广西柳铁一中2013届高三上学期第八次周考数学理试题

柳州铁一中2013届高三年级第八次周考数学（理科）试卷
第Ⅰ卷 选择题 （ 共60分）
选择题：
1．设复数的共轭复数为，若（为虚数单位）则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．函数的反函数是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知实数x、y满足：则z＝|x+2y－4|的最大值（ ）
A．18 B．19 C．20 D．21
4．如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，将△ADE与
△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则三棱锥P—DCE的外接球的体积为（ ）
A． B．
C． D．
5．设，其中成公比为q的等比数列，成公差为1的等差数列，则q的最小值是（ ）
A. B. C. D.
6．若抛物的焦点与椭圆的右焦点重合，则p的值为（ ）
A．－2 B．2 C．－4 D．4
7．四个小朋友围成一个圈做游戏，现有四种不同颜色衣服可穿（每种颜色衣服数量不限），要求相邻两位小朋友穿的衣服颜色不相同，则不同的穿衣方法共有（仅考虑颜色不同）（ ）
A．96种 B．84种 C．60种 D．48种
8．已知函数 若，则实数x的取值范围是（ ）

A． B．
C． D．
9．设0 A． B． C． D．
10．已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么·的最小值为（ ）
A．－4＋　　　　 B．－3＋ C．－4＋2 D．－3＋2
11．已知函数在上连续，若曲线在点处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为（ ）
A． B．18 C． D．
12．给定集合，定义： 的所有不同值的个数为集合两元素和的容量，用表表示，如， ．若集合，则的最小值是（ ）
A．　　　 B．　　 C．197　 D．195
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若的展开式中的系数为80，则a= ．21世纪教育网
14．已知为第二象限角，，则的值为_______．
15．已知点P是椭圆上的动点，F1，F2分别为其左、右焦点，O是坐标原点，则的取值范围是 ． 21世纪教育网
16．已知定义域为的函数满足：（1）对任意的，都有成立；（2）当，．给出如下结论：①对任意，有；②函数值域是；③存在使得；④函数在区间上单调递减的充要条件是“存在，使得”．
其中所有正确命题的序号是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
17．（10分）已知函数。
（1）若，求函数的单调递减区间；
（2）设，的最小值是，最大值是，求实数、的值。
（本小题满分12分）
甲、乙、丙、丁四位同学围成一圈作传球游戏，每位同学拿到球后随意传给另外三人中的某人且传给任一人的概率相等，球首先在甲的手中，经过四次传递后游戏结束。
（Ⅰ）求第四次传球后，球首次回到甲手中的概率;
（Ⅱ）记传球结束时，球经过丙手中的次数为，求的分布列及数学期望。
19．（本小题满分12分）
设底面边长为的正四棱柱中，与平面 所成角为；点是棱上一点．
（1）求证：正四棱柱是正方体；
（2）若点在棱上滑动，求点到平面距离的最大值；
（3）在（2）的条件下，求二面角的大小．
20．（本小题满分12分）
已知数列的前n项和满足（n为正整数）.
（1）令，求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）令，，求．
21．（本小题满分12分）
已知实数a为整数，函数在区间上有极大值，在区间上有极小值，函数，若在区间上恒成立。
（1）求实数a的值；
（2）求实数b的取值范围。
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22．（本小题满分12分）
设直线与椭圆相交于A、B两个不同的点，与x轴相交于点C，记O为坐标原点。
（1）证明：；
（2）若，求的面积取得最大值时的椭圆方程。
柳州铁一中2013届高三年级第八次周考数学（理科）答案
一、选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
C
D
C
A
D
B
D
B
D
A
C
二、填空题
13、2 14、 15、 16、 ①②④
三．解答题
17：解：（1）
………3分
，由，得 ………5分
的单调递减区间是． ………6分
（2），，，
函数的最小值是，最大值是， ………8分
解得． ………10分
18.解:（Ⅰ） 据题意，球从某人手中传到另某人手中的概率为，设第四次传球后，球首次回到甲手中为事件A，则 …………………………………6分
（Ⅱ）的可能取值有：0、1、2 ……21世纪教育网……7分
…………………………………8分
………9分
0
1
2
P
………………10分
故的分布列为
……………………12分
19．（1）．证明：设正四棱柱的侧棱长为，作与,连接,
，,,
是与所成的角，
，即
所以四棱柱正四棱柱是正方体；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4＇
（２）．设点到平面的距离为，平面，点、到平面的距离相等为．在四面体中，体积，
，设是中点，当也是棱中点时，，有平面，于，于，是一面直线和的公垂线段，是到直线的最短距离，的最小值是
，即点到平面的最大距离是．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8＇
（３）．以 为原点，、、分别为、、轴建立平面直角坐标系，由（２）知也是棱中点，则、、、，设平面的法向量，平面的法向量由
；
。
二面角的大小是．．．．１２＇
20、解：（I）令n=1，可得，当时
. .数列是首项为1，公差为2的等差数列.
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6＇
(II)由（I）得，所以
由①-②得
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12＇
21、解：（1）由题设可知，，且，
即，故a=1 …4分
（2）由（1）可知，，
在区间上恒成立
（i）当b+3=0即b=-3时，在区间上恒成立；…7分
（ii）当时，在区间上恒成立①当时，由题设可知，即， ………9分
②当时，由题设可知，即， …21世纪教育网 11分
综上可知，实数b的取值范围是 ………12分
22、（1）解：依题意，直线l显然不平行于坐标轴，故。
将，得。① …2分
由直线l与椭圆相交于两个不同的点，得，整理得，即
（2）解：设由①，得因为，得，代入上式，得……………6分
于是 △OAB的面积
其中，上式取等号的条件是 ………9分
由将 这两组值代入①，均可解出。所以，面积取得最大值的是 ……12分
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