北师大七年级数学下册第四单元三角形简答题专项练习（二）
1．如图，AB∥CD，∠BMN与∠DNM的平分线相交于点G．
（1）完成下面的证明：
∵MG平分∠BMN
∴∠GMN=∠BMN
同理∠GNM=∠DNM．
∵AB∥CD ，
∴∠BMN+∠DNM=
∴∠GMN+∠GNM=
∵∠GMN+∠GNM+∠G=
∴∠G=
∴MG与NG的位置关系是
（2）把上面的题设和结论，用文字语言概括为一个命题： ．
2．一个飞机零件的形状如图5—19所示，按规定∠A应等于90°，∠B，∠D应分别是20°和30°，康师傅量得∠BCD=143°，就能断定这个零件不合格，你能说出其中的道理吗
3．如图，房间内有一架梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA为a米，此时梯子的倾斜角为75°，若梯子斜靠在另一面墙时，顶端距地面的垂直距离NB为b米，梯子的倾斜角为45°，则这个房间的宽AB是多少米？为什么？
4．如图，一种零件的内径AB的大小不方便直接测量，现用卡钳（点O是线段AA 和BB 的中点）按如图所示进行操作，此时，只要测量线段A B 的长度，即可知道内径AB的长，请你画图，并说明其中的道理.
5．已知线段a和一个角∠（如图），请你利用尺规作图，作△ABC,使AB=AC=a,∠A=2（保留作图痕迹，不写作法）.
6．已知三角形的两边长分别为4和6.
（1）试确定三角形第三边长x的取值范围；
（2）若第三边的长为4的倍数，求三角形的周长.
7．某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：
①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A；
②沿河岸直走20步有一棵树C，继续前行20步到达D处；
③从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走；
④测得DE的长就是河宽AB．
请你说明他们做法的正确性．
8．如图，点E、C、D、A在同一条直线上，AB∥DF，ED=AB，∠E=∠CPD．
求证：BC=EF．
9．在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=2cm,CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC=BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F.若EF=5cm，求AE的长．
10．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC=4cm，若O是BC的中点，动点M在AB移动，动点N在AC上移动，且AN=BM ．
（1）证明：OM = ON；
（2）四边形AMON面积是否发生变化，若发生变化说明理由；若不变，请你求出四边形AMON的面积．
11．如图，已知点O是△ABC的两条角平分线的交点，
（1）若∠A=30°，则∠BOC的大小是________；
（2）若∠A=60°，则∠BOC的大小是________；
（3）若∠A=n°，则∠BOC的大小是多少？试用学过的知识说明理由．
12．已知一个三角形的两条边长分别是1cm和2cm，一个内角为40度．
（1）请你借助图1画出一个满足题设条件的三角形；
（2）你是否还能画出既满足题设条件，又与（1）中所画的三角形不全等的三角形？若能，请你在图1的右边用“尺规作图”作出所有这样的三角形；若不能，请说明理由；
（3）如果将题设条件改为“三角形的两条边长分别是3cm和4cm，一个内角为40°”，那么满足这一条件，且彼此不全等的三角形共有几个．
友情提醒：请在你画的图中标出已知角的度数和已知边的长度，“尺规作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹．
13．陆老师布置了一道题目：过直线l外一点A作l的垂线．（用尺规作图）
小淇同学作法如下：
（1）在直线l上任意取一点C，连接AC；
（2）作AC的中点O；
（3）以O为圆心，OA长为半径画弧交直线l于点B，如图所示；
（4）作直线AB．
则直线AB就是所要作图形．
你认为小淇的作法正确吗？如果不正确，请画出一个反例；如果正确，请给出证明．
14．如图，点B，F，C，E在直线l上（F，C之间不能直接测量），点A，D在l异侧，测得AB=DE，AC=DF，BF=EC．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）指出图中所有平行的线段，并说明理由.
15．如图，在△ABC和△CED中，AB∥CD，AB=CE，AC=CD.求证：∠B=∠E.
