北师大版七年级数学下册第五单元生活中的轴对称简答专项训练（一）解析版
1．见解析．
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，运用AAS证明△DEB≌△DFC即可．
【详解】
证明：∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴∠B=∠C，DB=DC，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD=90°，
∴△DEB≌△DFC（AAS），
∴DE=DF．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，三角形的全等判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理和性质是解题的关键．
2．（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）找到并连接关键点，作出关键点的连线的垂直平分线；
（2）根据对称找到相等的角，然后进行推理．
【详解】
解：（1）如图，连接．
作线段的垂直平分线．
则直线是和的对称轴；
（2）如图，连接．
∵和关于直线对称，
∴．
又∵和关于直线对称，∴．
∴，
即．
【点睛】
解答此题要明确轴对称的性质：
1．对称轴是一条直线．
2．垂直并且平分一条线段的直线称为这条线段的垂直平分线，或中垂线．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
3．在轴对称图形中，对称轴两侧的对应点到对称轴两侧的距离相等．
4．在轴对称图形中，对称轴把图形分成完全相等的两份．
5．如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
3．（1）见解析；（2）120°
【解析】
【分析】
（1）欲证明CE=BF，只需证得△BCE≌△ABF；
（2）利用（1）中的全等三角形的性质得到∠BCE=∠ABF，则由图示知∠PBC+∠PCB=∠PBC+∠ABF=∠ABC=60°，即∠PBC+∠PCB=60°，所以根据三角形内角和定理求得∠BPC=120°．
【详解】
解：（1）证明：如图，∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AB，∠A=∠EBC=60°，
∴在△BCE与△ABF中，
，
∴△BCE≌△ABF（SAS），
∴CE=BF；
（2）∵由（1）知△BCE≌△ABF，
∴∠BCE=∠ABF，
∴∠PBC+∠PCB=∠PBC+∠ABF=∠ABC=60°，即∠PBC+∠PCB=60°，
∴∠BPC=180°-60°=120°．
即：∠BPC=120°．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
4．（1）见解析；（2）8.5．
【解析】
【分析】
（1）先利用网格确定△ABC关于直线MN对称的点，再顺次连接各点即可得到△ABC关于直线MN的对称图形；
（2）利用矩形面积减去周围多余三角形面积即可．
【详解】
解：（1）如图所示：△DEF即为所求；
（2）△ABC的面积：4×5- ×4×1- ×5×3- ×4×1=20-2-7.5-2=8.5．
【点睛】
此题主要考查了作图--轴对称变换，关键是确定组成图形的关键点的对称点位置．
5．（1）BC′，C′F；（2）50°，80°；（3）6
【解析】
【分析】
（1）根据折叠的性质即可得出；
（2）由折叠的性质可得，∠2=∠BEF，由AD∥BC得∠1=∠2，所以∠2=∠BEF=50°，从而得∠3=80°；
（3）根据勾股定理先求得AE的长度，也可求出AD，BC的长度，然后根据∠1=∠BEF=50°，可得BF=BE=10，继而可求得CF=BC﹣BF．
【详解】
（1）由折叠的性质可得：折叠后，DC的对应线段是BC′，CF的对应线段是C′F；
故答案为：BC′，C′F．
（2）由折叠的性质可得：∠2=∠BEF，
∵AD∥BC，
∴∠1=∠2=50°．
∴∠2=∠BEF=50°，
∴∠3=180°﹣50°﹣50°=80°；
（3）∵AB=8，DE=10，
∴BE=10，
∴AE==6，
∴AD=BC=6+10=16，
∵∠1=∠BEF=50°，
∴BF=BE=10，
∴CF=BC﹣BF=16﹣10=6．
【点睛】
本题考查了矩形折叠的性质，平行线的性质定理，勾股定理解直角三角形，等腰三角形判定相关知识．
6．这个三角形的各边长分别为6cm、12cm和12cm．
【解析】
【分析】
可设一边长为x，则另一边长为2x，然后分x为腰和底两种情况，表示出周长解出x，再利用三角形三边关系进行验证即可．
【详解】
解：设一边为xcm，则另一边为2xcm，
当长为xcm的边为腰时，此时三角形的三边长分别为xcm、xcm、2xcm，
由题意可列方程：x+x+2x=30，解得x=7.5，此时三角形的三边长分别为：7.5、7.5和15，因为7.5+7.5=15，不符合三角形三边之间的关系，所以不符合题意；
当长为xcm的边为底时，此时三角形的三边长分别为xcm、2xcm、2xcm，
由题意可列方程：x+2x+2x=30，解得x=6，此时三角形的三边长分别为：6、12、12，满足三角形的三边之间的关系，
所以这个三角形的各边长分别为6cm、12cm和12cm．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，分情况讨论并且进行三边验证是解题的关键．
7．（1）25，115，小；（2）当DC＝2时，△ABD≌△DCE；理由见解析；（3）当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形．
【解析】
【分析】
（1）首先利用三角形内角和为180°可算出∠BAD＝180°﹣40°﹣115°＝25°；再利用邻补角的性质和三角形内角和定理可得∠DEC的度数；
（2）当DC＝2时，利用∠DEC+∠EDC＝140°，∠ADB+∠EDC＝140°，求出∠ADB＝∠DEC，再利用AB＝DC＝2，即可得出△ABD≌△DCE．
