(共28张PPT)
菱形的性质
1
北师版九年级上册
复习导入
回忆一下，什么是平行四边形，它有哪些性质？
定义：
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
复习导入
性质：
边：平行四边形的对边平行且相等.
角：平行四边形的对角相等，邻角互补.
对角线：平行四边形的对角线互相平分.
对称性：平行四边形是中心对称图形.
回忆一下，什么是平行四边形，它有哪些性质？
观察平行四边形图形的变化，你有什么发现？
菱形的定义：
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
—— 探究新知 ——
下面几幅图片中都含有一些平行四边形，观察这些平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？
你能举出一些生活中菱形的例子吗？与同伴交流。
动手操作，两人一组，将课前准备好的平行四边形剪成菱形.
探索并掌握菱形的定义
测量
折叠
重合
平行四边形
一组邻边相等
菱形
（1）菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质。你能列举一些这样的性质吗？
想一想
菱形的对边平行且相等，
对角相等，对角线互相平分。
（2）菱形还具有哪些特殊的性质？与同伴交流。
想一想
1.菱形的四条边都相等.
2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
3.菱形是轴对称图形
做一做
用菱形纸片折一折，回答下列问题：
（1）菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？
菱形是轴对称图形；
有两条对称轴；
两条对称轴互相垂直。
做一做
用菱形纸片折一折，回答下列问题：
（2）菱形中有哪些相等的线段？
菱形的四条边相等。
类比平行四边形的性质，从边、角、对角线、对称性四方面有条理的将结论进行归纳.
边
角
对角线
对称性
四条边都相等
对边平行
对角相等
对角线互相垂直
对角线互相平分
每一条对角线平分一组对角
既是中心对称图形又是轴对称图形
已知：如图，在菱形ABCD 中，AB=AD, 对角
线 AC 与 BD 相交于点O.
求证: （1）AB=BC=CD=AD;（2）AC⊥BD.
证明:（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CD,AD=BC（菱形的对边相等）.
又∵AB=AD, ∴AB=BC=CD=AD.
已知：如图，在菱形ABCD 中，AB=AD, 对角
线 AC 与 BD 相交于点O.
求证: （1）AB=BC=CD=AD;（2）AC⊥BD.
又∵四边形ABCD是菱形,
（2）∵AB=AD,
∴ △ABD是等腰三角形.
∴OB=OD（菱形的对角线互相平分）.
在等腰三角形ABD中， ∵OB=OD,
∴ AO⊥BD，即AC⊥BD.
定理
菱形的四条边都相等.
菱形的对角线互相垂直.
例1 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD相交于点 O, ∠BAD = 60°，BD = 6，求菱形的边长 AB 和对角线 AC 的长。
解：∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AB=AD（菱形的四条边相等），
AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直），
OB=OD= BD= =3（菱形的对角线互相平分）.
在等腰三角形 ABD 中，∵∠BAD=60°，∴△ABD是等边三角形.
∴AB=BD=6.
在Rt△AOB中，由勾股定理，得
OA2 + OB2 = AB2，
∴OA= .
∴AC=2OA= （菱形的对角线互相平分）
1.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD 相交于点O. 已知AB=5cm，AO=4cm ，求 BD 的长.
【选自教材P4页 随堂练习】
—— 达标检测 ——
解：∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直），
在Rt△AOB中，由勾股定理，得
OA2 + OB2 = AB2，
∴BO =
∵四边形ABCD 是菱形，
∴BD=2BO= 2×3=6（菱形的对角线互相平分）.
∴BD 的长为 6 cm.
1.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD 相交于点O. 已知AB=5cm，AO=4cm，求 BD 的长.
【选自教材P4页 随堂练习】
—— 达标检测 ——
2.已知：如图，在菱形ABCD 中，∠BAD=2∠B.求证：△ABC是等边三角形.
【选自教材P4页 习题1.1 第1题】
证明：∵四边形ABCD是菱形
∴AD∥BC，∴∠BAD+∠B=180°，
又∵∠BAD=2∠B, ∴∠B=60°，
∵AB =BC，∴△ABC是等边三角形.