16．．如图①，在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 上的点，AB=AC，AD=AE，然后将△ADE 绕点 A 顺时针旋转一定角度，连接 BD，CE，得到图②，将 BD、CE 分别延长至 M、N，使 DM= BD，EN=CE，得到图③，请解答下列问题：
（1）在图②中，BD 与 CE 的数量关系是 ；
（2）在图③中，猜想 AM 与 AN 的数量关系，∠MAN 与∠BAC 的数量关系，并证明你的猜想．
17．小明和小亮在学习探索三角形全等时，碰到如下一题：如图1，若AC=AD，BC=BD，则△ACB与△ADB有怎样的关系？
（1）请你帮他们解答，并说明理由．
（2）细心的小明在解答的过程中，发现如果在AB上任取一点E，连接CE、DE，则有CE=DE，你知道为什么吗？（如图2）
（3）小亮在小明说出理由后，提出如果在AB的延长线上任取一点P，也有第2题类似的结论．请你帮他画出图形，并证明结论．
18．如图，P是等腰三角形ABC底边 BC上的任一点，PE⊥AB 于 E,PF⊥AC于F，BH是等腰三角形AC边上的高．猜想：PE、PF和BH间具有怎样的数量关系？
19．在中，，，点在的延长线上，是的中点，是射线上一动点，且，连接，作，交延长线于点．
（）如图，当点在上时，填空：__________（填“”、“”或“”）．
（）如图，当点在的延长线上时，请根据题意将图形补全，判断与的数量关系，并证明你的结论．
20．如图，在△ABC中，∠BAC是钝角，画出：
(1)∠BAC的平分线；
(2)AC边上的中线；
(3)AC边上的高；
(4)AB边上的高．
21．如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，AF=DE，AF和DE相交于点G
（1）观察图形，写出图中所有与∠AED相等的角．
（2）选择图中与∠AED相等的任意一个角，并加以证明．
22．（1）如图1，在正方形ABCD中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点，P是BC延长线上一点，N是∠DCP的平分线上一点．若∠AMN=90°，求证：AM=MN．
下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明．
证明：在边AB上截取AE=MC，连ME．正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，AB=BC．
∴∠NMC=180°—∠AMN —∠AMB=180°—∠B—∠AMB=∠MAB=∠MAE．
（下面请你完成余下的证明过程）
（2）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”（如图2），N是∠ACP的平分线上一点，则当∠AMN=60°时，结论AM=MN是否还成立？请说明理由．
（3）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正边形ABCD……X”，请你作出猜想：当∠AMN=" " °时，结论AM=MN仍然成立．（直接写出答案，不需要证明）
23．如图，点C，F在线段BE上，BF=EC，∠1=∠2，请你添加一个条件，使△ABC≌△DEF，并加以证明．（不再添加辅助线和字母）
24．在Rt△POQ中，OP=OQ=4，M是PQ中点，把一三角尺的直角顶点放在点M处，以M为旋转中心，旋转三角尺，三角尺的两直角边与△POQ的两直角边分别交于点A、B．求证：MA=MB；
25．在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两条边上的高，在BE上截取BD＝AC，在CF的延长线上截取CG＝AB，连结AD、AG.求证：AG＝AD
第1页，共3页北师大七年级数学下册第四单元三角形简答题专项练习（二）（解析版）
1．已知；角平分线的定义；已知；180°；90°；180°；90°；MG⊥NG.
【解析】
【详解】
试题分析：（1）根据平行线的性质进行填空即可；
（2）根据的特点作出结论．
试题解析：（1）∵MG平分∠BMN(已知)
(角平分线的定义)，
同理
∵ABCD(已知)，
∴MG与NG的位置关系是MG⊥NG；
故答案为已知;角平分线的定义;已知; MG⊥NG；
(2)两平行直线被第三条直线所截，同旁内角的角平分线互相垂直.
2．不合格，理由见解析.
【解析】
【详解】
试题分析：延长BC与AD相交于点E，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BCD即可判断．
试题解析：如图，延长BC与AD相交于点E，
∵∠1是△ABE的外角,
同理,
∵李师傅量得不是
∴这个零件不合格.
点睛：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
3．a米．
【解析】
【详解】
试题分析：连结BM、MN，由SSS证明≌，可得∠CBM=∠NBM=45°，AB=AM=a.