（3）分类讨论：由（2）可知∠ADB＝∠DEC，所以∠AED与∠ADE不可能相等，于是可考虑∠DAE＝∠AED和∠DAE＝∠ADE两种情况．
【详解】
解：（1）∵∠B＝40°，∠ADB＝115°，AB＝AC，
∴∠BAD＝180°﹣40°﹣115°＝25°，∠C＝∠B＝40°；
∵∠ADE＝40°，∠ADB＝115°，
∴∠EDC＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE＝180°﹣115°﹣40°＝25°．
∴∠DEC＝180°﹣40°﹣25°＝115°，
当点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变小，
故答案为：25，115，小；
（2）当DC＝2时，△ABD≌△DCE，理由如下：
理由：∵∠C＝40°，
∴∠DEC+∠EDC＝140°，
又∵∠ADE＝40°，
∴∠ADB+∠EDC＝140°，
∴∠ADB＝∠DEC，
又∵AB＝DC＝2，
∴在△ABD和△DCE中，，
∴△ABD≌△DCE（AAS）；
（3）当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形，理由如下：
∵当∠BDA＝110°时，
∴∠ADC＝70°，
∵∠C＝40°，
∴∠DAC＝70°，
∴∠AED＝180°-70°-40°=70°，
∴∠AED＝∠DAC，
∴AD=DE，
∴△ADE是等腰三角形；
∵当∠BDA的度数为80°时，
∴∠ADC＝100°，
∵∠C＝40°，
∴∠DAC＝40°，
∴∠DAC＝∠ADE，
∴AE=DE，
∴△ADE是等腰三角形．
综上所述，当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE是等腰三角形.
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和判定及全等三角形的判定，熟练掌握性质和判定进行正确推理是解题关键.等腰三角形的问题常常要分类讨论，容易漏解.
8．（1）△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC共5个，EF=BE+FC；（2）有，△EOB、△FOC，存在；（3）有，EF=BE-FC．
【解析】
【分析】
（1）由AB=AC，可得∠ABC=∠ACB；又已知OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB；故∠EBO=∠OBC=∠FCO=∠OCB；根据EF∥BC，可得：∠OEB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠FCO=∠BCO；由此可得出的等腰三角形有：△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC；
已知了△EOB和△FOC是等腰三角形，则EO=BE，OF=FC，则EF=BE+FC．
（2）由（1）的证明过程可知：在证△OEB、△OFC是等腰三角形的过程中，与AB=AC的条件没有关系，故这两个等腰三角形还成立．所以（1）中得出的EF=BE+FC的结论仍成立．
（3）思路与（2）相同，只不过结果变成了EF=BE-FC．
【详解】
解：（1）图中是等腰三角形的有：△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC；
EF、BE、FC的关系是EF=BE+FC．理由如下：
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC，△ABC是等腰三角形；
∵BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠ABO=∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACO=∠ACB，
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，
∴∠ABO=∠OBC=∠EOB=∠OCB=∠FOC=∠FCO，
∴△EOB、△OBC、△FOC都是等腰三角形，
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，
∴∠AEF=∠AFE，
∴△AEF是等腰三角形，
∵OB、OC平分∠ABC、∠ACB，
∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB；
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠OCB=∠FCO；
即EO=EB，FO=FC；
∴EF=EO+OF=BE+CF；
（2）当AB≠AC时，△EOB、△FOC仍为等腰三角形，（1）的结论仍然成立．
∵OB、OC平分∠ABC、∠ACB，
∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB；
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠OCB=∠FCO；
即EO=EB，FO=FC；
∴EF=EO+OF=BE+CF；
（3）△EOB和△FOC仍是等腰三角形，EF=BE-FC．理由如下：
同（1）可证得△EOB是等腰三角形；
∵EO∥BC，
∴∠FOC=∠OCG；
∵OC平分∠ACG，
∴∠ACO=∠FOC=∠OCG，
∴FO=FC，故△FOC是等腰三角形；
∴EF=EO-FO=BE-FC．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线、角平分线的性质等知识．进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．
9．
【解析】
【分析】
先根据直角三角形两锐角互余求得，再由翻折的性质可知，最后根据三角形外角的性质求解.