3.如图，在菱形ABCD 中，BD=6，AC=8，求菱形ABCD的周长.
【选自教材P4页 习题1.1 第2题】
证明：∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直）
AO=OC，BO=DO（菱形的对角线互相平分）.
在Rt△AOD中，AO=4，DO=3，∴AD=5.
∴菱形 ABCD 的周长为 20.
4.已知：如图，在菱形ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O.求证：AC平分∠BAD 和∠BCD，BD 平分∠ABC和∠ADC.
【选自教材P4页 习题1.1 第3题】
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD ，BO=DO，
∴AC⊥BD，AC平分∠BAD，
同理： AC平分∠BCD，
BD平分∠ABC和∠ADC.
5.如图，在菱形ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O.图中有多少个等腰三角形和直角三角形？
【选自教材P5页 习题1.1 第4题】
有4个等腰三角形，分别是△ABC、△ADC、△ABD、△BCD.
有4个直角三角形，分别是△AOB、△AOD、△BOC、△COD.
—— 课堂小结 ——
有一组邻边相等
具有平行四边形的所有性质
特殊性质
对角线
边
轴对称图形(共19张PPT)
菱形的判定
1
北师版九年级上册
菱形的定义和性质？
说一说
复习导入
定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
边：四条边相等，对边平行.
角：对角相等.
对角线：对角线互相垂直平分.
复习导入
菱形
平行四边形
满足？条件
探究新知
根据菱形的定义，有一组邻边相等的平行四边形是菱形.除此之外，你认为还有什么条件可以判断一个平行四边形是菱形？先想一想，再与同伴交流.
菱形
平行四边形
满足？条件
对角线
边
角
探究菱形的判定条件
平行四边形的对角线满足什么条件时，它就是菱形了？
猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
你能证明吗？
已知:如图,在□ABCD 中,对角线 AC 与 BD 交于点 O,
AC⊥BD. 求证: □ABCD 是菱形
证明:∵四边形 ABCD 是平行四边形
∴OA = OC
又∵AC⊥BD
∴BD是线段 AC 的垂直平分线
∴BA = BC
∴四边形 ABCD 是菱形(菱形定义)
定理
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
AC⊥BD，
∴四边形 ABCD是菱形。
已知线段AC，你能用尺规作图的方法作一个菱形ABCD，使AC为菱形的一条对角线吗？
议一议
如图，分别以 A，C 为圆心，以大于 AC 为半径作弧，两弧交于 B、D，依次连接 A，B，C，D，四边形 ABCD 看上去是菱形.
菱形
平行四边形
满足？条件
对角线
边
角
探究菱形的判定条件
平行四边形的边满足什么条件时，它就是菱形了？
猜想：四边相等的四边形是菱形.
已知：如图，在四边形 ABCD 中 AB=BC=CD=DA,
求证：四边形 ABCD 是菱形。
证明：∵AB=CD，BC=DA,
∴四边形 ABCD 是平行四边形，
又∵AB = BC，
∴四边形 ABCD 是菱形（菱形的定义）
定理
四边相等的四边形是菱形.
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
AB=BC=CD=DA，
∴四边形 ABCD是菱形。
做一做
你能用折纸等办法得到一个菱形吗？动手试一试！
例2 已知：如图，在□ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AB = ，OA=2，OB=1.
求证：□ABCD 是菱形.
证明：在△AOB 中，
∵AB = ，OA=2，OB=1，
∴AB2 = AO2 + OB2.
∴△AOB 是直角三角形，∠AOB 是直角.
∴AC⊥BD.
∴□ABCD 是菱形（对角线垂直的平行四边形是菱形）.
1.画一个菱形，使它的两条对角线的长分别为 4 cm 和 6 cm.
[教材P7 随堂练习]
达标检测
（1）作AC=6cm，取AC的中点O,
（2）作BD⊥AC，OB=OD=2cm，
（3）依次连接点A，B，C，D.
