北师大版七年级数学下册第五单元生活中的轴对称简答题
专项训练（二 ）（解析版）
1．（1）CF=BD，且CF⊥BD，证明见解析；（2）（1）的结论仍然成立，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据同角的余角相等求出∠CAF=∠BAD，然后利用“边角边”证明△ACF和△ABD全等，根据全等三角形对应边相等可得CF=BD，全等三角形对应角相等可得∠ACF=∠B，然后求出∠BCF=90°，从而得到CF⊥BD；
（2）先求出∠CAF=∠BAD，然后与①的思路相同求解即可；
【详解】
解：（1）CF=BD，且CF⊥BD，证明如下：
∵∠FAD=∠CAB=90°，
∴∠FAC=∠DAB．
在△ACF和△ABD中，
，
∴△ACF≌△ABD
∴CF=BD，∠FCA=∠DBA，
∴∠FCD=∠FCA+∠ACD=∠DBA+∠ACD=90°，
∴FC⊥CB，
故CF=BD，且CF⊥BD．
（2）（1）的结论仍然成立，如图2，
∵∠CAB=∠DAF=90°，
∴∠CAB+∠CAD=∠DAF+∠CAD，
即∠CAF=∠BAD，
在△ACF和△ABD中，
，
∴△ACF≌△ABD，
∴CF=BD，∠ACF=∠B，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠ACB=45°，
∴∠BCF=∠ACF+∠ACB=45°+45°=90°，
∴CF⊥BD；
∴CF=BD，且CF⊥BD．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，根据同角的余角相等求出两边的夹角相等是证明三角形全等的关键，此类题目的特点是各小题求解思路一般都相同．
2．（1）∠AEG=140 ,∠BGE=40 ；（2）∠CFE=120
【解析】
【详解】
【分析】（1）如图，由折叠的性质可得，∠D′EF=∠FEG，根据平行线的性质可得，∠D′EF=∠EFG=20°，根据平角的定义即可求得∠AEG，从而再由平行线的性质求得∠BGE；
（2）由（1）可知∠GFC的度数，根据∠CFE=∠GFC-∠EFG进行计算即可得.
【详解】（1）由折叠的性质可得，∠D′EF=∠FEG，
∵AE//BG，∴∠D′EF=∠EFG=20°，
∴∠D′EG=∠D′EF+∠FEG=40°，
∴∠AEG=180°-∠D′EG=140°，
∵AE//BG，∴∠BGE=∠D′EG =40°；
（2）∵FC//DG，∴∠FGD+∠GFC=180°，
∵∠FGD=∠BGE=40°，∴∠GFC=140°，
∴∠CFE=∠GFC-∠EFG=140°-20°=120°.
【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题）；平行线的性质等，结合图形灵活运用相关知识解题是关键，注意要弄清折叠前后哪些量发生了变化，哪些量没有发生变化.
3．证明见解析
【解析】
【分析】
分析：先利用等边对等角证出∠B=∠C，再线段垂直平分线的性质得到ED=EC，进而得到∠EDC=∠C，利用等量代换得到∠EDC=∠B，最后利用平行线的判定即可证出结论.
详解：证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵EF垂直平分CD，
∴ED=EC，
∴∠EDC=∠C，
∴∠EDC=∠B，
∴DE∥AB．
点睛：本题考查了等腰三角形的性质、垂直平分线的性质、平行线的判定.利用等腰三角形的性质、垂直平分线的性质证出∠EDC=∠B是解题的关键.
【详解】
请在此输入详解！
4．（1）详见解析；(2)“”和“”；(3)“”和“”；(4)他们示意的真实五位数是42635，图见解析.
【解析】
【详解】
试题分析：对应点应到的距离相等，找出几个关键点画出即可；
实物和镜子里的像，是关于镜面成轴对称，利用（1）即可求解；
正反两面的字关于这张纸成轴对称，利用（1）求解；
这5个数和所求的5个数同（3）一样，是成轴对称的；
试题解析：（1）“P”和“”；
(2)“”和“”．
(3)“”和“”．
(4)他们示意的真实五位数是42635，如图所示．
5．（1）详见解析；（2）详见解析.
【解析】
【详解】
试题分析：根据等角的余角相等易得此时根据ASA结合已知条件即可得出结论；
根据△AEF≌△CEB得得到垂直平分 得到，根据等边对等角得到根据三角形外角的性质得到即可证明.
