∠BPE=∠BPG+∠EPG=∠ABP+∠DEP；
∴；
如图所示，当点P在C，D之间时，过P作PG∥AB，
∵AB∥DE，
∴PG∥DE，
∴∠ABP=∠GPB，∠DEP=∠GPE，
∴∠BPE=∠BPG-∠EPG=∠ABP-∠DEP；
∴；
如图所示，当点P在C，F之间时，过P作PG∥AB，
∵AB∥DE，
∴PG∥DE，
∴∠ABP=∠GPB，∠DEP=∠GPE，
∴∠BPE=∠EPG-∠BPG=∠DEP-∠ABP．
∴.
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质与判断的运用，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
18．（1）125°；（2）150°
【解析】
(1)把的度数计算出来，再根据对顶角的性质即可得到答案；
(2)根据，设，得到，最后根据即可得到答案；
【详解】
解：（1），
，
；
（2），
设，
又
，
，
，
又，
，
．
【点睛】
本题主要考查了对顶角的性质（对顶角相等）和邻补角的性质，熟练掌握邻补角的性质和对顶角的性质是解题的关键．
19．（1）AB∥CD，EF∥HL，证明见解析；（2）∠P=3∠Q，证明解析．
【解析】
（1）求出∠AMN+∠2=180°，根据平行线的判定推出AB∥CD即可；延长EF交CD于F1，根据平行线性质和已知求出∠AEF=∠EF1L，根据平行线的判定推出即可；
（2）作QR∥AB，PL∥AB，根据平行线的性质得出∠RQM=∠QMB，RQ∥CD，推出∠MQN=∠QMB+∠QND，同理∠MRN=∠PMB+∠PND，代入求出即可．
【详解】
解：（1）AB∥CD，EF∥HL，
证明如下：∵∠1=∠AMN，
∴∠1+∠2=180°，
∴∠AMN+∠2=180°，
∴AB∥CD；
延长EF交CD于F1，
∵AB∥CD，
∴∠AEF=∠EF1L，
∵∠AEF=∠HLN，
∴∠EF1L=∠HLN，
∴EF∥HL；
（2）∠P=3∠Q，
证明如下：∵由（1）得AB∥CD，作QR∥AB，PL∥AB，
∴∠RQM=∠QMB，RQ∥CD，
∴∠RQN=∠QND，
∴∠MQN=∠QMB+∠QND，
∵AB∥CD，PL∥AB，
∴AB∥CD∥PL，
∴∠MPL=∠PMB，∠NPL=∠PND，
∴∠MPN=∠PMB+∠PND，
∵∠PMQ=2∠QMB，∠PNQ=2∠QND，
∴∠PMB=3∠QMB，∠PND=3∠QND，
∴∠MPN=3∠MQN，
即∠P=3∠Q；
【点睛】
本题考查平行线的性质和判定，平行线公理的推论．能正确作出辅助线是解决本题的关键．
20．（1）AD//EC，理由见解析；（2）120°
【解析】
（1）根据平行线的性质推出AB//CD，推出∠2=∠ADC，求出∠ADC+∠3=180°，根据平行线的判定推出即可；
（2）求出∠ADC度数，求出∠2=∠ADC=30°，即可求∠EAB的度数．
【详解】
解：（1）AD//EC，
理由是：∵∠1=∠BDC，
∴AB//CD，
∴∠2=∠ADC，
又∵∠2+∠3=180°，
∴∠ADC+∠3=180°，
∴AD//EC．
（2）∵AB//CD，
∴∠BDC=∠1=60°，
∵DA平分∠BDC，
∴∠ADC=∠BDC=30°，
∴∠2=∠ADC=30°，
∵CE⊥AE，
∴∠CEG=90°，
∵AD//CE
∴∠EAD=∠CEG=90°，
∴∠EAB=∠EAD+∠2=90°+30°=120°．
【点睛】
本题考查了平行线的性质和判定，角平分线定义的应用，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补．
21．邻补角定义；∠DFE，同角的补角相等；内错角相等，两直线平行；∠ADE，两直线平行，内错角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补
