柳州铁一中2013届高三年级第七次周考数学(理科)试卷
第卷 选择题(共60分)
一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.若复数满足,则的值等于( )
A.1 B. C. D.
2. 设集合,对任意实数恒成立},则下列关系中成立的是( )
A. B. C. D.
3. 设命题p:,命题q:,若是的必要非充分条件,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
4. 已知直线平面,直线平面,那么下列四个结论:①;②;③;④,其中正确结论的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
5. 设甲、乙两队以“五局三胜”制进行比赛,甲胜乙的概率为,现乙胜第一局,在这种情况下甲取胜的概率是( )
A. B. C. D.
6. 设是连续函数,则的取值是( )
A. B.1 C.2 D.
7. 已知的展开式中各项系数的和为128,则展开式中的系数是( )
A.21 B.35 C.56 D.84
8. 已知椭圆的准线方程为,直线:与该椭圆的交点在轴上的射影恰为椭圆的焦点,则该椭圆的方程是( )
A. B. C. D.
9. 已知A、B是圆C:上的两点,且弦长,点C为圆心,则
A.0 B. C. D.
10. 设等比数列的公比为,前项和为,若、、成等差数列,则( )
A.1 B. C.或 D.1或
11. 已知函数,下列命题正确的是( )
A.解析式看化为:
B.的最小正周期是
C.的图象关于点对称 21世纪教育网
D.当取得最大值时,自变量的集合是
12.如图所示的几何体是由一个正三棱锥P—ABC与正三
棱柱ABC—A1B1C1组合而成,现用3种不同颜色对这个几
何体的表面染色(底面A1B1C1不涂色),要求相邻的面均不
同色,则不同的染色方案共有( )
A.24种 B.18种 C.16种 D.12种
二.填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13. 在正三棱柱中,,且D为的中点,则AD与面所成角的余弦值是___________.
14. 已知函数在内有且只有一个极值点,则实数的取值范围是 .
15. 设分别是双曲线的左、右两焦点,若线段被抛物线的焦点分成两线段满足,则该双曲线的离心率是 .
16. 已知函数满足,则不等式的解集为 .
三.解答题:(本大题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)已知△ABC的外接圆的半径为3,面积S和三边满足,且
,A、B、C分别为三边a、b、c所对的角。
(1)求;(2)求面积S的最大值。
18.(12分)从网上查知,某珍稀植物种子在一定条件下发芽成功的概率为,某校研究性学
习小组进行验证性实验.若每次只种一粒种子,
(1)求他们实验5次,至少成功4次的概率;
(2)如果实验成功就停止,否则将继续进行下次实验,但实验次数最多不超过4次,求他们所做实验次数的概率分别列和数学期望E.
21世纪教育网
19.(12分)如图底面ABCD为梯形,AD∥BC、∠ABC, ,
平面ABCD,且.
(1)求二面角A-PD -C的大小;
(2)在线段AD上是否存在一点F,使点A到平面PCF
的距离为?
20.(12分)已知向量,,,,且,,,设点的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程;
(2)设直线l:与曲线C交于两点A、B,求当k为何值时,以AB为直径的圆过原点.
21.(12分)已知函数,是偶函数,直线l与函数、的图象都相切,且直线l与函数图象相切的切点的横坐标为1.
(1)求直线l的方程及的解析式;
(2)若方程有4个实数解,求实数的取值范围.
22.(12分)已知数列中,,其前项和为,与2的等差中项等于与2的等比中项.
⑴ 写出数列的前三项,由此推测数列的通项公式,并用数学归纳法加以证明;
⑵ 设,求的值.
参考答案
一. DBABC ABCCB DD
二.13. 14. 15. 16.
三.17. 解:(1)由已知及余弦定理得:,
又 ∵ ∴ ,
代入得:
(2)∵,由正弦定理得:,,
, ∴ ,当且仅当时取等号,
∴ ,即面积S的最大值是.
18. 解:(1) 他们实验5次,至少成功4次的概率为
(2)实验次数ξ的取值可以是1,2,3,4,对应的概率分别是:
,,,
故实验次数ξ的概率分布列为:
ξ
1
2
3
4
P
数学期望
19. 解:(1)在梯形ABCD中,过C作CH⊥AD于D,,
∴
故:,
建立坐标系如图所示,则:,
,,,
,
平面APD的一个法向量为,设平面CPD
的一个法向量为,则:
,设,则:
∴ ,
,
即所求二面角A-PD -C的大小为.
(2)假设存在,设,平面PCF的一个法向量为,
,则:,设,则:,
∴ ,又 ,
则点A到平面PCF的距离为:
20. 解:(1)
, ∵
∴,即曲线C的方程为
(2) 由 得
则: 得 ①
设,,则, ②
∵ ∴ , 即:
,将②代入,解得,满足①
∴ 时, 以AB为直径的圆过原点.
∴ 在线段AD上是否存在一点F,且满足题设.
21. 解:(1)由已知是偶函数,,又,故直线l的斜率:
,且与函数图象相切的切点坐标为,∴直线l的方程为:.
又直线l与的图象相切,由,
∴ ,从而 21世纪教育网
(2)设,
令或,
同理或
∴ 在递增,在递减,
在递增,在递减,
在或时,取得极大值,
在时,取得极小值,且,其图象大致如图所示,
∴ 当时,方程有4个实数解.
22. 解:(1)由已知得:,,
当时,, ∴
同理,,,
由此推测,数列的通项公式为:
下面用数学归纳法证明: 当时,结论成立已证;
假设当时,结论成立,即:,
又,故
∴ ,又, ∴ ,
即当时,结论也成立,
根据、可知,对一切结论都成立.
