课件51张PPT。选修1－1 ●课程目标
1．双基目标
(1)了解命题的概念，会判断命题的真假．
(2)通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义，会用符号语言表示全称命题和特称命题，并能判断其真假，能正确地对含一个量词的命题进行否定．
(3)通过数学实例，了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义及相应命题的意义和真假判断．(4)理解充分条件、必要条件、充要条件的意义．
(5)了解命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．
2．情感目标
(1)通过学习常用逻辑用语及其符号表达方式，提高逻辑分析、数学表达和逻辑思维能力．
(2)通过本章的学习体会数学的美，养成一丝不苟、追求完美的科学态度．
(3)通过本章的学习体会用对立统一的思想认识数学问题，培养学生的辩证唯物主义思想方法．●重点难点
本章重点：命题与量词；基本逻辑联结词“或”“且”“非”；充分条件、必要条件与命题四种形式之间的逻辑关系，对含有一个量词的命题进行否定．
本章难点：对一些代数命题真假的判定和对全称命题和特称命题的否定，以及对命题的充分条件，必要条件的判定．●学法探究
(1)本章的内容相对比较抽象，不易理解，学习中要注意多结合实例去理解概念．另外，用符号语言表述数学命题也增加了学习的难度，要逐步提高数学语言、符号语言的转换能力．
(2)要学会类比的方法，将有关概念进行类比，以便更好地理解和运用．同时，还要用联系的观点去认识相关知识．如逻辑联结词“且”、“或”、“非”与集合的交、并、补的联系，充分条件、必要条件、充要条件与四种命题的联系．(3)本章内容与所学的知识有紧密的联系，这就需要有比较扎实的基础知识，如对充分条件、必要条件的判定，除要正确理解相关概念外，还要有一定的推理能力．
(4)用集合的观点去理解相关概念，提高分析问题和解决问题的能力．1．1 命题及其关系 1．知识与技能
理解什么是命题，会判断一个命题的真假．
2．过程与方法
分清命题的条件和结论，会判断命题的真假，能将命题写成“若p，则q”的形式．本节重点：了解命题的定义．
本节难点：判定一个句子是不是命题以及命题真假的判断．
关于命题概念的判定
(1)一般地，疑问句、祈使句、感叹句都不是命题，其次要看能不能判断真假，不能判断真假的语句，就不是命题．
(2)凡是悖论都不是命题．
(3)凡是数学猜想都是命题．注意：并非所有的陈述语句都是命题，凡是在陈述语句中含有比喻、形容等词的词义模糊不清的，都不是命题．
1．一个命题要么是真的，要么是假的，但不能同时既真又假，也不能模棱可无法判断真假，当一个命题改写成“若p则q”的形式之后，判断这种命题的真假的办法：
①若由“p”经过逻辑推理得出“q”，则可确定“若p，则q”是真；确定“若p，则q”为假，则只需举一个反例说明即可．②从集合的观点看，我们建立集合A、B与命题中的p、q之间的一种特殊联系：设集合A＝{x|p(x)成立}，B＝{x|q(x)成立}，就是说，A是全体能使条件p成立的对象x所构成的集合，B是全体能使条件q成立的对象x所构成的集合，此时，命题“若p，则q”为真，当且仅当A?B时满足．2．关于命题真假的判定方法
(1)一个命题的真假与命题所在环境有关．对其进行判断时，要注意命题存在的前提条件．
(2)一个命题的真假与人们的科学认识水平有关．对其进行判断时，要参阅最科学的权威标准．如“太阳系中有九大行星”，在2006年8月24日以前是真命题，而在2006年8月24日，国际天文学联合会在捷克首都布拉格宣布冥王星不具有大行星的资格．太阳系只有八颗大行星，标准变化了，原来的真命题就变成了假命题．在我们高中数学中也有这样的例子，如“0∈N”以前是假命题，而现在却是真命题．3．关于“若p，则q”型的命题
许多命题都可写成“若p，则q”的形式．其中p为条件，q为结论，p和q本身也可为一个简单命题，这种命题形式明确、简洁，是我们研究命题的主要形式之一．很多命题表面上不是“若p，则q”型的，但是，可以改写成“若p，则q”型．
注意：并非所有的命题都可写成“若p，则q”型，如“ 是无理数”．1．一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以 的陈述句叫做命题．
2．判断为真的语句 ，判断为假的语句叫 ．
3．命题常写成“ ”的形式，其中命题中的p叫做命题的 ，q叫做命题的 ．判断真假叫真命题假命题若p，则q结论条件
[例1] 判断下列语句是否是命题，并说明理由．
(1)求证： 是无理数；
(2)x2＋4x＋4≥0；
(3)你是高一的学生吗？
(4)并非所有的人都喜欢苹果．
[分析] 由题目可获取以下主要信息：①给定一个语句，②判定其是否为命题并说明理由．解答本题要严格验证该语句是否符合命题的概念．[解析] (1)祈使句，不是命题．
(2)x2＋4x＋4＝(x＋2)2≥0，它包括x2＋4x＋4>0，或x2＋4x＋4＝0，对于x∈R，可以判断真假，它是命题．
(3)是疑问句，不涉及真假，不是命题．
(4)是命题，人群中有的人喜欢苹果，也存在着不喜欢苹果的人．[点评] 判定一个语句是否为命题，主要把握以下两点：
(1)必须是陈述语句．祁使句、疑问句、感叹句都不是命题．
(2)其结论可以判定真或假．含义模糊不清，不能辨其真假的语句，不是命题．
判断下列语句是否为命题，并说明理由．
(1)f(x)＝3x(x∈R)是指数函数；
(2)x－2>0；
(3)集合{a，b，c}有3个子集；
(4)这盆花长得太好了！[解析] (1)“f(x)＝3x(x∈R)是指数函数”是陈述句并且它是真的，因此它是命题．
(2)因为无法判断“x－2>0”的真假，所以它不是命题．
(3)“集合{a，b，c}有3个子集”是假的，所以它是命题．
(4)“这盆花长得太好了”无法判断真假，它不是命题.
[例2] 若m，n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是
( )
A．若m?β，α⊥β，则m⊥α
B．若m⊥β，m∥α，则α⊥β
C．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ
D．若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β
[答案] B[解析] A中，直线m与平面α的位置关系各种可能性都有；B中，因为m∥α，过m作平面γ交平面α于m′，则m∥m′，又因为m⊥β，所以m′⊥β，由面面垂直的判定定理可知α⊥β；C中，平面β与γ可能相交或平行；D中，平面α与β也可能相交．
[点评] 判断命题的真假要注意联想有关知识来判定，考虑问题要全面．
给出以下命题：
①f(x)＝tanx的图象关于点 (k∈Z)对称；
②f(x)＝－cos(kπ＋x)(k∈Z)是偶函数；
③f(x)＝cos|x|是最小正周期为π的周期函数；
④y＝3|sinx|＋4|cosx|的最大值为5；
⑤y＝sin2x－cosx的最小值为－1.