【详解】
【点睛】
本题考查轴对称的性质，正确运用外角和定理是解题关键.
10．(1)证明详见解析(2) 证明详见解析
【解析】
【分析】
（1）证得△ABE≌△ACD后利用全等三角形的对应角相等即可证得结论；
（2）利用垂直平分线段的性质即可证得结论．
【详解】
（1）在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD，
∴∠ABE=∠ACD；
（2）连接AF．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
由（1）可知∠ABE=∠ACD，
∴∠FBC=∠FCB，
∴FB=FC，
∵AB=AC，
∴点A、F均在线段BC的垂直平分线上，
即直线AF垂直平分线段BC．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质及垂直平分线段的性质的知识，全等三角形的判定即性质，解题的关键是能够从题目中整理出全等三角形，难度不大．
11．见解析.
【解析】
【分析】
分别作线段CD的垂直平分线和∠AOB的角平分线，它们的交点即为点P．
【详解】
如图，点P为所作．
【点睛】
本题考查了作图 应用与设计作图，熟知角平分线的性质与线段垂直平分线的性质是解答此题的关键．
12．是，理由见解析.
【解析】
【分析】
根据线段的垂直平分线的定义，分别证明A、M在线段BC的垂直平分线上即可解决问题．
【详解】
解：直线AM是线段BC的垂直平分线，理由如下：
∵AB=AC，
∴点A在线段BC的垂直平分线上，
∵MB=MC，
∴点M在线段BC的垂直平分线上，
∴直线AM是线段BC的垂直平分线．
【点睛】
本题考查线段的垂直平分线的判定，解题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的判定方法，属于中考常考题型．
13．AE=2(cm).
【解析】
【分析】
根据等腰直角三角形的性质得AB=BD,BC=BE,再利用边长之间的关系得AE=AB- BE即可求解.
【详解】
因为△ABD,△BCE都是等腰三角形,
所以AB=BD,BC=BE.
又因为BD=CD- BC,
所以AB=CD- BC=CD- BE=8- 3=5(cm),
所以AE=AB- BE=5- 3=2(cm).
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的性质,属于简单题,熟悉等腰直角三角形的性质是解题关键.
14．（1）如图所示见解析；（2）△ABC的面积为5；（3）A1（0，﹣4）、B1（2，﹣4）、C1．（3，1）．
【解析】
【分析】
（1）根据题意标出即可
（2）根据图形求出三角形的边长和高，然后求出面积即可
（3）根据点关于x轴对称的性质，横坐标不变，纵坐标互为相反数写出即可
【详解】
（1）如图所示：
（2）由图形可得：AB=2，AB边上的高=|﹣1|+|4|=5，
∴△ABC的面积=AB×5=5．
（3）∵A（0，4），B（2，4），C（3，﹣1），△A1B1C1与△ABC关于x轴对称，
∴A1（0，﹣4）、B1（2，﹣4）、C1（3，1）．
【点睛】
关于x轴对称点的坐标及三角形的面积公式是本题的考点，熟练掌握关于x轴对称点坐标规律是解题的关键.
15．∠B＝36°.
