(共25张PPT)
18.2.2菱形的性质
人教版 八年级下
新知导入
欣赏下面图片，图片中框出的图形是你熟悉的吗？
新知导入
两组对边
分别平行
平行
四边形
矩形
四边形
角的关系
边的关系
新知讲解
平行
四边形
矩形
前面我们学行四边形和矩形，知道了矩形是由平行四边形角的变化得到，如果平行四边形有一个角是直角时,就成为了矩形.
有一个角是直角
新知讲解
思考 如果从边的角度,将平行四边形特殊化,内角大小保持不变仅改变边的长度让它有一组邻边相等,这个特殊的平行四边形叫什么呢
平行四边形
定义：有一组邻边相等的平行四边形.
菱形
邻边相等
菱形是特殊的平行四边形.
平行四边形不一定是菱形.
新知讲解
菱形的性质1
菱形的两组对边分别平行
菱形的两组对边分别相等
菱形的两组对角分别相等
菱形的两条对角线互相平分
菱形的邻角互补
新知讲解
想一想：
猜想1：菱形的四条边相等．
猜想2：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．
除了具有平行四边形的所有性质外，还有哪些特殊性质呢？
如何证明？
A
B
C
D
O
新知讲解
已知:如图四边形ABCD是菱形。
A
B
C
D
O
证明(1)∵四边形ABCD是菱形
∴DA=DC(菱形的定义)
∵DA=BC,AB=DC
∴AB=BC=DC=DA
(1)AB=BC=CD=DA
求证:
(2)AC⊥BD
AC平分∠DAB和∠DCB
BD平分∠ADC和∠ABC
(2)在△DAC中,又∵AO=CO
∴DB⊥AC，
DB平分∠ADC（三线合一）
同理： DB平分∠ABC；
AC平分∠DAB和∠DCB
新知讲解
菱形的性质2
菱形的四条边都相等
菱形的两条对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角
在菱形ABCD中，AB=BC=CD=DA
在菱形ABCD中，AC⊥BD
AC平分∠BAD和∠BCD
BD平分∠ABC和∠ADC
新知讲解
想一想
B
D
A
C
菱形是轴对称图形
观察菱形是轴对称图形吗
如果是，有几条对称轴
对称轴之间有什么位置关系
2条对称轴，对称轴互相垂直平分
新知讲解
问题1 菱形是特殊的平行四边形,那么能否利用平行四边形面积公式计算菱形ABCD的面积吗
A
B
C
D
思考 前面我们已经学习了菱形的对角线互相垂直,那么能否利用对角线来计算菱形ABCD的面积呢
能.过点A作AE⊥BC于点E,
则S菱形ABCD=底×高
=BC·AE.
E
新知讲解
问题2 如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O,试用对角线表示出菱形ABCD的面积.
A
B
C
D
O
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD,
∴S菱形ABCD=S△ABC +S△ADC
= AC·BO+ AC·DO
= AC(BO+DO)
= AC·BD.
你有什么发现？
菱形的面积 = 底×高 = 对角线乘积的一半
新知讲解
例3：如图，菱形花坛ABCD的边长为20m， ∠ABC＝60°，沿着菱形的对
角线修建了两条小路AC和BD.求两条小路的长（结果保留小数点后两位）
和花坛的面积（结果保留小数点后一位）.
解：∵花坛ABCD是菱形，
∴AC⊥BD
新知讲解
例4：如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AB=5，AO=4，BO=3
求证： ABCD是菱形
A
D
C
O
B
证明：∵AB=5，AO=4，BO=3
∴AB =AO +BO
∴△AOB为直角三角形
∴AC⊥BD
∴ ABCD是菱形
课堂练习
1．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是( )
A．对边相等 B．对角相等
C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
2．如图，已知菱形ABCD的边长等于2，∠DAB＝60°，则对角线BD的长为( )
A．1
B.
