北师大七年级数学下册第四单元三角形简答题专项练习（一）（解析版）
1．（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据全等三角形的判定证明△ABD≌△ACE（SAS）即可；
（2）由△ABD≌△ACE证得∠B=∠C，进而证得△ACM≌△ABN（ASA），再根据全等三角形的性质可证得结论．
【详解】
（1）证明：在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE；
（2）证明：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠DAE=∠2+∠DAE，
即∠BAN=∠CAM，
由（1）知：△ABD≌△ACE，
∴∠B=∠C，
在△ACM和△ABN中，
，
∴△ACM≌△ABN（ASA），
∴∠M=∠N．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键．
2．（1）①见解析；②见解析；（2）见解析；（3）
【解析】
【分析】
（1）①由∠ACB=90°，得∠ACD+∠BCE=90°，而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，则∠ADC=∠CEB=90°，根据等角的余角相等得到∠ACD=∠CBE，证得Rt△ADC≌Rt△CEB，
②由Rt△ADC≌Rt△CEB，得出AD=CE，DC=BE，即可得到DE=DC+CE=BE+AD．
（2）根据等角的余角相等得到∠ACD=∠CBE，证得△ADC≌△CEB，得到AD=CE，DC=BE，所以DE=CECD=ADBE．
（3）DE、AD、BE具有的等量关系为：DE=BEAD．证明的方法与（2）相同．
【详解】
解：（1）①证明：于点，于点，，
，，
．又，；
②证明：由①知，，，．
，；
（2）证明：于点，于点，
，，．，
又，，，，
；
（3）（或，）．
由（2）的方法证得△ADC≌△CEB，
∴AD=CE，DC=BE，
∴DE=CDCE=BEAD．
【点睛】
本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角．也考查了直角三角形全等的判定与性质．
3．15°
【解析】
【分析】
先在△ABC中，求出∠BAC的大小，从而得出∠CAD的大小，然后在△AEC中，求出∠CAE的大小，最后在△ADE中求出∠DAE的大小.
【详解】
在△ABC中，因为∠B=40°，∠C=70°，
所以∠BAC=180°–∠B–∠C=70°．
因为AD为∠BAC的平分线，
所以∠CAD=∠BAC=35°．
因为AE⊥BC，所以∠AEC=90°．
所以∠CAE=90°–∠C=20°．
所以∠DAE=∠CAD–∠CAE=15°．
【点睛】
本题考查角度的推导，在角度的推导中，需要注意，我们常会用到三角形内角和为180°这个隐含条件.
4．见解析
【解析】
【分析】
根据三角形的第三边大于任意两边之差而小于任意两边之和，则BD－BC＜CD，再根据题意得到CD=AD－AC=AD－AB，进行求解即可．
【详解】
证明：∵在△BCD中，BD－BC＜CD,
∵CD=AD－AC且AB＝AC，
则CD=AD－AC=AD－AB,
即BD－BC＜AD－AB．
【点睛】
此题考查三角形三边的关系，解题关键在于掌握三角形的三边关系．
5．（1）1【解析】
【分析】
(1)根据三角形三边关系进行求解即可得；
(2)根据平行线的性质求得∠AEC的度数，继而根据三角形内角和定理即可求得答案.
【详解】
(1)在△BCD中，BD-BC又∵BC=4，BD=5，
∴5-4即1(2)∵AE∥BD，∠BDE=125°，
∴∠AEC=180°-∠BDE=55°，
又∵∠A+∠C+∠AEC=180°，∠A=55°，
∴∠C=70°．
【点睛】
本题考查了三角形三边关系，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识是解题的关键.