试题解析：(1)因为 所以
又因为 所以
在△AEF和△CEB中，
所以△AEF≌△CEB(ASA)．
(2)由△AEF≌△CEB得
所以
在△ABC中，
所以.所以 .所以
因为
所以
即
6．12 345 678 987 654 321
【解析】
【详解】
试题解析：通过找规律可知111111111×111111111=12345678987654321.
故答案为12345678987654321.
7．（1）作图形见解析；（2）a+b=1
【解析】
【详解】
试题分析：（1）分别作出点A、B、C关于y轴对称的点，然后顺次连接，并写出△A1B1C1各顶点的坐标即可；（2）根据平移的性质写出点A2，B2的坐标，求出a、b的值，然后求出a+b的值即可．
试题解析：
（1）所作图形如图所示
（2）由图可得，A2（2，1），B2（4，﹣1），即a=2，b=﹣1，则a+b=1.
8．答案见解析
【解析】
【分析】
本题主要是根据轴对称图形的性质来作，就是从阴影部分图形的各顶点向虚线作垂线并延长相同的距离找对应点，然后顺次连接各点就可．
【详解】
所作图形如图：
【点睛】
本题考查的是作简单平面图形轴对称后的图形，其依据是轴对称的性质，基本作法：①先确定图形的关键点；②利用轴对称性质作出关键点的对称点；③按原图形中的方式顺次连接对称点．
9．原来的正方形纸片一共被剪成了5片,一个正方形,四个等腰三角形
【解析】
【详解】
试题分析：根据题目的要求，进行实际操作，即可得出结论．
试题解析：如图，将正方形纸片沿对角线对折一次，得到一个等腰直角三角形；再对折一次，得到一个较小的三角形；最后，再对折一次，然后将所得的小等腰直角形用剪刀沿斜边上的高线剪开，那么展开后，原来的正方形纸片一共被剪成了5片，一个正方形，四个等腰三角形.
10．见解析
【解析】
【详解】
试题分析：根据线段、圆及正方形是轴对称图形，所以可根据可在圆中画对称的线段、圆及正方形即可．
试题解析：
11．图中有阴影的三角形与三角形1，3成轴对称；整个图形是轴对称图形；它共有2条对称轴
【解析】
【分析】
根据轴对称、轴对称图形的概念以及对称轴的概念进行解答即可．
【详解】
解：图中有阴影的三角形与三角形1、3成轴对称，
整个图形是轴对称图形，
它共有2条对称轴.
12．10cm
【解析】
【详解】
试题分析：设点P关于OA的对称点是E，关于OB的对称点是F，当点R、Q在EF上时，△PQR的周长=PQ+QR+PR=EF，此时周长最小．
试题解析：作出点P关于OA的对称点E，作出点P关于OB的对称点F，连接EF，交OA于Q，交OB于R．连接PQ，PR，PE，PF，OE，OF，
则PQ=EQ，PR=RF，
则△PQR的周长=PQ+QR+PR=EQ+QR+RF=EF，
∵∠AOP=∠AOE，∠POB=∠FOB，∠AOB=∠AOP+∠POB=30°，
∴∠EOF=90°，
又∵OE=OP，OF=OP，
∴OE=OF=10，
即△EOF是等边三角形，
∴EF=OP=10，
所以△PQR的周长的最小值为10．
13．AM＝PD＋PE＋PF，理由见解析
【解析】
【详解】
试题分析：连接AP、BP、CP，根据面积相等，又利用△ABC是等边三角形，即可得PE+PD+PF=AM.
试题解析：PE+PD+PF=AM，理轴如下：
连接AP、BP、CP，
∵S△ABP+S△BCP+S△ACP=S△ABC，
∴AB×PE+BC×PD+AC×PF＝BC×AM，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，
∴PE+PD+PF=AM．
14．AD是线段EF的垂直平分线，理由见解析
【解析】
【详解】
试题分析：由AD为△ABC的角平分线，得到DE=DF，推出∠AEF和∠AFE相等，得到AE=AF，即可推出结论.
