2021-2022学年人教版（五四制）九年级数学下册34.1锐角三角函数课后提升（Word版含答案）

锐角三角函数
一、单选题
1．如图，在中，，，，下列三角函数表示正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．在直角中，已知，，求（　　）
A． B． C． D．
3．如图，中，，，则（　　）
A． B． C． D．
4．如图，△ABC是等边三角形，△BCD是等腰三角形，且BD＝CD，过点D作AB的平行线交AC于点E，若AB＝8，DE＝6，则BD的长为（　　）
A．6 B． C． D．
5．在网格中的位置如图所示（每个小正方形边长为1），于D，下列四个选项中，错误的是（　　）．
A． B． C． D．
6．如图，在菱形ABCD中，O、E分别是AC、AD的中点，连接OE，若AB＝10，AC＝12，则tan∠AOE的值为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在⊙O中，弦的长是，弦的弦心距为6cm，是⊙O优弧上一点．则的度数为（　　）
A．60° B．45° C．30° D．80°
8．如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AB=3，BC=2，tanA=，则CD的值为（　　）
A． B． C． D．2
9．如图，已知点E是矩形ABCD的对角线AC上一动点，正方形EFGH的顶点G，H都在边AD上，若AB＝4，BC＝5，则tan∠AFE的值（　　）
A． B． C． D．
10．如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C（0，2），B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则为（　　）
A． B． C． D．
11．如图，在反比例函数的图象上有一动点A，连接AO并延长交图象的另一支于点B，在第二象限内有一点C，满足AC=BC，当点A运动时，点C始终在函数的图象上运动，tan∠CAB=2，则k的值为（　　）
A．4 B．6 C．-6 D．-12
12．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，分别以点A和C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN交AC于点E，交BC于点F，若，则tan∠ACB的值为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
13．若，则锐角α为______度．
14．如图，4×4的正方形网格中，A、B、C、D为格点，连接AB、CD相交于点E，则tan∠AEC的值是 ___．
15．如图，平面直角坐标系中正方形ABCD，已知A（2，0），B（0，6），则sin∠COA＝__．
16．如图，在菱形ABCD中，于点E，与BD交于点F，若，则和的面积比为______．
17．如图，OA、OC都是⊙O的半径，点B在OC的延长线上，BA与⊙O相切于点A，连接AC，若AC＝4，tan∠BAC＝，则⊙O的直径长为_____．
三、解答题
18．计算：
(1)；
(2)．
19．如图，已知Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝6，AC＝4，以A为圆心，AB为半径画圆，与边BC交于另一点D．
(1)求BD的长；
(2)连接AD，求∠DAC的余弦值．
20．如图，点C在⊙O的直径AB的延长线上，点D是⊙O上一点，过C作EC⊥AC，交AD的延长线于E，连接DB，且CD＝CE．
(1)求证：DC与⊙O相切．
(2)若AB＝10，tan∠BDC＝，求CE的长．
21．如图，点D在⊙O上，过点D的切线交直径AB延长线于点P，DC⊥AB于点C.
(1)求证：DB平分∠PDC；
(2)若DC＝6，tan∠P＝，求BC的长．
22．如图1，四边形ABCD内接于，对角线 AC 是的直径，AB，DC 的延长线交于点E，．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)如图2，若BD平分，求的值；
(3)如图1，若，，求y与x的函数关系式．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
解：，，
， 故选项A错误；
，故选项B正确；
， 故选项C错误；
， 故选项D错误；
故选：B．
2．C
解：如图，在RtABC中，
∵，
∴设a=k，c=3k，
由勾股定理得：
∴．
故选：C．
3．D
解：∵，
∴．
∴．
故选：D．
4．B
解：连接AD交BC于点O，取AC中点N，连接ON，如图，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC＝8，∠ABC＝60°，
∵△BCD是等腰三角形，
∴BD＝DC，
∴AD垂直平分BC，
∴BO＝CO＝4，
∵AN＝CN，
∴ON＝AB＝4，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴OD＝AO，
∴tan∠ABO＝，即，
∴，
∴OD＝，
在Rt△BOD中，
，
故选：B.