C ．2
D ．
D
C
课堂练习
3．如图，已知某广场菱形花坛ABCD的周长是24米，∠BAD＝60°，则花坛对角线AC的长等于( )
A． 米
B．6米
C． 米
D．3米
A
课堂练习
4．如图，菱形ABCD中，E，F分别是AB，AC的中点，若EF＝2，则菱形ABCD的
周长是 ．
16
5．如图，在菱形ABCD中，若AC＝6，BD＝8，则菱形ABCD的面积是 ．
24
课堂练习
6．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，
连接AE，AF。AE和AF有什么样的数量关系？说明理由．
解：AE＝AF.
理由：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D，BC＝CD.
又∵E，F分别为BC，CD的中点，
∴BE＝ BC，DF＝ CD.
∴BE＝DF.
∴△ABE≌△ADF(SAS)．
∴AE＝AF.
课堂练习
7．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，O为对角线BD的中点，过O点
作OE⊥AB，垂足为E.
(1)求∠ABD的度数；
(2)求线段BE的长．
解：(1)∵在菱形ABCD中，
AB＝AD，∠A＝60°，
∴△ABD为等边三角形．
∴∠ABD＝60°
(2)由(1)可知BD＝AB＝4，
又∵O为BD的中点，∴OB＝2.
又∵OE⊥AB，∠ABD＝60°，
∴∠BOE＝30°.
∴BE＝ OB＝1.
课堂总结
菱形的性质
菱形的性质
有关计算
边
1.周长=边长的四倍
2.面积=底×高=两条对角线乘积的一半
角
对角线
1.两组对边平行且相等；
2.四条边相等
两组对角分别相等，邻角互补邻角互补
1.两条对角线互相垂直平分；
2.每一条对角线平分一组对角
拓展提升
1．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E.
(1)求证：四边形ACDE是平行四边形；
(2)若AC＝8，BD＝6，求△ADE的周长．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AC⊥BD.
∴AE∥CD.
又∵DE⊥BD，
∴DE∥AC.
又∵AE∥CD，
∴四边形ACDE是平行四边形．
(2)∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6，
∴AO＝4，DO＝3，
AD＝CD＝ ＝5.
∵四边形ACDE是平行四边形，
∴AE＝CD＝5，DE＝AC＝8.
∴C△ADE＝AD＋AE＋DE＝5＋5＋8＝18.
拓展提升
2．在菱形ABCD中，∠B＝60°，点E在边BC上，点F在边CD上．
(1)如图1，若E是BC的中点，∠AEF＝60°，求证：BE＝DF；
证明：(1)连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD.
∵∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
∵E是BC的中点，
∴AE⊥BC.
∵∠AEF＝60°，
∴∠FEC＝90°－60°＝30°.
又∵∠C＝180°－∠B＝120°，
∴∠EFC＝30°.
∴∠FEC＝∠EFC.
∴CE＝CF.
又∵BC＝CD，
∴BC－CE＝CD－CF，
即BE＝DF.
拓展提升
(2)如图2，若∠EAF＝60°，求证：△AEF是等边三角形．
证明：连接AC，
由(1)，得△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC.
∵∠BAE＋∠EAC＝60°，
∠EAF＝∠CAF＋∠EAC＝60°，
∴∠BAE＝∠CAF.
∵四边形ABCD是菱形，∠B＝60°，
∴∠ACF＝ ∠BCD＝60°＝∠B.
∴△ABE≌△ACF.∴AE＝AF.