6．（1）证明见解析；（2) EF= BE-CF，理由见解析；（3）EF=CF-BE，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）求出△BEA≌△AFC，推出EA=FC，BE=AF，即可得出答案；
（2）求出△BEA≌△AFC，推出EA=FC，BE=AF，即可得出答案；
（3）求出△BEA≌△AFC，推出EA=FC，BE=AF，即可得出答案．
【详解】
（1）证明：∵BE⊥EA，CF⊥AF，
∴∠BAC=∠BEA=∠CFE=90°，
∴∠EAB+∠CAF=90°，∠EBA+∠EAB=90°，
∴∠CAF=∠EBA，
在△ABE和△CAF中，
∴△BEA≌△AFC（AAS），
∴EA=FC，BE=AF，
∴EF=EA+AF=BE+CF．
（2）证明：∵BE⊥EA，CF⊥AF，
∴∠BAC=∠BEA=∠CFE=90°，
∴∠EAB+∠CAF=90°，∠ABE+∠EAB=90°，
∴∠CAF=∠ABE，
在△ABE和△ACF中，
∴△BEA≌△AFC（AAS），
∴EA=FC，BE=AF，
∵EF=AF-AE，
∴EF=BE-CF．
（3）EF=CF-BE，
理由是：∵BE⊥EA，CF⊥AF，
∴∠BAC=∠BEA=∠CFA=90°，
∴∠EAB+∠CAF=90°，∠ABE+∠EAB=90°，
∴∠CAF=∠ABE，
在△ABE和△ACF中，
，
∴△BEA≌△AFC（AAS），
∴EA=FC，BE=CF，
∵EF=EA-AF，
∴EF=CF-BE．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目，证明过程类似．
7．零件不合格.理由见解析.
【解析】
【分析】
根据三角形外角的性质求出∠BDC的度数，与测量所得的度数对比即可得出结论．
【详解】
如图，∠CDE是△ADC的外角，∠BDE是△ABD的外角，
∵∠CDE=∠C+∠CAD，∠BDE=∠B+∠DAB，
∴∠BDC=∠CDE+∠BDE=∠C+∠CAD+∠B+∠DAB，
即
检验已量得就判断这个零件不合格.
【点睛】
考查三角形外角的性质，作出辅助线，求出∠BDC的度数是解题的关键.
8．证明见解析
【解析】
【分析】
根据EA⊥AD，FD⊥AD，得出∠EAD=∠FDB，再根据AB=DC得出AC=BD，最后根据SAS证出△EAC≌△FDB，即可得出∠ACE=∠DBF．
【详解】
解：∵EA⊥AD，FD⊥AD，∴∠EAD=∠FDB=90°．
又∵AB=DC，∴AB+BC=DC+BC，即AC=BD．
在△EAC和△FDB中，∵AE＝DF，∠EAD＝∠FDB，AC＝BD，
∴△EAC≌△FDB，∴∠ACE=∠DBF．
9．（1）∠EAD=20°；（2）2∠EAD=∠C-∠B．
【解析】
【分析】
（1）由三角形内角和定理可求得∠BAC=80°，在Rt△ADC中，可求得∠DAC＝20°，AE是角平分线，有∠EAC=∠BAC=40°，由∠EAD=∠EAC-∠DAC即可得到答案；
（2）由（1）知，用∠C和∠B表示出∠EAD，即可知2∠EAD与∠C-∠B的关系．
【详解】
解：（1）∵∠B=30°，∠C=70°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=80°．
∵AE是角平分线，
∴∠EAC=∠BAC=40°．
∵AD是高，∠C=70°，
∴∠DAC=90°-∠C=20°，
∴∠EAD=∠EAC-∠DAC=40°-20°=20°；
（2）由（1）知，∠EAD=∠EAC-∠DAC=∠BAC-（90°-∠C）①，
把∠BAC=180°-∠B-∠C代入①，
整理得，∠EAD=∠C-∠B，
所以2∠EAD=∠C-∠B．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理、角的平分线的性质、直角三角形的性质，结合图形，灵活运用角度的计算是本题的解题关键．
10．当AC⊥BC时，DE⊥AB.
【解析】
【分析】
利用“边边边”证明△AED和△BCD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠AED=∠C，再根据垂直的定义证明即可．
【详解】
当AC⊥BC时，DE⊥AB.
