辅导：圆周角
一、学习目标（学习重点）：
1、经历由圆心角变化为圆周角的运动过程，能说出圆周角的特征（即定义）．
2、通过特殊到一般的探究过程，借助分类思想，能概括出圆心角圆周角的三种不同图形关系，能结合图形证明圆心角与圆周角的关系，会运用两者大小关系计算角的大小即证明
3、掌握直径（或半圆）所对的圆周角是直角及90°的圆周角所对的弦是直径的性质，并能运用此性质解决问题.
4、经历圆周角性质的过程，培养学生分析问题和解决问题的能力。体会分类思想、转化思想．
二、知识要点：
1、顶点在__ _，并且两边_____________的角叫做圆周角.
强调条件：①_________________，②_________________.
2、一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半。
3、同弧或等弧所对的圆周角___________________；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧________________
4、半圆（或直径）所对的圆周角是_______；90°的圆周角所对的弦是_______。
5、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是___________。
三、例题讲解：
1、如图，在⊙O的内接三角形ABC中，AB＝AC，∠ ACB＝750，D是上的一点，
求：∠D的度数
2、如图，四边形ABCD为⊙O的内接正方形，E是圆上任一点，求∠1＋∠2的度数
3、如图，已知CO、CB是⊙O的弦，⊙O与直角坐标系的x、y轴分别交于B、A，若
∠COB＝450，∠OBC＝750，A点坐标为（0，2），求：⊙O的直径.
4、如图，在⊙O中，直径AB长为10cm，弦AC长为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D。求：BC、AD和BD的长
四、当堂训练：
1、(2012贵州六盘水，15，4分)如图1，已知∠OCB=20°，则∠A= 度。
2、如图2，AB是⊙O的直径，C、D、E都是⊙O上的点，则∠1+∠2= 。
3、如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BAC＝300，点P在线段OB上运动.设∠ACP＝x0,则x的取值范围是 。
4、如图4，在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN进攻，当甲带球冲到A点时，乙已跟随冲到B点，从数学角度看，此时甲是自己射门好，还是将球传给乙，让乙射门好？
答： ，
简述理由：
5、（2012，黔东南州，4）如图5，若AB⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=55o，则∠BCD的度数为（ ）
A、35o B、45o C、55o D、75o
6、（2012深圳市 9 ，3分）如图6，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A，点B，点A的坐标为（0，3），M是第三象限内弧OB上一点，，则⊙C的半径为（ ）
A. 6 B. 5 C 3 D.
7、（2012四川达州，3，3分）如图7，⊙O是△ABC的外接圆，连结OB、OC，若OB=BC，
则∠BAC等于
A、60° B、45° C、30° D、20°
8、（2011江苏扬州，15,3分）如图8，⊙O的弦CD与直径AB相交，若∠BAD=50°，则
∠ACD=
9、如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB=40°，∠APD=65°．
（1）求∠B的大小；
（2）已知AD=6求圆心O到BD的距离．
10、（2012?长沙）如图，A，P，B，C是半径为8的⊙O上的四点，且满足∠BAC=∠APC=60°，
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）求圆心O到BC的距离OD．
11、已知，如图20，AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,连接AC,过点C作直线CD⊥AB于D(AD(1)求证：AC2=AG·AF;
(2)若点E是AD(点A除外)上任意一点，上述结论是否仍然成立？若成立，请画出图形并给予证明；若不成立，请说明理由.
12、（2012?湘潭）如图，在⊙O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，AC=AB，点P在半圆弧AB上运动（不与A、B两点重合），过点C作直线PB的垂线CD交PB于D点．
（1）如图1，求证：△PCD∽△ABC；
（2）当点P运动到什么位置时，△PCD≌△ABC？请在图2中画出△PCD并说明理由；
（3）如图3，当点P运动到CP⊥AB时，求∠BCD的度数．
13、（2012?柳州）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦．
（1）请你按下面步骤画图（画图或作辅助线时先使用铅笔画出，确定后必须使用黑色字迹的签字笔描黑）；
第一步，过点A作∠BAC的角平分线，交⊙O于点D；
第二步，过点D作AC的垂线，交AC的延长线于点E．
第三步，连接BD．
（2）求证：AD2=AE?AB；
（3）连接EO，交AD于点F，若5AC=3AB，求的值．
参考答案：
10、解：（1）在△ABC中，
∵∠BAC=∠APC=60°，又∵∠APC=∠ABC，∴∠ABC=60°，
∴∠ACB=180°﹣∠BAC﹣∠ABC=180°﹣60°﹣60°=60°，
∴△ABC是等边三角形；
（2）∵△ABC为等边三角形，⊙O为其外接圆，
∴O为△ABC的外心，∴BO平分∠ABC，
∴∠OBD=30°，∴OD=8×=4．
11、(1)证明：连接CB，∵AB是直径，CD⊥AB, ∴∠ACB=∠ADC=90°. ∴Rt△CAD∽Rt△BAC.
∴得∠ACD=∠ABC . ∵∠ABC=∠AFC, ∴∠ACD=∠AFC. ∴△ACG∽△ACF.
∴. ∴AC2=AG·AF.
(2)当点E是AD(点A除外)上任意一点，上述结论仍成立
①当点E与点D重合时，F与G重合,
有AG=AF，∵CD⊥AB，∴=, AC=AF. ∴AC2=AG·AF.
②当点E与点D不重合时(不含点A)时，证明类似①.
12、（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，
∵PD⊥CD，∴∠D=90°，∴∠D=∠ACB，
∵∠A与∠P是对的圆周角，∴∠A=∠P，∴△PCD∽△ABC；
（2）解：当PC是⊙O的直径时，△PCD≌△ABC，
理由：∵AB，PC是⊙O的半径，∴AB=PC，
∵△PCD∽△ABC，∴△PCD≌△ABC；
（3）解：∵∠ACB=90°，AC=AB，∴∠ABC=30°，
∵△PCD∽△ABC，∴∠PCD=∠ABC=30°，
∵CP⊥AB，AB是⊙O的直径，∴=，∴∠ACP=∠ABC=30°，
∴∠BCD=∠AC﹣∠ACP﹣∠PCD=90°﹣30°﹣30°=30°．
13、【考点】圆的综合题．
【专题】综合题．
【分析】（1）根据基本作图作出∠BAC的角平分线AD交⊙O于点D；点D作AC的垂线，垂足为点E；
（2）根据直径所对的圆周角为直角得到∠ADB=90°，DE⊥AC，则∠AED=90°，又由AD平分∠CAB得到∠CAD=∠DAB，根据相似三角形的判定得到Rt△ADE∽Rt△ABD，根据相似的性质得到AD：AB=AE：AD，利用比例的性质即可得到AD2=AE?AB；
（3）连OD、BC，它们交于点G，由5AC=3AB，则不妨设AC=3x，AB=5x，根据直径所对的圆周角为直角得到∠ACB=90°，由∠CAD=∠DAB得到，根据垂径定理的推论得到OD垂直平分BC，则有OD∥AE，OG=AC=x，并且得到四边形ECGD为矩形，则CE=DG=OD-OG=x-x=x，可计算出AE=AC+CE=3x+x=4x，利用AE∥OD可得到△AEF∽△DOF，则AE：OD=EF：OF，即EF：OF=4x：x=8：5，然后根据比例的性质即可得到 的值．
【解答】（1）解：如图；
（2）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，
而DE⊥AC，∴∠AED=90°，
∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠DAB，
∴Rt△ADE∽Rt△ABD，
∴AD：AB=AE：AD，∴AD2=AE?AB；
（3）解：连OD、BC，它们交于点G，如图，
∵5AC=3AB，即AC：AB=3：5，∴不妨设AC=3x，AB=5x，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，
又∵∠CAD=∠DAB，∴，
∴OD垂直平分BC，
∴OD∥AE，OG=1 2 AC=3 2 x，
∴四边形ECGD为矩形，
∴CE=DG=OD-OG=x-x =x，∴AE=AC+CE=3x+x=4x，
∵AE∥OD，∴△AEF∽△DOF，
∴AE：OD=EF：OF，∴EF：OF=4x：x=8：5，∴ ．
【点评】本题考查了圆的综合题：平分弦所对的弧的直径垂直平分弦；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等；直径所对的圆周角为直角；运用相似三角形的判定与性质证明等积式和几何计算；掌握基本的几何作图．
辅导：圆和圆的位置关系
一、学习目标
1、了解圆与圆的五种位置关系.