【解析】
依据∠1+∠2=180°，∠1+∠DFE=180°，即可得到∠2=∠DFE，由内错角相等，两直线平行证明EF∥AB，则∠3=∠ADE，再根据∠3=∠B，由同位角相等，两直线平行证明DE∥BC，故可根据两直线平行，同旁内角互补，即可得出结论．
【详解】
∵∠1+∠2=180°（已知）
∠1+∠DFE=180°（邻补角定义）
∴∠2=∠DFE（同角的补角相等）
∴EF∥AB（内错角相等，两直线平行）
∴∠3=∠ADE（两直线平行，内错角相等）
又∵∠3=∠B（已知）
∴∠B=∠ADE（等量代换）
∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）
∴∠EDG+∠DGC=180°（两直线平行，同旁内角互补）
【点睛】
本题考查了平行线的性质和判定．正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键．
22．（1）见解析；（2）见解析
【解析】
（1）选择四个论断中的三个作为条件，余下的一个论断作为结论，即可得到结论；
（2）根据平行线的性质和角平分线的定义即可得到结论．
【详解】
解：（1）如果①②③，那么④，正确；
如果①②④，那么③，正确；
如果①③④，那么②，正确；
如果②③④，那么①，正确；
（2）已知：AC∥DE，DC∥EF，CD平分∠BCA，
求证：EF平分∠BED．
证明：∵AC∥DE，
∴∠BCA=∠BED，
即∠1+∠2=∠4+∠5，
∵DC∥EF，
∴∠2=∠5，
∵CD平分∠BCA，
∴∠1=∠2，
∴∠4=∠5，
∴EF平分∠BED．
【点睛】
本题考查了命题与定理，平行线的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
23．（1）见解析（2）90°
【解析】
（1）根据题意画图即可；
（2）根据平角的定义、互余两角的关系计算即可．
【详解】
（1）如图所示，∠EOD即为所求；
（2）∵∠COF=90°，∴∠DOF=90°，即∠BOF+∠BOD=90°．
又∵∠EOD=∠BOF，∴∠BOE=90°，∴∠AOE=90°．
【点睛】
本题考查了对顶角的性质、邻补角的性质、余角和补角的性质，正确认识图形、运用性质是解题的关键．
24．（1）70°；（2）∠DPC=α+β，证明详见解析；（3）∠DPC=β –α或∠DPC= α -β
【解析】
（1）过P点作GH∥DF，可得GH∥CE，根据“两直线平行，内错角相等” 解答即可；
（2）过P点作GH∥DF，可得GH∥CE，根据“两直线平行，内错角相等” 解答即可；
（3）过P点作PH∥DF，可得PH∥CE，分P点在直线CE上方、DF下方两种情况，根据“两直线平行，内错角相等” 解答即可；
【详解】
（1）过P点作GH∥DF，
∵DF∥CE,
∴GH∥CE
∴∠PCE=∠CPG=α， ∠PDF=∠GPD=β
∵∠DPC=∠CPG+∠GPD =α+β
∵α=30°，β=40°
∴∠DPC=70°
故答案为：70°
（2）∠DPC=α+β，理由是：
如图，过P点作GH∥DF，
∵DF∥CE
∴GH∥CE
∴∠PCE=∠CPG=α， ∠PDF=∠GPD=β
∵∠DPC=∠CPG+∠GPD =α+β
（3）（2）中的结论不成立，理由是：
如图，过P作PH∥DF
（图1）
∵DF∥CE
∴PH∥CE
∴∠PCE=∠1=α
∵∠FDP=∠2=β
∵∠DPC=∠FDP-∠PCE=∠2-∠1=β -α.
如图2，过P作PH∥DF
（ 图2）
∵DF∥CE
∴PH∥CE
∴∠PCE=∠1=α
∵∠FDP=∠2=β
∵∠DPC=∠PCE-∠FDP=∠1-∠2=α -β.
故（2）中的结论不成立.
【点睛】
本题考查的是平行线的性质，掌握平行线的性质及平行于同一直线的两条直线互相平行是关键.