【解析】
【分析】
先根据线段垂直平分线及等腰三角形的性质得出∠B=∠DAB，再根据∠DAE与∠DAC的度数比为2：1，可设出∠DAC的度数，由直角三角形的性质列出方程，求出∠B的度数即可．
【详解】
∵D是线段AB垂直平分线上的点，∴AD=BD，∴△DAB是等腰三角形，∠B=∠DAB．
∵∠DAE与∠DAC的度数比为2：1，∴设∠DAC=x，则∠B=∠DAB=2x，∴x+2x+2x=90°，∴x=18°，即∠B=36°．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定与性质以及线段垂直平分线的性质，属较简单题目．
16．CE⊥CF．
【解析】
【分析】
根据三线合一定理证明CE平分∠ACD，然后根据CF平分∠ACB，根据邻补角的定义即可证得．
【详解】
CE⊥CF．理由如下：
∵CD=CA，E是AD的中点，∴∠ACE=∠DCE．
∵CF平分∠ACB，∴∠ACF=∠BCF．
∵∠ACE+∠DCE+∠ACF+∠BCF=180°，∴∠ACE+∠ACF=90°．
即∠ECF=90°，∴CE⊥CF．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，顶角的平分线、底边上的中线和高线、三线合一．
17．（1）画图见解析；
（2）6
【解析】
【分析】
（1）由AE为网格正方形的对角线，作出点B关于AE的对称点F，然后连接AF、EF即可；
（2）根据图象，重叠部分为两个直角三角形的面积的差，列式计算即可得解．
【详解】
（1）△AEF如图所示；
（2）重叠部分的面积=×4×4﹣×2×2
=8﹣2
=6．
考点：作图-轴对称变换
18．（1）详见解析；（2）∠AEB=80°．
【解析】
【分析】
（1）欲证明AD=BE，只要证明△ACD≌△BCE（SAS）即可．
（2）利用：“8字型”可以证明∠OEB=∠ACO，即可解决问题．
【详解】
（1）证明：
∵∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=80°，∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE．
（2）解：∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD=∠CBE，
∵∠COA=∠BOE，∴∠ACO=∠BEO=80°，
∴∠AEB=80°．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，学会利用“8字型”证明角相等，属于中考常考题型．
19．（1）∠A′BD＝70°；（2）∠D′BE＝35°，∠CBE＝90°；（3）∠CBE的大小不会改变，为定值90°，理由详见解析.
【解析】
【分析】
（1）由翻折的性质可得翻折后两个图形的对应角相等，联系已知及平角的知识即可求解；
（2）由翻折的性质可知∠D′BE为∠A′BD的一半，联系上步结论即可求出∠D′BE、∠CBE的度数；
（3）无论位置如何变换，翻折不变，根据翻折的性质及平角的知识即可求出∠CBE的度数.
【详解】
解：(1)因为∠ABC＝55°，
由折叠的性质，得∠A′BC＝∠ABC＝55°，
所以∠A′BD＝180°－∠ABC－∠A′BC＝180°－55°－55°＝70°.
(2)由(1)中的结论可知∠DBD′＝70°，
由折叠的性质，得，
所以.
(3)不会改变．理由：由折叠的性质，得
，，
所以，
所以∠CBE的大小不会改变，为定值90°.
【点睛】
本题主要考查了折叠的性质，根据折叠的性质得出角的度数是解答此题的关键．
20．见解析
【解析】
【分析】
根据轴对称性质,找到对称点,顺次连接对称点即可解题.
【详解】
作图如下：
【点睛】
本题考查了轴对称图形的作图,属于简单题,熟悉作轴对称图形的一般步骤是解题关键.
21．3cm
【解析】
【分析】
根据角平分线性质定理得CD＝DE,根据垂直平分线性质得DA＝BD,相加即可解题.
【详解】
因为DE⊥AB，E为AB的中点，
所以DA＝BD＝2 cm.
因为∠C＝90°，DE⊥AB，BD平分∠ABC，
所以CD＝DE＝1 cm，
所以AC＝AD＋CD＝2＋1＝3(cm)．
【点睛】
本题考查了角平分线性质定理和垂直平分线性质,属于简单题,熟悉定理概念是解题关键.