2、经历探索两圆的位置关系与两圆半径、圆心距的数量关系间的内在联系的过程，并运用相关结论解决问题.
学习重点：位置关系与对应数量关系的运用.
学习难点：两圆的位置关系对应数量关系的探索.
二、探究学习
（一）．两圆位置关系的定义
注：（1）找到分类的标准：①公共点的个数；
②一个圆上的点是在另一个圆的内部还是外部
（2）两圆相切是指两圆外切与内切
（3）两圆同心是内含的一种特殊情况
（二）．两圆位置关系与两圆半径、圆心距的数量关系之间的联系：两圆的半径分别为R、r，圆心距为d，那么
两圆外离 d ＞ R＋r
两圆外切 d = R＋r
两圆相交 R－r ＜ d ＜R＋r（R≥r）
两圆内切 d = R－r（R ＞ r）
两圆内含 d ＜ R－r（R ＞ r）
（三）. 借助数轴进一步理解两圆位置关系与量关系之间的联系
（四）. 典型例题
问题1、(2012贵州六盘水，14，4分)已知两圆的半径分别为2和3，两圆的圆心距为4，那么这两圆的位置关系是 .
问题2、（2012年四川省德阳市，第18题、3分．）在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），⊙A的半径是2，⊙P的半径是1，满足 与⊙A及轴都相切的⊙P有 个.
问题3、（2011山东省潍坊市，题号7，分值3）7、已知两圆半径、分别是方程的两根，两圆的圆心距为7，则两圆的位置关系是（ ）
A． 相交 B． 内切 C． 外切 D． 外离
问题4、（2011年四川省绵阳市，22，12分）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝90°，以AD为直径的半圆O与BC相切。
（1）求证：OB⊥OC；
（2）若AD＝12，∠BCD＝60°，⊙O1与半圆O外切，并与BC、CD相切，求⊙O1的面积。
（五）.练习
1、（2012福州，8，4分，） ⊙O1和 ⊙O2,的半径分别是3㎝和4㎝，如果O1O2=7㎝，则这两圆的位置关系是（ ）
A．内含 B.相交 C.外切 D. 外离
2、2012四川省南充市，10，3分) 如图，平面直角坐标系中，⊙O半径长为1，点P(a,0) ，⊙P的半径长为2，把⊙P向左平移，当⊙P与⊙O相切时，a的值为（ ）
A．3 B．1 C．1，3 D．±1，±3
3、2012江苏省淮安市，15，3分）如图，⊙M与⊙N外切，MN=l0cm，若⊙M的半径为6cm，则⊙N的半径为 cm。
4、2011浙江绍兴，16，5分）如图，相距2cm的两个点A、B在直线l上．它们分别以2cm/s和1cm/s的速度在l上同时向右平移，当点A，B分别平移到点A1，B1的位置时，半径为1cm的⊙A1，与半径为BB1的⊙B相切．则点A平移到点A1，所用的时间为 s．
5、2011?南通）已知：如图，三个半圆以此相外切，它们的圆心都在x轴的正半轴上并与直线y＝x相切，设半圆C1、半圆C2、半圆C3的半径分别是r1、r2、r3，则当r1＝1时，r3＝
6、2011四川广安，14，3分）已知⊙O1与⊙O2的半径、分别是方程 的两实根，若⊙O1与⊙O2的圆心距＝5．则⊙O1与⊙O2的位置关系是___________．
7、2011江苏省无锡市，10，3′）如图，以M（－5,0）为圆心、4为半径的圆与x轴交于A、B两点，P是⊙M上异于A、B的一动点，直线PA、PB分别交y轴于C、D，以CD为直径的⊙N与与x轴交于E、F两点，则EF的长（ ）
A．等于 B. 等于 C.等于6 D.随P点位置的变化而变化
8、2011福建福州，15，4分）以数轴上的原点O为圆心，3为半径的扇形中，圆心角∠AOB=90°，另一个扇形是以点P为圆心，5为半径，圆心角∠CPD=60°，点P在数轴上表示实数a，如图．如果两个扇形的圆弧部分（弧AB和弧CD）相交，那么实数a的取值范围是 ．
9、2012四川宜宾，23，10分）如图，⊙O、⊙O相交于点P、Q两点，其中⊙O的半径r=2，⊙O,的半径r=，过点Q作CD⊥PQ,分别交⊙O和⊙O于点C、D，连结CP、DP，过点Q任作一直线A交⊙O和⊙O于A、B，连结AP、BP、AC、DB，且AC与DB的延长线交于点E,
求证：；（2）若PQ=2，试求∠E度数。
10、（2011江苏南京，26，8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．P为BC的中点，动点Q从点P出发，沿射线PC方向以2cm/s的速度运动，以P为圆心，PQ长为半径作圆．设点Q运动的时间为t s．
（1）当t=1.2时，判断直线AB与⊙P的位置关系，并说明理由；
（2）已知⊙O为△ABC的外接圆．若⊙P与⊙O相切，求t的值．
11、（2011新疆乌鲁木齐，24）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6米，BC＝8米，动点P以2米/秒的速度从A点出发，沿AC向点C移动．同时，动点Q以1米/秒的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t秒．
（1）①当t＝2.5秒时，求△CPQ的面积；
②求△CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式；
（2）在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，写出t的值；
（3）以P为圆心，PA为半径的圆与以Q为圆心，QC为半径的圆相切时，求出t的值．
参考答案：
4. 典型例题
问题1、分析：两圆的位置关系有：相离（d＞R+r）、相切（外切：d=R+r或内切：d=R﹣r）、相交（R﹣r＜d＜R+r）．
解答：解：∵⊙O1和⊙O2的半径分别为2和3，O1O2=4，
R+r=5>4，R﹣r=1<4，满足R﹣r＜d＜R+r
∴两圆相交．
点评：本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法．
问题2、【解析】和⊙A相内切且与x轴相切的⊙P有1个，与x轴相切且与⊙A相外切的⊙P有3个，故共有4个．
【答案】4
【点评】本题考查了圆与圆的位置关系和坐标与图形性质．两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为d：外离，则d＞R+r；外切，则d=R+r；相交，则R-r＜d＜R+r；内切，则d=R-r；内含，则d＜R-r．
问题3、考点：两圆的位置关系的判断和一元二次方程的解法
解答：解方程得到、，所以+=7.由于两圆的圆心距d为7, 满足d=+，所以两圆外切，本题正确答案是C.
点评：本题考察了一元二次方程的解法和两圆的位置关系得判定，内容基础，综合性强.