25．（1）见解析；（2）ED与AC平行，见解析
【解析】
（1）先由AD⊥BC，EF⊥BC证得∠ADB=∠EFB=90°，再根据平行线的判定即可证得结论；
（2）由EF∥AD得∠DEF=∠EDA，进而证得∠EDA=∠CAD,即可得出结论．
【详解】
（1）∵ AD⊥BC，EF⊥BC，
∴∠ADB=∠EFB=90°，
∴ EF∥AD
（2）ED与AC平行，理由为：
∵EF∥AD，
∴∠DEF=∠EDA，
∵∠CAD＝∠DEF，
∴∠EDA=∠CAD,
∴ED∥AC．
即ED与AC平行．
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质、垂直定义，掌握平行线的判定与性质并能熟练运用是解答的关键．
26．；两直线平行，同位角相等；；等量代换；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补．
【解析】
先根据两直线平行同位角相等可得，然后根据等量代换得，再根据内错角相等两直线平行可得，再根据两直线平行同旁内角互补可得，进而可以求出的度数．
【详解】
解：证明：（已知），
（两直线平行，同位角相等），
又（已知），
（等量代换），
（内错角相等，两直线平行），
（两直线平行，同旁内角互补），
（已知），
．
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是：掌握同位角相等等价两直线平行；内错角相等等价两直线平行；同旁内角互补等价两直线平行．
27．（1）；（2）．
【解析】
（1）先根据垂直的定义可得，再根据等量代换可得，从可得，然后根据平角的定义即可得；
（2）先根据垂直的定义可得，再根据可求出的度数，由此即可得出答案．
【详解】
解：（1），
，
，
，
，即，
；
（2）由（1）已得：，即，
，
，
解得，
，．
【点睛】
本题考查了垂直的定义、平角的定义等知识点，掌握理解垂直的概念是解题关键．
28．∠DOF＝106°．
【解析】
根据OE⊥AB，∠COE＝58°，可求得∠BOC，∠AOC，由OF平分∠AOC，求得∠AOF，进而求∠DOF的度数．
【详解】
解：∵OE⊥AB，
∴∠AOE＝∠BOE＝90°，
∵∠COE＝58°，
∴∠BOC＝32°，∠AOC＝∠AOE+∠COE＝148°，
∵OF平分∠AOC，
∴∠AOF＝∠AOC＝74°．
∠BOC＝∠AOD，
∴∠DOF＝∠AOD+∠AOF＝32°+74°＝106°．
【点睛】
本题考查了垂直的定义，求一个角的余角，角平分线的定义，对顶角相等，是解题的关键．
29．（1）证明见解析；（2），理由见解析；（3）；（4）．
【解析】
（1）先根据平行线的性质可得，再根据平行线的判定与性质可得，然后根据角的和差、等量代换即可得证；
（2）过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行线的判定与性质可得，然后根据角的和差、等量代换即可得出结论；
（3）先根据（2）的结论求出的度数，再根据邻补角的定义即可得；
（4）过点作，从而可得，先根据（2）的结论可得，再根据角的和差可得，由此即可得出答案．
【详解】
证明：（1）如图，过点作，
，
，
，
，
；
（2），理由如下：
如图，过点作，
，
，
，
，
，
即；
（3）由（2）已得：，
，
，
；
（4）如图，过点作，则，
由（2）的结论得：，
，
，
，
，
，
．
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质、角的和差、邻补角等知识点，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．
30．（1）见解析；（2）见解析.
【解析】
（1）根据平行线的判断，只要把EC绕点E顺时针旋转或逆时针旋转，使∠ACE=∠MAC=100°或∠CED=∠EDM=100°即可得MD∥EC；
（2）先根据题意画出草图，再根据同位角、内错角的概念分别找出两对角即可．
【详解】
(1)方案1：把EC绕点E逆时针旋转40°时，可判定MD∥EC，如图①；
方案2：把EC绕点E顺时针旋转140°时，可判定MD∥EC，如图②.
(2)如图③，同位角：∠3与∠5，∠4与∠5；内错角：答案不唯一，如∠1与∠6，∠2与∠5.
【点睛】
本题主要考查了平行线的判定和作图等知识，注意运用旋转变换的性质．
31．（1）AA′∥CC′；（2）见详解；（3）∠CAC'＝x＋y，理由见详解
【解析】
（1）根据平移的性质解答即可；
（2）根据平移的性质和平行线的性质解答即可；
（3）根据平行线的性质和平移性质解答即可．
【详解】
解：（1）由平移的性质可得：AA'∥CC'；
故答案为：AA'∥CC'；
（2）根据平移性质可知A'C'∥AC，AA'∥CC'，
∴∠A'＝∠BAC，∠BAC＝∠ACC'，
∴∠A'＝∠ACC'，
∵∠ACC'＋∠CAC'＋∠AC'C＝180°，
∴∠A'＋∠CAC'＋∠AC'C＝180°，
（3）结论：∠CAC'＝x＋y，
过点A作AD∥BC，交CC'于点D，
根据平移性质可知B'C'∥BC，
∴B'C'∥AD∥BC'，
∴∠AC'B'＝∠C'AD，∠ACB＝∠DAC，
∴∠CAC'＝∠C'AD＋∠CAD＝∠AC'B'＋∠ACB＝x＋y，
即∠CAC'＝x＋y．
【点睛】
