苏教版九年级（下）第七章《锐角三角函数》教学案

第七章 锐角三角函数（1）正切函数
班级_____　____姓名_____　____
学习目标
1、认识锐角的正切的概念。
2、会求一个锐角的正切值。
3、经历操作观察思考求解等过程，感受数形结合的数学思想方法。
学习重点：锐角的正切的概念
学习难点：锐角的正切的概念，感受数形结合的数学思想方法
知识要点
在Rt△ABC中，∠C=90°，
∠A的对边与邻边的比值是∠A的正切，记作
情境创设
问题1. 我们从家到学校，免不了要爬坡，有些坡好爬，有些坡爬起来很累，这是为什么？
观察斜坡的倾斜程度，你有什么发现？如何刻画斜坡的倾斜程度？
如上图，这两个直角三角形中，∠C=∠C′=90°，且有一条直角边相等，但斜边不相等，哪个
坡更陡？
本节课我们研究两直角边的比值与锐角的关系，因此同学们首先应思考：当锐角固定时，两直角边的比值是否也固定？
②给出正切概念：如图，在Rt△ABC中，，把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作：.
二、典型例题
例1．根据下列图中所给条件分别求出下列图中∠A、∠B的正切值。
通过上述计算，你有什么发现？ 互余两角的正切值 ．
例2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，AC=3,AB=5，求∠ACD 、∠BCD的
正切值。
结论：等角的正切值 ．
例3． 如图（1），∠A=30°，∠C=90°，根据三角函数定义求出30°、45°、60°的正切值．
（1） （2） （3）
例4． 如图，∠A=15°，∠C=90°，求出15°正切值．
例5、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，若BD：AD=1：4，
试求tan∠BCD的值。
例6、如图，△ABC中，AE⊥BC于E，D是AC边上的一点，DH⊥BC于H，BD交AE于F。
已知DH：BD=3：4，求∠BFE的正切值．
分析 求tan∠BFE，在△BFE任何一边长都不知的情况下，很是困难。而题设DH：BD=3：4，在Rt△BDH中，求∠BDH的正切值却轻而易举。而不难知道∠BFE=∠BDH．
随堂演练
1.（1）在直角三角形ABC中，∠C=90°，b=9, a=12,则= ，tanB= 。
（2）如图，△ABC的三个顶点分别在正方形网格的格点上，则的＝ ．
（3）在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12,tanA=2，则BC长为 。
2.如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△AC’B’，则tanB’的值为（ ） A． B． C． D．
3．Rt△ABC中，∠C=90°，若，则tanA= 。
4．在，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则∠A的正切值（ ）
A．扩大2倍 B．缩小2倍 C．扩大4倍 D．不变
5. 在Rt△ABC中∠A=75°，∠C=90°，求出75°正切值．
6.如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，若EF=2，BC=5，CD=3，则
tanC等于（ ）
A. B. C. D.
7.若tan（α＋10°）=1，求α的值。
8．如图，已知在Rt△ABC中，斜边的中线AD=6，AC=4，求∠BAD的正切值。
9．等腰三角形ABC的底边为10cm，周长为36cm，求tanC.

10．如图，已知矩形ABCD的两边AB与BC的比为4：5，E是AB上的一点，沿CE将△EBC
向上翻折，若B点恰好落在边AD上的F点，则tan∠DCF= 。
11．已知平行四边形ABCD中，AB=BD=CD，且DB⊥AB，求tan∠CAB、tan∠DAC的值.
12. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，D为AC上一点，且△BCD与△BDA的
面积之比为1：3，试求∠CDB的正切值。
13．已知AD是等腰△ABC底边上的高，且tan∠B=,AC上有一点E，满足AE:CE=2:3，
求tan∠ADE的值。
§7.2 正弦、余弦(1)
班级_____　____姓名_____　____
学习目标：1、认识锐角的正弦、余弦的概念。
2、会求一个锐角的正弦、余弦值。
3、经历操作观察思考求解等过程，感受数形结合的数学思想方法。
教学重点：锐角的正弦、余弦的概念
教学难点：锐角的正弦、余弦的概念，感受数形结合的数学思想方法
知识要点：
1、正弦的定义
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角∠A的对边a与斜边c的比
叫做∠A的______，记作________，即：sinA＝________=________.
2、余弦的定义
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°,我们把锐角∠A的邻边b与
斜边c的比叫做∠A的______，记作=_________，即：cosA=______=_____。
（你能写出∠B的正弦、余弦的表达式吗？）试试看____________________.
教学过程
一、情景创设
1、问题1：如图，小明沿着某斜坡向上行走了13m后，他的相对位置升高了5m，如果
他沿着该斜坡行走了20m，那么他的相对位置升高了多少？行走了a m呢？
2、问题2：在上述问题中，他在水平方向又分别前进了多远？
3、在△ABC中, ∠C=90°. 锐角A的对边a与斜边c的比叫做 ∠A的正弦,
记作sinA.