5．C
解：观察图象可知，△ADB是等腰直角三角形，BD=AD=2，CD=1，
∴AB==2，AC==，
∴sinα=cosα=，故选项A正确；
tanC==2，故选项B正确；
tanα=1，故选项D正确；
∵sinβ==，cosβ=，∴sinβ≠cosβ，故选项C错误．
故选：C．
6．D
解：如图，连接OD，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD＝CD＝AB＝10．
∵O是AC的中点，
∴OD⊥AC，OA＝OCAC＝6，
由勾股定理得，OD，
∵O、E分别是AC、AD的中点，
∴OE是△ACD的中位线，
∴OE∥CD，
∴∠AOE＝∠ACD，
∴tan∠AOE＝tan∠ACD，
故选：D．
7．A
解：∵弦的长是，弦的弦心距OC为6cm，
∴OC⊥AB，AC=CB=AB=6（cm），OC=6cm，∠AOC=∠BOC，
，
∴∠AOC=∠BOC=60°，即∠AOB=120°，
∴∠AEB=∠AOB =60°，
故选：A．
8．C
解：延长AD、BC，两线交于O，
在Rt△ABO中，∠B=90°，tanA==，AB=3，
∴OB=4，
∵BC=2，
∴OC=OB-BC=4-2=2，
在Rt△ABO中，∠B=90°，AB=3，OB=4，
由勾股定理得：AO=5，
∵∠ADC=90°，
∴∠ODC=90°=∠B，
∵∠O=∠O，
∴△ODC∽△OBA，
∴，
∴，
解得：DC=，
故选：C．
9．D
解：∵EH∥CD，
∴△AEH∽△ACD．
∴，
∵AB＝CD＝4，BC＝AD＝5，
∴＝．
设EH＝4x，则AH＝5x，
∴HG＝GF＝4x．
∵EF∥AD，
∴∠AFE＝∠FAG，
∴tan∠AFE＝tan∠FAG＝＝．
故选：D．
10．D
解：
解：如图所示，设与x轴的另一个交点为D，连接CD，
∵，
∴是的直径，在中，，，
∴，
∴，
由圆周角定理可知，，
∴，
故选：D．
11．D
解：连接OC，作CM⊥x轴于M，AN⊥x轴于N，如图，
∵A、B两点为反比例函数与正比例函数的两交点，
∴点A、点B关于原点对称，
∴OA=OB，
∵CA=CB，
∴OC⊥AB，
在Rt△AOC中，tan∠CAO==2，
∵∠COM+∠AON=90°，∠AON+∠OAN=90°，
∴∠COM=∠OAN，
∴Rt△OCM∽Rt△AON，
∴4，
而S△OAN=×|3|=，
∴S△CMO=6，
∵|k|=6，
而k＜0，
∴k=-12．
故选：D．
12．D
解：连接AF．
由作图可知，MN垂直平分线段AC，
∴FA＝FC，
∵BF：FC＝3：5，
∴可以假设BF＝3k，CF＝AF＝5k，
∵∠B＝90°，
∴AB，
∴BC＝BF+CF＝8k，
∴tan∠ACB，
故选：D．
13．60
解：∵α为锐角，且cosα=0.5，
∴角α的度数为60°．
故答案为：60．
14．3
解：连接DB，连接格点D、F交AB于F，如图，
由网格图可知，DB＝DC，DB⊥DC，∠AEC＝∠BED，
∵DFAC，
∴，
∴，
∴tan∠AEC＝tan∠BED＝3．
故答案为：3．
15．##
解：如图，过点C作CE⊥y轴于E，
∵A（2，0），B（0，6），
∴OA＝2，OB＝6，
在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝90°，