本题考查的是平移变换以及平行线的性质，熟知图形平移不变的性质是解答此题的关键．
32．见解析
【解析】
由AF⊥CE得∠CGF=90°，根据∠1=∠D得AF∥ED，其性质得∠4=∠CGF=90°，又由等角的余角相等得∠C=∠3，内错角相等证明AB∥CD．
【详解】
解：证明：如图所示：
∵AF⊥CE （已知），
∴∠CGF=90°，
∵∠1=∠D （已知），
∴AF∥ED（同位角相等，两直线平行），
∴∠4=∠CGF=90°（两直线平行，同位角相等），
又∵∠2与∠C互余（已知），∠2+∠3+∠4=180°，
∴∠2+∠C=∠2+∠3=90°，
∴∠C=∠3，
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
【点睛】
本题综合考查平行线的判定与性质，垂直的定义，平角的的定义，余角的性质，等量代换等相关知识，重点掌握平行线的判定与性质．
33．问题背景：+=，理由见详解；知识迁移：110°；方法应用：150°
【解析】
问题背景：过点G作GH∥AB，可得=，=，进而即可得到结论；
知识迁移：由问题背景可知∠4+∠5=∠2，结合对顶角相等，即可得到答案；
方法应用：延长EA至点M，延长DC至点N，可得∠EAB+∠NCB=∠ABC，进而即可得到答案．
【详解】
解：问题背景：+=，理由如下：
过点G作GH∥AB，
∵，
∴，
∴=，=，
∴+=+=，
知识迁移：∵，
∴由（1）可知：∠4+∠5=∠2，
∵，
∴∠4=180°-70°=110°，
∴∠2-∠3=∠2-∠5=∠4=110°，
故答案是：110°；
方法应用：延长EA至点M，延长DC至点N，
∵，
∴∠EAB+∠NCB=∠ABC，
∵，，
∴∠NCB=150°-120°=30°，
∴=180°-30°=150°．
故答案是：150°．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质的实际应用，添加辅助线，构造平行线，是解题的关键．
34．（1）150°；（2）①40°，；②①中结论还成立，理由见详解；③
【解析】
（1）由题意易得，则有，进而根据平行线的性质可求解；
（2）①过点P作PE∥AB，则有，然后根据平行线的性质可得，然后问题可求解；
②如①图，由①可得，然后问题可求解；
③由题意易得，进而根据可得，同理可得，…..；由此可得规律为，然后问题可求解．
【详解】
解：（1）∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为150°；
（2）①过点P作PE∥AB，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为40°；
②①中结论还成立，理由如下：
如①图，由①可得：，
∴，
∵，
∴；
③∵作与的平分线交于点，
∴，
由②中结论可得，
∴，
同理可得，……；
∴，
∴．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质与判定、垂线的定义及角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质与判定、垂线的定义及角平分线的定义是解题的关键．
35．见解析．
【解析】
先根据对顶角相等、等量代换可得，再根据平行线的判定可得，然后根据平行线的性质可得，，最后根据等量代换即可得证．
【详解】
证明：∵（已知），
且（对顶角相等）．
∴（等量代换）．
∴（内错角相等，两直线平行）．
∴（两直线平行，内错角相等）．
∵（已知），
∴（两直线平行，同位角相等）．
∴（等量代换）．
【点睛】
本题考查了对顶角相等、平行线的判定与性质等知识点，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．
36．（1）当=时，，理由见详解；（2）
【解析】
（1）当=时则可推出，进而可得∠1=∠3，然后可得∠3+∠2=180°，最后问题可求解；
（2）由（1）及题意可得∠1=35°，∠AFB=90°，然后根据角的和差关系可进行求解．
【详解】
解：（1）当=时，，理由如下：
∵=，
∴，
∴∠1=∠3，
∵，
∴∠3+∠2=180°，
∴；
（2）∵，
∴∠AFB=90°，
∵，，
∴，
∴．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质与判定及垂线的定义，熟练掌握平行线的性质与判定及垂线的定义是解题的关键．
37．（1）65°；（2）20°或160°
【解析】
1）作，如图1，利用角平分线的定义得到，，利用平行线的性质得到，，从而得到的度数；
（2）作，如图2，利用角平分线的定义得到，，利用平行线的性质得到，，从而得到的度数；如图3，利用得到，然后根据三角形外角性质可计算出．
【详解】
解：（1）作，如图1，
平分，平分，
，，
，
，
，，
；
（2）作，如图2，
平分，平分，
，，
，
，
，，
．
如图3，平分，平分，
，，
，
，
，
．
如图4，平分，平分，
，，
，
，
，
而，
．
综上所述，的度数为或．
【点睛】
本题考查了平移的性质：解题的关键是把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．也考查了平行线的性质．
答案第1页，共2页