锐角A的邻边a与斜边c的比叫做 ∠A的余弦,
记作cosA.
二、典型例题
例1. 根据图中数据,分别求出∠A, ∠B 的正弦,余弦.
练习：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为、、，且，，，下面四个式中错误的有( ) ①sin；②cos；③tan；④sin
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
例2、 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是、、，
：=2：3，求sinA与sinB的值。
例3、如图，在Rt△ABC中 ，∠ACB=90°，BC=6，CD⊥AB于D，AC=8。试求：
⑴sinA的值；⑵cos∠ACD的值；⑶CD的长。
练习：
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，
则sinA＝_____，cosA＝_____，sinB＝_____，cosB＝_____。
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝，
则sinA＝_____，cosB=_______,cosA=________,sinB=_______.
3、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9a，AC＝12a，AB＝15a，
则tanB=________,cosB=______,sinB=_______
4、比较：sin30°与sin60°的大小;
cos30°与cos60°的大小?
随堂演练：
1、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，则sinA= 。
2．如图，P是∠的边OA上一点，且P点坐标为（3,4），则sin= ，cos＝ .
3．如图△ABC中，∠C=90°，sinA=，则BC：AC=( )
A．3：4 B．4：3 C．3：5 D．4：5
4．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，则cosB=( )
A． B． C． D．
5．一辆汽车沿倾斜角为的斜坡前进500米，则它上升的最大高度是( )
A．500sin B． C．500cos D．
6.已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD＝4，cosB＝，则AC＝ ．
7.如图，已知直线∥∥∥，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD的
四个顶点分别在四条直线上，则 ．
8．已知△ABC中，∠C=Rt∠，AC=m，∠BAC=。求△ABC的面积。
(用的三角函数及m表示)
9.如图，在△ABC中，∠B=45°，cos∠C=，AC=5a，求△ABC的面积（用含ａ的式子表示）．
10．已知sinα=,求cosα、tanα的值。
11．在Rt△ABC中，∠C=，AB=26，sinB=，D是BC上一点，BD=AC，求出tan∠DAC的值。
12．如图，在梯形中，，，点在上， ，,.求：的长及的值．

§7.2 正弦、余弦(2)
班级_____　____姓名_____　____
学习目标：
1、认识锐角的正弦、余弦的概念。
2、会求一个锐角的正弦、余弦值。
3、经历操作观察思考求解等过程，感受数形结合的数学思想方法。
教学重点：利用正弦余弦的有关概念解决问题。
教学难点：利用正弦余弦的有关概念解决问题。
【课前复习】:
一．新课导入
如图,在Rt△ABC中, ∠C=90o, AC=12, BC=5.求: sinA、cosA、sinB、cosB的值.
你发现sinA与cosB 、 cosA与sinB的值有什么关系吗?
结论：
二、典型例题
比较大小
①sin40゜ cos40゜ ②sin80゜ cos30゜ ③sin45゜ cos45゜
2．已知α为锐角:
（1） sin α= ，则cosα=______,tanα=______,
（2） cosα= ，则sinα=______,tanα=______,
（3）tanα= ，则sinα=______,cosα=______,
三．典型例题
例1、如图，BC⊥AD于C，DF⊥AB于F，S△AFD:S△EFB=9，∠BAE=，求sin+cos的值；
分析 由已知易证Rt△AFD∽Rt△EFB，再根据S△AFD：S△EFB=9，可得AF：EF=3，AF=3EF；由勾股定理可求出AE=EF，从而容易求得sin，cos的值。

例2、如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AC⊥AB，AD=CD ，BC=10，则AB的值是（ ） A．9 B．8 C．6 D．3
例3、 如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，EC=1，cosB=，求这个菱形面积。
例4、已知如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝DC＝8，∠B＝60°，连接AC．
（1）求cos∠ACB的值
（2）若E、F分别是AB、DC的中点，连接EF，求线段EF的长。
随堂演练
1．△ABC中，∠C=90°，若tanA，则sinA= 。
2．△ABC中，∠C=90°，AC=AB，则sinA= ，tanB= 。
3.在Rt△ABC中,∠C=90o,且锐角∠A满足sinA=cosA, 则∠A的度数是 ( )
A.30o B.45o C.60o D.90o
4.在Rt△ABC中,∠C=90o,sinA=,则BC:AC:AB等于 ( )
A. 1:2:5 B. C. D.
5. 如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,则下列线段的比中不等于sinA的是( )
A. 　　 B. 　　
C. 　 D.
6．如图，自动扶梯AB段的长度为20米，倾斜角A为，
高度BC为 米(结果用含的三角函数表示)。
7．△ABC中，∠C=90°，BC=2，AB=3，则下列结论正确的是( )。
A． B． C． D．
8. 在直角△ABC中,AC=BC,∠C=90°求:（1）cosA； (2)当AB=4时,求BC的长.