问题4、考点：相切两圆的性质；直角梯形．
专题：证明题；综合题．
分析：（1）证明两个锐角的和等于90°即可； （2）求得⊙O1的半径后代入圆的面积公式求得其面积即可．
解答：解：（1）∵AB，BC，CD均与半圆O相切， ∴∠ABO=∠CBO，∠DCD=∠BCO． 又AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD=180°， 即∠ABO+∠CBO+∠BCO+∠DCO=180°．∴2∠CBO+2∠BCO=180°， 于是∠CBO+∠BCO=90°，∴∠BOC=180°-（∠CBO+∠BCO）=180°-90°=90°，即OB⊥OC． （2）设CD切⊙O1于点M，连接O1M，则O1M⊥CD． 设⊙O1的半径为r． ∵∠BCD=60°，且由（1）知∠BCO=∠O1CM，∴∠O1CM=30°． 在Rt△O1CM中，CO1=2O1M=2r．在Rt△OCD中，OC=2OD=AD=12． ∵⊙O1与半圆D外切，∴OO1=6+r，于是，由OO1+O1C=OC有6+r+2r=12，解得r=2， 因此⊙O1的面积为4π．点评：本题考查了相切两圆的性质及直角梯形的性质，解题的关键是根据相切两圆半径只间的关系确定两圆心之间的距离．
5、练习：
1、解析：因为⊙O1和 ⊙O2,的半径和=7，因此两圆外切。
答案：C
点评：本题考查两圆的位置关系，设两圆的半径分别为R、r(R>r)，圆心距为d，则：(1)d>R+r时，两圆外离；(2)d=R+r时，两圆外切；(3)R-r4、解析：⊙P在向左移动时首先会与⊙O外切，此时点P的坐标为（3,0）；当⊙P继续向左平移，则会与⊙O内切，此时点P坐标为（1,0）；继续向左平移则会与⊙O另一侧出现内切、外切，点P的坐标依次为（-1,0）、（-3,0）。
答案：D
点评：本题考查了两圆相切时，圆心距与半径的关系。对于没有明确两圆内切或外切的情况下，要全面考虑，以免出现漏解。
16、【解析】∵⊙M与⊙N外切，圆心距MN=l0cm，⊙M的半径为6cm，则⊙N的半径为=10-6=4(cm)，
【答案】4
【点评】此题考查了圆与圆的位置关系，设两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为d：外离d＞R+r；外切d=R+r；相交R﹣r＜d＜R+r；内切d=R﹣r；内含d＜R﹣r，难度适中．掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系是解此题的关键．
17、考点：圆与圆的位置关系。专题：数形结合；分类讨论。
分析：首先设点A平移到点A1，所用的时间为ts，根据题意求得AB=2cm，AA1=2tcm，A1B=1cm，BB1=tcm，再分别从内切与外切四种情况分析求解，即可求得答案．
解答：解：设点A平移到点A1，所用的时间为ts，
根据题意得：AB=2cm，AA1=2tcm，A1B=1cm，BB1=tcm，
如图，此时外切：2t+1+t=2，
∴t=；
如图，此时内切：2t+t﹣1=2，
∴t=1，此时两圆重合，舍去；
如图，
此时内切：2t﹣t+1=2，
∴t=1，此时两圆重合，舍去；
如图：
此时外切： 2t﹣t﹣1=2，∴t=3．
∴点A平移到点A1，所用的时间为或3s．
故答案为：或3．
点评：此题考查了圆与圆的位置关系．解题的关键是注意数形结合与方程思想，分类讨论思想的应用，注意别漏解．
19、考点：相似三角形的判定与性质；一次函数的性质；相切两圆的性质。专题：计算题。
分析：由三个半圆依次与直线y＝x相切并且圆心都在x轴上，因此OO=2，OO=6，OO=18，即可得出r的长度；
解答：解：由三个半圆依次与直线y＝x相切并且圆心都在x轴上，∴y＝x倾斜角是30°，∴得，OO=2r，OO=2r，00=2r，r1＝1，∴r3=9．故答案为9．
点评：本题考查了一次函数的性质、相切圆的性质，由一次函数的解析式得出其与x的正半轴的夹角是30°，是解答本题的关键．
20、考点：圆与圆的位置关系．专题：圆的位置关系．
分析：解一元二次方程，可得其两根，所以，因为，即，所以两圆相交．
解答：相交
点评：两圆之间的位置关系常利用两圆半径与两圆间的圆心距之间的数量关系来确定：当时，两圆外离；当时，两圆外切；当时，两圆相交；当时，两圆内切；当时，两圆内含．判断两圆的位置关系时，先分别计算与的值，再和圆心距比较，看其符合哪一种情形．
21、【解析】
方法二，利用切割线定理的推论。由切割线定理推论可知AE·AF=AP·AC，又
ΔACO∽ΔABP，得，∴AO·AB=AP·AC,∴AE·AF= AO·AB.
∵AO=9，AB=8，AE=AO－OE=9－OE，AF=AO+OF=AO+OE=9+ OE,
∴（9－OE）·（9+ OE）=72，∴81-OE2=72，∴OE2=9，∴OE=3，∴EF=6.
方法三，举特例。特殊问题不是一般性，当P运动到使∠PAB=45°时，可以很快得到NF=5，NO=4，在RtΔNOF中，可得OF=3. ∴EF=6.
【答案】C，
【点评】本题借助圆的知识主要考查垂径定理及相似三角形的性质，动态的问题又有不变的地方，作为选择题，利用举特例比较好。此题难度较大。
22、考点：圆与圆的位置关系；实数与数轴．
分析：两扇形的圆弧相交，界于D．A两点重合与C．B两点重合之间，分别求出此时PD的长，PC的长，确定a的取值范围．
解答：解：当A．D两点重合时，PO=PD﹣OA=5﹣3=2，此时P点坐标为a=﹣2，当B．C两点重合时，PO===4，此时P点坐标为a=﹣4，则实数a的取值范围是﹣4≤a≤﹣2．故答案为：﹣4≤a≤﹣2．
点评：本题考查了圆与圆的位置关系，实数与数轴的关系．关键是找出两弧相交时的两个重合端点．
23、【解析】（1）求出PC、PD，证△PAB∽△PCD，推出=，代入求出即可；
（2）求出cos∠CPQ=，求出∠CPQ=60°，同理求出∠PDQ=45°，推出∠CAQ=∠CPQ=60°，∠PBQ=∠PDQ=45°，求出∠PBD=90°，求出∠ABE=45°根据三角形的内角和定理求出即可．
【答案】（1）证明：∵⊙O1的半径r1=2，⊙O2的半径r2=，
∴PC=4，PD=2，∵CD⊥PQ，∴∠PQC=∠PQD=90°，
∴PC、PD分别是⊙O1、⊙O2的直径，在⊙O1中，∠PAB=∠PCD，在⊙O2中，∠PBA=∠PDC，
∴△PAB∽△PCD，∴===，即=．
（2）解：在Rt△PCQ中，∵PC=2r1=4，PQ=2，∴cos∠CPQ=，
∴∠CPQ=60°，∵在Rt△PDQ中，PD=2r2=2，PQ=2，∴sin∠PDQ=，
∴∠PDQ=45°，∴∠CAQ=∠CPQ=60°，∠PBQ=∠PDQ=45°，
又∵PD是⊙O2的直径，∴∠PBD=90°，∴∠ABE=90°﹣∠PBQ=45°
在△EAB中，∴∠E=180°﹣∠CAQ﹣∠ABE=75°，答：∠E的度数是75°．
【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，相切两圆的性质，三角形的内角和定理，解直角三角形，圆周角定理等知识点的应用，主要培养学生运用性质进行推理的能力，题目综合性比较强，是一道比较好的题目．
24、考点：圆与圆的位置关系；勾股定理；直线与圆的位置关系；相似三角形的判定与性质。
专题：几何综合题；动点型。
分析：（1）根据已知求出AB=10cm，进而得出△PBD∽△ABC，利用相似三角形的性质得出圆心P到直线AB的距离等于⊙P的半径，即可得出直线AB与⊙P相切；
（2）根据BO=AB=5cm，得出⊙P与⊙O只能内切，进而求出⊙P与⊙O相切时，t的值．
解答：解：（1）直线AB与⊙P相切，
如图，过P作PD⊥AB，垂足为D，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∵AB=6cm，BC=8cm，∴AB=10cm，∵P为BC中点，∴PB=4cm，
∵∠PDB=∠ACB=90°，∠PBD=∠ABC，∴△PBD∽△ABC，
∴，即，∴PD=2.4（cm），
当t=1.2时，PQ=2t=2.4（cm），
∴PD=PQ，即圆心P到直线AB的距离等于⊙P的半径，
∴直线AB与⊙P相切；
（2）∵∠ACB=90°，∴AB为△ABC的外接圆的直径，∴BO=AB=5cm，
连接OP，∵P为BC中点，∴PO=AC=3cm，
∵点P在⊙O内部，∴⊙P与⊙O只能内切，∴5﹣2t=3，或2t﹣5=3，∴t=1或4，
∴⊙P与⊙O相切时，t的值为1或4．