22．（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析．
【解析】
【分析】
（1）由于△PCD的周长＝PC+CD+PD，而CD是定值，故只需在直线l上找一点P，使PC+PD最小．如果设C关于l的对称点为C′，使PC+PD最小就是使PC′+PD最小；
（2）作P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD角OA、OB于E、F．此时△PEF周长有最小值；
（3）如图3，作M关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB于F，此时使得E、F、M、N，四点组成的四边形的周长最短．
【详解】
（1）如图1，作C关于直线AB的对称点C′，连接C′D交AB于点P．则点P就是所要求作的点．理由如下：
在l上取不同于P的点P′，连接CP′、DP′．
∵C和C′关于直线l对称，∴PC＝PC′，P′C＝P′C′，而C′P+DP＜C′P′+DP′，∴PC+DP＜CP′+DP′，∴CD+CP+DP＜CD+CP′+DP′．即△CDP周长小于△CDP′周长；
（2）如图2，作P关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB于F，则点E，F就是所要求作的点，理由如下：
在OA，OB上取不同于E，F的点E′，F′．连接CE′、E′P、PF′、DF′．
∵C和P关于直线OA对称，∴PE＝CE，CE′＝PE′，PF＝DF，PF′＝DF′，∴PE+EF+PF＝CE+EF+DF，PE′+PF′+E′F′＝CE′+E′F′+DF′．
∵CE+EF+DF＜CE′+E′F′+DF′，∴PE+EF+PF＜PE′+E′F′+PF′；
（3）如图3，作M关于OA的对称点C，作N关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB于F，则点E，F就是所要求作的点．理由如下：
在OA，OB上取不同于E，F的点E′，F′，连接CE′、E′F′，DF′．
∵C和M关于直线OA对称，∴ME＝CE，CE′＝ME′，NF＝DF，NF′＝DF′，由（2）得知MN+ME+EF+NF＜MN+ME′+E′F′+F′D．
【点睛】
本题考查了平面内最短路线问题求法以及垂直平分线的性质等知识，根据已知得出对称点的位置是解题的关键．
23．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）△PQR还可以由△ABC绕点O逆时针旋转70°得到
【解析】
【分析】
（1）根据轴对称的定义分别作出A、B、C三点关于直线m的对称点D、E、F即可．
（2）根据轴对称的定义分别作出D、E、F三点关于直线m的对称点P、Q、R即可．
（3）根据旋转变换的定义可知，△PQR还可以由△ABC绕点O逆时针旋转70°得到．
【详解】
（1）△ABC关于直线m的对称△DEF如图所示．
（2）△DEF关于直线n的对称△PQR如图所示．
（3）△PQR还可以由△ABC绕点O逆时针旋转70°得到．
【点睛】
本题考查了作图﹣轴对称变换，旋转变换等知识，解题的关键是理解轴对称变换、旋转变换的概念，属于基础题，中考常考题型．
24．（1）详见解析；（2）3；（3）
【解析】
【分析】
（1）先作出各点关于直线l的对称点，再顺次连接各点即可；
（2）利用矩形的面积减去三角形三个顶点上三角形的面积即可；
（3）连接BC′交直线l于点P，则P点即为所求点，根据勾股定理即可得出结论．
【详解】
（1）如图所示；
（2）S△ABC＝2×42×12×24×1＝8﹣1﹣2﹣2＝3．
故答案为3；
（3）如图所示，点P即为所求点，PB+PC＝BC′．
故答案为．
【点睛】
本题考查了轴对称﹣最短路线问题，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．
25．详见解析
【解析】
【分析】
利用轴对称图形性质分别得出图案即可．
【详解】
如图所示：
【点睛】
本题考查了利用轴对称性质设计图案，利用轴对称图形是沿某条直线折叠后能够与直线的另一边完全重合的图形设计图案是解题的关键．
26．（1）BC＝10.（2）20°.
【解析】
【分析】
（1）由AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，垂足分别是M、N，根据线段垂直平分线的性质，可得AD=BD，AE=EC，继而可得△ADE的周长等于BC的长；
（2）由∠BAC=100゜，可求得∠B+∠C的度数，又由AD=BD，AE=EC，即可求得∠BAD+∠CAE的度数，继而求得答案．
【详解】
解：(1)因为AB，AC的垂直平分线分别交BC于D，E两点，垂足分别是M，N，
所以AD＝BD，AE＝CE.
因为△ADE的周长是10，
所以AD＋DE＋AE＝BD＋DE＋CE＝BC＝10，即BC＝10.
(2)因为∠BAC＝100°，
所以∠B＋∠C＝180°－∠BAC＝80°.
因为AD＝BD，AE＝CE，
所以∠BAD＝∠B，∠CAE＝∠C，
所以∠BAD＋∠CAE＝80°，所以∠DAE＝∠BAC－(∠BAD＋∠CAE)＝100°－80°＝20°.
【点睛】
本题考查的知识点是线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质，解题关键是注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．
27．（1）4.（2）30°.
【解析】
【分析】
过点D作DE⊥AB于E，先求出CD，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=CD，从而得解；
根据角平分线的定义可求出∠CAB的度数，再根据三角形内角和定理即可解答.
