2021-2022学年苏科版数学九年级下册6.4探索三角形相似的条件课时练习（Word版含答案）

探索三角形相似的条件
一、单选题
1．如图，在三角形纸片ABC中，，，，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似的是（　　）
A． B．
C． D．
2．如图，甲、乙中各有两个三角形，其边长和角的度数如图上标注，则对甲、乙中两个三角形，下列说法正确的是（　　）
A．都相似 B．都不相似
C．只有甲中两个三角形相似 D．只有乙中两个三角形相似
3．如图，下列不能判定与相似的是（　　）
A． B． C． D．
4．下列说法，其中正确的有（　　）
①各有一个角是60°的两个等腰三角形相似；
②各有一个角是80°的两个等腰三角形相似；
③各有一个角是100°的两个等腰三角形相似；
④两边成比例的两个等腰三角形相似．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，是平行四边形ABCD的对角线BD上一点，AM的延长线交BC于点，交DC的延长线于点，图中相似三角形有（　　）
A．6对 B．5对 C．4对 D．3对
6．如图，，，AE、FD分别交BC于点G、H，则图中的相似三角形共有（　　）
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
7．如图，在△ABC中，∠A＝60°，AB＝4，AC＝6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，有如下几种剪法，其中满足剪下的阴影三角形与△ABC相似的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，和中，，则添加下列条件后无法判定的是（　　）
A． B． C． D．
9．如图， 已知在 中， 点 在边 上， 那么下列条件中 不能判定 的是（　　）
A． B．
C． D．
10．如图，P是直角△ABC斜边AB上任意一点（A，B两点除外），过点P作一条直线，使截得的三角形与△ABC相似，这样的直线可以作（　　）
A．4条 B．3条 C．2条 D．1条
11．在△ABC中，∠ACB＝90°，用直尺和圆规在AB上确定点D，使△ACD∽△CBD，根据作图痕迹判断，正确的是（　　）
A． B． C． D．
12．如图，四边形是正方形，是边的中点，是边上的一动点，下列条件中，，△ABP不与△ECP相似的是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．如图，在中，，若，，则的长为______cm．
14．如图，△ABC中，点D在边AB上，要使△ABC∽△ACD，添加一个条件是_______．（一种即可）
15．如图，AD是的中线，是AD的中点，BE的延长线交AC于点，那么______．
16．如图，在RtABC中，∠C=90°，∠A=60°，点P是AC的中点，若过点P的任意直线m截得的三角形与原ABC相似，那么这样的直线m的条数是___________．
三、解答题
17．如图，在△ABC和△ACD 中，AD⊥CD于点D，AC⊥BC于点C．请再添加一个条件，使，并加以证明．
18．如图，已知∠EAC＝∠DAB，∠D＝∠B，求证：△ABC∽△ADE．
19．如图，中，， 于， 平分交于，交于．求证：
20．如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB＝AC，四边形ABCD是平行四边形，边CD与⊙O交于点E，连接AE．
(1)求证△ABC∽△ADE；
(2)求证：AD是⊙O的切线．
21．如图，在中，，，，将沿着图示中虚线剪开，使剪下的小三角形与相似，下面有四种不同的剪法．
(1)请选择其中一种正确的剪法______（填序号）；
(2)写出所选剪法中两个三角形相似的证明过程．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
解：在三角形纸片ABC中，AB＝9，AC＝6，BC＝12．
A．因为 ，对应边， ，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；
B．因为 ，对应边，又∠A＝∠A，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似，故此选项正确；
C．因为 ，对应边，即：，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；
D、因为 ，对应边， ，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；
故选：B．
2．C
解：∵甲中两个三角形的两个内角分别为75°、35°和70°、75°，
∴两个三角形的另一个内角的度数分别为70°和35°，
∴两个三角形的三个内角分别对应相等，
∴甲中两个三角形相似，
∵，
∴乙中两个三角形不相似，
∴只有甲中两个三角形相似，
故选：C．
3．A
解：虽然，但∠ABD≠∠C，
∴△ABD与△ACB不相似，
∴选项A符合；
∵，∠A＝∠A，
∴△ABD∽△ACB，
∴选项B不符合；
∵∠ABD＝∠C，∠A＝∠A，
∴△ABD∽△ACB，
∴选项C不符合；
∵∠ADB＝∠ABC，∠A＝∠A，
∴△ABD∽△ACB，
∴选项D不符合.
故选：A．
4．B
解：各有一个角是60°的两个等腰三角形都为等边三角形，它们相似，所以①正确；
顶角为80度的等腰三角形与底角为80度的等腰三角形不相似，所以②错误；
各有一个角是100°的两个等腰三角形的底角都为40度，它们相似，所以③正确；
两边成比例的两个等腰三角形不相似，所以④错误．
故选B．
5．A
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ， ， ，
∵，
∴ ，
∵，
∴
∴，
则图中相似三角形有6对，它们分别是：，，，
故选：A．
6．D
解：∵，，
∴△BFH∽△BAG，
△BAG∽△CEG，
△BFH∽△CEG，
△BFH∽△CDH，
△CEG∽△CDH，
△CDH∽△BAG.
∴相似三角形共有6对.
故选C.