9.如图，小明为了测量其所在位置A点到河对岸B点之间的距离，沿着与AB垂直的方向走了m米，到达点C，测得∠ACB＝，那么AB等于（ ）
(A) m·sin米 (B) m·tan米
(C) m·cos米 (D) 米
10．在，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则∠A的正弦值 （ ）
A．扩大2倍 B．缩小2倍 C．扩大4倍 D．不变
11．因为cos30°=，cos210°=﹣ ，所以cos210°=cos（180°+30°）＝﹣cos30°＝﹣ ，因为cos45°= ，cos225°＝﹣，所以cos225°＝cos（180°+45°）＝﹣ ，
猜想：一般地，当α为锐角时，有cos（180°+α）＝﹣cosα，由此可知cos240°的值等于 .
12. 如图，在△ABC中，∠C=90°，sinA=，D为AC上 一点，∠BDC=45°，DC=6，
求AB的长．


13．如图，已知△的面积为3，且AB=AC，现将△沿CA方向平移CA长度得到
△．（1）求四边形CEFB的面积；（2）试判断AF与BE的位置关系，并说明理由；
（3）若，求AC的长．
14．已知平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AC=10，BD=8．
（1）若AC⊥BD，试求四边形ABCD的面积 ；
（2）若AC与BD的夹角∠AOD=，求四边形ABCD的面积；
（3）试讨论：若把题目中“平行四边形ABCD”改为“四边形ABCD”，且∠AOD=
AC=，BD=，试求四边形ABCD的面积（用含，，的代数式表示）．
7.3-4 特殊角的三角函数及由三角函数值求锐角
班级 姓名
学习目标
1.熟记30°、45°、60°特殊角的三角函数值，并利用其进行求值计算。
2.会根据特殊角的正弦、余弦、正切值求该锐角的大小。
3.经历操作观察思考求解等过程，感受数形结合的数学思想方法。
学习重点
利用三角函数有关概念解决问题
教学过程
一、复习、归纳
1．分别说出30°、45°、60°角的三角函数值。
2.完成下列表格
30°
45°
60°
sinθ
cosθ
tanθ
二、典例分析
例1．求下列各式的值。
（1）2sin30°-cos45° （2）sin60°·cos60°（3）sin230°+cos230°
练习：计算.
（1）cos45°－sin30° （2）sin260°＋cos260°
(3)tan45°－sin30°·cos60° (4)
例2.求满足下列条件的锐角α。
(1) cosα= (2)2sinα=1 (3)2sinα－=0 (4)tanα－1=0
练习：1. 若sinα=,则锐角α=________.若cosα=1,则锐角α=_________.
若∠A是锐角，且3tanA=,则cosA=_________.
3.已知α为锐角,当无意义时,求tan(α+15°)-tan(α-15°)的值.
例3. 如图，已知秋千吊绳的长度3.5m，求秋千升高1m时，秋千吊绳与竖直方向所成的角度（精确到0.1°）（已知sin45.6°=）
例4. 如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D点，已知∠BAC=60o，∠DAE=45o，点D到地面的垂直距离DE=m，求点B到地面垂直距离BC。
三、小结
随堂演练：
1．sin30o的值等于 . ∠α的补角是120°,则∠α=_ _____,sinα=____ __.