理由如下：∵AC⊥BC，∴∠C＝90°.
在△AED和△BCD中，∵
∴△AED≌△BCD(SSS)，∴∠AED＝∠C＝90°，∴DE⊥AB.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，垂直的定义，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
11．（1）详见解析；（2）当点E运动5s或2s时，CF＝AB.
【解析】
【分析】
（1）根据余角的性质即可得到结论；（2）如图，当点E在射线BC上移动时，若E移动5s，则BE=2×5=10cm，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论．
【详解】
(1)∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠A＋∠ACD＝90°，∠BCD＋∠ACD＝90°，∴∠A＝∠BCD.
(2)如图，当点E在射线BC上移动5s时，CF＝AB.可知BE＝2×5＝10(cm)，∴CE＝BE－BC＝10－3＝7(cm)，∴CE＝AC.∵∠A＝∠BCD，∠ECF＝∠BCD，∴∠A＝∠ECF.(5分)在△CFE与△ABC中,
∴△CFE≌△ABC，∴CF＝AB.(7分)当点E在射线CB上移动2s时，CF＝AB.可知BE′＝2×2＝4(cm)，∴CE′＝BE′＋BC＝4＋3＝7(cm)，∴CE′＝AC.在△CF′E′与△ABC中
∴△CF′E′≌△ABC，∴CF′＝AB.
综上可知，当点E运动5s或2s时，CF＝AB.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，余角的性质，熟练正确全等三角形的判定和性质是解题的关键．
12．见解析．
【解析】
【分析】
由已知角相等，利用等式的性质结合图形得到∠DAB=∠EAC，利用SAS得到△EAC≌△DAB，利用全等三角形对应边相等即可得证．
【详解】
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，即∠DAB=∠EAC，
在△EAC和△DAB中，，
∴△EAC≌△DAB（SAS），
∴BD=EC．
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理与性质是解本题的关键．
13．(1) 见解析； (2)(1)中结论不成立．DE＝BD－CE. 探究过程见解析.
【解析】
【分析】
（1）由AAS证明△ABD≌△CAE，得到BD=AE，AD=CE，即可解决问题．（2）由AAS证明证明△ABD≌△CAE，得出BD=AE，AD=CE，即可得出结论．
【详解】
(1)因为BD⊥l，CE⊥l，
所以∠ADB＝∠AEC＝90°.
所以∠DBA＋∠BAD＝90°.
又因为∠BAC＝90°，
所以∠BAD＋∠CAE＝90°.
所以∠DBA＝∠CAE.
因为AB＝AC，∠ADB＝∠CEA＝90°，
所以△ABD≌△CAE(AAS)．
所以AD＝CE，BD＝AE.
则AD＋AE＝BD＋CE，
即DE＝BD＋CE.
(2)(1)中结论不成立．
DE＝BD－CE.
同(1)说明△ABD≌△CAE，
所以BD＝AE，AD＝CE.
又因为AE－AD＝DE，
所以DE＝BD－CE.
【点睛】
本题考查全等三角形的判定及其性质、等腰直角三角形的性质；解题关键是熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等．
14．(1)全等三角形的对应边相等；(2)③难以实现；(3)见解析 (答案不唯一，只要设计合理即可)．
【解析】
【分析】
（1）利用了证明全等三角形边角边的设计原理；
（2）如果不借助测量仪，小明和小月无法使得EC∥AB；
（3）还可以利用相似三角形原理即可，这样所要的空间较少．
【详解】
（1）∵EC∥AB，
∴∠CEF=∠BAF，
∵AF=FE，∠BFA=∠EFC，
∴△BAF≌△CEF（ASA），
∴小明和小月运用了全等三角形（边角边）原理；
（2）如果不借助测量仪，小明和小月无法使得EC∥AB；
（3）还可以这样设计： ①从点A出发沿河画一条射线AE； ②在AE上截取AF=5FE； ③过E作EC∥AB，使得B，F，C点在同一直线上；④则CE的5倍的长就是AB之间的距离．
【点睛】
本题考查全等三角形的应用，将数学知识与实际问题相结合，能增加学生们的学习兴趣，提高学习积极性，锻炼学生由实际问题抽象出几何图形的建模能力．
15．（1）证明见解析（2）125°
【解析】
【分析】
（1）根据AAS即可判定△ABF≌△ECF．（2）利用平行四边形对角相等即可证明．
【详解】
（1）证明：在△ABF和△ECF中，
，
∴△ABF≌△ECF（AAS）
（2）解：∵∠1=∠2（已知），
∴AB∥ED（内错角相等，两直线平行），
∵AD∥BC（已知），
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边平行的四边形是平行四边形），
∴∠D=∠B=125°（平行四边形的对角相等）．
【点睛】
本题考查全等三角形的证明、平行线的判定和性质，解题关键是熟练掌握性质.