试题解析：∵AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，∠AED=∠AFD=90°，
∴∠DEF=∠DFE，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，
∴点A、D都在EF的垂直平分线上，
∴AD垂直平分EF．
15．同意，理由见解析
【解析】
【详解】
试题分析：连接OE、OF，根据等边三角形角平分线的性质，可得∠OBC=∠OCB=30°，由BC的垂直平分线，可知BE=OE，∠EBO=∠EOB=30°，∠OEF=60°，再证，∠OFE=60°，得出△OEF为等边三角形，从而可知EF=OE=BE=OF=FC，得出结论．
试题解析：同意．理由如下：
连接OE、OF，
∵E为BO垂直平分线上的点，且∠OBC=30°，
∴BE=OE，∠EBO=∠EOB=30°，
∴∠OEF=∠EBO+∠EOB=60°，
同理，∠OFE=∠FCO+∠FOC=60°，
∴△OEF为等边三角形，
即EF=OE=BE，EF=OF=FC，
故E、F为BC的三等分点，
故该说法正确．
【点睛】本题考查了等边三角形各内角为60°的性质，考查了垂直平分线的性质，得到△OEF为等边三角形是关键．
16．见解析
【解析】
【详解】
试题分析：（1）应从图形的对称性，以及图形中阴影部分的面积入手考虑．
（2）只需符合是轴对称图形，阴影部分面积为4即可．最简单的是相邻4个小正方形组成一个较大的正方形，或者一个长方形．
试题解析：（1）答案不唯一，例如四个图案具有的共同特征可以是：
①都是轴对称图形；
②面积都等于四个小正方形的面积之和；
（2）答案示例：
17．见解析
【解析】
【详解】
试题分析：①利用角平分线的作法得出BM；
②首先作出BC的垂直平分线，进而得出BC的中点，进而得出边BC上的中线AE.
试题解析：①如图所示：BM即为所求；
②如图所示：AE即为所求.
18．详见解析.
【解析】
【详解】
分析：根据轴对称图形的定义，把图形沿一条直线对折，直线两侧的部分能够互相重合，这样的直线就是图形的对称轴，据此即可作出．
本题解析：
（1）答案不唯一，
（2）答案不唯一，
19．（1）见解析；（2）DE=DF，理由见解析
【解析】
【详解】
试题分析：（1）首先利用等腰三角形的性质得到∠B=∠C，再结合平行线的性质得到∠AEF=∠AFE，利用等角对等边即可证得；
（2）根据等腰三角形三线合一的性质证得AD是线段EF的垂直平分线，然后根据线段的垂直平分线的性质即可证得．
试题解析：（1）∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠B，∠AFE=∠C．
又∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，即△AEF是等腰三角形；
（2）DE=DF．理由如下：
∵AD是等腰三角形ABC的底边上的高，
∴AD也是∠BAC的平分线，
又∵△AEF是等腰三角形，
∴AG是底边EF上的高和中线，
∴AD⊥EF，GE=GF，
∴AD是线段EF的垂直平分线，
∴DE=DF．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，以及线段的垂直平分线的性质，正确证明AD是线段EF的垂直平分线是关键．
20．见解析
【解析】
【详解】
试题分析：作出A镇关于燃气管道的对称点A′，连接A′B，根据轴对称确定最短路线问题，A′B与燃气管道的交点即为所求的点P的位置．
试题解析：作点A关于燃气管道的对称点A′，连接A′B交燃气管道于点P，即点P即为所求．
21．17
【解析】
【分析】
首先根据角平分线以及平行线的性质得出BM=OM，CN=ON，然后根据三角形的周长得出AB+AC=29，最后根据AB的长度求出AC的长度．
【详解】
解：∵BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，MN∥BC，
∴BM=MO，CN=NO，
∴AM+MB+AN+NC=AM+MO+AN+NO=29．
∴AB+AC=29，
∵AB=12，
∴AC=17．
22．证明见解析.