2．下列计算错误的是( )
A． B．
C． D．
3. 求满足下列条件的锐角α:
(1)cosα-=0 (2)-tanα+=0
(3)cosα-2=0 (4)tan（α+10°）=
4．计算
(1) (2)

5．已知tan2α－（1+）tanα+=0，求锐角α的度数．
6．已知：如图，在Rt△中，，．点为边上一点，且，．求△周长．（结果保留根号）
7．已知锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c．
（1）试说明：S△ABC=absinC；
（2）若a=30cm，b=36cm，∠C=30°，求△ABC的面积．
8．如图，在Rt△ABC中，∠C=90o，D为BC上一点，∠DAC=30o，BD=2，AB=，求AC的长。
9．将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC上的点E处，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC上的点F处，利用此图求出67.5°的角的正切值。
7.5解直角三角形
班级 姓名
学习目标：1.理解直角三角形中5个元素的关系，会运用“勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、锐角三角函数”解直角三角形。
2.通过综合运用“勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、锐角三角函数” 解直角三角形提高分析问题、解决问题的能力。
3.培养学生对图形的转化能力。
重点： 边角关系的灵活应用
难点： 如何通过添加辅助线构造直角三角形，把问题转化为直角三角形中的问题来解决问题。
知识点：
1．解直角三角形的定义：
任何一个三角形都有六个元素，三条边、三个角，在直角三角形中，已知有一个角是直角，我们把利用已知的元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形。
2．解直角三角形的所需的工具。
(1)两锐角互余∠A＋∠B＝90°
(2)三边满足勾股定理a2＋b2＝c2
(3)边与角关系sinA＝cosB＝，cosA＝sinB＝，tanA＝， tanB＝。
3．一个直角三角形当已知 或已知 ，这个直角三角形就是可解的直角三角形
4．解直角三角形的四种类型和解法如下表：
类型
已知条件
解法
两边
两直角边a, b
c=，tanA=，B=90°-A
一直角边a，斜边c
b=，sinA=，B=90°-A
一边一锐角
一直角边a，锐角A
B=90°-A，b=atanB，c=
斜边c，锐角A
B=90°-A，a=c·sinA，b=c·cosA
5．解直角三角形时需要注意的几个问题：
（1）尽量使用原始数据，少用有误差的近似值，使计算更加准确。
（2）非直角三角形问题，通过添加恰当的辅助线转化为解直角三角形问题。
（3）恰当使用方程可使一些较复杂的解直角三角形问题化繁为简、化难为易。
（4）在选用三角函数时，尽可能做乘法，避免除法，以使运算简便。
典型例题：
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别
为、、，由下列条件解直角三角形。
⑴ 已知，∠B=60° ⑵ 已知，
（3）已知，∠A=60°
配套练习：根据下列条件解直角三角形
(1)在 RtΔABC中，∠C＝90o，c＝10，∠A＝30o.
(2）在RtΔABC中，∠C＝90o，a＝50，c＝.
例2.Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，∠A的平分线AD=，解Rt△ABC。
例3.如图，已知在△ABC中，∠B=60°，AD=14，CD=12，S△ADC=，求BD的长。
随堂演练：
1．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=18，则AC= ，BC= 。
2．在Rt△ABC中，∠C=90°，，，则∠A= ，b= 。
3．在Rt△ABC中，∠C=90°，，，则tanB= ，面积S= 。
4．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC：BC=，AB=6，∠B= ，AC= BC= 。
5．在下列直角三角形中不能求解的是（ ）
A．已知一直角边一锐角 B．已知一斜边一锐角
C．已知两边 D．已知两角
6. ΔABC中，∠A＋∠B＝90O,cosA＝，则sinB＝　　　　，若c＝10,则a＝ ．
7. 解直角三角形在Rt△ABC中
8.为测量松树AB的高度，一个人站在距松树15米的E处，测得仰角∠ACD=52o,已知人的高度是1.72米，求树高（精确到0.01米）（tan52o=1.2799）
9．某块绿地的形状如图所示，其中∠BAD=60°，AB⊥BC，AD⊥CD，AB=200 m，CD=100 m，求AD、BC的长。(参考数据：≈1.414, ≈1.732,精确到1m)
10.已知在ΔABC中，∠B＝45°，cosB和cosC是方程4x2-2(1+)x+m=0的两个根，求∠C的度数及m的值。
§7.6锐角三角函数的简单应用（1）
班级__________ 姓名________
学习目标：
1.经历探索实际问题的求解过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用。
2.能把实际问题转化为数学问题，能进行有关三角函数的计算并能对结果的实际意义进行说明 。
3.正确理解“旋转角、仰角、俯角、视线、方位角”从而正确理解实际问题，解决实际问题。
重点：
灵活应用“锐角三角函数、勾股定理”解直角三角形
难点：
发现、构造可解的直角三角形和需解的直角三角形
重要概念：

解题要领：
把实际问题抽象为几何问题，画出几何图形，明确已知量和未知量，通过添加适当辅助线，构造直角三角形，解决实际问题。
