苏科版八年级数学下册 11.2.1 反比例函数的图象与性质 教案

课题：11.2 反比例函数的图像与性质（1）
【教学目标】
1.经历由反比例函数的表达式估计其图形基本概貌的过程和运用描点法画反比例函数图像的过程，初步了解反比例函数的图像和性质.
2.感悟“数形结合”、“变化与对应”和“转化”的数学思想，并能应用数形结合和转化思想，根据反比例函数的解析式和反比例函数的图像探究其性质.
3.在探究反比例函数图像的过程中，让学生经历观察、分析、猜想、操作、探究、归纳、概括的认知过程，获得研究问题与合作交流的方法和经验，体验数学活动，培养学生良好的思维品质和严谨的科学态度，提高学生的思维能力.
【重点难点】
重点：准确画出反比例函数的图像并概括出其性质。
难点：反比例函数的图像为何是双曲线。
【教学过程】
1.第一环节－自主学习
这一阶段包括师生共同确定自学目标、任务和要求，学生自主学习.教师设计问题串，把知识中的基本概念、原理、方法和过程渗透其中，以问题驱动学生的“自主学习”，学生在自学时，初通生疑，为下一环节的互学作足准备.
(1)创设情境，引入新知
问题1　请你回忆一次函数的图像的绘制过程和图像具有的性质（以一次函数y=2x＋1为例.）
问题2　上一节课，我们学习了反比例函数的概念，它有哪些形式？接下去应该学习什么？（板书课题：反比例函数的图像）
设计意图：通过复习一次函数的图像和性质，帮助学生构建研究函数图像的基本方法是列表、描点和连线，研究函数的图像一般是从形状、位置、变化趋势3个方面去研究，为研究反比例函数的图像和性质做好铺垫.
(2)揭示目标，明确任务
（多媒体展示学习目标）
(3)由数想形，初探新知
问题3　反比例函数的图像是什么样的？请你根据反比例函数表达式，猜一猜这个函数的图像具有哪些特征.试结合下列问题来说明：
（1）x、y的值可以为0吗？这个函数的图像与x轴、y轴有交点吗？
（2）x、y所取值的符号有什么关系？这个函数的图像会在哪几个象限？
（3）当x>0时，随着x的增大，y怎样变化？当x<0时，随着x的增大，y怎样变化？这个函数的图像与x轴、y轴的位置有什么特征？
（4）你能根据反比例的解析式，大胆猜想并画出反比例函数图像的轮廓吗？
设计意图：由于反比函数的图像是曲线型的，又分成两支，学生第一次接触有一定的难度，因此设计“由数想形”的思考活动，让学生独立自主探究，再进行小组或大组交流，初步估计图形的基本概貌，从而获得自主探究未知函数的性质与图像时又一种方法.
　　2.第二环节－合作学习
这一阶段包括师生共同呈现问题、交流问题、讨论问题、解决问题、检测问题.
(1)描点画图，再探新知
问题4请你在助学稿上画出函数的图像，比谁画得既快又准确！
设计意图：图像是直观地描述和研究函数的重要工具，通过经历用描点法画出反比例函数图像的基本步骤，可以使学生对反比例函数有了进一步的感性认识.教师引导学生自主经历列表、描点、连线的过程中，关注几个细节的引导、点拨和追问.列表时，自变量x的取值要注意在取值范围内（x≠0）、要有代表性（兼顾正、负数）和大小要适度（描点时好操作）；描点时，一般情况下，所选的点越多图像越精确；连线时，引导学生要按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线必须是光滑的.注意曲线的两支是分开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但不会与坐标轴相交，从而得到反比例函数的图像.
(2)合作交流，三探新知
（展示学生画图中常见的两种图形，抛出问题5，引发学生深层的思考和交流）
问题5　在用描点法画函数的图像时，相邻两个点之间的部分图像是如图1所示的直线型，还是如图2所示的曲线型？你是如何验证的？
设计意图:“连线”时，由于一次函数图像是一条直线，容易使学生产生认知上的负迁移，从而把双曲线画成折线型.因此，探究相邻两点之间的图像的形状既是反比例函数图像探究的重点也是难点.通过展示学生的中的两类作品，引发学生思考、讨论、交流，再通过几何画板演示反比例函数图像的生成过程，让学生感受“曲线”的形状和延伸趋势，加深对反比例函数的图像的认识和理解.