又∵∠EAF＝60°，
∴△AEF是等边三角形．
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18.2.2菱形的性质
一、选择题
1、菱形具有而矩形不具有性质是（ ）
A．对角线相等 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．对角线平分且相等
2、菱形ABCD的边长为8，有一个内角为120°，则较长的对角线的长为（ ）
A. B.8 C. D.4
3、如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且AC=12，BD=16，则菱形的高AE为（ ）
A.9.6 B.4.8 C.10 D.5
4、如图，菱形ABCD中，∠BAD=60°，M是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，若PM+PB的最小值是3，则AB长为（ ）
A．3 B． C．6 D．2
（第3题图） （第4题图）
二、填空题
5、如图，在菱形ABCD中，，则=_______度
（第5题图） （第7题图） （第8题图）
6、已知菱形的周长为20cm，一条对角线长为8cm，则这个菱形的面积为 cm2
7、如图，在菱形ABCD中，E、F、G分别为AD、AB、CD的中点，且FG=10cm，EF=6cm，则菱形ABCD的面积是_______ cm2
8、如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A、D分别在y轴的正半轴和负半轴上，顶点B在x轴的负半轴上，若OA=3OD，菱形的面积为，则点C的坐标为______________
9、如图，边长为1的菱形ABCD中，，连接对角线AC，以AC为边作第二个菱形ADEF，使，连接AE，再以AE为边作第三个菱形AEGH，使……按此规律所作的第2022个菱形的边长是_____________
三、解答题
10、如图，菱形ABCD中，点F为边AD上一点，点E为边CD上一点，连接BF、BE，若
。求证：BF=BE
11、如图，在菱形ABCD中，E、F为BC、CD边上两点，BE=DF，。求证：△AEF为等边三角形。
12、如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，于点H，连接OH。
（1）求证：；
（2）若OC=4，BD=6，求菱形ABCD的周长。
13、如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，于点E交AC于点P，于点F。
（1）判断四边形DEBF是形状，并说明理由；
（2）如果BE=3，BF=6，求出DP的长。
【参考答案】
一、选择题
1、C
2、A
3、A
4、D
二、填空题
5、20
【解析】由菱形的性质可得邻角互补，，所以
再根据菱形的对角线平分每一组对角，所以
6、24
【解析】由菱形的性质可得四边相等，所以菱形的边长为20÷4=5cm，对角线互相平分，所以对角线的一半为4cm。菱形对角线互相垂直，根据勾股定理可求出另一条对角线的一半为cm
所以另一条对角线为6cm。所以S菱形=
7、96
【解析】如图，连接AC、BD，交点为O，EF与AC交于点M，EG与BD交于点N。
∵四边形ABCD是菱形
∴
∵E、F、G分别为AD、AB、CD的中点
∴EF∥BD，EF=BD，EG∥AC，EG=AC
∴四边形OMEN是矩形
∴
∵FG=10cm，EF=6cm
∴
∴AC=16cm，BD=12cm
∴菱形ABCD的面积为
8、
【解析】∵OA=3OD
∴设OD=x，则OA=3x
∴AD=4x
∵四边形ABCD是菱形
∴AB=AD=4x
∵
∴
∵菱形ABCD的面积=
∴x=2（负值舍去）
∴BC=AD=4x=8，OB=
∴点C的坐标为
9、
【解析】连接BD交AC于M
∵四边形ABCD是菱形
∴AD=AB，
∵
∴△ADB是等边三角形
∴DB=AD=1
∴
∴，
同理可得
按此规律所作的第n个菱形的边长为
∴第2022个菱形的边长为
三、解答题
10、证明：∵四边形ABCD是菱形
∴
∵
又
∴
在△BDF和△BDE中
∴△BDF≌△BDE（AAS）
∴BF=BE
11、证明：∵四边形ABCD是菱形
∴AB=AD，，AD∥BC
∴
在△ABE和△ADF中，
∴△ABE≌△ADF（SAS）
∴AE=AF，
∴
∴
∴△AEF是等边三角形。
12、（1）证明：∵四边形ABCD是菱形
∴OD=OB，AB∥CD，
∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
（2）解：∵四边形ABCD是菱形
∴AB=BC=CD=AD，，OA=OC=4，
∴AC=2OC=4，
在Rt△OCD中，由勾股定理得：
∴菱形ABCD的周长=4CD=4×5=20
∴菱形ABCD的周长为20。
13、解：（1）四边形DEBF是矩形，理由如下：
∵，
∴
∵四边形ABCD是菱形
∴AB∥CD
∴
∴
∴四边形DEBF是矩形。
（2）连接PB。
∵四边形ABCD是菱形
∴AC垂直平分BD
∴PB=PD
由（1）得，四边形DEBF是矩形
∴DE=FB=6
设PD=BP=x，则PE=6-x
在Rt△PEB中，由勾股定理得
即
解得
∴
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