【详解】
解： 1）过点D作DE⊥AB于E，
∵BC=8，BD=5，
∴CD=BC-BD=10-6=4，
∵∠C=90°，AD平分∠BAC，
∴DE=CD=4，
即点D到AB的距离是4；
(2) 因为AD平分∠BAC，
所以∠BAC＝2∠BAD＝60°.
又因为∠C＝90°，
所以∠B＝90°－60°＝30°.
【点睛】
本题考查的知识点是角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，解题关键是熟记性质并作出辅助线．
28．(1)（﹣3，﹣2）；(2)（1，﹣3）；（316；(4)见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据平面直角坐标系写出即可；
（2）根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答；
（3）利用三角形所在的矩形的面积减去四周三个直角三角形的面积，列式计算即可得解；
（4）根据网格结构找出点A、B、C关于x轴的对称点A′、B′、C′的位置，然后顺次连接即可．
【详解】
(1)点C的坐标是（﹣3，﹣2），
故答案是：（﹣3，﹣2）；
(2)点B关于原点的对称点的坐标是（1，﹣3），
故答案是：（1，﹣3）；
(3)△ABC的面积=6×6﹣0.5×2×5﹣0.5×1×6﹣0.5×4×6=36﹣5﹣3﹣12=36﹣20=16，
故答案是：16；
(4)如图所示，△A′B′C′即为所求作的三角形．
【点睛】
本题考查了利用轴对称变换作图，平面直角坐标系的相关知识，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．
29．15°.
【解析】
【分析】
已知∠A=50°，AB=AC可得∠ABC=∠ACB，再由线段垂直平分线的性质可求出∠ABC=∠A，易求∠DBC．
【详解】
∵∠A=50°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=（180°﹣∠A）=65°
又∵DE垂直且平分AB，
∴DB=AD，
∴∠ABD=∠A=50°，
∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=65°﹣50°=15°．
即∠DBC的度数是15°．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质以及线段垂直平分线的性质．垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
30．（2）
【解析】
【分析】
（1）根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得
，再解方程组即可．
（2）根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得
，再解方程组即可．
【详解】
解：点，B，A、B关于x轴对称，
，
解得；
点，B，A、B关于y轴对称，
，
解得：．
【点睛】
考查关于轴，轴对称点的坐标特点：
关于轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数.
关于轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变.北师大版七年级数学下册第五单元生活中的轴对称简答专项训练（一）
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F为垂足．求证：DE＝DF．
2．如图，和关于直线对称，和关于直线对称．
（1）画出直线；
（2）直线与相交于点O，试探究与直线、所夹锐角的数量关系．
3．如图，、分别是等边三角形的边，上的点，且，、交于点．
（1）求证：；
（2）求的度数．
4．如图，在正方形网格上有一个．
（1）画出关于直线的对称图形（不写画法）；
（2）若网格上的每个小正方形的边长为1，求的面积．
5．如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠后，使得点D与点B重合，点C落在点C′的位置上．
（1）折叠后，DC的对应线段是 ，CF的对应线段是 ；
（2）若∠1=50°，求∠2、∠3的度数；
（3）若AB=8，DE=10，求CF的长度．
6．小明用一条长30cm的细绳围成了一个等腰三角形，他想使这个三角形的一边长是另一边长的2倍，那么这个三角形的各边的长分别是多少？
7．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE与AC交于E．
（1）当∠BDA＝115°时，∠BAD＝_____°，∠DEC＝_____°；当点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变______（填”大”或”小”）；
（2）当DC＝AB＝2时，△ABD与△DCE是否全等？请说明理由：
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．
8．如图①，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F.
(1)图①中有几个等腰三角形 猜想:EF与BE、CF之间有怎样的关系.
(2)如图②,若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗 如果有，分别指出它们.在第(1)问中EF与BE、CF间的关系还存在吗
(3)如图③，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F.这时图中还有等腰三角形吗 EF与BE、CF关系又如何 说明你的理由.
9．如图，中， ，将其折叠，使点落在边上处，折痕为 ，求 的度数．
10．如图，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，点D、E分别在边AB、AC上，且AD=AE，连接BE、CD，交于点F．
(1)求证：∠ABE＝∠ACD；
(2)求证：过点A、F的直线垂直平分线段BC．
11．尺规作图：校园有两条路OA、OB，在交叉路口附近有两块宣传牌C、D，学校准备在这里安装一盏路灯，要求灯柱的位置P离两块宣传牌一样远，并且到两条路的距离也一样远，请你帮助画出灯柱的位置P．（不写画图过程，保留作图痕迹）
12．如图，AB=AC,MB=MC，直线AM是线段BC的垂直平分线吗？
13．如图所示,已知AB⊥CD,△ABD,△BCE都是等腰三角形,如果CD=8 cm,BE=3 cm.求AE的长.