试题解析：a米．连结BM、MN，
在△MCN中，∠MCN=180°－75°－45°=60°，CM=CN，
∴△MCN是等边三角形，
∴MC=MN，∠CBN=90°，∠BCN=45°，
∴BC=BN，在△MCB和△MNB中，
∴△MCB≌△MNB，
∴∠CBM=∠NBM=45°，
∴∠AMB=90°－45°，即∠ABM=∠AMB，
∴AB=AM=a，即房间的宽AB是a米．
4．见解析
【解析】
【详解】
分析：利用证边相等时，常常通过把边放到两个全等三角形中来证.
本题解析：
如下图，已知线段AA 与BB 交于点O,OA=OA ,OB=OB ,试说明AB=A B .
道理:因为OA=OA , ∠AOB=∠A OB ,OB=OB ,所以△AOB≌△A OB .
所以AB=A B .
点睛：本题考查全等三角形的应用．在实际生活中，对于难以实地测量的线段，常常通过两个全等三角形，转化需要测量的线段到易测量的边上或者已知边上来，从而求解．
5．见解析
【解析】
【详解】
分析:先作∠B=2,再以点B为圆心,以线段a的长为半径画圆,交的一条边为A,再以A为圆心,AB的长为半径画圆,交∠B的另一条边为C,连接AC即可.
本题解析:
如图所示, △ABC即为所求.
6．(1) 2【解析】
【详解】
分析:（1），根据“三角形中，任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”即可得到第三边x的取值范围；(2) 根据（1）中第三边的取值范围，再结合等腰三角形的性质，即可得到第三边的长，最后根据三角形周长公式进行计算即可.
本题解析:
(1)由三角形三边关系，得x>6-4且x<6+4，即x>2且x<10.所以2(2)由（1）可知，x的值为4或8，所以三角形周长为14或18.
7．见解析
【解析】
【分析】
将题目中的实际问题转化为数学问题，然后利用全等三角形的判定方法证得两个三角形全等即可说明其做法的正确性．
【详解】
∵在△ABC和△EDC中，∠ABC=∠EDC=90°，BC=DC，∠ACB=∠ECD，
∴Rt△ABC≌Rt△EDC(ASA)，
∴AB=ED，
即他们的做法是正确的．
点睛：本题考查了全等三角形的应用，正确理解题中的测量距离是解题的关键．
8．证明见解析
【解析】
【详解】
试题分析:先根据两直线平行,同位角相等,可证:∠B=∠CPD,∠A=∠FDE,然后根据
ED=AB,可利用ASA判定两三角形全等,根据全等三角形的性质可证得:BC=EF.
试题解析:∵AB//DF,
∴∠B=∠CPD,∠A=∠FDE,
∵∠E=∠CPD,
∴∠E=∠B,
在△ABC和△DEF中,
,
∴△ABC △DEF(ASA),
∴BC=EF.
9．3cm
【解析】
【详解】
试题分析：
由已知条件易证△ABC≌△FCE，从而可得AC=EF=5，结合EC=BC=2即可得到AE=AC-EC=3.
试题解析：
∵CD⊥AB，EF⊥AC
∴∠AEF=∠FEC=∠ADF=∠ACB=90°
∴∠A+∠1=90°，∠F+∠2=90°
又∵∠1=∠2
∴∠A=∠F
在△ABC和△FCE中：
∴△ABC≌△FCE
∴AC=FE=5cm
∴AE=AC－EC= AC－BC=5－2=3cm
10．（1）见解析 （2）4ｃｍ２
【解析】
【详解】
试题分析：
(1) 分析条件可知，要证明OM=ON需要利用全等三角形进行. 易知△ABC是等腰直角三角形，根据“O是BC的中点”这一条件容易联想到利用等腰三角形“三线合一”的性质来构造全等三角形. 连接OA后容易发现△OAN与△OBM全等，进而得到OM=ON.