16．钻头沿DO方向打孔，一定从点B处打出，理由见解析
【解析】
【分析】
根据已知证明△AOB≌△COD(SAS)，得∠AOB＝∠COD,证明D，O，B三点在同一直线上即可解释.
【详解】
因为OC与地面平行，确定了A，O，C三点在同一直线上，通过说明△AOB≌△COD可得D，O，B三点在同一直线上．
解：在△AOB和△COD中，
因为OA＝OC，∠OAB＝∠OCD＝90°，AB＝CD，
所以△AOB≌△COD(SAS)，
所以∠AOB＝∠COD(全等三角形的对应角相等)．
又因为∠AOB＋∠BOC＝180°，
所以∠BOC＋∠COD＝180°，
即∠BOD＝180°，
所以D，O，B三点在同一直线上，
所以钻头沿DO方向打孔，一定从点B处打出．
【点睛】
本题考查了全等三角形的应用,属于简单题,证明三角形全等,熟悉全等三角形的性质是解题关键.
17．(1)见解析；(2)见解析.
【解析】
【分析】
（1）观察图形，根据△ABC的特征，利用全等三角形的判定方法即可得出符合题意的答案；（2）结合图形，根据三角形面积求法即可得出答案．
【详解】
(1)如图①所示，△DEF(或△KHE，△KHD)即为所求．
(2)如图②所示，△KFH(或△KHG，△KFG)即为所求．
【点睛】
本题考查了格点的特征、全等三角形的判定方法及三角形的面积求法，熟练运用格点的特征是解决问题的关键.
18．(1)见解析；（2）正确，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据全等三角形的判定得出即可．
（2）求出∠EAO=∠DAO，∠AEO=∠ADO=90°，根据AAS证△AEO≌△ADO，推出AE=AD，根据ASA证△ADB≌△AEC，推出AB=AC即可．
（3）根据垂直和角平分线性质得出OE=OD，∠BEO=∠CDO=90°，根据ASA推出△BEO≌△CDO即可．
【详解】
(1)共4对，分别是△AOE≌△AOD，△BOE≌△COD，△AOB≌△AOC，△ABD≌△ACE.
(2)正确．
因为CE⊥AB于点E，BD⊥AC于点D，
所以∠AEO＝∠ADO.
因为AO平分∠BAC，
所以∠OAE＝∠OAD.
在△AOE和△AOD中，
因为∠AEO＝∠ADO，∠OAE＝∠OAD，AO＝AO，
所以△AOE≌△AOD，
所以AE＝AD.
在△ADB和△AEC中，
因为∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，∠ADB＝∠AEC，
所以△ADB≌△AEC，
所以AB＝AC，
所以AB－AE＝AC－AD，
即BE＝CD.
(3)答案不唯一，如可先说明△AOE≌△AOD，得到OE＝OD，再说明△BOE≌△COD，得到BE＝CD.