问题引入：
长为90 CM的单摆AB旋转30°后，最低点B升高了多少？
典型例题
国庆长假，小明和同学一起到游乐场游玩，游乐场大型摩天轮的半径为20米，旋转一周需要12分钟。小明乘坐最底部的车厢（离地面约0.5米）开始一周的观光。
（1）2分钟后，小明离地面的高度是多少（精确到0.1米）？
（2）摩天轮启动多长时间后，小明和地面的高度将首次达到9m ? (提示cos55°=0.575)
(3) 小明将有多长时间连续保持在离地面9 m以上的高度？
例2．升国旗时，某同学站在离旗杆底部20m处行注目礼，当国旗升至旗杆端时，该同学视线的仰角恰为40°，若双眼离地面1.5m，则旗杆高度为多少m?（sin40°=0.64, tan40°=0.84）
例3．某商场为缓解我市“停车难”问题，拟建造地下停车库，图6是该地下停车库坡道入口的设计示意图，其中， AB⊥BD，∠BAD＝18o，C在BD上，BC＝0.5m．根据规定，地下停车库坡道入口上方要张贴限高标志，以便告知驾驶员所驾车辆能否安全驶入．小明认为CD的长就是所限制的高度，而小亮认为应该以CE的长作为限制的高度．小明和小亮谁说的对？请你判断并计算出正确的结果．（结果精确到0.1m） 参考数据：sin18°=0.31, cos18°=0.95，tan18°=0.32
随堂演练：
1．小明站在A处放风筝，风筝飞到C处时的线长为20米，这时测得
∠CBD=60°，若牵引底端B离地面1.5米，求此时风筝离地面高度。
(计算结果精确到0.1米，)
2．汶川地震后，抢险队派一架直升飞机去A、B两个村庄抢险，飞机在距地面450米上空的P点，测得A村的俯角为，B村的俯角为（如图）． 求A、B两个村庄间的距离．
（结果精确到米，参考数据）
3．水平地面上的甲、乙两楼的距离为30米，从甲楼顶部测得乙楼顶部的仰角为30°，测行乙楼底部的俯角为45°．求甲、乙两楼的高度．
4．如图，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾斜角由45o降为30o，已知原滑滑板AB的长为5米，点D、B、C 在同一水平地面上．
（1）改善后滑滑板ＡＤ长多少？（精确到0．01）
（2）若滑滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有6米长的空地，像这样改造是否可行？说明理由．
（参考数据：）
5．如图，在某海域内有三个港口、、。港口在港口北偏东方向上，港口在港口北偏西方向上．一艘船以每小时25海里的速度沿北偏东的方向驶离港口3小时后到达点位置处，此时发现船舱漏水，海水以每5分钟4吨的速度渗入船内．当船舱渗入的海水总量超过75吨时，船将沉入海中．同时在处测得港口在处的南偏东方向上．若船上的抽水机每小时可将8吨的海水排出船外，问此船在处至少应以怎样的航行速度驶向最近的港口停靠，才能保证船在抵达港口前不会沉没（要求计算结果保留根号）？并指出此时船的航行方向．
§7.6锐角三角函数的简单应用（2）
班级__________ 姓名________
学习目标：
1.经历探索实际问题的求解过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用。
2.能把实际问题转化为数学问题，能进行有关三角函数的计算并能对结果的实际意义进行说明 。
3.正确理解“旋转角、仰角、俯角、视线、方位角”从而正确理解实际问题，解决实际问题。
重点：
借助列方程灵活应用锐角三角函数解直角三角形
难点：
几个可解的直角三角形和需解的直角三角形之间的联系
解题要领：
把实际问题抽象为几何问题，画出几何图形，通过添加适当辅助线构造直角三角形，注意抓住几个直角三角形之间的公共边角，灵活应用锐角三角函数借助列方程解直角三角形。
问题引入：
我校九年级某班在测量校内旗杆高度的数学活动中，同学们设计了两种测量方案，并根据测量结果填写了如下《数学活动报告》中的一部分．请你把下表中计算过程和结果填写完整
课题
测量校内旗杆高度
目的
运用所学数学知识及数学方法解决实际问题——测量旗杆高度
方案
方案一
方案二
示意图
测量工具
皮尺、测角仪
皮尺、测角仪
测量数据：
，
，
，
，
计算过程（结
果保留根号）
解：
解：
测量结果
典型例题
小明为了测量停留在空中的气球的高度，他先在地面上找一点，站在这点测得气球的仰角为27°，然后向气球方向走了50米，测得气球的仰角为40°。这时他就能算出气球的高度了。他是如何求得气球的高度呢？（小明的身高是1．6米）
（tan27°=0.51,tan40°=0.84,结果精确到0．1米）

例2．如上图所示，已知：在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，AB=8.?
求：△ABC的面积(结果可保留根号).
例3．如图，小唐同学正在操场上放风筝，风筝从A处起飞，几分钟后便飞达C处，此时，在AQ延长线上B处的小宋同学，发现自己的位置与风筝和旗杆PQ的顶点P在同一直线上.
（1）已知旗杆高为10米，若在B处测得旗杆顶点P的仰角为30°，A处测得点P的仰角为45°，试求A、B之间的距离；
（2）此时，在A处背向旗杆又测得风筝的仰角为75°，若绳子在空中视为一条线段，求绳子AC约为多少？（结果可保留根号）
随堂演练：
如图，塔AB和楼CD的水平距离为80米，从楼顶C处及楼底D处测得塔顶A的仰角分别
为45°和60°，试求塔高和楼高。
2.如图，飞机沿水平方向（A、B两点所在直线）飞行，前方有一座高山，为了避免飞机飞行过低，就必须测量山顶M到飞行路线AB的距离MN.飞机能够测量的数据有俯角和飞行的距离（因安全因素，飞机不能飞到山顶的正上方N处才测飞行距离），请设计一个距离MN的方案，要求：
(1)指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出)；
(2)用测出的数据写出求距离MN的步骤.