其中所有真命题的序号是______________．
[答案] ①②④⑤
[例3] 指出下列命题的条件与结论．
(1)负数的平方是正数；
(2)正方形的四条边相等．
[分析] 由题目可获取以下主要信息：①给出了命题的一般简略形式．②找出命题的条件和结论．
解答本题的关键是正确调整命题的表述形式．[解析] (1)可表述为“若一个数是负数，则这个数的平方是正数”条件为：“一个数是负数”；结论为：“这个数的平方是正数”．
(2)可表述为：“若一个四边形是正方形，则这个四边形的四条边相等”．
条件为：“一个四边形是正方形”；
结论为：“这个四边形的四条边相等”．[点评] 一个命题总存在条件和结论两个部分，但是，有的时候条件和结论不是很明显，这时可以把它的表述作适当的改变写成“若p，则q”的形式，其中p为条件，q为结论．
写出下列命题的条件与结论．
(1)质数是奇数；
(2)矩形是两条对角线相等的四边形．[解析] (1)可表述为：“若一个自然数是质数，则它是奇数”．
条件为：“一个自然数是质数”；
结论为：“这个自然数是奇数”．
(2)可表述为：“若一个四边形是矩形，则它的两条对角线相等．”
条件为：“若一个四边形是矩形”；
结论为：“这个四边形的两条对角线相等”．[例4] 将下面的命题写成“如果p，则q”的形式．
当a>0时，函数y＝ax＋b的值随x的增加而增加．
[误解] “如果p，则q”的形式为：如果a>0，则函数y＝ax＋b的值随x的增加而增加．
[辨析] 原命题有两个条件：a>0和x增加，其中a>0是大前提，x增加是条件．
[正解] “如果p，则q”的形式为：当a>0时，如果x的值增加，则函数y＝ax＋b的值也增加．一、选择题
1．下列语句不是命题的是
( )
A．地球是太阳系的行星
B．等腰三角形的两底角相等
C．今天会下雪吗？
D．正方形的四个内角均为直角
[答案] C
[解析] 疑问句不是命题，故选C.2．下列命题中，是真命题的是 ( )
A．{x∈R|x2＋1＝0}不是空集
B．{x∈N||x－1|<3}是无限集
C．空集是任何集合的真子集
D．x2－5x＝0的根是自然数
[答案] D
[解析] 对选项A，集合是空集，对选项B中的集合为{－1,0,1,2,3}，是有限集，对于C，空集不是它本身的真子集，对于D，x2－5x＝0的根为0和5，它们都是自然数，故选D.[答案] A
[解析] 判断命题的真假，根据选项容易选出A.4．下列语句为命题的是
( )
A．对角线相等的四边形
B．同位角相等
C．x≥2
D．x2－2x＋1<0
[答案] D
[解析] ∵对任意x∈R，x2－2x＋1＝(x－1)2≥0恒成立，∴x2－2x＋1<0是假命题．二、填空题
5．下列命题：
①方程x2－2x＝0的根是自然数；②0不是自然数；③{x∈N|0
其中的真命题是________(写出所有真命题的序号)．
[答案] ①
[解析] 根据真命题的定义及有关知识判断．6．设有两个命题：
(1)关于x的不等式mx2＋1>0的解集是R；
(2)函数f(x)＝logmx是减函数．
如果这两个命题中有且只有一个真命题，则实数m的取值范围是________．
[答案] m≥1或m＝0[解析] 命题p：关于x的不等式mx2＋1>0的解集是R，m≥0；
命题q：函数f(x)＝logmx是减函数，0p假：m<0；q假：m≥1或m≤0.
p真q假：m≥1或m＝0；
p假q真：无解．
综上所述，m的取值范围是：m≥1或m＝0.
三、解答题
7．判断下列命题的真假：
(1)形如a＋b 的数是无理数．
(2)正项等差数列的公差大于零．
(3)奇函数的图象关于原点对称．
(4)能被2整除的数一定能被4整除．
[分析] 根据命题本身涉及的知识去判断真假．[解析] (1)假命题．反例，若b＝0，则a＋b 为有理数．
(2)假命题．反例，正项等差数列为递减数列的公差小于零，如数列20,17,14,11,8,5,2，它的公差为－3.
(3)真命题．
(4)假命题．反例，数2,6能被2整除，但不能被4整除．课件54张PPT。1．知识与技能
了解四种命题的概念，并会判断命题的真假．
2．过程与方法
了解命题的逆命题，否命题、逆否命题，能写出原命题的其它三种命题．
能利用四种命题间的相互关系判断命题的真假．本节重点：了解命题的逆命题、否命题、逆否命题．
本节难点：分析四种命题的相互关系以及四种命题的真假之间的关系．
1．要通过实例去发现四种命题间的关系，并能用命题间的关系去验证写出的命题是否正确．
2．要注意否命题与命题的否定是不同的．
例如：原命题“若∠A＝∠B，则a＝b”的否命题是“若∠A≠∠B，则a≠b”，而原命题的否定是“若∠A＝∠B，则a≠b”．通过实例真正弄清一个命题的否命题与它的否定的本质区别：否命题是既否定条件又否定结论；命题的否定是只否定结论．1．四种命题的概念
关于原命题的逆命题、否命题和逆否命题的写法：
首先：把原命题整理成“如果p，则q”．
其次：(1)“换位”得到“如果q，则p”，即为逆命题；
(2)“换质”(分别否定)得到“如果非p，则非q”即为否命题；
(3)既“换位”又“换质”得到“如果非q，则非p”即为逆否命题．注意：“命题的否定”只否定结论，而否命题要对条件和结论分别进行否定．只有“如果p，则q”形式的命题才有否命题，形式为“如果綈p，则綈q”．在写一个命题的否定或否命题时要注意一些关键词的否定．2．命题的四种形式间的关系
(1)命题的四种形式中，哪个是原命题是相对的，不是绝对的；
(2)四种命题间有两对互逆关系，两对互否关系，两对互为逆否的关系，对互为逆否的两命题同真同假，在判断和证明中要注意它们之间的相互转化．3．间接证明有关问题
由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以在直接证明一个命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真来间接证明原命题为真，即正难则反的思想．
注意：间接法常用于证明否定性、存在性、惟一性，至多至少等，结论的反面是比原结论更具体、更易于研究和掌握的问题．
1．一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做 ，其中一个命题叫做 ，另一个叫做原命题的 ．
2．一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，我们把这样的两个命题叫做 ，其中一个命题叫做 ，另一个叫做原命题的 ．互逆命题原命题逆命题互否命题原命题否命题3．一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，我们把这样的两个命题叫做 ，其中一个命题叫做 ，另一个叫做原命题的 ．
4．原命题为真，它的逆命题 ．
5．原命题为真，它的否命题 ．
6．原命题为真，它的逆否命题 ．
7．互为逆否的命题是等价命题，它们同 同 ，同一个命题的逆命题和否命题是一对互为 的命题，它们同 同 ．互为逆否命题原命题逆否命题不一定为真不一定为真为真真假逆否真假
[例1] 写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题．
(1)负数的平方是正数；
(2)正方形的四条边相等．
[分析] 此题的题设和结论不很明显，因此首先将命题改写成“若p，则q”的形式，然后再写出它的逆命题、否命题与逆否命题．[解析] (1)改写成“若一个数是负数，则它的平方是正数”．
逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数．
否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是正数．
逆否命题：若一个数的平方不是正数，则它不是负数．(2)原命题可以写成：若一个四边形是正方形，则它的四条边相等．
逆命题：若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．
否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等．
逆否命题：若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形．[点评] 例1(1)题还有另一种解答：
原命题可以写成：若一个数是负数的平方，则这个数是正数．
逆命题：若一个数是正数，则它是负数的平方．
否命题：若一个数不是负数的平方，则这个数不是正数．
逆否命题：若一个数不是正数，则它不是负数的平方．
这两种解答都可以，实际上例1中的第(2)小题也有同样的另一种解答．
写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题．
(1)若x2＋y2＝0，则x，y全为0.
(2)若a＋b是偶数，则a，b都是偶数．
[解析] (1)逆命题：若x，y全为0，则x2＋y2＝0；
否命题：若x2＋y2≠0，则x，y不全为0；
逆否命题：若x，y不全为0，则x2＋y2≠0.
(2)逆命题：若a，b都是偶数，则a＋b是偶数；
否命题：若a＋b不是偶数，则a，b不都是偶数；
逆否命题：若a，b不都是偶数，则a＋b不是偶数.
[例2] 判断下列命题的真假，写出它们的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．
(1)若a>b，则ac2>bc2；
(2)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形；
(3)若在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，b2－4ac<0，则该函数图象与x轴有交点．[解析] (1)该命题为假，如c＝0时，ac2＝bc2.