点评：此题主要考查了相似三角形的性质与判定以及直线与圆的位置关系和圆与圆的位置关系，正确判定直线与圆的位置关系是重点知识同学们应重点复习．
25、考点：相似三角形的判定与性质；一元二次方程的应用；等腰三角形的性质；勾股定理；圆与圆的位置关系。
分析：（1）过点P，作PD⊥BC于D，利用30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得PD的长，然后利用三角形的面积公式即可求解；
（2）分PC＝QC和PC＝QC两种情况进行讨论，求解；
（3）PA为半径的圆与以Q为圆心，QC为半径的圆相切时，分为两圆外切和内切两种情况进行讨论．在直角△PFQ中利用勾股定理即可得到关于t的方程，从而求解．
解答：解：在Rt△ABC中，AB＝6米，BC＝8米，∴AC＝10米
由题意得：AP＝2t，则CQ＝1，则PC＝10－2t
（1）
①过点P，作PD⊥BC于D，
∵t＝2.5秒时，AP＝2×2.5＝5米，QC＝2.5米
∴PD＝AB＝3米，∴S＝?QC?PD＝3.75平方米；
②过点Q，作QE⊥PC于点E，
易知Rt△QEC～Rt△ABC ∴
∴S＝?PC?QE＝?（10－2t）?＝－＋3t（0＜t＜5）
（2）当t＝秒（此时PC＝QC），秒（此时PC＝QC），或秒（此时PC＝QC）时，△CPQ为等腰三角形；
（3）
过点P作PF⊥BC于点F．
则△PCF∽△ACB
∴，即 ∴PF＝6－，FC＝8－
则在直角△PFQ中，PQ2＝PF2＋FQ2＝（6－）2＋（8－－t）2＝t2－56t＋100
当⊙P与⊙Q外切时，有PQ＝PA＋QC＝3t，此时PQ2＝t2－56t＋100＝9t2
整理得：t2＋70t－125＝0
解得：t1＝15－35，t2＝－16－35＜0（舍去）
故，当⊙P与⊙Q外切时，t＝（16－35）秒；
当⊙P与⊙Q内切时，PQ＝PA－QC＝t，此时，PQ2＝t2－56t＋100＝t2
整理得：9t2－70t＋125＝0，解得：t1＝，t2＝5
故当⊙P与⊙Q外切时，t＝秒或5秒．
点评：本题主要考查了相似三角形的性质，以及圆和圆的位置关系，正确把图形之间的位置关系转化为线段之间的相等关系是解题的关键．
辅导：圆的切线
（一）学习要求：
【学习目标】
1．了解切线的概念，探索切线与过切点的半径之间的关系．
2．能判定一条直线是否为圆的切线，理解切线的判定定理、性质定理．
3．会过圆上点画圆的切线．
【学习重点】切线判定定理、性质定理的区别与应用．
（二）知识要点：
1． 直线是圆的切线．
2．直线与⊙O相切于点A，OA是过切点的半径，直线与半径OA位置关系如何？
圆的切线 经过 的半径.
（三）例题展现：
问题1：（2012?衢州第21题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点D，点O是AB上一点，⊙O过B、D两点，且分别交AB、BC于点E、F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）已知AB=10，BC=6，求⊙O的半径r．
问题2：(2012?丽水第20题)如图，AB为⊙O的直径，EF切⊙O于点D，过点B作BH⊥EF于点H，交⊙O于点C，连接BD．
(1)求证：BD平分∠ABH；
(2)如果AB＝12，BC＝8，求圆心O到BC的距离．
（四）自我体会：
1、（2012山东省荷泽市，11，3）如图，PA、PB是⊙o的切线，A、B为切点，AC是⊙o 的直径，若∠P=46°，则∠BAC=______.
2、(2012?扬州)如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B两点，点C在⊙O上，如果ACB＝70°，那么∠P的度数是 ．
3、（2012海南）如图，∠APB=300，圆心在边PB上的⊙O半径为1cm，OP=3cm，若⊙O沿BP方向移动，当⊙O与直线PA相切时，圆心O移动的距离为 cm.
4、（2012?黄石）如图（4）所示，直线与线段为直径的圆相切于点，并交的延长线于点，且，，点在切线上移动.当的度数最大时，则的度数为（ ）
A. ° B. ° C. ° D. °
5、（2012山西，9，2分）如图，AB是⊙O的直径，C．D是⊙O上一点，∠CDB=20°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于（ ）
A． 40° B． 50° C．60° D．70°
6、（2012?嘉兴第4题）如图，AB是⊙0的弦，BC与⊙0相切于点B，连接OA、OB．若∠ABC=70°，则∠A等于（ ）
A．15° B．20° C．30° D．70°
7、(2012?扬州)如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AD垂直于过点C的切线，垂足为D．(1)求证：AC平分BAD；(2)若AC＝2，CD＝2，求⊙O的直径．
8、(2012湖北随州，23，10分) 如图，已知直角梯形ABCD，∠B=90°，AD∥BC，并且AD+BC=CD，O为AB的中点.
（1）求证：以AB为直径的⊙O与斜腰CD相切；
（2）若OC=8cm，OD=6cm，求CD的长.
9、（2012湖南衡阳市，26，8）如图，AB是⊙O的直径，动弦CD垂直AB于点E，过点B作直线BF∥CD交AD的延长线于点F，若AB=10cm．
（1）求证：BF是⊙O的切线．
（2）若AD=8cm，求BE的长．
（3）若四边形CBFD为平行四边形，则四边形ACBD为何种四边形？并说明理由．
10、(2012?扬州)如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，且OA＝2，OC＝1，矩形对角线AC、OB相交于E，过点E的直线与边OA、BC分别相交于点G、H．
(1)①直接写出点E的坐标： ．
②求证：AG＝CH．
(2)如图2，以O为圆心，OC为半径的圆弧交OA与D，若直线GH与弧CD所在的圆相切于矩形内一点F，求直线GH的函数关系式．
(3)在(2)的结论下，梯形ABHG的内部有一点P，当⊙P与HG、GA、AB都相切时，求⊙P的半径．
问题1：
考点：
切线的判定；相似三角形的判定与性质。
分析：
（1）连接OD．欲证AC是⊙O的切线，只需证明AC⊥OD即可；
（2）利用平行线截线段成比例推知=；然后将图中线段间的和差关系代入该比例式，通过解方程即可求得r的值，即⊙O的半径r的值．
解答：
（1）证明：连接OD．
∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB（等角对等边）；
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∴∠ODB=∠DBC（等量代换），
∴OD∥BC（内错角相等，两直线平行）；
又∵∠C=90°（已知），∴∠ADO=90°（两直线平行，同位角相等），
∴AC⊥OD，即AC是⊙O的切线；
（2）解：由（1）知，OD∥BC，∴=（平行线截线段成比例），
∴=，解得r=，即⊙O的半径r为．
点评：
本题综合考查了切线的判定、平行线截线段成比例等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
问题2：
考点：
切线的性质；勾股定理；垂径定理；圆周角定理。
分析：
(1)连接OD，根据切线的性质以及BH⊥EF，即可证得OD∥BC，然后根据等边对等角即可证得；
(2)过点O作OG⊥BC于点G，则利用垂径定理即可求得BG的长，然后在直角△OBG中利用勾股定理即可求解．
解答：
(1)证明：连接OD，
∵EF是⊙O的切线，∴OD⊥EF，
又∵BH⊥EF，∴OD∥BH，∴∠ODB＝∠DBH，
∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD∴∠OBD＝∠DBH，∴BD平分∠ABH．
(2)解：过点O作OG⊥BC于点G，则BG＝CG＝4，
在Rt△OBG中，OG＝＝＝．
点评：
本题考查了切线的性质定理，以及勾股定理，注意到OD∥BC是关键．
（四）自我体会：
1、【解析】因为PA、PB是⊙o的切线，所以PA=PB，OA⊥PA，又因∠P=46°，所以∠PAB=67°，所以∠BAC=∠OAP-∠PAB=90°-67°=23°，
【答案】23°
【点评】当圆外一点向圆引两条切线，可以利用切线长定理及切线的性质定理，利用等腰三角形的性质及及垂直的性质来计算角的度数.