(2) 借助第(1)小题的辅助线作法可知，AO将四边形AMON分割为△OAN与△OAM. 由第(1)小题的证明可知，△OAN的面积等于△OBM的面积. 利用这一关系，实际上将四边形AMON的面积转化为了△OAB的面积. 因为△OAB的面积不受动点运动的影响，所以四边形AMON的面积不变. 根据等腰三角形的性质容易求得△OAB的面积，即得四边形AMON的面积.
试题解析：
(1) 连接OA. (如图)
∵在Rt△ABC中，AB=AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°，即∠ABO=45°，
∵O是BC的中点，且△ABC是等腰直角三角形，
∴AO⊥BC，
∴在Rt△AOB中，∠OAB=90°-∠ABO=90°-45°=45°，
∴∠OAB=∠ABO，
∴OA=OB，
∵O是BC的中点，且△ABC是等腰直角三角形，
又∵∠BAC=90°，
∴，
∴∠OAC=∠ABO=45°，即∠OAN=∠OBM，
∵在△OAN与△OBM中：
，
∴△OAN≌△OBM (SAS)，
∴ON=OM，即OM=ON.
(2) 在动点运动过程中，四边形AMON面积不变.
下面求解四边形AMON的面积.
连接OA.
由第(1)小题的证明可知：△OAN≌△OBM，
∴△OAN的面积等于△OBM的面积，
∵四边形AMON的面积等于△OAN的面积与△OAM的面积之和，
∴四边形AMON的面积等于△OBM的面积与△OAM的面积之和，
∵△OBM的面积与△OAM的面积之和等于△OAB的面积，
∴四边形AMON的面积等于△OAB的面积，
∵O是BC的中点，且△ABC是等腰直角三角形，
∴△OAB的面积等于△ABC的面积的一半，
∵AB=AC=4cm，
∴Rt△ABC的面积为：(cm2)，
∴△OAB的面积为：(cm2)，
∴四边形AMON的面积为：4cm2.
点睛：
对等腰直角三角形“三线合一”性质的应用是解题的关键. 通过作底边中线构造全等三角形也是等腰三角形相关问题的一种常用的解题思路. 对一般四边形面积的计算，“割补法”是一种重要的方法. 本题在“分割”面积之后，如何通过相应的条件重新组合图形是解决问题的关键.
11．（1）105°（2）120°（3）n°+90°.
【解析】
【详解】
试题分析：∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，根据角平分线的定义得到∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，等量代换得到∠BOC+ ∠ABC+∠ACB=180°，根据三角形的内角和定理即可得到结论.
试题解析：
（1）如图，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
在△BOC中，∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，
∵BO，CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，
∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，
∴∠BOC+ ∠ABC+∠ACB=180°，
又∵在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠BOC=∠A+90°=105°；
（2）如图，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
在△BOC中，∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，
∵BO，CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，
∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，
∴∠BOC+∠ABC+∠ACB=180°，
又∵在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠BOC=∠A+90°=120°；
（3）∠BOC=n°+90°，
∵OB、OC是两条角平分线，
∴∠OBC=∠ABC, ∠OCB=∠ACB ，
在△OBC中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）
=180°-（∠ABC+∠ACB）
=180°-（∠ABC+∠ACB）
=180°-（180°-∠A）
=∠A+90°
=n°+90°.