逆命题：ac2>bc2，则a>b为真；
否命题：若a≤b，则ac2≤bc2为真；
逆否命题：若ac2≤bc2，则a≤b为假．
(2)该命题为真．
逆命题：若四边形是圆的内接四边形，则四边形的对角互补，为真．
否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形，为真．
逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则四边形的对角不互补，为真．(3)该命题为假．
逆命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有公共点，则b2－4ac<0，为假．
否命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c中b2－4ac≥0，函数图象与x轴无公共点，为假．
逆否命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴无公共点，则b2－4ac≥0，为假．[点评] 写出一个命题的逆命题、否命题、逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写．在判断原命题及逆命题的真假时，常借助原命题与其逆否命题同真假，逆命题和否命题同真假进行判断．
改写成“若p则q”的形式，并写出它的否命题和逆否命题，最后判断所有命题的真假．
(1)ac>bc?a>b；
(2)已知x、y为正整数，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2；
(3)当m> 时，mx2－x＋1＝0无实根；
(4)当abc＝0时，a＝0或b＝0或c＝0；
(5)若x2－2x－3＝0，则x＝3或x＝－1.[解析] (1)原命题：若ac>bc，则a>b.(假)
否命题：若ac≤bc，则a≤b.(假)
逆否命题：若a≤b，则ac≤bc.(假)
(2)原命题：已知x、y为正整数，若y＝x＋1，则y＝3且x＝2.(假)
否命题：已知x、y为正整数，若y≠x＋1，则y≠3或x≠2.(真)
逆否命题：已知x、y为正整数，若y≠3或x≠2，则y≠x＋1.(假)(4)原命题：若abc＝0，则a＝0或b＝0或c＝0.(真)
否命题：若abc≠0，则a≠0且b≠0且c≠0.(真)
逆否命题：若a≠0且b≠0且c≠0，则abc≠0.(真)(5)原命题：若x2－2x－3＝0，则x＝3或x＝－1.(真)
否命题：若x2－2x－3≠0，则x≠3且x≠－1.(真)
逆否命题：若x≠3且x≠－1，则x2－2x－3≠0.(真)
[例3] 有下列四个命题：
(1)“若x＋y＝0，则x、y互为相反数”的否命题；
(2)“若a>b，则a2>b2”的逆否命题；
(3)“若x≤－3，则x2－x－6>0”的否命题；
(4)“对顶角相等”的逆命题．
其中真命题的个数是 ( )
A．0 B．1 C．2 D．3
[答案] B[解析] (1)“若x＋y≠0，则x、y不是相反数”是真命题．
(2)“若a2≤b2，则a≤b”，取a＝－1，b＝0，因为ab2，故是假命题．
(3)“若x>－3，则x2－x－6≤0”，解不等式x2－x－6≤0可得－2≤x≤3，而x＝4>－3，不是不等式的解，故是假命题．
(4)“相等的角是对顶角”是假命题．故选B.[点评] 本题的解法中运用了举反例的办法，如(2)、(3)的解法．举出一个反例说明一个命题不正确是以后经常用到的方法．
判断命题“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”的逆否命题的真假．
[解析]解法一：写出逆否命题，再判断其真假．
原命题：若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根；
逆否命题：若x2＋x－a＝0无实根，则a<0.
判断如下：因为x2＋x－a＝0无实根．
所以Δ＝1＋4a<0，所以a<－ <0.
所以“若x2＋x－a＝0无实根，则a<0”为真命题．解法二：利用原命题与逆否命题同真同假(即等价关系)证明．
在为a≥0，所以4a≥0，所以4a＋1>0，
所以方程x2＋x－a＝0的判别式Δ＝4a＋1>0，
所以方程x2＋x－a＝0有实根．
故原命题“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”为真．
又因原命题与逆否命题等价，所以“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”的逆否命题为真．
[例4] 写出下列命题的否命题及命题的否定形式，并判断真假．
(1)若m>0，则关于x的方程x2＋x－m＝0有实根．
(2)若x、y都是奇数，则x＋y是奇数．
(3)若abc＝0，则a、b、c中至少有一个为0.[解析] (1)否命题：若m≤0，则关于x的方程x2＋x－m＝0无实根．(假命题)
命题的否定：若m>0，则关于x的方程x2＋x－m＝0无实根．(假命题)
(2)否命题：若x、y不都是奇数，则x＋y不是奇数．(假命题)
命题的否定：若x、y都是奇数，则x＋y不是奇数．(真命题)
(3)否命题：若abc≠0，则a、b、c全不为0.(真命题)
命题的否定：若abc＝0，则a、b、c全不为0.(假命题)[点评] 命题的否定形式及否命题是两个不同的概念，要注意区别，不能混淆．从形式上看，否命题既否定条件，又否定结论，而命题的否定，条件不变，只否定结论.
[例5] 已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，a、b∈R，对命题“如果a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．”
(1)写出其否命题，判断其真假，并证明你的结论．
(2)写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．[分析] 由题目可获取以下主要信息：①给出一个具体的命题，②写出它的否命题及逆否命题，判断其真假并证明．解答这类题关键是根据命题的特点，选择合适的证明方法．[解析] (1)①否命题：如果a＋b<0，则f(a)＋f(b)②当a＋b<0时，a<－b，
∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．
∴f(a)又由a＋b<0，可知b<－a，
同理f(b)则f(a)＋f(b)即“a＋b<0?f(a)＋f(b)[点评] 当直接证明一个命题的真假有困难时，往往需转化为证明其逆否命题的真假，如原命题是全称命题或存在性命题，或原命题是以否定形式给出的时候，往往会采用这种思路．
已知函数y＝f(x)是R上的增函数，对a、b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)成立，证明a＋b≥0.
[证明] 原命题的逆否命题为：若a＋b<0，则f(a)＋f(b)以下证明其逆否命题：若a＋b<0，则a<－b，b<－a.
又因为f(x)在R上是增函数，所以f(a)所以f(a)＋f(b)又因为原命题和逆否命题同真同假，得证．[例6] 写出命题“已知a、b、c、d是实数，如果a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d”的逆命题、否命题，并证明它们的真假．
[误解] 逆命题：如果a＋c＝b＋d，则a、b、c、d是实数，且a＝b，c＝d.假命题．
否命题：如果a、b、c、d不是实数，a≠b，c≠d，则a＋c≠b＋d.假命题．
[辨析] 上述解法没有弄清命题的条件，将大前提“a、b、c、d是实数”充当了条件．[正解] 逆命题：已知a、b、c、d是实数，如果a＋c＝b＋d，则a＝b，c＝d.假命题．
否命题：已知a、b、c、d是实数，如果a≠b，c≠d，则a＋c≠b＋d.假命题．一、选择题
1．命题“两条对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形是两条对角线相等的四边形”的
( )
A．逆命题 B．否命题
C．逆否命题 D．无关命题
[答案] A
[解析] 依据逆命题定义．2．命题“对顶角相等”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题是
( )
A．上述四个命题 B．原命题与逆命题
C．原命题与逆否命题 D．逆命题与否命题
[答案] C
[解析] ∵命题“对顶角相等”的逆命题“相等的角是对顶角”是假命题，∴选C.3．与命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”等价的命题是
( )
A．能被3整除的整数，一定能被6整除
B．不能被3整除的整数，一定不能被6整除
C．不能被6整除的整数，一定不能被3整除
D．能被6整除的整数，一定不能被3整除
[答案] B[解析] 9能被3整除，但不能被6整除，排除A；
9不能被6整除，但能被3整除，排除C；
12能被6整除，也能被3整除，排除D.4．命题“若∠A＝60°，则△ABC是等边三角形”的否命题是“∠A≠60°，则△ABC不是等边三角形”为
( )
A．假命题
B．与原命题真假性相同
C．与原命题的逆否命题真假性相同
D．与原命题的逆命题真假性相同
[答案] D
[解析] 否命题与逆命题是等价的．二、填空题
5．命题“若ab＝0，则a＝0或b＝0”的逆否命题是____________________，是________命题．
[答案] 若a≠0且b≠0，则ab≠0；真
6．若p的逆命题是r，r的否命题是s，则s是p的否命题的________．
[答案] 逆命题三、解答题
7．把命题“全等三角形的面积相等”改写成“若p则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题与逆否命题．
[解析] “若p则q”的形式：
若两个三角形全等，则它们的面积相等．
逆命题：若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等．
否命题：若两个三角形不全等，则它们的面积不相等．
逆否命题：若两个三角形的面积不相等，则这两个三角形不全等．课件57张PPT。1．2 充分条件与必要条件 1．知识与技能
理解充分条件、必要条件、充要条件的概念．
2．过程与方法
会具体判断所给条件是哪一种条件．本节重点：充分条件、必要条件、充要条件的判定．
本节难点：判定所给条件是充分条件、必要条件，还是充要条件．
本节内容比较抽象，在学习中应注意以下几个方面：
1．学习本节内容要多从分析实例入手理解概念，利用集合的观点加深理解．2．(1)从不同角度，运用从特殊到一般的思维方法，归纳出条件与结论的推出关系，建立充分条件、必要条件的概念．
(2)要判断充分条件、必要条件，就是利用已有知识，借助代数推理的方法，判断p是否推出q，q是否推出p.1．从逻辑关系上，关于充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件的判定：2.从集合的观点上，关于充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件的判定：
首先建立与p、q相应的集合，即p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}.3.一般地，关于充要条件的判断主要有以下几种方法：
(1)定义法：直接利用定义进行判断．
(2)等价法：“p?q”表示p等价于q，等价命题可以进行转换，当我们要证明p成立时，就可以去证明q成立．这里要注意“原命题?逆否命题”、“否命题?逆命题”只是等价形式之一，对于条件或结论是不等式关系(否定式)的命题一般应用等价法．
(3)利用集合间的包含关系进行判断：如果条件p和结论q都是集合，那么若p?q，则p是q的充分条件；若p?q，则p是q的必要条件；若p＝q，则p是q的充要条件．4．充要条件的传递性
若A?B，B?C，C?D，则A?D，即A是D的充分条件，利用这一结论可研究多个命题之间的充要关系．
5．充要条件的证明
证明p是q的充要条件，既要证明命题“p?q”为真，又要证明命题“q?p”为真，前者证明的是充分性，后者证明的是必要性．注意：(1)在分析p与q的关系时，要考查“p?q”和“q?p”两个方面后，才能下结论，比如仅有“p?q”成立时，则既可能p是q的充分不必要条件，也可能p是q的充要条件．
(2)在分析p与q的关系时，要分清p与q的前后顺序及判断对应的方向．1．当命题“如果p，则q”经过推理证明断定是真命题时，我们就说由p成立可推出q成立，记作 ，读作 .