2.已知：如图，在□ABCD 中，对角线 AC 的垂直平分线分别与 AD，AC，BC 相交于点 E，O，F. 求证：四边形 AFCE 是菱形.
[教材P7 习题1.2 第1题]
证明：在□ABCD 中，AD∥BC，即 AE∥FC.
又∵EF为 AC 的垂直平分线，
∴AC⊥EF，AO = OC，
即∠AOE=∠COF=90°，∠EAO=∠FCO.
∴△FOC≌△EOA，即AE=FC.
∴四边形 AFCE 为平行四边形.
又∵AC⊥EF，∴四边形 AFCE 是菱形.
3.已知：如图，在菱形ABCD 中，对角线 AC与 BD 相交于点 O ，点 E，F，G，H 分别是 OA，OB，OC，OD 的中点. 求证：四边形 EFGH 是菱形.
[教材P7 习题1.2 第2题]
证明：∵四边形 ABCD 是菱形，∴AD CB，AC⊥BD.
又点E，F，G，H 分别为 OA，OB，OC，OD 的中点，
∴HE∥AD且 HE= AD，FG∥BC且 FG = BC，
∴HE GF，即四边形 EFGH 为平行四边形.
又∵AC⊥BD，∴四边形 EFGH 是菱形.
∥
=
∥
=
4.如图，在四边形纸片 ABCD 中，AD∥BC，AD > CD，将纸片沿过点 D 的直线折叠，使点 C 落在 AD 上的点 C′ 处，折痕 DE 交 BC 于点 E，连接 C′E. 你能确定四边形 CDC′E 的形状吗？证明你的结论.
[教材P7 习题1.2 第3题]
四边形 CDC′E 是菱形.
证明：连接 CC′ ，交 DE 于点 O.
由题意可知，OC=OC′，CD=C′D，CE=C′E.
又∵AD∥BC，∠EOC=∠DOC′，
∴△COE≌△C′OD，即 EC=C′D.
又∵C′D=CD，∴C′D=CD=EC=C′E，
∴四边形 CDC′E 是菱形.
课堂小结
菱形的判定定理
菱形的定义
有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
四边相等的四边形是菱形.(共16张PPT)
菱形的性质与判定的综合运用
北师版九年级上册
情景导入
如图所示：在□ABCD 中添加一个条件使其成为菱形：
添加方式1：_________________ .
添加方式2：_________________ .
一组邻边相等
AC⊥ BD
☆回忆：菱形有哪些判定？
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
四边相等的四边形是菱形.
新课导入
例3 如图，四边形ABCD 是边长为 13cm 的菱形，其中对角线 BD 长为 10 cm.
求：(1)对角线 AC 的长度；
(2)菱形 ABCD 的面积.
解：(1)∵四边形 ABCD 是菱形，AC 与 BD 相交于点 E，
∴∠AED = 90°（菱形对角线互相垂直），
DE = BD = ×10 = 5（cm）（菱形对角线互相平分）.
∴AE = = = 12（cm）.
∴AC = 2AE = 2×12 = 24（cm）（菱形的对角线互相平分）.
(2) 菱形ABCD 的面积
= △ABD 的面积 + △CBD 的面积
= 2×△ABD 的面积
= 2 × × BD × AE
= 2 × × 10 × 12
= 120 （cm2）.
如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠部分 ABCD 是菱形吗？为什么？
做一做
证明：∵等宽纸条对边平行，
∴AD∥BC， AB∥CD，∴□ABCD 是平行四边形，
从 A点作AM⊥DC 交于点 M,
作AN⊥BC交于点 N,
∵是两张等宽的纸，∴AM = AN.