(2)
∴
∴ 21世纪教育网
柳州铁一中2013届高三年级第七次周考数学(理科)试卷
第卷 选择题(共60分)
一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.若复数满足,则的值等于( )
A.1 B. C. D.
2. 设集合,对任意实数恒成立},则下列关系中成立的是( )
A. B. C. D.
3. 设命题p:,命题q:,若是的必要非充分条件,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
4. 已知直线平面,直线平面,那么下列四个结论:①;②;③;④,其中正确结论的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
5. 设甲、乙两队以“五局三胜”制进行比赛,甲胜乙的概率为,现乙胜第一局,在这种情况下甲取胜的概率是( )
A. B. C. D.
6. 设是连续函数,则的取值是( )
A. B.1 C.2 D.
7. 已知的展开式中各项系数的和为128,则展开式中的系数是( )
A.21 B.35 C.56 D.84
8. 已知椭圆的准线方程为,直线:与该椭圆的交点在轴上的射影恰为椭圆的焦点,则该椭圆的方程是( )
A. B. C. D.
9. 已知A、B是圆C:上的两点,且弦长,点C为圆心,则
A.0 B. C. D.
10. 设等比数列的公比为,前项和为,若、、成等差数列,则( )
A.1 B. C.或 D.1或
11. 已知函数,下列命题正确的是( )
A.解析式看化为:
B.的最小正周期是
C.的图象关于点对称 21世纪教育网
D.当取得最大值时,自变量的集合是
12.如图所示的几何体是由一个正三棱锥P—ABC与正三
棱柱ABC—A1B1C1组合而成,现用3种不同颜色对这个几
何体的表面染色(底面A1B1C1不涂色),要求相邻的面均不
同色,则不同的染色方案共有( )
A.24种 B.18种 C.16种 D.12种
二.填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13. 在正三棱柱中,,且D为的中点,则AD与面所成角的余弦值是___________.
14. 已知函数在内有且只有一个极值点,则实数的取值范围是 .
15. 设分别是双曲线的左、右两焦点,若线段被抛物线的焦点分成两线段满足,则该双曲线的离心率是 .
16. 已知函数满足,则不等式的解集为 .
三.解答题:(本大题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)已知△ABC的外接圆的半径为3,面积S和三边满足,且
,A、B、C分别为三边a、b、c所对的角。
(1)求;(2)求面积S的最大值。
18.(12分)从网上查知,某珍稀植物种子在一定条件下发芽成功的概率为,某校研究性学
习小组进行验证性实验.若每次只种一粒种子,
(1)求他们实验5次,至少成功4次的概率;
(2)如果实验成功就停止,否则将继续进行下次实验,但实验次数最多不超过4次,求他们所做实验次数的概率分别列和数学期望E.
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19.(12分)如图底面ABCD为梯形,AD∥BC、∠ABC, ,
平面ABCD,且.
(1)求二面角A-PD -C的大小;
(2)在线段AD上是否存在一点F,使点A到平面PCF
的距离为?
20.(12分)已知向量,,,,且,,,设点的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程;
(2)设直线l:与曲线C交于两点A、B,求当k为何值时,以AB为直径的圆过原点.
21.(12分)已知函数,是偶函数,直线l与函数、的图象都相切,且直线l与函数图象相切的切点的横坐标为1.
(1)求直线l的方程及的解析式;
(2)若方程有4个实数解,求实数的取值范围.
22.(12分)已知数列中,,其前项和为,与2的等差中项等于与2的等比中项.
⑴ 写出数列的前三项,由此推测数列的通项公式,并用数学归纳法加以证明;
⑵ 设,求的值.
参考答案
一. DBABC ABCCB DD
二.13. 14. 15. 16.
三.17. 解:(1)由已知及余弦定理得:,
又 ∵ ∴ ,
代入得:
(2)∵,由正弦定理得:,,
, ∴ ,当且仅当时取等号,
∴ ,即面积S的最大值是.
18. 解:(1) 他们实验5次,至少成功4次的概率为
(2)实验次数ξ的取值可以是1,2,3,4,对应的概率分别是:
,,,
故实验次数ξ的概率分布列为:
ξ
1
2
3
4
P
数学期望
19. 解:(1)在梯形ABCD中,过C作CH⊥AD于D,,
∴
故:,
建立坐标系如图所示,则:,
,,,
,
平面APD的一个法向量为,设平面CPD
的一个法向量为,则:
,设,则:
∴ ,
,
即所求二面角A-PD -C的大小为.
(2)假设存在,设,平面PCF的一个法向量为,
,则:,设,则:,
∴ ,又 ,
则点A到平面PCF的距离为:
20. 解:(1)
, ∵
∴,即曲线C的方程为
(2) 由 得
则: 得 ①
设,,则, ②
∵ ∴ , 即:
,将②代入,解得,满足①
∴ 时, 以AB为直径的圆过原点.
∴ 在线段AD上是否存在一点F,且满足题设.
21. 解:(1)由已知是偶函数,,又,故直线l的斜率:
,且与函数图象相切的切点坐标为,∴直线l的方程为:.
又直线l与的图象相切,由,
∴ ,从而 21世纪教育网
(2)设,
令或,
同理或
∴ 在递增,在递减,
在递增,在递减,
在或时,取得极大值,
在时,取得极小值,且,其图象大致如图所示,
∴ 当时,方程有4个实数解.
22. 解:(1)由已知得:,,
当时,, ∴
同理,,,
由此推测,数列的通项公式为:
下面用数学归纳法证明: 当时,结论成立已证;
假设当时,结论成立,即:,
又,故
∴ ,又, ∴ ,
即当时,结论也成立,
根据、可知,对一切结论都成立.
(2)
∴
∴ 21世纪教育网