2．如果p?q，则p叫做q的 条件．
3．如果q?p，则p叫做q的 条件．
4．如果既有p?q成立，又有q?p成立，记作 ，则p叫做q的 条件．
5．如果p?q，那么p与q互为 条件．p?qp推出q充分必要p?q充要充要[答案] A [点评] 1.判断p是q的什么条件其实质是判断“若p则q”及其逆命题“若q则p”是真是假，原命题为真而逆命题为假，则p是q的充分不必要条件；原命题为假而逆命题为真，则p是q的必要不充分条件；原命题、逆命题均为假，则p是q的既不充分也不必要条件．
2．判断p是q的什么条件，应掌握几种常用的判断方法．
(1)定义法；(2)集合法；(3)等价转化法；(4)传递法．有时借助数轴、韦恩图、集合等知识形象、直观的特点或举反例，赋特殊值对判断各条件之间的推断关系常常起到事半功倍的效果．
(2010·上海文，16)“x＝2kπ＋ (k∈Z)”是“tanx＝1”成立的
( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[例2] 设a，b，c为△ABC的三边，求证：x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.
[分析] 由题目可获取以下主要信息：
①a，b，c为△ABC的三边．
②求证两方程有公共根的充要条件是∠A＝90°.
解答本题可先证明充分性，再证明必要性．[证明] 充分性：
∵∠A＝90°，∴a2＝b2＋c2，
于是方程x2＋2ax＋b2＝0可化为x2＋2ax＋a2－c2＝0，
即x2＋2ax＋(a＋c)(a－c)＝0，
∴[x＋(a＋c)][x＋(a－c)]＝0，
∴该方程有两个根x1＝－(a＋c)，x2＝－(a－c)，
同样，另一方程x2＋2cx－b2＝0也可化为x2＋2cx－(a2－c2)＝0，
即x2＋2cx－(a－c)(a＋c)＝0，∴[x＋(c＋a)][x＋(c－a)]＝0，
∴该方程有两个根x3＝－(a＋c)，x4＝－(c－a)，
可以发现x1＝x3，∴这两个方程有公共根．
必要性：设β是两方程的公共根，
由①＋②得：β＝－(a＋c)或β＝0(舍去)，
将β＝－(a＋c)代入①并整理可得：a2＝b2＋c2，∴∠A＝90°.[点评] (1)证明“p是q的充要条件”时，要分别从“p?q”和“q?p”两个方面验证，即要分别证明充分性和必要性两个方面，但是，在表述中要注意充分性与必要性对应的关系．
(2)要分清命题中的条件和结论，防止充分性和必要性弄颠倒，由条件?结论是证充分性，由结论?条件是证必要性．
(3)如证“p是q的充要条件”时，充分性是指“p?q”成立，必要性是指“q?p”成立．而证“p成立的充要条件是q”时，充分性是指“q?p”成立，必要性是指“p?q”成立．
已知数列{an}的前n项和Sn＝pn＋q(p≠0且p≠1)，求证数列{an}为等比数列的充要条件为q＝－1.
[分析] 充分性：由q＝－1推出{an}是等比数列，必要性：由{an}是等比数列推出q＝－1.[证明] 充分性：当q＝－1时，a1＝p－1，
当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)，
当n＝1时也成立．
∵p≠0且p≠1，
即数列{an}为等比数列．
必要性：当n＝1时，a1＝S1＝p＋q.当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)．
∵p≠0且p≠1，[例3] 设命题甲为：0A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] 解不等式|x－2|<3得－1∵0∴甲是乙的充分不必要条件，故选A.[点评] 一般情况下，若条件甲为x∈A，条件乙为x∈B.
当且仅当A?B时，甲为乙的充分条件；
当且仅当B?A时，甲为乙的必要条件；
当且仅当A＝B时，甲为乙的充要条件；
当且仅当A?B时，甲为乙的充分不必要条件；
当且仅当A?B时，甲为乙的必要不充分条件．
设集合M＝{x|x>2}，P＝{x|x<3}，那么“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的
( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件[答案] B
[解析] 先分别写出适合条件的“x∈M或x∈P”和“x∈M∩P”的x的范围，再根据充要条件的有关概念进行判断．
由已知可得x∈M或x∈P即x∈R，x∈M∩P即2∴2∴“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的必要不充分条件，故应选B.
[例4] 已知p、q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件．那么：(1)s是q的什么条件？(2)r是q的什么条件？(3)p是q的什么条件？[解析] 根据题意得关系图，如图所示．
(1)由图知：∵q?s，s?r?q，
∴s是q的充要条件．
(2)∵r?q，q?s?r，
∴r是q的充要条件．
(3)∵q?s?r?p，
∴p是q的必要条件．
[点评] 将已知r、p、q、s的关系作一个“?”图(如图所示)，这在解决较多个条件的问题时经常用到，要细心体会．
已知p是q的充分条件，q是r的必要条件，也是s的充分条件，r是s的必要条件，问
(1)p是r的什么条件？
(2)s是q的什么条件？
(3)p、q、r、s中哪几对互为充要条件？[解析] 作出“?”图，如图所示可知：
p?q，r?q，q?s，s?r.
(1)p?q?s?r，且r?q，q能否推出p未知，∴p是r的充分条件．
(2)∵s?r?q，q?s，∴s是q的充要条件．
(3)共有三对充要条件，q?s；s?r；r?q.
[例5] 已知方程x2－2(m＋2)x＋m2－1＝0有两个大于2的根，试求实数m的取值范围．[例5] 已知方程x2－2(m＋2)x＋m2－1＝0有两个大于2的根，试求实数m的取值范围．
求关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件．[解析] ①a＝0时适合．
②当a≠0时，显然方程没有零根，若方程有两异号的实根，则a<0；若方程有两个负的实根，
综上可知，若方程至少有一个负的实根，则a≤1；反之，若a≤1，则方程至少有一个负的实根，因此，关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件是a≤1.[点评] ①a＝0的情况不要忽视；②若令f(x)＝ax2＋2x＋1，由于f(0)＝1≠0，从而排除了方程有一个负根，另一个根为零的情况．一、选择题
1．(2010·广东理，5)“m< ”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的
( )
A．充分非必要条件
B．充分必要条件
C．必要非充分条件
D．非充分非必要条件
[答案] A2．已知集合M、N，则M∩N＝N的充要条件是
( )
A．M?N B．M?N
C．M＝N D．M?N
[答案] D
[解析] 由N?M?M∩N＝N成立；
由M∩N＝N?N?M成立．3．使不等式2x2－5x－3≥0成立的一个充分非必要条件是
( )
A．x<0 B．x≥0
C．x∈{－1,3,5} D．x≤－ 或x≥3
[答案] C
[解析] x＝－1、3、5时，2x2－5x－3≥0成立，而2x2－5x－3≥0成立，x不一定等于－1、3、5.4．设x∈R，则x>2的一个必要不充分条件是
( )
A．x>1 B．x<1
C．x>3 D．x<3
[答案] A
[解析] ∵x>2?x>1，但x>1?/ x>2，∴选A.二、填空题
5．命题p：x1、x2是方程x2＋5x－6＝0的两根，命题q：x1＋x2＝－5，那么命题p是命题q的________条件．
[答案] 充分不必要条件
[解析] ∵x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的两根，
∴x1＋x2＝－5.