12．见解析
【解析】
【详解】
（1）作一个角等于已知角40°，然后在角的两边上分别以顶点截取1cm和2cm的线段，连接即可得到符合条件的三角形；
（2）能，可在40°角的一边上以顶点截取1cm的线段，然后以1cm线段的另一个端点为圆心，2cm长为半径作弧，与40°角的另一边交于一点，所得三角形也符合条件；
（3）a=3，b=4，∠C=40°，a=3，∠B=40°b=4，a=3，b=4，∠A=40°有2解，先画一条直线，确定一点A作40°，取4cm，得到C，以C为圆心，3为半径，交直线上有2点，
B和B1，符合条件三角形有2个△ABC和△AB1C．（有4个）
解：如图所示：
（1）如图1；作40°的角，在角的两边上截取OA=2cm，OB=1cm；
（2）如图2；连接AB，即可得到符合题意的△ABC．
（3）如图3，满足这一条件，且彼此不全等的三角形共有4个：a=3，b=4，∠C=40°，a=3，∠B=40°b=4，a=3，b=4，∠A=40°有2解，先画一条直线，确定一点A作40°，取4cm，得到C，以C为圆心，3为半径，交直线上有2点，B和B1，符合条件三角形有2个△ABC和△AB1C．
“点睛”本题是一道开放探索题．不仅趣味性强，创造性强，而且渗透了由“特殊”到“一般”、“分类讨论”、“方程思想”、“转化思想”等数学思想．
13．小淇同学作法正确．理由见解析
【解析】
【详解】
解：小淇同学作法正确．连接OB．由作法可得OA=OC=OB．再由三角形内角和可得∠ABC=90°，从而得AB⊥l．
试题解析：小淇同学作法正确．
理由如下：连接OB．
∵O为AC中点，以O为圆心，OA长为半径画弧交直线l于点B，∴OA=OC=OB．
∴∠CAB=∠ABO，∠ACB=∠CBO，又∵∠CAB+∠ABO+∠ABC+∠CBO=180°，
∴∠ABO+∠CBO=90°．∴∠ABC=90°，即AB⊥l．
14．（1）详见解析；（2）∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE,理由见解析.
【解析】
【详解】
试题分析：（1）理用SSS即可判定△ABC≌△DEF；（2）AB∥DE,AC∥DF,由全等三角形的性质可得∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE,根据平行线的性质即可得结论.
试题解析：（1）证明：∵BF=EC，
∴BF+CF=CF+CE，
∴BC="EF"
∵AB=DE，AC="DF"
∴△ABC≌△DEF（SSS）
（2）AB∥DE,AC∥DF,理由如下，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE,
∴AB∥DE,AC∥DF.
考点：全等三角形的判定及性质；平行线的判定.
15．证明见解析.
【解析】
【详解】
试题分析：根据AB//CD得出∠DCA=∠CAB，结合AB=CE，AC=CD得出△CAB≌△DCE，从而得出答案.
试题解析：∵AB//CD，∴∠DCA=∠CAB 又∵AB=CE，AC=CD，∴△CAB≌△DCE ∴∠B=∠E.
考点：（1）平行线的性质；（2）三角形全等的判定与性质
16．（1）BD=CE；（2）AM=AN，∠MAN=∠BAC ，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据题意和旋转的性质可知△AEC≌△ADB，所以BD=CE；
（2）根据题意可知∠CAE=BAD，AB=AC，AD=AE，所以得到△BAD≌△CAE，在△ABM和△ACN中，DM=BD，EN=CE，可证△ABM≌△ACN，所以AM=AN，即∠MAN=∠BAC．
【详解】
（1）由旋转的性质可得：；
，，
由知，
∴，，
又∵，，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，，即，
∴为等腰三角形，且．
【点睛】
考查三角形全等的判定方法和性质．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
17．（1），理由见解析；（2）见解析；（3）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据全等三角形的判定定理证得；
（2）由（1）中的全等三角形的对应角相等证得，则由全等三角形的判定定理证得，则对应边；
（3）同（2），利用全等三角形的对应边相等证得结论．
【详解】
解：（1），理由如下：
如图1，在与中，
，
；
（2）如图2，由（1）知，，则．
在与中，
，
，
；
（3）如图3，．
理由同（2），，则．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
18．PE+PF=BH
【解析】
【分析】
连接AP，根据等腰三角形的性质可表示出S△ABC=S△ABP+S△ACP=
×AC×（PE+PF），同时可表示出S△ABC=AC×BH，从而可得到PE+PF=BH．
【详解】
解：PE+PF=BH．理由如下：
连接AP．
∵AB=AC，
∴S△ABC=S△ABP+S△ACP=AB×PE+AC×PF=AC×（PE+PF），
∵S△ABC=AC×BH，
∴PE+PF=BH．
【点睛】
此题主要考查等腰三角形的性质及三角形面积的综合运用，此题的关键是利用面积公式将所求联系在一起．
19．（）．（）
【解析】
【详解】
试题分析：（1）连接EB，由已知条件不难证明△ACD≌△BCE，所以AD=BE，要证明AD=DF，即要证明BE=DF，即要证明△EMB≌△FMD，已知条件MD=MB，∠EMB=∠FMD，只要再证明∠FDM=∠EBC即可，不难证明；（2）连接BE，由已知条件不难证明△ACD≌△BCE，所以EB=AD，要证明AD=DF，即要证明EB=DF，即要证明△EMB≌△FMD，已知条件DM=BM，∠FMD=∠EMB，即要证明∠FDM=∠EBC，不难证明.