2、
考点：
切线的性质；多边形内角与外角；圆周角定理。
专题：
计算题。
分析：
连接OA，OB，由PA与PB都为圆O的切线，利用切线的性质得到OA垂直于AP，OB垂直于BP，可得出两个角为直角，再由同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，由已知∠ACB的度数求出∠AOB的度数，在四边形PABO中，根据四边形的内角和定理即可求出∠P的度数．
解答：
解：连接OA，OB，如图所示：
∵PA、PB是⊙O的切线，∴OA⊥AP，OB⊥BP，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
又∵圆心角∠AOB与圆周角∠ACB都对，且∠ACB＝70°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝140°，则∠P＝360°－(90°＋90°＋140°)＝40°．故答案为：40°
点评：
此题考查了切线的性质，四边形的内角与外角，以及圆周角定理，连接OA与OB，熟练运用性质及定理是解本题的关键．
3、【答案】1或5。
【考点】直线与圆相切的性质，含300角直角三角形的性质。
【分析】如图，设⊙O移动到⊙O1，⊙O2位置时与PA相切。
当⊙O移动到⊙O1时，∠O1DP=900。
∵∠APB=300，O1D=1，∴PO1=2。∵OP=3，∴OO1=1。
当⊙O移动到⊙O2时，∠O2EP=900。
∵∠APB=300，O2D=1，∴∠O2PE=300，PO2=2。
∵OP=3，∴OO1=5。
综上所述，当⊙O与PA相切时，圆心O移动的距离为1cm或5 cm。
4、【考点】切线的性质；三角形的外角性质；圆周角定理．
【分析】连接BD，有题意可知当P和D重合时，∠APB的度数最大，利用圆周角定理和直角三角形的性质即可求出∠ABP的度数．
【解答】解：连接BD，∵直线CD与以线段AB为直径的圆相切于点D，∴∠ADB=90°，
当∠APB的度数最大时，则P和D重合，∴∠APB=90°，
∵AB=2，AD=1，∴sin∠DBP=AD/AB =1/2 ，∴∠ABP=30°，
∴当∠APB的度数最大时，∠ABP的度数为30°．故选B．
【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理以及解直角三角形的有关知识，解题的关键是有题意可知当P和D重合时，∠APB的度数最大为90°．(圆内角＞圆周角＞圆外角)
5、【解析】解：连接OC，如图所示：
∵圆心角∠BOC与圆周角∠CBD都对，∴∠BOC=2∠CBD，又∠CDB=20°，
∴∠BOC=40°，又∵CE为圆O的切线，∴OC⊥CE，即∠OCE=90°，
则∠E=90°﹣40°=50°．故选B
【点评】本题主要考查了圆的切线的性质、同圆中同弧所对的圆周角相等及等边对等角等性质；解决本题的关键是熟悉圆中常见辅助线作法及相关性质.难度中等．
6、
考点：
切线的性质。
分析：
由BC与⊙0相切于点B，根据切线的性质，即可求得∠OBC=90°，又由∠ABC=70°，即可求得∠OBA的度数，然后由OA=OB，利用等边对等角的知识，即可求得∠A的度数．
解答：
解：∵BC与⊙0相切于点B，∴OB⊥BC，∴∠OBC=90°，
∵∠ABC=70°，∴∠OBA=∠OBC﹣∠ABC=90°﹣70°=20°，
∵OA=OB，∴∠A=∠OBA=20°．故选B．
点评：
此题考查了切线的性质与等腰三角形的性质．此题比较简单，注意数形结合思想的应用，注意圆的切线垂直于经过切点的半径定理的应用．
7、
考点：
切线的性质；角平分线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质。
专题：
计算题。
分析：
(1)连接OC，根据切线的性质判断出AD∥OC，得到∠DAC＝∠OCA，再根据OA＝OC得到∠OAC＝∠OCA，
可得AC平分∠BAD．
(2)连接BC，得到△ADC∽△ACB，根据相似三角形的性质即可求出AB的长．
解答：
解：(1)如图：连接OC，
∵DC切⊙O于C，∴AD⊥CD，∴∠ADC＝∠OCF＝90°，∴AD∥OC，
∴∠DAC＝∠OCA，
∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，即AC平分∠BAD．
(2)连接BC．
∵AB是直径，∴∠ACB＝90°＝∠ADC，
∵∠OAC＝∠OCA，∴△ADC∽△ACB，∴，
在Rt△ADC中，AC＝2，CD＝2，∴AD＝4，∴，∴AB＝5．
8、解析:（1）过AB的中点O作OE⊥CD于E.证明OE的长等于半径即可.（2）证明∠COD=900，运用勾股定理求值..
答案:证明： 过AB的中点O作OE⊥CD于E.
S梯形ABCD=(AD+BC) ?AB=(AD+BC) ?OA=2(AD?OA+BC?OB)
=2(S⊿OAD +S⊿OBC)
由S梯形ABCD =S⊿OBC+ S⊿OAD+ S⊿OCD∴S⊿OBC+ S⊿OAD=S⊿OCD
∴AD?OA+BC?OA=CD·OE
∴(AD+BC) ·OA=CD·OE又AD+BC=CD
∴OA=OE,∴E点在以AB为直径的⊙O上，又OE⊥CD∴CD是⊙O的切线
即：CD与⊙O相切 …………5分
（2）∵DA、DE均为⊙O的切线，∴DA=DE，则∠1=∠2，同理∠3=∠4. ∴∠COD=900.
∴CD= …………5分
点评:本题考查梯形、直线余与圆的位置关系、勾股定理.根据圆的切线的定义准确的作出辅助线是解决问题的关键.本题中运用面积法证明AD+BC=CD很巧妙.难度较大.