3．某省欲将相距2km的AB两地之间修一条笔直公路(即线段AB)，经测量，在A地的北偏东60°方向，B地的北偏西45°方向的C处有一半径为0.7km的公园，问计划修筑的这条公路是否会穿过公园？为什么？
4．在数学活动课上，九年级（2）班数学兴趣小组的同学们测量 校园内一棵大树的高度，设计的方案及测量数据如下：
（1）在大树前的平地上选择一点，测得由点A看大树顶端的仰角为35°；
（2）在点和大树之间选择一点（、、在同一直线上），测得由点看大树顶端的仰角恰好为45°；
（3）量出、两点间的距离为4.5米.请你根据以上数据求出大树的高度。（结果精确到0．1m）
（可能用到的参考数据：sin35°≈0.57 cos35°≈0.82 tan35°≈0.70）
5．某乡镇中学教学楼对面是一座小山，去年“联通”公司在山顶上建了座通讯铁塔.甲、乙两位同学想测出铁塔的高度，他们用测角器作了如下操作：甲在教学楼顶A处测得塔尖M的仰角为α，塔座N的的仰角为β；乙在一楼B处只能望到塔尖M，测得仰角为θ（望不到底座），他们知道楼高AB＝20m，通过查表得：tanα＝0.57,tanβ＝0.22,tanθ＝0.75；请你根据这几个数据，结合图形推算出铁塔高度MN的值。(结果保留整数)
§7.6锐角三角函数的简单应用（2）
班级__________ 姓名________
学习目标：
1.经历探索实际问题的求解过程，进一步体会三角函数在解决问题中的应用。
2.能把实际问题转化为数学问题，能进行有关三角函数的计算。
3.正确理解“仰角、俯角、视线、方位角”从而正确理解实际问题，解决实际问题。
重难点：
借助列方程灵活应用锐角三角函数解直角三角形
解题要领：
把实际问题抽象为几何问题，画出几何图形，通过添加适当辅助线构造直角三角形，注意抓住几个直角三角形之间的公共边角，灵活应用锐角三角函数借助列方程解直角三角形。
问题引入：
我校九年级某班在测量校内旗杆高度的数学活动中，同学们设计了两种测量方案，并根据测量结果填写了如下《数学活动报告》中的一部分．请你把下表中计算过程和结果填写完整
课题
测量校内旗杆高度
目的
运用所学数学知识及数学方法解决实际问题——测量旗杆高度
方案
方案一
方案二
示意图
测量工具
皮尺、测角仪
皮尺、测角仪
测量数据：
，
，
，
，
计算过程（结
果保留根号）
解：
解：
测量结果
典型例题
小明为了测量停留在空中的气球的高度，他先在地面上找一点，站在这点测得气球的仰角为27°，然后向气球方向走了50米，测得气球的仰角为40°。这时他就能算出气球的高度了。他是如何求得气球的高度呢？（小明的身高是1．6米）
（tan27°=0.51,tan40°=0.84,结果精确到0．1米）

例2．如上图所示，已知：在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，AB=8.?
求：△ABC的面积(结果可保留根号).
例3．如图，小唐同学正在操场上放风筝，风筝从A处起飞，几分钟后便飞达C处，此时，在AQ延长线上B处的小宋同学，发现自己的位置与风筝和旗杆PQ的顶点P在同一直线上.
（1）已知旗杆高为10米，若在B处测得旗杆顶点P的仰角为30°，A处测得点P的仰角为45°，试求A、B之间的距离；
（2）此时，在A处背向旗杆又测得风筝的仰角为75°，若绳子在空中视为一条线段，求绳子AC约为多少？（结果可保留根号）
随堂演练：
如图，塔AB和楼CD的水平距离为80米，从楼顶C处及楼底D处测得塔顶A的仰角分别
为45°和60°，试求塔高和楼高。
2.如图，飞机沿水平方向（A、B两点所在直线）飞行，前方有一座高山，为了避免飞机飞行过低，就必须测量山顶M到飞行路线AB的距离MN.飞机能够测量的数据有俯角和飞行的距离（因安全因素，飞机不能飞到山顶的正上方N处才测飞行距离），请设计一个距离MN的方案，要求：
(1)指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出)；
(2)用测出的数据写出求距离MN的步骤.
