甘肃省天水市一中2012-2013学年高二上学期第二学段考试数学试题

天水一中2011级2012-2013学年第一学期第二学段考试
数学试题
命题：张莉娜 审核：蔡恒录
一、选择题（每小题5分，共60分，每小题只有一个正确答案）
1、若命题“”为假，且为假，则（ ）
“”为假 为假 为假 为真
2．命题“存在”的否定是（ ）
.不存在 .存在
.对任意的 .对任意的
3.“”是“方程”表示双曲线的（ ）
.充分不必要条件 .必要不充分条件
.既不充分也不必要条件 .充要条件
4 .抛物线 的焦点坐标是 ( )
. . . .
5. 设，若，则（ ）
. . . .
6.双曲线的渐近线方程为（ ）
. . . .
7.函数，的最大值是（ ）
. B.-1 .0 .1
8．函数在点处的切线方程是（ ）
. . . .
9．已知两点、，且是与的等差中项，则动点的轨迹方程是( ）
. . ． ．
10．椭圆上一点与椭圆的两个焦点的连线互相垂直，则的面积为（ ）
.20 .22 .24 .25
11.若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则的值为（ ）
． . . .
12.如图是导函数的图像，在标记的点（ ）处 ，函数有极大值
. . .
二、填空题 （每小题5分，共20分）
13．有下列四个命题：
①、若，则
②、命题“面积相等的三角形全等”的否命题；
③、命题“若，则有实根”的逆否命题；
④、命题“若，则”的逆否命题。
其中是真命题的是 .
14.是过C:焦点的弦，且,则中点的横坐标是_____.
15．函数是上的单调函数，则的取值范围为 .
16．函数在上的极大值为_________________。
三．解答题 （本大题共70分）
17.（本小题满分10分）求下列函数的导数
（1） （2）
18.（本小题满分12分）一过双曲线的右焦点,倾斜角为的直线交双曲线于两点，求
19.（本小题满分12分）已知函数在及处取得极值．
(1)求、的值；
(2)求的单调区间.
20．（本小题满分12分）设函数
（1）求函数的极值
（2）若关于的方程有三个不同的根，求实数的取值范围
21.（本小题满分12分）如图，分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆的顶点，是直线与椭圆的另一个交点，

求椭圆的离心率
已知的面积为，求的值
22.（本小题满分12分）抛物线的焦点为， 在抛物线上，且存在实数，使
（1）求直线的方程
（2）求的外接圆的方程
天水一中2011级2012-2013学年第一学期第二学段考试数学答案
一、选择题
DBADB DCBBA CA
二、填空题
13． 14。—1 15. 8 16. （0，）
三、解答题
17.略
18. （1）根据已知中的离心率和矩形的面积得到a,b,c的方程，进而求解椭圆方程。
（2）将已知中的直线方程与椭圆方程联立方程组，结合韦达定理得到根与系数的关系，那么得到弦长公式，同时以及得到点S,T的坐标，进而得到比值。
(I)……①
矩形ABCD面积为8，即……②
由①②解得：， ∴椭圆M的标准方程是.
(II)，
设，则，
当 .
当时，有，
，
其中，由此知当，即时，取得最大值.
考点：本试题主要考查了椭圆方程的求解以及直线与椭圆位置关系的综合运用。
点评：解决该试题的关键是运用代数的方法来解决解析几何问题时，解析几何的本质。能结合椭圆的性质得到其方程，并联立方程组，结合韦达定理和判别式的到比值。
19（Ⅰ）证明AF⊥平面PCD，利用线面垂直的判定定理，只需证明AF⊥PD，CD⊥AF即可；
（Ⅱ）证明∠PBF为直线PB与平面ABF所成的角，求出PF，BF的长，即可得出结论．
(Ⅰ)证明:如图,由是正三角形,为中点,所以,又因为平面平面,
且面面; 又底面为正方形,即 所以平面,而平面, 所以,且, 所以平面.………………6分;
(Ⅱ)由(Ⅰ)证明可知,平面,所以平面
所以,又由(Ⅰ)知,且,所以平面,
即为直线与平面所成的角…………………9分
且,易知,中,,
所以,即求.………………12分
考点：本题考查线面垂直，考查线面角，属于中档题．
点评：解题的关键是正确运用线面垂直的判定，作出线面角.
20. （1）根据椭圆的性质可知焦点坐标得到c的值，然后结合点在椭圆上得到a,b的关系式，进而求解椭圆方程。（2）根据题意设出直线方程，那么与椭圆联立方程组，结合韦达定理得到弦长公式。
（Ⅰ）因为椭圆的左焦点为，所以，点代入椭圆，得，即，所以，所以椭圆的方程为.
（Ⅱ）直线的方程为，
，消去并整理得，，
==，
考点：本试题主要考查了椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想。
点评：解决该试题的关键是能够熟练的利用a,b,c的关系式，求解椭圆的方程，以及能运用设而不求的思想，设点，接和韦达定理表示出弦长公式。
21. （1）根据题意要证明∥平面，只要证明即可得到。
（2）要证明线面垂直只要证明一条直线垂直于平面内的两条相交直线即可得到。
（1）证明：、分别为侧棱、的中点，
（2）
,又,平面考点：本试题主要考查了直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定的应用，考查逻辑推理能力．
点评：解决该试题的关键是熟练利用线面垂直的判定定理和线面平行的判定定理得到结论。
注意性质定理和判定定理的互相的转化运用。
22. （Ⅰ）抛物线的准线方程为．
∵，∴A，B，F三点共线．由抛物线的定义，得||=…1分
设直线AB：，而
由得．
∴||== ．∴．
从而，故直线AB的方程为，即
（2）由 求得A（4，4），B（，－1）
设△AOB的外接圆方程为，则
解得
故△AOB的外接圆的方程为．
考点：本试题主要考查了直线与抛物线的综合问题．考查综合运用能力．
点评：解决该试题的关键是能根据向量的工具性得到D,F,E三点共线，然后结合根与系数的关系得到参数的值。