7．C
解：如图1，过点作于点，
，
，
，
，
，
在和中，，但或者，但，
则与不相似；
如图2，，
，
在和中，，
；
如图3和图4，剪下的阴影三角形均与有一组公共角，还有一组大小均为的相等的角，
所以图3和图4中，剪下的阴影三角形均与相似；
综上，满足剪下的阴影三角形与相似的个数是3个，
故选：C．
8．D
解：∵，，
∴ ，
故选项A不符合题意；
∵，，
∴，
故选项B不符合题意；
∵，，
∴，
故选项C不符合题意；
∵，但不一定相等，
∴不一定相似，
则添加条件后无法判定；
故选项D符合题意．
故选D．
9．A
解：而不一定相等，不能判断，故A符合题意；
，
而
故B不符合题意；
，
故C不符合题意；
，
故D不符合题意；
故选A
10．B
解：如图，过点P可作PE∥BC或PE″∥AC，
∴△APE∽△ABC、△PBE″∽△ABC；
过点P还可作PE′⊥AB，可得：∠EPA＝∠C＝90°，∠A＝∠A
∴△APE∽△ACB；
∴满足这样条件的直线的作法共有3种．
故选：B
11．C
解：当CD是AB的垂线时，△ACD∽△CBD．
∵CD⊥AB，
∴∠CDA＝∠BDC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ACD＝∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
∴△ACD∽△CBD．
根据作图痕迹可知，
A选项中，CD是∠ACB的角平分线，不符合题意；
B选项中，CD不与AB垂直，不符合题意；
C选项中，CD是AB的垂线，符合题意；
D选项中，CD不与AB垂直，不符合题意；
故选C．
12．A
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=90°，AB=CD=BC，
∵E是CD的中点，
∴CE:CD=1:2，
即CE:AB=1:2，
A、∵BP=PC，
∴BP=PC=BC，
没办法判定△ABP与△ECP中各边成比例，故A错误；
B、∵∠APE=90°，
∴∠APB+∠CPE=90°，
∵∠BAP+∠APB=90°，
∴∠BAP=∠CPE，
∴△ABP∽△PCE，故B正确；
C、∵∠APB=∠EPC，
∴△ABP∽△EPC，故C正确；
D、∵BP=2PC，
∴PC:BP=1:2，
∴PC:BP=CE:AB=1:2，
∴△ABP∽△PCE，故D正确．
故选：A．
13．4
解：∵，
∴．
∵，，
∴，
解得：．
故答案为：4．
14．∠ACD=∠B或∠ADC=∠ACB或．
解：∵∠CAD =∠BAC，
根据两对角对应相等的两个三角形相似，可添加∠ACD=∠B或∠ADC=∠ACB，
∵∠CAD =∠BAC，∠ACD =∠B；
∴△ACD∽△ABC．
∵∠CAD =∠BAC，∠ADC =∠ACB；
∴△ACD∽△ABC．
根据两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似，可添加，
∵，∠CAD =∠BAC，
∴△ACD∽△ABC．
∴当∠ACD=∠B或∠ADC=∠ACB或时，△ACD∽△ABC．
故答案为：∠ACD=∠B或∠ADC=∠ACB或．
15．##1:2
解：过D作BF的平行线，交AC边于G，如下图所示：
∵D为BC中点，DG∥BF，
∴∠CGD=∠CFB，
又∵∠C=∠C，
∴△CDG∽△CBF，
∴，即：CG=CF=FG，
又E为AD的中点，BE的延长线交AC于F，DG∥BF，
同理可得：△AEF∽△ADG，
∴，即：AF=AG=FG，
∴AF=FG=GC，
∴.
故答案为：．
16．4
解：∵是直角三角形，
∴只要创造出一个直角时，才能满足题目中的条件，有以下几种情况：
当时，可得相似三角形；
当时，可得相似三角形；
当时，可得相似三角形；
当时，可得相似三角形；
∴满足条件的直线m有4条；
故答案是4．
17．添加条件：AB//CD，证明见解析（答案不唯一）
解：添加条件：．
证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
18．见解析
解：∵∠EAC＝∠DAB，
∴∠EAC+∠DAC=∠DAB+∠DAC，即∠BAC=∠DAE，
又∵∠B=∠D，
∴△ABC∽△ADE．
19．见解析
解：∵△ABC中，∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAD=90°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠C+∠CAD=90°，
∴∠C=∠BAD，
∵FB平分∠ABC，
∴∠ABF=∠EBD，
∴．
20．(1)见解析 (2)见解析
(1)
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D．
∵四边形ABCE为⊙O的内接四边形，
∴∠B+∠AEC＝180°．
∵∠AED+∠AEC＝180°．
∴∠B＝∠AED．
∵AB＝AC，
∴AB＝∠ACB
∴∠ACB＝∠AED．
∴△ABC∽△ADE．
(2)
解：如图，连接AO并延长，交BC于点M，连接OB、OC．
∵AB＝AC，OB＝OC，
∴AM垂直平分BC．
∴∠AMC＝90°．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠DAO＝90°．
∵点A在⊙O上，
∴AD是⊙O的切线．
21．(1)①，③ (2)证明见解析
(1)
解：①剪下的角与原三角形有两个对应角相等，故两三角形相似，所以①正确；
②由题，，，，虽然，但无法确定夹角相等， 也无法确定DE与BC的比值，故 ，不相似，所以②错误．
③由题，，，，
∴，；
即，
∵是公共角．
∴
故③正确
④在，角形中有，但是无法确定，无法确定所以④错误．
故选：①，③
(2)
解：①∵，
∴
根据相似三角形的判定：两角分别对应相等的三角形是相似三角形
∴．
解：③∵，，，，
∴，；
即，
∵是公共角．
∴
根据相似三角形的判定：两别对应成比例，夹角相等的两个三角形相似．
答案第1页，共2页