【解析】
【分析】
可用逆推法，欲证△ABC是等腰三角形，由图可知应证AB=BC，由“等角对等边”，应想到只要证∠A=∠C．由角的互余关系可知∠A＋∠BDE=90°，∠C＋∠CEF=90°，∠CEF =∠BED，由BD=BE可知∠BED=∠BDE，可得∠A=∠C，本题得证．
【详解】
∵BD＝BE，
∴∠BDE＝∠BED，
又∵∠BED＝∠CEF，
∴∠BDE＝∠CEF，
又∵DF⊥AC，
∴∠A+∠BDF＝90°，∠C+∠CEF＝90°
∴∠A＝∠C，
∴AB＝BC(等角对等边)，
∴△ABC是等腰三角形．
23．见解析
【解析】
【详解】
试题分析：
(1) 对于图(1)，先选择一条直线作为待作图形的对称轴，再将已有图形按所选择的对称轴作轴对称，若所得图形只有一条对称轴，则可按该图形填涂空白方格，若所得图形存在不只一条对称轴，则重新选择对称轴尝试. 对于图(2)，可以先分析原有图形的对称轴，再以原有图形的对称轴为参照，观察方格添加的位置是否引起原图形对称轴数量的变化，从而确定图形形状.
(2) 对于图(3)，这一类型题目的作法是利用轴对称的性质和三角形三边关系中的“两边之和大于第三边”得到的. 首先，作出点B关于直线MN的对称点B'；然后，连接点B'与点A，所得线段AB'与直线MN的交点即为所求点P. 对于图(4)，这一类型题目的作法是利用轴对称的性质和三角形三边关系中的“两边之差小于第三边”得到的. 首先，作出点B关于直线MN的对称点B'；然后，连接点B'与点A，并延长所得线段AB'至与直线MN相交，此交点即为所求点P.
试题解析：
(1) 如图所示：
(2) 如图所示，点P即为所求：
(注：图中给出了一种尺规作图的解法. 在题目中无明确要求的前提下，也可以使用三角板等工具进行相关的轴对称作图.)
点睛：
本题的第(1)小题考查了利用轴对称性质进行图案设计的相关知识，重点在于能否准确地找到所设计图案的全部对称轴. 本题的第(2)小题是一个重点题目，这两种问题的作图解法可以灵活整合到多种类型题目中. 要对这两种问题的解法熟练掌握，对其推理过程也要充分了解.
24．画图见解析.
【解析】
【详解】
分析：直接利用轴对称图形的性质结合网格得出符合题意的图形即可.
解：如图所示：
点睛：作简单平面图形轴对称后的图形,其依据是轴对称的性质.基本作法:先确定图形的关键点;利用轴对称性质做出关键点的对称点;按原图形中的方式顺次连接对称点.
25．CD的长度为5cm,∠B的度数为26°．
【解析】
【详解】
试题分析：根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CD=DE；再根据角平分线的定义求出∠BAC，然后利用直角三角形两锐角互余求解即可．
试题解析：∵AD平分∠BAC ，ＤE⊥AB，DC⊥AＣ，∴CD=ＤE=5cm，
又∵AD平分∠BAC，∴∠BAC=2∠CAD=2×32°=64°，
∴∠B=90°﹣∠BAC=90°﹣64°=26°．
26．AE为牧童要走的最短路程；1300米
【解析】
【详解】
试题分析：首先作点B关于CD的对称点E，根据对称的性质得出△MDE≌△MDB，从而得出AE为牧童要走的最短路程，然后根据Rt△ANE的勾股定理得出答案.
试题解析：
点B关于CD的对称点E， 由对称的性质可知，BD=ED，∠EDM=∠MDB，DM=DM， ∴△MDE≌△MDB，
∴BM=ME，BM+AM=ME+AM=AE，即AE为牧童要走的最短路程．
∵EN=CD=500米，AN=NC+AC=700+500=1200米，
∴在Rt△ANE中，AE==1300米．
故牧童至少要走1300米．
考点：（1）、对称性的应用；（2）、勾股定理的应用
27．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据角平分线性质可证ED=EC，从而可知△CDE为等腰三角形，可证∠ECD=∠EDC；
（2）由OE平分∠AOB，EC⊥OA，ED⊥OB，OE=OE，可证△OED≌△OEC，可得OC=OD；
（3）根据ED=EC，OC=OD，可证OE是线段CD的垂直平分线．
【详解】
证明：（1）∵OE平分∠AOB，EC⊥OA，ED⊥OB，
∴ED=EC，即△CDE为等腰三角形，
∴∠ECD=∠EDC；
（2）∵点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，
∴∠DOE=∠COE，∠ODE=∠OCE=90°，OE=OE，
∴△OED≌△OEC（AAS），
∴OC=OD；
（3）∵OC=OD，且DE=EC，
∴OE是线段CD的垂直平分线．
【点睛】
本题考查了角平分线性质，线段垂直平分线的判定，等腰三角形的判定，三角形全等的相关知识．关键是明确图形中相等线段，相等角，全等三角形．
28．17km．
【解析】
【分析】
首先作点A关于MN的对称点A’,连接A’B，根据轴对称性得出最短距离，然后根据直角三角形的勾股定理得出最短距离为多少．
【详解】