14．平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（0，4），B（2，4），C（3，﹣1）．
（1）试在平面直角坐标系中，标出A、B、C三点；
（2）求△ABC的面积．
（3）若△A1B1C1与△ABC关于x轴对称，写出A1、B1、C1的坐标．
15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E，∠DAE与∠DAC的度数比为2∶1，求∠B的度数．
16．如图，D为△ABC边BC延长线上一点，且CD＝CA，E是AD的中点，CF平分∠ACB交AB于点F，试判断CE与CF的位置关系．
17．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，四边形ABCD的四个顶点都在小正方形的顶点上，点E在BC边上，且点E在小正方形的顶点上，连接AE．
（1）在图中画出△AEF，使△AEF与△AEB关于直线AE对称，点F与点B是对称点；
（2）请直接写出△AEF与四边形ABCD重叠部分的面积．
18．如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，点A、D、E在同一条直线上，BC和AE相交于点O，连接BE，若∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°．
（1）求证：AD=BE；
（2）求∠AEB．
19．我们已学习了角平分线的概念，那么你会用这一知识解决有关问题吗？
(1)如图①所示，将长方形笔记本的一张活页纸的一角折叠，使该角的顶点A落在点A′处，BC为折痕．若∠ABC＝55°，求∠A′BD的度数；
(2)在(1)的条件下，如果将它的另一个角也斜折过去，并使BD边与BA′重合，点D落在点D′处，折痕为BE，如图②所示，求∠D′BE和∠CBE的度数；
(3)若改变图②中∠ABC的大小，则BA′的位置也随之改变，那么(2)中∠CBE的大小会不会改变？请说明理由．
20．秋天红透的枫叶，总能勾起人们无尽的遐想，所以诗人杜牧说：“停车坐爱枫林晚，霜叶红于二月花．”如图中有半片枫叶，请以直线l为对称轴补画出枫叶的另一半．
21．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，过点D作DE⊥AB于点E，点E恰为AB的中点．若DE＝1 cm，BD＝2 cm，求AC的长．
22．（1）如图1，在AB直线一侧C、D两点，在AB上找一点P，使C、D、P三点组成的三角形的周长最短，找出此点并说明理由．
（2）如图2，在∠AOB内部有一点P，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、P三点组成的三角形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由．
（3）如图3，在∠AOB内部有两点M、N，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、M、N，四点组成的四边形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由．
23．如图，直线m，n的夹角为35°，相交于点O．
（1）作出△ABC关于直线m的对称△DEF；
（2）作出△DEF关于直线n的对称△PQR；
（3）△PQR还可以由△ABC经过一次怎样的变换得到．
24．如图：在长度为1个单位的小正方形组成的网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△AB′C′;
（2）△ABC的面积为________;
（3）在直线l上找一点P，使PB+PC的长最短，则这个最短长度为________ 个单位长度．（在图形中标出点P）
25．请你分别在下面的三个网格（两相邻格点的距离均为1个单位长度）中，各补画一个小正方形，要求：
①三个图形形状各不相同，②所设计的图案是轴对称图形．
26．如图，△ABC中，AB，AC的垂直平分线分别交BC于D，E两点，垂足分别是M，N.
(1)若△ADE的周长是10，求BC的长；
(2)若∠BAC＝100°，求∠DAE的度数．
27．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D．
(1)若BC＝10，BD＝6，则点D到AB的距离是多少？
(2)若∠BAD＝30°，求∠B的度数．
28．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，﹣3），点B的坐标为（﹣1，3），回答下列问题
(1)点C的坐标是 ．
(2)点B关于原点的对称点的坐标是 ．
(3)△ABC的面积为 ．
(4)画出△ABC关于x轴对称的△A′B′C′．
29．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=50°，DE是腰的垂直平分线.求∠DBC的度数.
30．已知点A（2m+n，2），B （1，n-m），当 m、n 分别为何值时，
(1)A、B 关于 x 轴对称；
(2)A、B 关于 y 轴对称．