3．某省欲将相距2km的AB两地之间修一条笔直公路(即线段AB)，经测量，在A地的北偏东60°方向，B地的北偏西45°方向的C处有一半径为0.7km的公园，问计划修筑的这条公路是否会穿过公园？为什么？
4．在数学活动课上，九年级（2）班数学兴趣小组的同学们测量 校园内一棵大树的高度，设计的方案及测量数据如下：
（1）在大树前的平地上选择一点，测得由点A看大树顶端的仰角为35°；
（2）在点和大树之间选择一点（、、在同一直线上），测得由点看大树顶端的仰角恰好为45°；
（3）量出、两点间的距离为4.5米.请你根据以上数据求出大树的高度。（结果精确到0．1m） （可能用到的参考数据：sin35°≈0.57 cos35°≈0.82 tan35°≈0.70）
5.奥运圣火在古城荆州传递，途经A、B、C、D四地．如图，其中A、B、C三地在同一直线上，D地在A地北偏东45o方向，在B地正北方向，在C地北偏西60o方向．C地在A地北偏东75o方向．B、D两地相距2km．问奥运圣火从A地传到D地的路程大约是多少？（最后结果保留整数，参考数据：）
§7.6锐角三角函数的简单应用（3）
班级__________ 姓名________
学习目标：1.正确理解“坡度、坡角、倾斜角”等在实际问题中的意义。
2. 能综合运用解直角三角形的知识解决实际问题，进一步培养“把实际问题转化为数学问题”的能力．
重点： 用三角函数有关知识解决工程中的相关实际问题
难点： 根据解决问题的需要，正确添加辅助线，从而利用解直角三角形的方法解决实际问题
知识点：坡度的概念，坡度与坡角的关系。
如下图，这是一张水库拦水坝的横断面的设计图，坡面的铅垂高度与水平宽度的比叫做坡度(或坡比)，记作i，即i＝，坡度通常用l：m的形式，例如下图中的1：2的形式。
坡面与水平面的夹角叫做坡角。从三角函数的概念可以知道，
坡度与坡角的关系是i＝tanB，显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡。
（一）与（二）比较：
（一）中坡度小，坡角∠A小，坡面平缓； （二）中坡度大，坡角∠A′大，坡面陡
尝试练习：
如图3，一个小球由地面沿着坡度的坡面向上前进。
若小球升高了10m，此时小球沿坡面向上前进 米；
若小球沿坡面向上前进10m，此时小球升高 米。
典例剖析：
例1．某数学活动小组组织一次登山话动。他们从山脚下A点出发沿斜坡AB到达B点．再从B点沿斜坡BC到达山巅C点，路线如图所示．斜坡AB的长为1040米，斜坡BC的长为400米，在C点测得B点的俯角为30°。已知A点海拔121米．C点海拔721米．
(I)求B点的海拔：
(2)求斜坡AB的坡度．
例2．如图，某堤坝的横截面是梯形ABCD，背水坡AD的坡度i（即tan）为1︰1.2，坝高为5米。现为了提高堤坝的防洪抗洪能力，市防汛指挥部决定加固堤坝，要求坝顶CD加宽1米，形成新的背水坡EF，其坡度为1︰1.4。已知堤坝总长度为4000米。
求完成该工程需要多少土方？
例3．如图，城市规划期间，要拆除一电线杆AB，已知距电线杆水平距离14米的D处有一大坝，背水坡的坡度i＝2:1，坝高CF为2米，在坝顶C处测得杆顶A的仰角为30°，D、E之间是宽为2米的人行道．请问：在拆除电线杆AB时，为确保行人安全，是否需要将此人行道封上?请说明理由(在地面上，以点B为圆心，以AB长为半径的圆形区域为危险区域)。
随堂演练：
1．如图，水库堤坝的横断面成梯形ABCD，DC∥AB，迎水坡AD长为m，上底长DC=2m，背水坡BC长也是2 m。又测得∠DAB=30°，∠CBA=60°。下底AB的长是 ，堤坝的横截面积是 。
2．如图，防洪大堤的横断面是梯形，坝高AC等于6米，背水坡AB的坡度，则斜坡AB
的长为 米
3．如图Rt△ABC是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡AB的长为12m，它的坡角为45°，为了提高该堤防洪能力，现将背水坡改造成坡比为1：1.5的斜坡AD，则DB的长 (结果保留根号)。
4．如图，在平地上种植树时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m．如果在坡度为1:2的山坡上种植树，也要求株距为4m，那么相邻两树间的坡面距离约为（ ）
A．4.5m B．4.6m C．6m D．8m
5．我市某乡镇学校教学楼后面靠近一座山坡，坡面上是一块平地，如图所示．，斜坡米，坡角，为防夏季因瀑雨引发山体滑坡，保障安全，学校决定对山坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过时，可确保山体不滑坡，改造时保持坡脚不动，从坡顶沿削进到处，问至少是多少米（结果保留根号）？
6．如图，某校一幢教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌CD．小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60°，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°．已知山坡AB的坡度i＝1:，AB＝10米，AE＝15米，求这块宣传牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据：≈1.414，≈1.732）