当x1＝－1，x2＝－4时，x1＋x2＝－5，而－1，－4不是方程x2＋5x－6＝0的两根．6．(a－1)(b＋2)＝0的________条件是a＝1.
[答案] 充分不必要
[解析] ∵a＝1时，(a－1)(b＋2)＝0成立，
当(a－1)(b＋2)＝0时，可能有a≠1，b＝－2.三、解答题
7．求证：关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充要条件是m≥2.
[证明] (1)充分性：∵m≥2，∴Δ＝m2－4≥0，
方程x2＋mx＋1＝0有实根，
设x2＋mx＋1＝0的两根为x1，x2，
由韦达定理知：x1x2＝1>0，∴x1、x2同号，
又∵x1＋x2＝－m≤－2，∴x1，x2同为负根．课件47张PPT。1．3 简单的逻辑联结词 1．知识与技能
理解逻辑联结词“且”“或”的意义会判断命题“p且q”、“p或q”的真假．
2．过程与方法
能把文字语言，符号语言相互转化．本节重点：了解“且”与“或”的含义，能判定由“且”、“或”组成的新命题的真假．
本节难点：对“或”的含义的理解
逻辑联结词“且”与自然语言中的“并且”“和”相当．“或”与自然语言中的“或者”“可能”相当，但自然语言中的“或者”有两种用法：一是“不可兼”的“或”；二是“可兼”的“或”，而我们仅研究可兼“或”在数学中的含义．1．关于逻辑联结词“且”
(1)“且”的含义与日常语言中的“并且”、“及”、“和”相当，是连词“既……又……”的意思，二者须同时兼得．
(2)从如图所示串联开关电路上看，当两个开关S1、S2都闭合时，灯才能亮；当两个开关S1、S2中一个不闭合或两个都不闭合时，灯都不会亮．(3)从集合角度理解“且”即集合运算“交”．
设命题p：x∈A，命题q：x∈B，
则p∧q?x∈A，且x∈B?x∈(A∩B)．
(4)“p∧q”是这样的一个复合命题：当p，q都是真命题时，p∧q是真命题；当p，q两个命题中有一个命题是假命题时，p∧q是假命题．2．关于逻辑联结词“或”
(1)“或”的含义和日常语言中的“或者”相当．是“要么……要么……”的意义，二者中有其一即可．
(2)从并联开关电路上看，当两个开关S1，S2至少有一个闭合时，灯就亮，只有当两个开关S1和S2都断开时，灯才不会亮．(3)从集合角度理解“或”即集合运算“并”．
设命题p：x∈A，命题q：x∈B，
则p∨q?x∈A，或x∈B?x∈(A∪B)．
(4)“p∨q”是这样一个复合命题：当p、q两个命题有一个命题是真命题时，p∨q是真命题；当p、q两个命题都是假命题时，p∨q是假命题．1．一般地，用联结词“且”把命题p和q联结起来，就得到一个新命题，记作 ，读作 .
2．一般地，用联结词“或”把命题p和q联结起来，就得到一个新命题，记作 ，读作 .
3．当p，q都是真命题时，p∧q是 命题；当p，q两个命题中有一个命题是假命题时，p∧q是 命题．
4．当p，q两个命题中有一个命题是真命题时，p∨q是 命题；当p，q两个命题都是假命题时，p∨q是 命题．p∧qp且qp∨qp或q真假真假[解析] (1)这个命题是p且q的形式，其中，p：小李是老师；q：小赵是老师．
(2)这个命题是p或q的形式，其中，p：1是合数；q：1是质数．
(3)这个命题是p且q的形式，其中，p：他是运动员；q：他是教练员．
(4)这个命题是p且q的形式，其中，p：这些文学作品艺术上有缺点；q：这些文学作品政治上有错误．[点评] 正确理解逻辑联结词“或”、“且”的含义是解题的关键，应根据组成上述各复合命题的语句中所出现的逻辑联结词，或语句的意义确定复合命题的形式．
分别指出下列命题的形式及构成它的命题．
(1)相似三角形周长相等或对应角相等；
(2)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两段弧．
[解析] (1)这个命题是p∨q的形式，其中p：相似三角形周长相等，q：相似三角形对应角相等．
(2)这个命题是p∧q的形式，其中p：垂直于弦的直径平分这条弦，q：垂直于弦的直径平分这条弦所对的两段弧.
[例2] 分别写出由下列各组命题构成的“p∧q”，“p∨q”形式的命题
(2)p：N?Z q：{0}?N
(3)p：35是15的倍数 q：35是7的倍数[分析] 由题目可获取以下主要信息：
①给定两个命题p、q；
②写出它的含有逻辑联结词的命题．
解答这类题目的关键是要正确地使用联结词，并注意语法上的要求．
(2)p∧q：N?Z且{0}?N，
p∨q：N?Z或{0}?N.
(3)p∧q：35是15的倍数且是7的倍数，
p∨q：35是15的倍数或是7的倍数．[点评] 用逻辑联结词“且”“或”联结两个命题时，关键是正确理解这些词语的意义及在日常生活中的同义词，选择合适的联结词，有时为了语法的要求及语句的通顺也可进行适当的省略和变形．
分别写出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”形式的复合命题：
(1)p：6是自然数；q：6是偶数；
(2)p：??{0}；q：?＝{0}；
(3)p：x2＋1>x－4，q：x2＋1p或q：6是自然数或是偶数．
(2)p且q：??{0}且?＝{0}．
p或q：??{0}或?＝{0}．
(3)p或q：x2＋1≠x－4；
p且q：x2＋1>x－4，且x2＋1[例3] 指出下列命题的真假：
(1)命题：“－1是偶数或奇数”；
(2)命题：“ 属于集合Q，也属于集合R”．[点评] 为了正确判断复合命题的真假，首先要确定复合命题的构成形式，然后指出其中简单命题的真假，再根据真值表判断这个复合命题的真假．
指出下列各命题的构成形式并判断命题的真假．
(1)等腰三角形的顶角平分线垂直平分底边．
(2)方程x2－3x－4＝0的根是－4或1.[解析] (1)这一命题是“p∧q”的形式．
其中p：等腰三角形顶角平分线垂直底边，
q：等腰三角形顶角平分线平分底边．
因为p，q都是真命题，所以这一复合命题是一个真命题；
(2)这一命题是“p∨q”的形式，
其中p：方程x2－3x－4＝0的一个根是－4，
q：方程x2－3x－4＝0的一个根是1，
因为p，q都是假命题，所以这一复合命题是一个假命题．
[例4] 已知命题p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的负实数根，命题q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实数根，若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求m的取值范围．[解析] 若方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负根，
若方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根，
则Δ＝16(m－2)2－16<0，即1所以q：1因为p或q为真，则p，q至少一个为真，又p且q为假，则p、q至少一个为假．
所以p，q一真一假，p真q假或p假q真．[点评] 由简单命题和逻辑联结词构成的复合命题的真假可以用真值表来判断，反之根据复合命题的真假也可以判断简单命题的真假，若p且q真，则p真，q也真，若p或q真，则p，q至少有一个真，若p且q假，则p，q至少有一个假．
已知a>0且a≠1，设命题p：函数y＝ax在R上单调递减，q：不等式：x＋|x－2a|>1的解集为R，若p且q为假，p或q为真，求a的取值范围．[例5] 命题“x＝±3是方程|x|＝3的解”中
( )
A．没有使用任何一种逻辑联结词
B．使用了逻辑联结词“或”
C．使用了逻辑联结词“且”
[误解] A或C
[辨析] 如果认为命题的表面没有逻辑联结词，选A，或认为使用了逻辑联结词“且”，选C，都是错误的．事实上“x＝±3”的含义为x＝3或x＝－3，是“或”的形式．
[正解] B一、选择题
1．下列判断正确的是
( )
A．命题p为真命题，命题“p或q”不一定是真命题
B．命题“p且q”是真命题时，命题p一定是真命题
C．命题“p且q”是假命题，命题p一定是假命题
D．命题p是假命题，命题“p且q”不一定是假命题
[答案] B
[解析] 因为p、q都为真命题时，“p且q”为真命题．2．由下列各组命题构成的新命题“p或q”“p且q”都为真命题的是
( )
A．p：4＋4＝9，q：7>4
B．p：a∈{a，b，c}，q：{a}?{a，b，c}
C．p：15是质数，q：8是12的约数
D．p：2是偶数，q：2不是质数
[答案] B
[解析] “p或q”“p且q”都为真，则p真q真，故选B.3．下列为假命题的是
( )
A．3是7或9的约数
B．两向量平行，其所在直线平行或重合
C．菱形的对角线相等且互相垂直
D．若x2＋y2＝0，则x＝0且y＝0
[答案] C二、填空题
4．命题p：0不是自然数，命题q： 是无理数，则p∧q为________；p∨q为________．
5．“3≥3”是________形式的新命题．
[答案] p∨q三、解答题
6．写出由下列各组命题组成的“p或q”“p且q”形式的新命题．
(1)p：2006是正数，q：2006是负整数；
(2)p：1是质数，q：1是方程x2＋2x－3＝0的根．[解析] (1)“p或q”形式的新命题：2006是正数或2006是负整数．
“p且q”形式的新命题：2006是正数且2006是负整数．
(2)“p或q”形式的新命题：1是质数或是方程x2＋2x－3＝0的根．
“p且q”形式的新命题：1是质数且是方程x2＋2x－3＝0的根．课件39张PPT。1．知识与技能
理解逻辑联结词“非”的意义．
2．过程与方法
能把文字、符号语言相互转化，能够写出命题的否定与它的否命题．本节重点：了解“非”的含义，能判断由“非”组成的命题的真假．