【点睛】
本题考查全等三角形的性质和判定，角平分线性质的应用，解题关键是：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应角相等，对应边相等．
19．a=6cm,b=8cm,c=l0cm
【解析】
【详解】
试题分析：根据a+b+c=24，然后再联立两方程得出方程组，解出a、b、c即可．
试题解析：解：由题意得：，解得：．
答：a的长度为6cm，b的长度为8cm，c的长度为10cm．
20．(1)AE∥BF，QE＝QF；(2) QE=QF，理由见解析.
【解析】
【分析】
(1)根据AAS推出△AEQ和△BFQ全等即可得出答案；
(2)延长EQ交BF于D，求出△AEQ和△BDQ全等，根据全等三角形的性质得出EQ=QD，根据直角三角形斜边上中点性质得出即可．
【详解】
(1)如图1,
当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是AE∥BF，QE与QF的数量关系是QE=QF,
理由：∵Q为AB的中点，
∴AQ=BQ，
∵AE⊥CQ，BF⊥CQ，
∴AE∥BF，∠AEQ=∠BFQ=90°，
∴△AEQ≌△BFQ，
∴QE=QF；
(2)QE=QF证明：如图2，延长EQ交BF于D,
∵由(1)知：AE∥BF，
∴∠AEQ=∠BDQ，
∴△AEQ≌△BDQ，
∴EQ=DQ，
∵∠BFE=90°，
∴QE=QF ．
【点睛】
本题主要考查的就是三角形全等的证明与应用，难度中等．在解决这个问题的时候，我们要学会利用添加辅助线构造三角形全等，对直角三角形性质(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)的应用也要非常的熟练．
21．（1）见解析；（2）105°
【解析】
【分析】
（1）在证明△BEC≌△DEC时，根据题意知，运用SAS定理就行；
（2）根据全等三角形的性质知对应角相等，即∠BEC=∠DEC=∠BED，又由对顶角相等、三角形的一个内角的补角是另外两个内角的和求得∠EFD=∠BEC+∠CAD．
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠ECB=∠ECD=45°．
∴在△BEC与△DEC中，
∴△BEC≌△DEC（SAS）．
（2）解：∵△BEC≌△DEC，
∴∠BEC=∠DEC=∠BED，
∵∠BED=120°，
∴∠BEC=60°=∠AEF．
∴∠EFD=60°+45°=105°．
【点睛】
解答本题要充分利用正方形的特殊性质、全等三角形的判定与性质、以及对顶角相等等知识．
22．见解析．
【解析】
【详解】
试题分析：首先延长BP交AC于点D，再在△ABD中可得PB+PD＜AB+AD，在△PCD中，PC＜PD+CD然后把两个不等式相加整理后可得结论．
试题解析：证明：延长BP交AC于点D，
在△ABD中，PB+PD＜AB+AD①
在△PCD中，PC＜PD+CD②
①+②得PB+PD+PC＜AB+AD+PD+CD，
即PB+PC＜AB+AC，
即：AB+AC＞PB+PC．
23．见解析
【解析】
【详解】
试题分析：首先证明△ACN≌△MCB可得∠ANC=∠MBC，再证明△PCN≌△QCB可得PC=QC，再有∠MCN=60°可得△PCQ是等边三角形，进而得到∠PQC=60°，可证明PQ∥AB．
试题解析：∵△ACM和△BCN都是正三角形，
∴∠ACM=∠BCN=60°，AC=CM，BC=CN.
∵点C在线段AB上，
∴∠ACM=∠BCN=∠MCN=60°.
∴∠ACM+∠MCN=∠BCN+∠MCN=120°.
即∠NCA=∠BCM=120°.
∵在△ACN和△MCB中，
，
∴△ACN≌△MCB(SAS)，
∴∠ANC=∠MBC，
∵在△PCN和△QCB中，
，
∴△PCN≌△QCB(AAS)，
∴PC=QC，
∵∠PCQ=60°，
∴△PCQ是等边三角形，
∴∠PQC=60°，
∴∠PQC=∠QCB，
∴PQ∥AB.
点睛：此题主要考查等边三角形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质，证明△PCQ是等边三角形是解决问题的关键.