7．如图，已知斜坡AB长60米，坡角（即∠BAC）为30°，BC⊥AC，现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体（用阴影表示）修建一个平行于水平线CA的平台DE和一条新的斜坡BE．（请讲下面2小题的结果都精确到0.1米，参考数据：≈1.732）．
（1）若修建的斜坡BE的坡角（即∠BEF）不大于45°，则平台DE的长最多为　11.0　米；
（2）一座建筑物GH距离坡角A点27米远（即AG=27米），小明在D点测得建筑物顶部H的仰角（即∠HDM）为30°．点B、C、A、G、H在同一个平面内，点C、A、G在同一条直线上，且HG⊥CG，问建筑物GH高为多少米？
第七章 锐角三角函数复习
班级 姓名
知识要点：
1.锐角三角函数、锐角三角函数值的符号、锐角三角函数值的变化规律、特殊角三角函数值、互为余角的三角函数间的关系、同角三角函数间的关系（平方关系、商数关系、倒数关系）
2. 锥度、坡度、仰角、俯角、方位角、方向角、解直角三角形、解直角三角形应用
典型例题：
1.①在Rt△ABC中，∠C＝90°，3a＝b，则∠A＝ ，sinA＝
②Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，AB＝10，那么BC＝ ，tanB＝
2.①1－2sin30°·cos30°＝
②cosα＝,α= tan2α－4tanα＋＝0，则α＝
3．菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，则点的坐标为 。
4.已知一山坡的坡度为1:3，某人沿斜坡向上走了100m，则这个人升高了 m。
5．某大学计划为新生配备如图（1）所示的折叠椅．图（2）是折叠椅撑开后的侧面示意图，其中椅腿AB和CD的长相等，O是它们的中点．为使折叠椅既舒适又牢固，厂家将撑开后的折叠椅高度设计为32cm，∠DOB＝100°，那么椅腿的长AB和篷布面的宽AD各应设计为多少cm？（结果精确到0.1cm）
6．如图，家住江北广场的小李经西湖桥到教育局上班，路线为→→→．因西湖桥维修封桥，他只能改道经临津门渡口乘船上班，路线为→→→．已知，，，，米，米，，．请你计算小李上班的路程因改道增加了多少？（结果保留整数）
温馨提示：．
随堂演练：
1．将宽为2cm的长方形纸条折叠成如图所示的形状，那么折痕的长是（ ）
A．cm B．cm C．cm D．2cm
2．如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，∠EDC∶∠EDA=1∶3，且AC=10，则DE的长度是（）
A．3 B．5 C． D．
3．如图5，在中，是上一点，于，且，则的长为（　　　）
A．2 B． C． D．
4．如图所示，小华同学在距离某建筑物6米的点A处测得广告牌B点．C点的仰角分别为52°和35°，则广告牌的高度BC为_____________米(精确到0.1米)．(sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70；sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28)
5．如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m．如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m，那么相邻两树间的坡面距离为 。
6．如图6，将以A为直角顶点的等腰直角三角形ABC沿直线BC平移得到△，使点与C重合，连结，则的值为 .
7.已知直角三角形中,较大直角边长为30,此边所对角的余弦值为，则三角形的周长为 ，面积为 。
8．如图，∠C=90°， AM是BC边上的中线，，则的值为 ．
9．将一副三角板按如图1位置摆放,使得两块三角板的直角边AC和MD重合.已知AB=AC=8 cm,将△MED绕点A(M)逆时针旋转60°后(图2),两个三角形重叠（阴影）部分的面积约是多少cm2 (结果 精确到0.1，)
10. 如图所示（左图为实景侧视图，右图为安装示意图），在屋顶的斜坡面上安装太阳能热水器：先安装支架AB和CD（均与水平面垂直），再将集热板安装在AD上．为使集热板吸热率更高，公司规定：AD与水平线夹角为θ1，且在水平线上的射影AF为1.4m．现已测量出屋顶斜面与水平面夹角为θ2，并已知tanθ1=1.082，tanθ2=0.412．如果安装工人已确定支架AB高为25cm，求支架CD的高（结果精确到1cm）？
11．安装在屋顶的太阳能热水器的横截面示意图如图所示.已知集热管AE与支架BF所在直线相交与水箱横截面⊙O的圆心O,⊙O的半径为0.2m,AO与屋面AB的夹角为32°，与铅垂线OD的夹角为40°，BF⊥AB于B，OD⊥AD于D，AB＝2m,求屋面AB的坡度和支架BF的长. (参考数据：)
12．如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为40cm，灯罩BC长为30cm，底座厚度为2cm，灯臂与底座构成的∠BAD=60°. 使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少cm？（结果精确到0.1cm，参考数据：≈1.732）