本节难点：命题的否定与否命题的区别．
1．“非”与日常生活中的“不是”“全盘否定”“问题的反面”相近．而“非”命题，就是对命题的否定．
2．在判断三种形式的新命题的真假时，要熟练运用“至少”、“最多”、“同时”、以及“至少有一个是(不是)”、“最多有一个是(不是)”、“都是(不是)”、“不都是”这些词语．
3．通过实例去理解“且”、“或”、“非”的含义．1．在判断复合命题真假时，先确定复合命题的构成形成，同时要掌握以下规律：
“非p”形式的复合命题的真假与命题p的真假相反．
2．写出一个命题的否定，往往需要对正面词语进行否定，要熟悉常用的正面叙述词语及它的否定形式．3．关于逻辑联结词“非”
(1)“非”的意义是由日常语言中的“不是”、“全盘否定”、“问题的反面”等抽象而来的，即与之相反的意思．
(2)从集合角度理解“非”即集合运算“补”
设命题p：x∈A(A?U)．
则綈p?x?A?x∈(?UA)．
(3)“綈p”是这样的一个复合命题：若p是真命题，则綈p必是假命题；若p是假命题，则綈p必是真命题．(4)命题“p∧q”和“p∨q”的否定．
根据“且”“或”的含义，“p∧q”的否定为“綈p∨綈q”，“p∨q”的否定为“綈p∧綈q”．1．一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作 ，读作 ．
2．若p是真命题，则綈p是 命题，若p是假命题，则綈p是 命题．綈p非p或p的否定假真
[例1] 将下列命题写成“綈p”的形式．
(1)p：3是自然数；
(2)p：??{1,2}；
(3)p：李华是学生．
[解析] (1)綈p：3不是自然数；
(2)綈p：? {1,2}；
(3)綈p：李华不是学生.[解析] (1)此命题是“綈p”的形式，其中p：不等式|x＋2|≤0有实数解．因为x＝－2是该不等式的一个解，所以命题p为真命题，即非p为假命题，所以原命题为假命题．
(2)此命题为“綈p”的形式，其中p：A?(A∪B)．因为p为真命题，所以“綈p”为假命题，故原命题为假命题．
[点评] 判断含有逻辑联结词的复合命题的真假的方法步骤为：(1)分析复合命题的结构，找到组成它的简单命题p和q.(2)利用数学知识，判定简单命题p和q的真与假．(3)利用真值表判定复合命题的值．
写出下列命题的否定，并判断其真假：
(1) 是有理数；(2)5不是15的约数；(3)2<3；
(4)8＋7≠15；(5)空集是任何集合的真子集．[解析] (1) 不是有理数，是真命题．
(2)5是15的约数，是真命题．
(3)2≥3，是假命题．
(4)8＋7＝15，是真命题．
(5)空集不是任何集合的真子集，是真命题．
[点评] 判断?p的真假，一是利用p与?p的真假不同的性质，由p的真假判定?p的真假；二是利用所学知识直接判断?p的真假．[例3] 如果命题“綈p或綈q”是假命题，对于下列结论：
①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧q”是假命题；③命题“p∨q”是真命题；④命题“p∨q”是假命题．
其中正确的是________．
[答案] ①③
[解析] 由“綈p或綈q”是假命题知，“綈p”与“綈q”都是假命题，则p，q都是真命题，从而判断①、③正确，②、④错误．[点评] 灵活运用命题“p∧q”“p∨q”和“綈p”的真值表是解答此题的关键．
写出下列命题的否定：
(1)3是9的约数或是18的约数；
(2)菱形的对角线相等且互相垂直；
(3)方程x2＋x－1＝0的两实根符号相同或绝对值相等．
[解析] (1)3不是9的约数，也不是18的约数；
(2)菱形的对角线不相等或不互相垂直；
(3)方程x2＋x－1＝0的两实数根符号不相同且绝对值不相等.
[例4] 写出下列各命题的否定形式及否命题．
(1)面积相等的三角形是全等三角形；
(2)若m2＋n2＋a2＋b2＝0，则实数m，n，a，b全为零；
(3)若xy＝0，则x＝0或y＝0.
[分析] 分清题设和条件，命题的否定只否定结论，而否命题既否定题设，又否定结论．[解析] (1)否定形式：面积相等的三角形不是全等三角形．
否命题：面积不相等的三角形不是全等三角形．
(2)否定形式：若m2＋n2＋a2＋b2＝0，则实数m，n，a，b不全为零．
否命题：若m2＋n2＋a2＋b2≠0，则实数m，n，a，b不全为零．
(3)否定形式：若xy＝0，则x≠0且y≠0.
否命题：若xy≠0，则x≠0且y≠0.
写出下列命题的否定形式和否命题．
(1)等腰三角形有两个内角相等；
(2)自然数的平方是正数．
[解析] (1)否定形式：等腰三角形的任意两个内角都不相等．
否命题：不是等腰的三角形的任意两个内角都不相等．
(2)否定形式：自然数的平方不是正数．
否命题：不是自然数的平方不是正数．/ / / 一、选择题
1．如果命题“p或q”与命题“非p”都是真命题，那么 ( )
A．命题p不一定是假命题
B．命题q一定是真命题
C．命题q不一定是真命题
D．命题p与命题q的真值相同
[答案] B
[解析] “非p”为真命题，则命题p为假，又p或q为真，则q为真，故选B.2．若命题p：世博会于2010年5月1日在上海开幕，命题q：3是5或8的约数，则下列命题中为真的是
( )
A．p且q B．p或q
C．非p D．以上都不对
[答案] B
[解析] 命题p真，命题q假，故p或q为真．3．已知命题p：6≥6； q：8>9，则下列选项正确的是
( )
A．p或q为真，p且q为真，非p为假
B．p或q为真，p且q为假，非p为真
C．p或q为假，p且q为假，非p为假
D．p或q为真，p且q为假，非p为假
[答案] D
[解析] p真，q真，非p为假，p或q为真，p且q为假，故选D.4．设p，q都是简单命题，且命题“p且q”是假命题，则以下为真命题的是
( )
A．綈p B．綈q
C．綈p或綈q D．綈p且綈q
[答案] C
[解析] “且”满足“一假必假”的原则．二、填空题
5．命题“方程 ＝1没有实数根”是________形式的复合命题，它是________命题．(填“真”或“假”)
[答案] 非p 假
[解析] 命题p：方程 ＝1有实根，x＝4就是方程的根．6．若把命题“A?B”看成一复合命题，那么复合命题的形式是________，其中构成它的两个简单命题分别是________．
[答案] p或q
[解析] p：A＝B；q：A?B.三、解答题
7．分别指出由下列各组命题构成的新命题“p∨q”“p∧q”“?p”的真假
(1)p：梯形有一组对边平行
q：梯形有一组对边相等
(2)p：不等式x2－2x＋1>0的解集为R
q：不等式x2－2x＋2≤1的解集为?[解析] (1)p真、q假，所以“p∨q”为真，“p∧q” 为假，“?p”为假．
(2)不等式x2－2x＋1>0的解集为{x|x≠1}，∴p假；
不等式x2－2x＋2≤1，即x2－2x＋1≤0的解集为{x|x＝1}，∴q假．
故“p∨q”为假，“p∧q”为假，“?p”为真．课件39张PPT。1．4 全称量词与存在量词 1．知识与技能
理解全称量词、存在量词，能够用符号表示全称命题、特称命题，并会判断其真假．
2．过程与方法
明确判断全称命题、特称命题真假的判断方法．本节重点：理解全称量词和存在量词的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定．
本节难点：全称命题和特称命题的真假的判定，以及写出含有一个量词的命题的否定．
1．必须明确存在量词和全称量词的含义及表示符号．
2．明确全称命题与特称命题的含义．
符号?x∈M，p(x)通俗说就是对集合M中所有元素x，都有p(x)成立，符号?x∈M，q(x)通俗说存在集合M中的元素x，使q(x)成立．3．要判定一个全称命题是真命题必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题．只要从M中找一个x＝x0，使p(x)不成立即可，通常称特例反驳．
4．要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，至少能找到一个x＝x0使p(x)成立即可；否则，这一特称命题是假命题．1．要判定全称命题是真命题，需对集合M中每个元素x，证明p(x)成立；如果在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)不成立，那么这个全称命题就是假命题．
2．要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，至少能找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否则，这一特称命题就是假命题．3．命题的否定形式有：
4．全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，因此，我们可以通过“举反例”来否定一个全称命题．1．短语“ ”“ ”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”表示，含有全称量词的命题，叫做 ．
2．短语“ ”“ ”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ”表示，含有存在量词的命题，叫做 ．
3．全称命题p：?x∈M，p(x)，它的否定?p： ．
4．特称命题p：?x∈M，p(x)，它的否定?p： ．对所有的对任意一个?全称命题存在一个至少有一个?特称命题?x∈M，綈p(x)?x∈M，綈p(x)
[例1] 判断命题的真假．
(1)每个函数都有反函数．
(2)存在一个数x∈Z，使2x＋4＝6.