24．(1)，，DE，DE，DG，△CBH，△DEG. （2）证明见解析.
【解析】
【详解】
试题分析：（1）因为B是AC的中点，同理因为AC=DF，由上知根据上面求得：即可得△CBH≌△DEG.两个三角形对应的三边相等，则两个三角形全等，所以找出三角形对应的三边
（2）根据题中条件分析，再用SAS来证明即可
试题解析：（1）因为B是AC的中点，同理
因为AC=DF，由上知根据上面求得：
即可得△CBH≌△DEG.
故答案为，，DE，DE，DG，△CBH，△DEG.
(2)△AGC≌△FHD.
理由：因为△CBH≌△DEG，
所以∠C=∠D.因为CH=HG=DG，
所以CG=DH.
在△AGC和△FHD中，
因为AC=FD，∠C=∠D，CG=DH，
所以△AGC≌△FHD(SAS)．
25．AE=2
【解析】
【详解】
试题分析：根据中线能够把三角形的面积分成相等的两部分，求出的面积，根据三角形的面积公式求出AE的长.
试题解析：BD是AC边的中线，北师大七年级数学下册第四单元三角形简答题专项练习
1．已知△ABN和△ACM位置如图所示，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2．
（1）求证：BD=CE；
（2）求证：∠M=∠N．
2．如图，在中，，，直线经过点，且于点，于点．
（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①；②；
（2）当直线绕点旋转到如图2所示的位置时，求证：；
（3）当直线绕点旋转到如图3所示的位置时，试问，，具有怎样的数量关系？请直接写出这个等量关系，不需要证明．
3．如图，在△ABC中，AE⊥BC于点E，AD为∠BAC的平分线，∠B=40°，∠C=70°，求∠DAE的度数．
4．已知在△ABC中，AB＝AC，D在AC的延长线上，如图，求证：BD－BC＜AD－AB.
5．如图，在△BCD中，BC=4，BD=5．
（1）求CD的取值范围；
（2）若AE∥BD，∠A=55°，∠BDE=125°，求∠C的度数．
6．如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，分别过B，C向经过点A的直线EF作垂线，垂足为E，F．
（1）如图1，当EF与斜边BC不相交时，请证明EF=BE+CF；
（2）如图2，当EF与斜边BC相交时，其他条件不变，写出EF、BE、CF之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，猜想EF、BE、CF之间又存在怎样的数量关系，写出猜想，不必说明理由．
7．一个零件的形状如图，按规定∠A=90 ，∠ C=25 ，∠B=25 ，检验已量得∠BDC=150 ，就判断这个零件不合格，运用三角形的有关知识说明零件不合格的理由.
8．如图,点A，B，C，D在同一条直线上，EA⊥AD，FD⊥AD，AE=DF，AB=DC．
试说明：∠ACE=∠DBF．
9．如图，在△ABC中，AD⊥BC,AE平分∠BAC交BC于点E.
(1)∠B=30°，∠C＝70°,求∠EAD的大小；
（2）若∠B＜∠C,求证：2∠EAD=∠C-∠B．
10．如图，B，C都是直线BC上的点，点A是直线BC上方的一个动点，连接AB，AC得到△ABC，D，E分别为AC，AB上的点，且AD＝BD，AE＝BC，DE＝DC.请你探究，线段AC与BC具有怎样的位置关系时DE⊥AB？为什么？
11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝7cm，BC＝3cm，CD为AB边上的高．点E从点B出发沿直线BC以2cm/s的速度移动，过点E作BC的垂线交直线CD于点F.
(1)试说明：∠A＝∠BCD；
(2)当点E运动多长时间时，CF＝AB.请说明理由．
12．如图，在△AEC中，点D是EC上的一点，且AE=AD，AB=AC，∠1=∠2．求证：BD=EC．
13．如图①，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，过点A的直线l绕点A旋转，BD⊥l于D，CE⊥l于E.
(1)试说明：DE＝BD＋CE.