试题解析：
（1）连接EB，
∵在△ACD和△BCE中，，
∴△ACD≌△BCE，
∴∠DAC=∠EBC，EB=AD，
∵∠ADF=90°，
∴∠ADB+∠FDM=90°，
∵∠ACD=90°，
∴∠DAC+∠ADC=90°，
∴∠DAC=∠FDM，
∴∠FDM=∠EBC，
∵M是BD中点，
∴DM=BM，
∵在△EMB和△FMD中，
，
∴△EMB≌△FMD，
∴EB=DF，
∴AD=DF；
（）AD=DF．
证：连接EB，
∵在△ACD和△ECB中，
，
∴△ACD≌△BCE，
∴∠DAC=∠EBC，EB=AD，
∵∠ADF=90°，∠ACD=90°，
∴∠ADB+∠FDM=∠DAC+∠ADC=90°，
∴∠DAC=∠FDM，
∴∠FDM=∠EBC，
∵M是BD中点，
∴DM=BM，
∵在△EMB和△FMD中，
，
∴△EMB≌△FMD，
∴EB=DF，
∴AD=DF．
点睛：本题要证明两条线段相等，关键在于将这两条线段分别放到两个三角形中，证明这两个三角形全等.
20．作图见解析.
【解析】
【详解】
试题分析：（1）根据作已知角的角平分线的步骤作出图形；
（2）关键是找出线段AC的中点，要作出线段AC的垂直平分线，将所得中点与点B连结即可得到AC边上的中线；
（3）（4）根据过一点作已知直线垂线的方法，作出AC和AB边上的高，
试题解析：（1）∠BAC的平分线作法如下：
①以点A为圆心，定长为半径画弧，分别交AB、AC于D、E两点；
②分别以D、E为圆心，大于D、E之间距离的一半为半径画弧，两弧交于一点F；
③连结AF，AF所在直线为∠BAC的平分线.
（2）作AC边上的中线作法如下：
①分别以A、C两点为圆心，大于的长度为半径画弧，分别交于两点M、N；
②连结MN，交AC于点H；
③连结BH，则线段BH为AC边上的中线.
（3）过B作BD垂直与CA的延长线于D，则BD为AC边上的高.
（4）AB边上的高作法如下：
①以点C为圆心，大于C到直线AB的距离长为半径，交AB于点N，交BA的延长线于点M；
②分别以M、N为圆心，大于的长度为半径画弧,交于一点P；
③连结CP，交BA延长线于点F；
④线段CF为AB边上的高.
21．（1）∠DAG，∠AFB，∠CDE（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）由图示得出∠DAG，∠AFB，∠CDE与∠AED相等；
（2）根据SAS证明△DAE与△ABF全等，利用全等三角形的性质以及等角的余角相等即可证明．
【详解】
（1）由图可知，∠DAG，∠AFB，∠CDE与∠AED相等；
（2）①选择∠DAG=∠AED，证明如下：
∵正方形ABCD，
∴∠DAB=∠B=90°，AD=AB，
∵AF=DE，
在△DAE与△ABF中，
，
∴△DAE≌△ABF（HL），
∴∠ADE=∠BAF，
∵∠DAG+∠BAF=90°，∠GDA+∠AED=90°，
∴∠DAG=∠AED．
②选择∠AFB =∠AED，证明如下：
∵正方形ABCD，
∴AD//BC
∴∠DAG=∠AFB
由①得∠DAG=∠AED
∴∠AFB =∠AED.
③选择∠CDE=∠AED，证明如下
∵正方形ABCD，
∴DA//AB
∴∠CDE=∠AED.