[解析] (1)y＝x2是函数，但它是偶函数，所以它没有反函数，所以“每个函数都有反函数”是假命题．
(2)由于存在x＝1，使2x＋4＝6成立，所以“存在x∈Z使2x＋4＝6”是真命题．[点评] 要判断一个全称命题为假命题，只要举出一个反例即可，要判断一个特称命题为真命题，只要举出一个例子即可．
设语句q(x)：|x－1|＝1－x.
(1)写出q(1)，q(2)，并判断它是不是真命题．
(2)写出“?a∈R，q(a)”，并判断它是不是真命题．
(3)写出“?a∈R，q(a)”，并判断它是不是真命题．
[分析] 语句q(x)不是命题，给x赋值1,2，则成为命题q(1)，q(2)，判断其真假，即看x＝1,2时，等式|x－1|＝1－x是否成立即可．[解析] (1)q(1)：|1－1|＝1－1，真命题．
q(2)：|2－1|＝1,1－2＝－1，|2－1|≠1－2，假命题．
(2)?a∈R，|a－1|＝1－a.
由(1)知q(2)为假命题，所以“?a∈R，|a－1|＝1－a”为假命题．
(3)?a∈R，使|a－1|＝1－a.
由(1)知q(1)为真命题，所以“?a∈R，|a－1|＝1－a”为真命题.
[例2] 写出下列命题的否定形式．
(1)p：?x∈R，x2＋2x＋2≤0；
(2)p：有的三角形是等边三角形；
(3)p：所有能被3整除的整数是奇数；
(4)p：每一个四边形的四个顶点共圆．
[解析] (1)?p：?x∈R，x2＋2x＋2>0.
(2)?p：所有的三角形都不是等边三角形．
(3)?p：存在一个能被3整除的整数不是奇数．
(4)?p：存在一个四边形的四个顶点不共圆．[点评] 解题时要注意存在性量词、全称量词的不同表示形式．
存在性命题p：?x∈A，p(x)，其否定为?p：?x∈A，?p(x)．
全称命题q：?x∈A，q(x)，其否定为?q：?x∈A，?q(x)．
[例3] 写出下列命题的否定并判断真假：
(1)不论m取何实数，方程x2＋x－m＝0必有实数根；
(2)所有末位数字是0或5的整数都能被5整除；
(3)每一个非负数的平方都是正数；
(4)有的四边形没有外接圆；
(5)某些梯形的对角线互相平分；
(6)被8整除的数能被4整除．[解析] (1)这一命题可以表述为p：“对所有的实数m，方程x2＋x－m＝0有实数根”，其否定是綈p：“存在实数m，使得x2＋x－m＝0没有实数根”，注意到当Δ＝1＋4m<0，即m<－ 时，一元二次方程没有实根，因此綈p是真命题．
(2)命题的否定是：存在末位数字是0或5的整数不能被5整除，是假命题．
(3)命题的否定：存在一个非负数的平方不是正数，是真命题．(4)命题的否定：所有的四边形都有外接圆，是假命题．
(5)命题的否定：任一个梯形的对角线都不互相平分，是真命题．
(6)命题的否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除，是假命题．
[例4] 函数f(x)对一切实数x，y均有f(x＋y)－f(y)＝(x＋2y＋1)x成立，且f(1)＝0.
(1)求f(0)的值；
(2)当f(x)＋2(2)由(1)知f(0)＝－2，所以f(x)＋2＝f(x)－f(0)＝f(x＋0)－f(0)＝(x＋1)·x.
已知f(x)＝ax2＋bx＋c的图象过点(－1,0)，是否存在常数a，b，c使不等式x≤f(x)≤ 对一切实数x均成立？一、选择题
1．判断下列全称命题的真假，其中真命题为( )
A．所有奇数都是素数
B．?x∈R，x2＋1≥1
C．对每个无理数x，则x2也是无理数
D．每个函数都有反函数
[答案] B
[解析] 1是奇数但不是素数，故排除A.
函数y＝x2(x∈R)没有反函数，故排除D.2．判断下列特称命题的真假，其中真命题为
( )
A．存在一个x∈Z，使3x＋4＝5
B．一条直线确定一个平面
C．所有整数只有两个正因数
D．存在奇函数具有反函数
[答案] D
[解析] 如函数y＝x3(x∈R)是奇函数，且存在反函数y＝ (x∈R)，故选D.3．命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是
( )
A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0
B．存在x∈R，x3－x2＋1≤0
C．存在x∈R，x3－x2＋1>0
D．对任意的x∈R，x3－x2＋1>0
[答案] C
[解析] 全称命题的否定是特称命题．4．下列命题中是全称命题并且是真命题的是
( )
A．?x∈R，x2＋2x＋1>0
B．若2x为偶数，则?x∈N
C．所有菱形的四条边都相等
D．π是无理数
[答案] C
[解析] 当x＝－1时，x2＋2x＋1＝0，故A错；当x＝－1时，－2为偶数，但－1?N，故B错； π是无理数不是全称命题．二、填空题
5．写出下列命题的否定．
(1)p：?a∈N，≥0.
________________________________________________________________________
(2)q：19能被3或7整除．
________________________________________________________________________
[答案] (1)?p：?a∈N， <0.