9、解析：（1）欲证明BF是⊙O的切线，只需证明AB⊥BF即可；
（2）连接BD，在直角三角形ABD中，利用摄影定理可以求得AE的长度，最后结合图形知BE=AB﹣AE；
（3）连接BC．四边形CBFD为平行四边形，则四边形ACBD是正方形．根据平行四边形的对边平行、平行线的性质、圆周角定理以及同弧所对的圆周角相等可以推知∠CAD=∠BDA=90°，即CD是⊙O的直径，然后由全等三角形的判定与性质推知AC=BD；根据正方形的判定定理证得四边形ACBD是正方形．
答案：解：（1）∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，BF∥CD，
∴BF⊥AB，即BF是⊙O的切线；
（2）如图1，连接BD．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角）；
又∵DE⊥AB∴AD2=AE?AB；
∵AD=8cm，AB=10cm，AE=6.4cm，∴BE=AB﹣AE=3.6cm；
（3）连接BC．
四边形CBFD为平行四边形，则四边形ACBD是正方形．理由如下：
∵四边形CBFD为平行四边形，∴BC∥FD，即BC∥AD；
∴∠BCD=∠ADC（两直线平行，内错角相等），
∵∠BCD=∠BAD，∠CAB=∠CDB，（同弧所对的圆周角相等），
∴∠CAB+∠BAD=∠CDB+∠ADC，即∠CAD=∠BDA；
又∵∠BDA=90°（直径所对的圆周角是直角），∴∠CAD=∠BDA=90°，
∴CD是⊙O的直径，即点E与点O重合（或线段CD过圆形O），如图2，
在△OBC和△ODA中，
∵，∴△OBC≌△ODA（SAS），
∴BC=DA（全等三角形的对应边相等），
∴四边形ACBD是平行四边形（对边平行且相等的四边形是平行四边形）；
∵∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角），AC=AD，∴四边形ACBD是正方形．
10、
考点：
切线的判定与性质；一次函数综合题；全等三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质。
专题：
计算题；证明题。
解答：
(1)①解：E的坐标是：(1，)，
②证明：∵矩形OABC，∴CE＝AE，BC∥OA，∴∠HCE＝∠EAG，
∵在△CHE和△AGE中，∴△CHE≌△AGE，∴AG＝CH．
(2)解：连接DE并延长DE交CB于M，
∵DD＝OC＝1＝OA，∴D是OA的中点，
∵在△CME和△ADE中，∴△CME≌△ADE，
∴CM＝AD＝2－1＝1，
∵BC∥OA，∠COD＝90°，∴四边形CMDO是矩形，∴MD⊥OD，MD⊥CB，
∴MD切⊙O于D，
∵得HG切⊙O于F，E(1，)，∴可设CH＝HF＝x，FE＝ED＝＝ME，
在Rt△MHE中，有MH2＋ME2＝HE2
即(1－x)2＋()2＝(＋x)2，解得x＝，∴H(，1)，OG＝2－＝，
又∵G(，0)，设直线GH的解析式是：y＝kx＋b，
把G、H的坐标代入得：0＝b，且1＝k＋b，得： k＝－，b＝，
∴直线GH的函数关系式为y＝－．
(3)解：连接BG，
∵在△OCH和△BAG中，∴△OCH≌△BAG，
∴∠CHO＝∠AGB，
∵∠HCO＝90°，∴HC切⊙O于C，HG切⊙O于F，∴OH平分∠CHF，
∴∠CHO＝∠FHO＝∠BGA，
∵△CHE≌△AGE，∴HE＝GE，
在△HOE和△GBE中，∴△HOE≌△GBE，
∴∠OHE＝∠BGE，21世纪教育网
∵∠CHO＝∠FHO＝∠BGA，∴∠BGA＝∠BGE，即BG平分∠FGA，
∵⊙P与HG、GA、AB都相切，∴圆心P必在BG上，
过P做PN⊥GA，垂足为N，∴△GPN∽△GBA，∴，
设半径为r，＝，解得：r＝，答：⊙P的半径是．
点评：
本题综合考查了矩形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，切线的性质和判定，一次函数和勾股定理等知识点，本题综合性比较强，难度偏大，但是也是一道比较好的题目．
辅导：圆的对称性
主要内容：
1. 圆是轴对称图形，也是中心对称图形。
?????? 经过圆心的直线是对称轴。
?????? 圆心是它的对称中心。
2. 圆心角、弧、弦之间的关系
?????? 定理：在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦也相等。
?????? 推论：在同一个圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
?????? 如图，用几何语言表示如下：⊙O中，
（1）∵∠AOB＝∠A'OB'
（3）∵AB＝A'B'
? 5. 直径垂直于弦的性质（垂径定理）
?????? 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
?????? 如图：几何语言
??????
【典型例题】
?例1. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点D、E。求AB、AD的长。
分析：求AB较简单，求弦长AD可先求AF。
解：
例2. 如图，⊙O中，弦AB＝10cm，P是弦AB上一点，且PA＝4cm，OP＝5cm，求⊙O的半径。
分析：⊙O中已知弦长求半径，通常作弦心距构造直角三角形，利用勾股定理求解。
解：
?
例3. 如图“五段彩虹展翅飞”是某省利用国债资金修建的横跨渡江的琼洲大桥已正式通车，该桥的两边均有五个红色的圆拱，最高的圆拱的跨度为110米，拱高为22米，求这个圆拱所在圆的直径。
分析：略
解：
??????
【模拟试题】一. 选择题。
1. ⊙O中，弦AB所对的弧为120°，圆的半径为2，则圆心到弦AB的距离OC为（??? ）
?????? A. ?????????????????? B. 1?????????????? C. ??????????????? D.
2. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果，则AE的长为（??? ）
?????? A. 2????????????????????? B. 3????????????????????? C. 4????????????????????? D. 5
3. 如图，⊙O的弦AB垂直于直径MN，C为垂足，若OA＝5cm，下面四个结论中可能成立的是（??? ）
?????? A. ?? ?B. C. ????D.
4. 下列命题中正确的是（??? ）
?????? A. 圆只有一条对称轴?????? B. 平分弦的直径垂直于弦
?????? C. 垂直于弦的直径平分这条弦?????? D. 相等的圆心角所对的弧相等
5. 如图，已知AD＝BC，则AB与CD的关系为（??? ）
?????? A. AB＞CD?????????????B. AB＝CD C. AB＜CD?????????????D. 不能确定
二. 填空题。
6. 半径为6cm的圆中，有一条长的弦，则圆心到此弦的距离为___________cm。
7. 把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=16厘米，则球的半径为 厘米．
8. 如图，∠A＝30°，则B＝___________。
9. 过⊙O内一点M的最长的弦为6cm，最短的弦长为4cm，则OM的长为___________。
10. ⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB＝12cm，CD＝16cm，则AB和CD的距离为___________。
11. ⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE＝1cm，EB＝5cm，∠DEB＝60°，则CD＝___________。
三. 解答题。
?12. 如图，⊙O的直径为4cm，弦AB的长为，你能求出∠OAB的度数吗？写出你的计算过程。
13. 已知，⊙O的弦AB垂直于直径CD，垂足为F，点E在AB上，且EA＝EC。
?????? 求证：
14. 如图，AB是⊙O的弦，AB长为8，P是⊙O上一个动点（不与A、B重合），过点O作OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，则CD的长是怎么变化的？请说明理由。
15. 如图，⊙O上有三点A、B、C且AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，求⊙O的半径。
?
16. ⊙O的直径AB＝15cm，有一条定长为9cm的动弦，CD在上滑动（点C和A、点D与B不重合），且CE⊥CD交AB于E，DF⊥CD交AB于F。
（1）求证：AE＝BF；2）在动弦CD滑动过程中，四边形CDFE的面积是否为定值，若是定值，请给出证明，并求这个定值，若不是，请说明理由。
?
17. （2012上海）如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．
（1）当BC=1时，求线段OD的长；
（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；
（3）设BD=x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域．
【试题答案】
一. 选择题。
? 1. B??????????? 2. A??????????????????????? 3 D???????????? 4. C?????????????? 5. B
二. 填空题。
? 6. 4????????????????????????????????7. 10
8. 75°??????????????????????????? 9.
? 10. 2cm或14cm
? 11. cm（垂径定理与勾股定理）
三. 解答题。
? 12 解：过点O作OC⊥AB于C，则
?????? 又
??????
?????? ∴∠OAB＝30°
? 13 证明：连结BC
?????? ∵AB⊥CD，CD为⊙O的直径 ∴BC＝AC
?????? ∴∠CAB＝∠CBA
?????? 又EA＝EC∴∠CAB＝∠ECA∴∠CBA＝∠ECA
?????? ∴△AEC∽△ACB? ? 即
? 14. 解：略
? 15 解：连OA
?????? ∵AB＝AC，? ∴OA⊥BC于D又∠BAC＝120°
?????? ∴∠BAD＝∠CAD＝60°，∠B＝∠C＝30°
??????
?????? 设⊙O的半径为r，则 ∴r＝6
? 16. （1）证明：如图，过O作OG⊥CD于G
?????? 则G为CD的中点
?????? 又EC⊥CD，FD⊥CD∴EC∥OG∥FD∴O为EF的中点，即OE＝OF
?????? 又AB为⊙O的直径 ∴OA＝OB ∴AE＝BF（等式性质）
?????? （2）解：四边形CDFE面积是定值
?????? 证明：∵动弦CD滑动过程中条件EC⊥DC，FD⊥CD不变
?????? ∴CE∥DF不变 ∴四边形CDFE为直角梯形，且OG为中位线
?????? ∴S＝OG·CD
?????? 连OC，由勾股定理有：
??????
?????? 又CD＝9cm是定值
17、解答：解：（1）如图（1），∵OD⊥BC，
∴BD=BC=，∴OD==；
（2）如图（2），存在，DE是不变的．
连接AB，则AB==2，
∵D和E是中点，∴DE=AB=；
（3）如图（3），
∵BD=x，∴OD=，
∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠2+∠3=45°，
过D作DF⊥OE．
∴DF=，EF=x，∴y=DF?OE=（0＜x＜）．
辅导：弧长和扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积
一、弧长和扇形的面积：
『活动一』因为360°的圆心角所对弧长就是圆周长C=2πR，所以1°的圆心角所对的弧长是 .这样，在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l = .