∵∠ABO+∠CBE＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，
∴∠ABO＝∠BCE，
在△ABO和△BCE中，
，
∴△ABO≌△BCE（AAS），
∴OA＝BE＝2，CE＝OB＝6，
∴OE＝OB+BE＝6+2＝8，
在Rt△OCE中，，
∵CE⊥y轴，x轴⊥y轴，
∴CE∥x轴，
∴∠OCE＝∠COA，
∴sin∠COA＝sin∠OCE．
故答案为：．
16．
解：于，
，
，
可以假设，，则，
四边形是菱形，
，，
，
，
．
故答案为：．
17．
解：延长AO交⊙O于点D，连接CD，
∵BA与⊙O相切，
∴DA⊥AB，
∴∠DAC+∠BAC＝90°，
∵AD为⊙O的直径，
∴∠ACD＝90°，
∴∠DAC+∠D＝90°，
∴∠D＝∠BAC，
∵tan∠BAC＝，
∴tanD＝，即＝，
∵AC＝4，
∴CD＝12，
由勾股定理得，AD＝＝＝．
故答案为：．
18．(1) (2)
解：(1)
(2)
19．(1) (2)
解：(1)过点A作AH⊥BD于H，如图1所示：
∵Rt△ABC，∠BAC＝90°，BC＝6，AC＝4，
∴AB＝＝＝2，
∵AB AC＝BC AH，
∴AH＝＝＝，
∴BH＝＝＝，
∵AH⊥BD，
∴BH＝HD＝，
∴BD＝；
(2)过点D作DM⊥AC于M，如图2所示：
由（1）得：AH＝，BD＝，AB＝2，
∴AD＝AB＝2，CD＝BC﹣BD＝6﹣＝，
∵AH CD＝DM AC，
∴DM＝＝＝，
在Rt△ADM中，由勾股定理得：AM＝＝＝，
∴cos∠DAC＝＝＝．
20．(1)见解析 (2)
(1)
证明：连接OD，
∵CE⊥AC，
∴∠ACE＝90°，
∴∠A+∠E＝90°，
∵CD＝CE，
∴∠E＝∠CDE，
∴∠A+∠CDE＝90°，
∵OA＝OD，
∴∠A＝∠ADO，
∴∠ADO+∠CDE＝90°，
∴∠ODC＝90°，
∴OD⊥DC，
∴DC与⊙O相切；
(2)
解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠A+∠ABD＝90°，
又∵∠BDC+∠ODB＝90°，
∴∠BDC＝∠A，
∵∠BCD＝∠ACD，
∴△BCD∽△DCA，
∴，
∵tan∠BDC＝tan∠A＝，
设CB＝x，则CD＝2x，
∴CD2＝CB CA，
∴，
∴x＝，
∴CD＝CE＝．
21．(1)见解析 (2)3
证明：(1)如图，连接OD，
∵PD是切线，
∴OD⊥PD，
∴∠ODP=90°，
∴∠ODB+∠PDB=90°.
∵CD⊥BC，
∴∠CDB+∠DBC=90°.
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠OBD，
∴∠CDB=∠PDB，
∴DB平分∠PDC.
(2)作BE⊥PD，如图.
∵DB平分∠PDC，BC⊥CD，BE⊥PD，
∴BC=BE.
在Rt△PDC中，，
∴PC=8，
∴.
设BC=x，则BE=x，PB=8-x.
∵∠EPB=∠CPD，
∴，
∴，
即，
解得x=3.
所以BC的长为3.
22．(1)见解析 (2) (3)
解：(1)如图1，∵，
∴，
∵四边形ABCD内接于，
∴，
∵，
∴，；
(2)如图2，作于F，
设，
∵AC为直径，
∴，，，
由（1）得，
∵，∴，，
∵，
∴；
(3)如图1，过B作于F，
设，，由（1）知
∵，
∴，
，，
∵，
∴，
，，，
∵，
∴，
即，即，
∵，
∴
答案第1页，共2页