(2)当直线l绕点A旋转到如图②所示的位置时，(1)中结论是否成立？若成立，请说明；若不成立，请探究DE，BD，CE又有怎样的数量关系，并写出探究过程．
14．如图，小明和小月两家位于A，B两处隔河相望，要测得两家之间的距离，小明设计方案如下：
①从点A出发沿河岸画一条射线AM；
②在射线AM上截取AF＝FE；
③过点E作EC∥AB，使B，F，C在一条直线上；
④CE的长就是A，B间的距离．
(1)请你说明小明设计的原理．
(2)如果不借助测量仪，小明的设计中哪一步难以实现？
(3)你能设计出更好的方案吗？
15．如图，四边形ABCD中，点F是BC中点，连接AF并延长，交于DC的延长线于点E，且∠1=∠2．
（1）求证：△ABF≌△ECF；
（2）若AD∥BC，∠B=125°，求∠D的度数．
16．如图所示，工人师傅要在墙壁的O处用电钻打孔，要使孔口从墙壁对面的点B处打开．已知墙壁厚是35 cm，点B与点O的垂直距离AB长是20 cm，在点O处作一直线平行于地面，再在直线上截取OC＝35 cm，过点C作OC的垂线，在垂线上截取CD＝20 cm，连接OD，然后沿着DO 的方向打孔，结果钻头正好从点B处打出，这是什么道理？
17．如图，在6×10的网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形顶点叫作格点，△ABC的三个顶点和点D，E，F，G，H，K均在格点上，现以D，E，F，G，H，K中的三个点为顶点画三角形．
(1)在图①中画出一个三角形与△ABC全等，如△DEG；
(2)在图②中画出一个三角形与△ABC面积相等但不全等，如△HFG.
18．如图所示，已知CE⊥AB于点E，BD⊥AC于点D，BD与CE交于点O，且AO平分∠BAC.
(1)图中有多少对全等三角形？请你一一列举出来(不要求说明理由)．
(2)小明说：欲说明BE＝CD，可先说明△AOE≌△AOD得到AE＝AD，再说明△ADB≌△AEC得到AB＝AC，然后利用等式的性质即可得到BE＝CD，请问他的说法正确吗？如果不正确，请说明理由；如果正确，请按他的思路写出推导过程．
(3)要得到BE＝CD，你还有其他的思路吗？请仿照小明的说法具体说一说你的想法．
19．已知△ABC的周长是24cm，三边a，b，c满足c+a=2b，c-a=4cm，求a，b，c的长．
20．已知点P是Rt△ABC斜边AB上一动点(不与点A，B重合)，分别过点A，B向直线CP作垂线，垂足分别为点E，F，点Q为斜边AB的中点．
(1)如图①，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是________，QE与QF的数量关系是________；
(2)如图②，当点P在线段AB上且不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并说明理由．
(温馨提示：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)
21．在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AC上一点，连接EB、ED．
（1）求证：△BEC≌△DEC；
（2）延长BE交AD于F，当∠BED＝120°时，求∠EFD的度数．
22．已知：如图，是内一点．
求证：．
23．已知：如图，点C在线段AB上，以AC和BC为边在AB的同侧作正三角形△ACM和△BCN，连结AN、BM，分别交CM、CN于点P、Q．求证：PQ∥AB．
24．如图所示，已知B、E分别是线段AC、DF的中点，AC=DF，BF交CD于点H，AE交CD于点G，CH=HG=DG，BH=GE.
(1)填空：因为B、E分别是线段AC、DF的中点，所以CB=________AC，DE=________DF.因为AC=DF，所以CB=________.在△CBH和△DEG中，因为CB=________，CH=________，BH=________EG，所以________≌________(SSS)．
(2)除了(1)中的全等三角形外，请你再写出另外一对全等三角形，并说明理由．
25．如图，△ABC中，AE⊥BC，BD是AC边的中线，BF=1，BF∶FC=1∶3，△ABD的面积为2，求AE的长．