『活动二』类比弧长的计算公式可知：在半径为R的圆中，圆心角为n°的扇形面积的计算公式为：S= .
『活动三』扇形面积的另一个计算公式
比较扇形面积计算公式与弧长计算公式，可以发现：可以将扇形面积的计算公式：S=πR2化为S=·R，从面可得扇形面积的另一计算公式：S= .
二、圆锥的侧面积和全面积：
1．圆锥的基本概念： 的线段SA、SA1……叫做圆锥的母线，
的线段叫做圆锥的高．
2.圆锥中的各元素与它的侧面展开图——扇形的各元素之间的关系：
将圆锥的侧面沿母线l剪开，展开成平面图形，可以得到一个扇形，设圆锥的底面半径为r，这个扇形的半径等于 ，扇形弧长等于 ．
3．圆锥侧面积计算公式
圆锥的母线即为扇形的半径，而圆锥底面的周长是扇形的弧长，
这样，S圆锥侧=S扇形=·2πr · l = πrl
4．圆锥全面积计算公式
S圆锥全=S圆锥侧＋S圆锥底面= πr l ＋πr 2=πr（l ＋r）
三、例题讲解：
例1、（2011?德州，11，4分）母线长为2，底面圆的半径为1的圆锥的侧面积为 ．
例2、（2011年山东省东营市，21，9分）如图，已知点A、B、C、D均在已知圆上，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠BAD=120°，四边形ABCD的周长为15． （1）求此圆的半径； （2）求图中阴影部分的面积．
例3、（2010广东，14，6分）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（－4，0），⊙P的半径为2，将⊙P沿x轴向右平移4个单位长度得⊙P1．
（1）画出⊙P1，并直接判断⊙P与⊙P1的位置关系；
（2）设⊙P1与x轴正半轴，y轴正半轴的交点分别为A，B，求劣弧AB与弦AB围成的图形的面积（结果保留π）．
四、同步练习：
1、（2012北海,11，3分）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC的顶点都在格点上，将△ABC绕点C顺时针旋转60°，则顶点A所经过的路径长为： （ ）
A．10π B． C．π D．π
2、（2012北海,12，3分）如图，等边△ABC的周长为6π，半径是1的⊙O从与AB相切于点D的位置出发，在△ABC外部按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB相切于点D的位置，则⊙O自转了： （ ）
A．2周 B．3周 C．4周 D．5周
3、（2012湖北咸宁，7，3分）如图，⊙O的外切正六边形ABCDEF的边长为2，则图中阴影部分的面积为（ ）．
A． B． C． D．
4、（2012四川内江，8，3分）如图2，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB＝30°，CD＝2，则阴影部分图形的面积为（ ）
A．4π B． 2π C．π D．
5、（2012·湖南省张家界市·14题·3分）已知圆锥的底面直径和母线长都是１０，则圆锥的侧面积为________.
6、（2012·哈尔滨，题号16分值 3）一个圆锥的母线长为4，侧面积为8，则这个圆锥的底面圆的半径是 ．
7、（2012江苏省淮安市，17，3分）若圆锥的底面半径为2cm，母线长为5cm，则此圆锥的侧面积为 cm2．
8、（2012四川达州，11，3分）已知圆锥的底面半径为4，母线长为6，则它的侧面积是 .（不取近似值）
9、（2012年广西玉林市，16，3）如图，矩形OABC内接于扇形MON，当CN=CO时，∠NMB的度数是 .
10、(2012广安中考试题第15题，3分)如图6，Rt△ABC的边BC位于直线l上，AC=，∠ACB=90o，∠A=30o，若△RtABC由现在的位置向右无滑动地翻转，当点A第3次落在直线上l时，点A所经过的路线的长为________________（结果用含л的式子表示）．
11、（2011?丹东，14，3分）如图，将半径为3cm的圆形纸片剪掉三分之一，余下部分围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高是 ．
12、（2012贵州贵阳，23，10分）如图，在⊙O中，直径AB=2，CA切⊙O于A，BC交⊙O于D，若∠C=45°，则
（1）BD的长是 ；（5分）
（2）求阴影部分的面积. （5分）
13、（2012浙江省义乌市，20，8分）如图,已知AB是⊙O的直径,点C、D在⊙O上,
点E在⊙O外,∠EAC=∠D=60°.
（1）求∠ABC的度数；
（2）求证：AE是⊙O的切线；
（3）当BC=4时，求劣弧AC的长.
14、（2012年吉林省，第23题、7分．）如图，在扇形OAB中，∠AOB=90°，半径OA=6．将扇形OAB沿过点B的直线折叠．点O恰好落在弧AB上点D处，折痕交OA于点C，求整个阴影部分的周长和面积．
15、（2011甘肃兰州，25，9分）如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A、B、C.
（1）请完成如下操作：
①以点O为原点、竖直和水平方向所在的直线为坐标轴、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系；②用直尺和圆规画出该圆弧所在圆的圆心D的位置（不用写作法，保留作图痕迹），并连结AD、CD.
（2）请在（1）的基础上，完成下列问题：
①写出点的坐标：C 、D ；
②⊙D的半径= （结果保留根号）；
③若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面面积为 （结果保留π）；
④若E（7，0），试判断直线EC与⊙D的位置关系并说明你的理由.
参考答案：
例1、考点：圆锥的计算。专题：计算题。
分析：先计算出底面圆的周长，它等于圆锥侧面展开图扇形的弧长，而母线长为扇形的半径，然后根据扇形的面积公式计算即可．
解答：解：∵圆锥的底面圆的半径为1，∴圆锥的底面圆的周长=2π×1=2π，
∴圆锥的侧面积=×2π×2=2π．故答案为：2π．
点评：本题考查了圆锥的侧面积公式：S=．圆锥侧面展开图为扇形，底面圆的周长等于扇形的弧长，母线长为扇形的半径．
例2、考点：扇形面积的计算；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．
专题：几何图形问题．
分析：（1）根据条件可以证得四边形ABCD是等腰梯形，且AB=AD=DC，∠DBC=90°，在直角△BDC中，BC是圆的直径，BC=2DC，根据四边形ABCD的周长为15，即可求得BC，即可得到圆的半径； （2）根据S阴影=S扇形AOD-S△AOD即可求解．
解答：解：（1）∵AD∥BC，∠BAD=120°．∴∠ABC=60°． 又∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=∠ADB=30°∴ = = ，∠BCD=60° ∴AB=AD=DC，∠DBC=90°又在直角△BDC中，BC是圆的直径，BC=2DC． ∴BC+ BC=15∴BC=6∴此圆的半径为3． （2）设BC的中点为O，由（1）可知O即为圆心．连接OA，OD，过O作OE⊥AD于E． 在直角△AOE中，∠AOE=30°∴OE=OA?cos30°= S△AOD= ×3×= ． ∴
点评：本题主要考查了扇形的面积的计算，正确证得四边形ABCD是等腰梯形，是解题的关键．
例3、考点：圆与圆的位置关系；坐标与图形性质；扇形面积的计算
分析：（1）根据题意作图即可求得答案，注意圆的半径为2；
（2）首先根据题意求得扇形BP1A与△BP1A的面积，再作差即可求得劣弧错误！未找到引用源。与弦AB围成的图形的面积．
解答：解：（1）如图：
∴⊙P与⊙P1的位置关系是外切；
（2）如图：∠BP1A=90°，P1A=P1B=2，
∴S扇形BP1A= =π， S△AP1B= ×2×2=2，
∴劣弧 与弦AB围成的图形的面积为：π﹣2．
点评：此题考查了圆与圆的位置关系以及扇形面积的求解方法．题目难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
四、
1、【解析】△ABC绕点C顺时针旋转60°，顶点A经过的路径是以C为圆心AC为半径，圆心角为60°的弧，根据弧长公式，可求路径长为
【答案】C
【点评】考查的知识点有网格中的勾股定理（求AC），图形的旋转，弧长公式。中等难度的题型。
2、【解析】三角形的周长恰好是圆周长的三倍，但是圆在点A、B、C处分别旋转了一个角度，没有滚动，在三个顶点处旋转的角度之和是三角形的外角和360°。所以⊙O自转了4圈。
【答案】C
【点评】本题最容易出错的地方就是在顶点处的旋转，难度较大。如果学生能动手操作一下，正确答案就出来了。
3、【解析】图中阴影部分的面积等于：三角形AOB面积－扇形AOB面积，不难知道，?AOB为等边三角形，可求出?AOB边AB上的高是，扇形AOB圆心角∠O＝60°，半径OA＝，从而阴影部分的面积是×2×－＝，故选A．
【答案】A
【点评】本题着重考查了扇形面积的计算及解直角三角形的知识，以及转化、数形结合思想，有一定综合性，难度中等．
4、【解析】如下图所示，取AB与CD的交点为E，由垂径定理知CE＝，而∠COB＝2∠CDB＝60°，所以OC＝＝2，OE＝OC＝1，接下来发现OE＝BE，可证△OCE≌△BED，所以S阴影＝S扇形COB＝π·22＝．
【答案】D
【点评】圆的有关性质是中考高频考点，而图形面积也是多数地方必考之处，将它们结合可谓珠联璧合．解答此题需在多处转化：一是将阴影面积转化为扇形面积问题解决；二是由圆周角度数求出圆心角度数；三是发现图中存在的全等三角形，这一点是解题关键．
5、【分析】S侧=πrl=π·×10=50π.【解答】50π
【点评】圆锥的侧面积S侧=·2πr·l=πrl（其中r是圆锥底面圆的半径，l是母线的长）.