∵□ABCD 是平行四边形，∴∠ABN=∠ADM，
∵AM⊥DC ，AN⊥BC，∴∠ANB =∠AMD = 90°，
∴△ABN≌△ ADM，∴AB = AD,
∴四边形 ABCD 是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）
如图你能用一张锐角三角形纸片 ABC 折出一个菱形，使∠A成为菱形一个内角吗？
先沿着红色线对折，使AB与AC重合；
再沿着蓝色线对折；
最后沿着绿色线对折。
【选自教材P9 随堂练习 第1题】
达标检测
1.菱形 ABCD 的周长为 40 cm，它的一条对角线BD 长 10 cm.
（1）求这个菱形的每一个内角的度数；
（2）求这个菱形另一条对角线的长.
解：（1）∵菱形 ABCD 的周长为 40 cm，
∴AB = BC = CD = DA = 10（cm）,
又∵BD = 10（cm），
∴△ABD是等边三角形，
∴∠BAD = 60°，∴∠BCD = 60°，
∠ABC =∠CDA = 120°.
【选自教材P9 随堂练习 第1题】
1.菱形 ABCD 的周长为 40 cm，它的一条对角线BD 长 10 cm.
（1）求这个菱形的每一个内角的度数；
（2）求这个菱形另一条对角线的长.
（2）∵△AEB是直角三角形，
AB =10（cm），BE = 5（cm），
AE = = = （cm）.
AC = 2AE = （cm）
【选自教材P9 随堂练习 第2题】
2. 已知，如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，∠BAC = 60°，
BC 的垂直平分线分别交 BC 和 AB 于点 D、E，点 F 在 DE 延长线上，且 AF = CE, 求证：四边形 ACEF 是菱形.
证明：由题意知，∠BCA=90°，∠BAC=60°.
又∵ DE 为 BC 垂直平分线，
∴ DF∥AC，∠ECD=∠B=30°，即∠ECA=60°，∴CA = CE =AE.
又∵AF = CE，∴AF = AE.
∵∠FEA =∠EAC= 60°=∠F，∴ EF = AF = AE，
∴AF=EF=CE=CA，∴四边形 ACEF 是菱形.
【选自教材P9 习题1.3 第1题】
3.已知：如图，在菱形 ABCD 中，E、F 分别是 AB 和 BC 上的点，且 BE = BF，
求证：(1)△ADE≌CDF； (2) ∠DEF=∠DFE.
证明: (1)在菱形ABCD中, ∠C=∠A,
AD = DC = BC = AB.
∵BE = BF ,∴AE = CF,
∴△ADE≌△CDF .
(2)由(1)可知, DE = DF.
∴∠DEF =∠DFE.
【选自教材P9 习题1.3 第2题】
4. 证明：菱形的面积等于其对角线长的乘积的一半.
证明: 如图，∵四边形 ABCD为菱形.
∴AC⊥BD，AO = CO，BO = DO.
∵S菱形ABCD = S△AOB + S△BOC + S△COD + S△DOA
= OA·OB + OB ·OC + OC ·OD + OD ·OA
= OB ·AC + OD ·AC
= AC ·BD，
即菱形的面积等于其对角线乘积的一半.
【选自教材P9 习题1.3 第3题】
5. 如图，在菱形 ABCD ，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，且 AC = 16，BD = 12，求菱形 ABCD 的高 DH .
解: ∵ AB·DH = AC·BD，
而 AC = 16，BD = 12，AB = 10，
∵ DH = ×16×12÷10 = 9.6.
【选自教材P9 习题1.3 第4题】
6. 已知：如图，在四边形 ABCD 中，AD = BC，点 E，F，G，H 分别是 AB，CD，AC，BD 的中点. 求证：四边形 EGFH 是菱形.
证明: ∵点 E, F, G, H 分别是 AB, CD, AC, BD 的中点,
∴FG＝EH ＝ AD , GE ＝ HF ＝ BC．
∵AD ＝ BC, ∴ FG ＝ GE＝ EH ＝ HF．
∴四边形 EGFH 是菱形．
课堂小结
菱形的面积等于其对角线乘积的一半.
有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
四边相等的四边形是菱形.
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
菱形的定义
定理
定理
面积