作点A 关于直线MN的对称点A’,连接A’B，
则A’B就是所走的最短路程
AA’=4×2=8km
∴A’O= AA’＋OA=8+7=15km
由勾股定理得
(A’B)2= (O A’)2+ (OB) 2=152+82=289
∴A’B==17km
29．(1) 45°；(2)不变，理由见解析．
【解析】
【分析】
（1）根据等腰直角三角形的性质求出∠B=∠ACB=45°，根据等边对等角的性质求出∠BAD=∠BDA，∠E=∠CAE，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和即可求出∠DAE的度数；
（2）由BD=BA可得∠BAD=∠BDA=（180°-∠B），由CE=CA可得∠E=∠CAE=∠ACB=（90°-∠B），再根据三角形外角的性质即可得到结论．
【详解】
解：（1）∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°，
∵BD=BA，
∴∠BAD=∠BDA=（180°-45°）=67.5°，
∵CE=CA，
∴∠E=∠CAE=×45°=22.5°，
∴∠DAE=∠BDA-∠E=67.5°-22.5°=45°；
（2）∵BD=BA，
∴∠BAD=∠BDA=（180°-∠B），
∵CE=CA，
∴∠E=∠CAE=∠ACB=（90°-∠B），
∴∠DAE=∠BDA-∠E=（180°-∠B）-（90°-∠B）=90°-∠B-45°+∠B=45°，
即∠DAE的度数不变．
【点睛】
本题考查的是等腰三角形的性质，三角形的外角性质，解答本题的关键是熟练掌握三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
30．见解析.
【解析】
【详解】
试题分析：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形.
答案不唯一，如图所示：
考点：基本作图-轴对称图形
点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握轴对称图形的定义，即可完成.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页北师大版七年级数学下册第五单元生活中的轴对称
简答专项训练（二 ）
1．如图1所示，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为直角边，A为直角顶点，在AD左侧作等腰直角三角形ADF，连接CF，AB=AC，∠BAC=90°．
（1）当点D在线段BC上时（不与点B重合），线段CF和BD的数量关系与位置关系分别是什么？请给予证明．
（2）当点D在线段BC的延长线上时，（1）的结论是否仍然成立？请在图2中画出相应的图形，并说明理由．
2．如图1，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G．若∠EFG=20°，
（1）求∠AEG，∠BGE的度数．（2）再沿GF折叠成如图2，求图2中的∠CFE的度数.
图1 图2
3．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC边上一点，EF垂直平分CD，交AC于点E，交BC于点F，连结DE，求证：DE∥AB．
4．操作与探究．
(1)分别画出图①中“”和“”关于直线l的对称图形(画出示意图即可)．
(2)图②中小冬和小亮上衣上印的字母分别是什么？
(3)把字母“”和“”写在薄纸上，观察纸的背面，写出你看到的字母背影．
(4)小明站在五个学生的身后，这五个学生正向前方某人用手势示意一个五位数，从小明站的地方看(如图③所示)，这个五位数是23456.请你判断出他们示意的真实五位数是多少？
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，AE＝CE，
试说明：(1)△AEF≌△CEB；
(2)∠ABF＝2∠FBD；
6．小威在计算时发现：11×11＝121，111×111＝12 321，1 111×1 111＝1 234 321，…，他从中发现了一个规律．请根据他所发现的规律很快地写出111 111 111×111 111 111＝________________________________________________________________________.
7．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示.
（1）在图中画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1
（2）若将线段A1B1 平移后得到线段A2B2，且A2（a，1），B2（4，b），求a+b的值.
8．把如图中所示的某两个空白小方格涂上阴影，使整个图形是以虚线为对称轴的轴对称图形.