考点：1．全等三角形的判定与性质；2．正方形的性质．
22．（1）见详解；（2）见详解；（3）
【解析】
【分析】
（1）要证明AM=MN，可证AM与MN所在的三角形全等，为此，可在AB上取一点E，使AE=CM，连接ME，利用ASA即可证明△AEM≌△MCN，然后根据全等三角形的对应边成比例得出AM=MN．
（2）同（1），要证明AM=MN，可证AM与MN所在的三角形全等，为此，可在AB上取一点E，使AE=CM，连接ME，利用ASA即可证明△AEM≌△MCN，然后根据全等三角形的对应边成比例得出AM=MN．
（3）由（1）（2）可知，∠AMN等于它所在的正多边形的一个内角即等于时，结论AM=MN仍然成立．
【详解】
(1)证明：在边AB上截取AE=MC，连接ME.
∵正方形ABCD中,∠B=∠BCD=90°，AB=BC.
∴∠NMC=180° ∠AMN ∠AMB=180° ∠B ∠AMB=∠MAB=∠MAE，
BE=AB AE=BC MC=BM，
∴∠BEM=45°,
∴∠AEM=135°.
∵N是∠DCP的平分线上一点，
∴∠NCP=45°,
∴∠MCN=135°.
在△AEM与△MCN中，∠MAE=∠NMC，AE=MC，∠AEM=∠MCN，
∴△AEM≌△MCN(ASA)，
∴AM=MN.
(2)结论AM=MN还成立
证明：在边AB上截取AE=MC，连接ME.
在正△ABC中,∠B=∠BCA=60°，AB=BC.
∴∠NMC=180° ∠AMN ∠AMB=180° ∠B ∠AMB=∠MAE，
BE=AB AE=BC MC=BM，
∴∠BEM=60°,
∴∠AEM=120°.
∵N是∠ACP的平分线上一点，
∴∠ACN=60°,
∴∠MCN=120°.
在△AEM与△MCN中，∠MAE=∠NMC，AE=MC，∠AEM=∠MCN，
∴△AEM≌△MCN(ASA)，
∴AM=MN.
(3)若将(1)中的“正方形ABCD”改为“正n边形ABCD…X,则当∠AMN=时，结论AM=MN仍然成立.
23．AC=DF(答案不唯一)，理由见解析
【解析】
【分析】
先求出BC=EF，添加条件AC=DF，根据SAS推出两三角形全等即可．
【详解】
解：添加AC=DF．
证明：∵BF=EC，
∴BF﹣CF=EC﹣CF，
∴BC=EF，
在△ABC和△DEF中
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
考点：全等三角形的判定．
24．证明见解析.
【解析】
【详解】
试题分析：过点M作ME⊥OP于点E，作MF⊥OQ于点F，可得四边形OEBF是矩形，根据三角形的中位线定理可得ME=MF，再根据同角的余角相等可得∠AME=∠BMF，再利用“角边角”证明△AME和△BMF全等，根据全等三角形对应边相等即可证明.
试题解析：证明：如图，过点M作ME⊥OP于点E，作MF⊥OQ于点F，
∵∠O=90°，
∴四边形OEMF是矩形，
∵M是PQ的中点，OP=OQ=4，∠O=90°，
∴ME=OQ=2，MF= OP=2，
∴ME=MF，
∴四边形OEMF是正方形，
∵∠AME+∠AMF=90°，∠BMF+∠AMF=90°，
∴∠AME=∠BMF，
在△AME和△BMF中，
，
∴△AME≌△BMF（ASA），
∴MA=MB；
考点: 1.旋转的性质；2.全等三角形的判定与性质；3.等腰直角三角形.
25．证明见解析.
【解析】
【详解】
分析：三角形全等条件中必须是三个元素，本题已经有两条对应边相等，只要再找到它们的夹角相等就可以了．
解答：证明：∵BE、CF分别是AC、AB两条边上的高，
∴∠ABD+∠BAC=90°，
∠GCA+∠BAC=90°，
∴∠GCA=∠ABD，
在△GCA和△ABD中，
，
∴△GCA≌△ABD．
∴AG=AD．
答案第1页，共2页