问题6　观察反比例函数函数的图像，有哪些特征？
设计意图:通过类比一次函数，引导学生观察图像的形状、位置、变化趋势，感受“形”的特征，归纳说出反比例函数函数图像的形状、位置、变化趋势及函数的增减性.感受自变量与函数值之间变化与对应的关系，使学生从形的角度对反比例函数的图像和性质形成初步的印象，与问题3前后呼应，使学生初步感受研究函数图像问题的思想方法，即“以数想形”和“以形助数”.
(3)对比探究，深化新知
问题7　是不是所有的反比例函数的图像都具有这样的特征呢？请同学们根据反比例函数函数的表达式，说出它的图像具有的特征，并在图中画出它的图像.
设计意图:通过再次画出反比例函数的图像，帮助学生巩固前面已获得的作图经验，提高学生利用描点法画出函数图像的能力.同时，在总结、说出反比例函数的图像特征的过程中，增强学生对图像的观察、感知、分析、概括的能力.
问题8　反比例函数与的图像有哪些共同特征？有哪些不同点？是由什么决定的？
设计意图:教师引导学生观察、总结这两个反比例函数图像的特征，关注反比例系数“k”的作用.在活动中，让学生积极探究新知、发现新知，为下一节课探究反比例函数的图像的性质做好铺垫.
　　3.第三环节－归纳拓展
这一阶段包括师生归纳小结、整理、反思、应用、拓展.在教师的引导下学生自我归纳，完善自学、互学时建构的知识体系，形成方法体系，进行整理反思，内化升华.
(1)巩固提高，应用新知
①请你画出反比例函数、的图像.结合四个反比例函数的图像，归纳概括反比例函数的图像的性质.
　　 一般地，反比例函数(k为常数,k≠0)的图像是_____________；
当k>0时，图像的两支分别在第_________象限，在每个象限内，y随x的增大而______；
当k<0时，图像的两支分别在第_________象限，在每个象限内，y随x的增大而______。
②课堂练习：
　　1.函数的图像在第________象限.
　　2.函数的图像在第________象限.
　　3.函数,当x>0时,图像在第____象限,y随x 的增大而_________.
　　4.函数的图像在二、四象限，则m的取值范围是__________.
　　5.函数的图像在每个象限内，y随x的增大增大，则m的取值范围是_______.
设计意图:通过学生自主画出两个反比例函数图像的练习，结合四个反比例函数的图像，进行观察、归纳、概括其图像的性质，培养学生概括提炼的能力；通过几道小题目的练习，及时巩固反馈，实现知识向能力的转化，激发学生学习的信心.
(2)归纳反思，完善新知
问题9　通过本节课的学习，你学到了哪些知识？掌握了哪些方法？有哪些收获？（请在组内交流你的收获，每位同学至少说一条，并把你认为重要的在书上标出来.）（用PPT呈现出研究反比例函数的图像的思路结构图）
设计意图:教师引导学生梳理、概括、归纳本节课主要的学习内容，建构知识体系.使学生对反比例函数的图像和性质有一个较为整体、全面的认识，体验从一次函数到反比例函数的类比的学习方法、从特殊到一般的具体研究思路以及研究函数的数形结合的思想等，使学生对知识、技能、思想方法的总结融为一体，使思想方法有了载体，知识技能有了灵魂.
(3)拓展延伸，活化新知
　　问题10　你能根据函数的表达式，猜想这个函数图像具有的一些特征吗（至少写出3个）？你能尝试用描点法画出这个函数的图像吗？再在同一坐标系中画出函数的图像，观察这两个函数的图像有什么关系？
设计意图:通过设置有一定思维价值的课后思考题，促进学生开动脑筋，积极思维，展开丰富的联想，深化理解数学知识，体验和感悟数学思想方法，形成探索的意识、思考的习惯，使学生的创新能力和实践能力得到发展.
图1
图2
图1
反比例函数的图像
由数想形
描点画图
函数
大致的图像
函数
精致的图像
一致