9．如图,将正方形纸片沿对角线对折一次,得到一个等腰直角三角形;再对折一次,得到一个较小的三角形;最后,再对折一次,然后将所得的小等腰直角形用剪刀沿斜边上的高线剪开,那么展开后,原来的正方形纸片一共被剪成了几片 都是什么图形
10．生活中因为有美丽的图案,才显得丰富多彩,以下是来自现实生活中的图标(图1).请在图2、图3中画出两个是轴对称图形的新图案,并给它们各给出一句形象、诙谐的解说词.
11．图中有阴影的三角形与哪些三角形成轴对称，整个图形是轴对称图形吗，它共有几条对称轴
12．如图，∠AOB＝30°，角内有一点P，PO＝10cm，两边上各有一点Q，R(均不同于点O)，则△PQR的周长的最小值是多少？
13．如图，在等边△ABC中，P为△ABC内任意一点，PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，AM⊥BC于M，试猜想AM、PD、PE、PF之间的关系，并说明你的猜想．
14．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，直线AD交EF于点O.问直线AD是线段EF的垂直平分线吗？请说明理由．
15．如图，在等边三角形ABC中，∠B、∠C的平分线相交于点O，作BO、CO的垂直平分线分别交BC于点E、F.小明说：“E、F是BC的三等分点．”你同意他的说法吗？请说明理由．
16．（1）观察图的①～④中阴影部分构成的图案，请写出这四个图案都具有的两个共同特征；
（2）借助图⑤的网格，请设计一个新的图案，使该图案同时具有你在解答（1）中所写出的两个共同特征．（注意：新图案与①～④的图案不能重合）
17．如图，在△ABC中，利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母（保留作图痕迹，不写作法）.
①作∠CBD的平分线BM；
②作边BC上的中线AE，与BC相交于点E.
18．如图，是由4个大小相同的正方形组成的L形图案．
(1)请你改变其中一个正方形的位置，使它变成轴对称图形；
(2)请你再添加一个小正方形，使它变成轴对称图形．
19．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，点E,F分别是边AB,AC的中点，且EF∥BC．
（1）试说明△AEF是等腰三角形；
（2）试比较DE与DF的大小关系，并说明理由.
20．下图，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？（不写做法，保留作图痕迹）
21．如图，BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，且MN∥BC，若AB=12，△AMN的周长为29，求AC的长．
22．如图所示，D为△ABC的边AB的延长线上一点，过D作DF⊥AC，垂足为F，交BC于E，且BD＝BE，求证△ABC是等腰三角形．
23．（1）如图，在“4×4”正方形网格中，已有2个小正方形被涂黑．请你分别在下面2张图中再将若干个空白的小正方形涂黑，使得涂黑的图形成为轴对称图形．（图（1）要求只有1条对称轴，图（2）要求只有2条对称轴）．
（只有1条对称轴） （只有2条对称轴）
图⑴ 图⑵
⑵如图，A、B为直线MN外两点，且到MN的距离不相等．分别在MN上求一点P，并满足如下条件：①在图⑶中求一点P使得PA+PB最小； ②在图⑷中求一点P使得｜PA－PB｜最大．
（不写作法，保留作图痕迹）
24．如图，阴影部分是由5个小正方形组成的一个直角图形，请用四种方法分别在如图方格内添涂黑二个小正方形，使阴影部分成为轴对称图形．
25．如图，在△ABC中，∠Ｃ=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，如果DE=5cm，∠CAD=32°，求CD的长度及∠B的度数．
26．如图,草原上,一牧童在A处放马,牧童家在B处,A、B处距河岸的距离AC,BD的长分别为500m和700m,且CD=500m,天黑前牧童从A点将马牵到河边去饮水后,再赶回家,牧童将马牵到河边什么地方饮水,才能使走过的路程最短？牧童最少要走多少m
27．如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C、D．
求证：（1）∠ECD=∠EDC；
（2）OC=OD；
（3）OE是线段CD的垂直平分线．
28．如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km，北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家．他要完成这件事情所走的最短路程是多少？
29．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在BC上，且BD＝BA，点E在BC的延长线上，且CE＝CA．
(1)试求∠DAE的度数；
(2)如果把原题中“AB＝AC”的条件去掉，其余条件不变，那么∠DAE的度数会改变吗．为什么．
30．由16个相同的小正方形拼成的正方形网格，现将其中的两个小正方形涂黑（如图）．请你用两种不同的方法分别在上图中再将两个空白的小正方形涂黑，使它成为轴对称图形．
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