6、【解析】本题考查圆锥展开图及侧面积计算公式.设半径为r，圆锥侧面积即展开图扇形的面积，根据S扇=lR,即8π=×2π×4，得r=2.【答案】2
【点评】在解决圆锥的计算问题时，要把握好两个相等关系：圆锥侧面展开图（扇形）的半径R等于圆锥的母线长，扇形的弧长等于圆锥的底面周长．几乎所有圆锥计算问题都是从这两个对应关系入手解决的．
7、【解析】根据圆锥的侧面积公式=πrl计算，此圆锥的侧面积=π×2×5=10π【答案】10π
【点评】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：①圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；②圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．
8、解析：圆锥的侧面积可由公式来求，这里R=6，l=8π，因此S=24π。答案：24π
点评：本题考查了圆锥的侧面展开及其侧面积的求法，初步考查学生的空间观点，注意本题不要与全面积相混淆。
9、分析：首先连接OB，由矩形的性质可得△BOC是直角三角形，又由OB=ON=2OC，∠BOC的度数，又由圆周角定理求得∠NMB的度数．
解答：解：连接OB，∵CN=CO，∴OB=ON=2OC，∵四边形OABC是矩形，∴∠BCO=90°，∴cos∠BOC=，∴∠BOC=60°，∴∠NMB= ∠BOC=30°．故答案为：30°．
点评：此题考查了圆周角定理、矩形的性质以及特殊角的三角函数值．此题难度适中，注意辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
10、思路导引：确定路线长度，由于路线是圆弧，因此确定旋转角，与旋转半径是解决问题的关键，＋；
解析：计算斜边长度是2，第一次经过路线长度是，
第二次经过路线长度是，
第三次经过路线长度与第二次经过路线长度相同，也是，
所以当点A三次落在直线l上时，经过的路线长度是
＋2×（）=＋＋2×=＋
点评：解答旋转问题，确定旋转中心、旋转半径以及旋转角度是前提，另外计算连续的弧长问题，注意旋转规律，进行多次循环旋转的有关弧长之和的计算.
11、考点：圆锥的计算。专题：计算题。
分析：算出围成圆锥的扇形的弧长，除以2π即为圆锥的底面半径，利用勾股定理即可求得圆锥的高．
解答：解：围成圆锥的弧长为 =4πcm，∴圆锥的底面半径为4π÷2π=2cm，∴圆锥的高为=1cm．故答案为1cm．
点评：考查圆锥的计算；得到圆锥的底面半径是解决本题的突破点；用到的知识点为：圆锥的底面周长等于侧面展开图的弧长．
12、解析： （1）由CA切⊙O于A，得∠A=90°，再结合∠C=45°，得∠B=45°.连接AD，则由直径AB=2，得∠ADB=90°.故BD=AB×cos45°=2×cos45°=；（2）运用代换得到阴影部分的面积等于△ACD的面积.
解：（1）填；
（2）由（1）得，AD=BD.
∴弓形BD的面积=弓形AD的面积，故阴影部分的面积=△ACD的面积.
∵CD=AD=BD=，∴S△ACD=CD×AD=××=1，即阴影部分的面积是1.
点评：本题主要考查了圆的性质，切线的性质，等腰直角三角形的性质以及割补法，解法较多，有利于考生从自己的角度获取解题方法，中等偏下难度.
13、【解析】（1）根据相等的弧长对应的圆周角相等，得∠ABC=∠D =60°。
（2）直径对应的圆周角为直角，则由三角形内角和为180°，得出∠BAC的大小，继而得出∠BAE的大小为90°，即AE是⊙O的切线。
（3）由题意易知，△OBC是等边三角形，则由劣弧AC对应的圆心角可求出劣弧AC的长。
20．解：（1）∵∠ABC与∠D都是弧AC所对的圆周角
∴∠ABC=∠D =60° …………2分
（2）∵AB是⊙O的直径 ∴∠ACB=90° …………………………3分
∴∠BAC=30°∴∠BAE =∠BAC＋∠EAC=30°＋60°=90° …………………4分
即BA⊥AE ∴AE是⊙O的切线 …………………………………………………………5分
（3） 如图，连结OC∵OB=OC,∠ABC=60°∴△OBC是等边三角形
∴OB=BC=4 , ∠BOC=60°∴∠AOC=120°…………………7分
∴劣弧AC的长为 …………………………………………8分
【点评】此题考查圆弧的长与其对应的圆心角、圆周角的关系，及三角形的内角和为180°。相等的弧长对应的圆周角、圆心角相等．
14、【解析】阴影部分的周长包括线段AC+CD+DB的长和弧AB的长．由折叠的性质可知，AC+CD=OA=6;DB=OB=6.故周长可求．求面积需要连接OD,证明△ODB是正三角形，得到∠CBO=30°，求出OC的长，阴影部分的面积=-2.【答案】解：连接OD．
∵OB=OD,OB=BD∴△ODB是等边三角形∠DBO=60°∴∠OBC=∠CBD=30°
在Rt△OCB中，OC=OBtan30°=．∴
∴
有图可知，CD=OC,DB=OB弧AB+AC+CD+DB=2×6+6=12+6
【点评】此题考查了折叠的性质、扇形面积公式、弧长公式以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．
15、考点：垂径定理；勾股定理；直线与圆的位置关系；圆锥的计算；作图—复杂作图.
分析：（1）根据叙述，利用正方形的网格即可作出坐标轴；
（2）①利用（1）中所作的坐标系，即可表示出点的坐标；
②在直角△OAD中，利用勾股定理即可求得半径长；
③可以证得∠ADC=90°，利用扇形的面积公式即可求得扇形的面积；
④利用切线的判定定理，证得∠DCE=90°即可．
解答：解：（1）①建立平面直角坐标系
②找出圆心
（2）①C（6，2）；D（2，0）
②2错误！未找到引用源。
③π（7分）
④直线EC与⊙D相切
证CD2+CE2=DE2=25 （或通过相似证明）
得∠DCE=90°
∴直线EC与⊙D相切．
故答案为：①C（6，2）；D（2，0）②2错误！未找到引用源。 ③π
点评：本题主要考查了垂径定理，圆锥的计算，正确证明△DCE是直角三角形是难点．