(2)?q：19不能被3整除且不能被7整除．6．使p(x)：x2－5x－6≤0为真命题的x的取值范围是________．
[答案] －1≤x≤6
[解析] x2－5x－6＝(x－6)(x＋1)≤0，
∴－1≤x≤6.三、解答题
7．判断下列命题的真假：
(1)?x∈R,2x>0；
(2)?x∈Q，x2－3x－1是有理数；
(3)?x∈N,2x＝x2；
(4)?x，y∈Z，x2＋y2＝10.[解析] (1)真命题，对任意的x,2x>0恒成立；
(2)真命题，对于任意的有理数x，x2－3x－1都是有理数；
(3)真命题，x＝2,4时，2x＝x2成立；
(4)真命题，x＝1，y＝3时，x2＋y2＝10成立．
(1)(2)(3)(4)都是真命题．课件25张PPT。章末归纳总结1．学习命题，首先根据能否判断语句的真假看是否是命题，掌握四种命题的组成及互为逆否命题的等价性．
2．由于原命题和它的逆否命题是等价的，所以当一个命题的真假不易判断时，往往可以转而判断它的逆否命题的真假；有的命题不易直接证明时，就可以改证它的逆否命题成立，所以反证法的实质就是证明“原命题的逆否命题成立”，所以教材在阐述了四种命题后安排了用反证法的例题，可以加深对命题等价性理解．3．要注意：否命题与命题的否定是不同的，如果原命题是“若p则q”，那么这个原命题的否命题是“若非p，则非q”，而这个命题的否定是“若p则非q”，可见：否命题既否定条件又否定结论，而命题的否定只否定结论，例如，原命题“若∠A＝∠B，则a＝b”的否命题是“若∠A≠∠B，则a≠b”，而原命题的否定是“若∠A＝∠B，则a≠b.”4．充要条件的判断是通过判断命题“若p则q”的真假来判断的．因此，充要条件与命题的四种形式之间的关系密切，可相互转化．
充分、必要条件问题涉及的知识面广，要深刻理解充分、必要条件的概念，而且要熟知问题中所涉及到的知识点和有关概念．
5．准确理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义，熟练判断“p∧q”、“p∨q”、“?p”形式的命题的真假．
6．准确区分全称命题和特称命题的差异，能用简洁、自然的语言表述含有一个量词的命题的否定．
[例1] 判断下列命题的真假．
(1)?x∈R，若x－3＝0，则x－3≤0；
(2)若x＝3或x＝5，则(x－3)(x－6)＝0.
[解析] (1)∵x－3＝0?x－3≤0，∴命题为真．
(2)当x＝5时，(x－3)(x－6)≠0，∴命题为假．
[点评] (1)实际上是“p∨q”命题的真假．
(2)中实质上是x∈{3,5}时，有(x－3)(x－6)＝0，显然是错误的，它不是“p∨q”形式的复合命题．
分别指出由下列各组命题构成的“p∨q”、“p∧q”、“?p”形式的复合命题的真假．
(1)p：正多边形有一个内切圆；q：正多边形有一个外接圆．
(2)p：角平分线上的点到角两边距离不相等；q：线段中垂线上的点到线段的两端点距离相等．
(3)p：2∈{2,3,4}；q：{矩形}∩{菱形}＝{正方形}．
(4)p：正六边形的对角线都相等；q：凡是偶数都是4的倍数．[答案] (1)∵p真、q真，
∴p∨q真；p∨q真；?p假．
(2)∵p假、q真，
∴p∨q真；p∧q假；?p真．
(3)∴p真、q真，
∴p∨q真；p∧q真；?p假．
(4)∵p假、q假，
∴p∨q假；p∧q假；?p真.
[例2] 若m≤0或n≤0，则m＋n≤0，写出其逆命题、否命题、逆否命题，同时分别指出它们的真假．
[解析] 逆命题：若m＋n≤0，则m≤0或n≤0，逆命题为真．
否命题：若m>0且n>0，则m＋n>0，否命题为真．(逆命题与否命题是等价的)
逆否命题：若m＋n>0，则m>0且n>0，逆否命题为假．(逆否命题与原命题等价)[点评] 命题的否定形式与命题的否命题不同，前者是只否定原命题的结论，而后者是同时否定条件和结论．
若a、b、c∈R，写出命题“若ac<0，则ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这三个命题的真假．
[解析] 逆命题：“若ax2＋bx＋c＝0(a、b、c∈R)有两个不相等的实数根，则ac<0.”它是假命题．
否命题：“若ac≥0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a、b、c∈R)没有两个不相等的实数根．”它是假命题．
逆否命题：“若ax2＋bx＋c＝0(a、b、c∈R)没有两个不相等的实数根，则ac≥0.”它是真命题.
[例3] 对命题p：“1是集合{x|x2[分析] 分别把命题p，q转化为对应的a的范围，然后由真值表，结合集合的运算求出a的范围．[解析] 由1是集合{x|x21，
由2是集合{x|x24，
即使得p，q为真命题的a的取值集合分别为P＝{a|a>1}，T＝{a|a>4}．
当p，q至少一个为真命题时，“p或q”为真命题，则使“p或q”为真命题的a的取值范围是P∪T＝{a|a>1}；
当p，q都为真命题时，“p且q”才是真命题，则使“p且q”为真命题的a的取值范围是P∩T＝{a|a>4}．
[点评] “p或q”是真命题，可以转化为并集的运算；“p且q”是真命题，可以转化为交集的运算．
设命题p：方程x2＋(2k－1)x＋ ＝0的两实根都小于2；命题q：方程x2－2x＋(3k－1)＝0有两正实根，若命题“p或q”为真，而命题“p且q”为假，求实数k的取值范围．
[例4] 已知p：x2－8x－20>0，q：x2－2x＋1－a2>0.若p是q的充分不必要条件，求正实数a的取值范围．
[解析] 解不等式x2－8x－20>0得
p：A＝{x|x>10，或x<－2}．
解不等式x2－2x＋1－a2>0得
q：B＝{x|x>1＋a，或x<1－a，a>0}．
[例5] 判断下列命题的真假．
(1)所有的质数是奇数．
(2)?x∈R，x2＋1≥0.
(3)存在一个实数x，使x2＋x＋1＝0.
(4)存在两条相交直线垂直于同一平面．课件68张PPT。●课程目标
1．双基目标
(1)掌握椭圆的定义，椭圆标准方程的两种形式及其推导过程．
(2)能够根据条件确定椭圆的标准方程，会运用待定系数法求椭圆的标准方程．
(3)掌握椭圆的几何性质，掌握标准方程中的a、b、c、e的几何意义，以及a、b、c、e之间的相互关系．(4)了解双曲线的定义，并能根据双曲线定义恰当地选择坐标系，建立及推导双曲线的标准方程．
(5)会用待定系数法求双曲线标准方程中的a、b、c，能根据条件确定双曲线的标准方程．
(6)使学生了解双曲线的几何性质，能够运用双曲线的标准方程讨论它的几何性质，能够确定双曲线的形状特征．
(7)了解抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程，能根据条件确定抛物线的标准方程．
(8)了解抛物线的几何性质，能运用抛物线的标准方程推导出它的几何性质，同时掌握抛物线的简单画法．(9)通过抛物线四种不同形式标准方程的对比，培养学生分析归纳能力．
(10)通过根据圆锥曲线的标准方程研究其几何性质的讨论，加深曲线与方程关系的理解，同时提高分析问题和解决问题的能力，培养学生的数形结合、方程思想及等价转化思想．
(11)能够利用圆锥曲线的有关知识解决与圆锥曲线有关的简单实际应用问题．2．情感目标
通过对椭圆、双曲线、抛物线概念的引入教学，培养学生的观察能力和探索能力，通过画圆锥曲线的几何图形，让学生感知几何图形曲线美、简洁美、对称美，培养学生学习数学的兴趣，通过圆锥曲线的统一性的研究，对学生进行运动、变化、对立、统一的辩证唯物主义思想教育．●重点难点
本章重点：椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程和几何性质，在生产和科学技术中有着广泛的应用，也是今后进一步学习数学的基础．椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程、几何性质，以及坐标法是这一章的重点．本章难点：坐标法是借助坐标系，以代数中数与式的知识为基础来研究几何问题的一种数学方法．因此，学习这一章时需要一定的代数知识作为基础．特别是对数式变形和解方程组的能力要求较高．例如，在求椭圆和双曲线的标准方程时，会遇到比较复杂的根式化简问题，在解某些题目时，还会遇到由两个二元二次方程组成的方程组的问题等等，这都是本章难点．●学法探究
圆锥曲线可以看成是符合某种条件的点的轨迹，在本章中通过坐标法，运用代数工具研究曲线问题体现得最突出，它把数学的两个基本对象——形与数有机地联系起来，在学习中，要深刻领会数形结合这一重要数学方法．
圆锥曲线的定义是解决圆锥曲线问题的出发点，要明确基本量a、b、c、e的相互关系、几何意义及一些概念的联系．圆锥曲线中最值求法有两种：(1)几何法：若题目中条件与结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决．(2)代数法：若题目的条件和结论能体现明确的函数关系，则可建立目标函数，再求这个函数的最值．
定点与定值问题的处理方法：(1)从特殊入手，求出定点或定值，再证明这个点(值)与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算过程消去变量，从而得到定点(定值)．2．1 椭 圆 1．知识与技能
掌握椭圆的定义，会推导椭圆的标准方程．
2．过程与方法
会用待定系数法求椭圆的标准方程．本节重点：椭圆的定义和椭圆标准方程的两种形式．
本节难点：椭圆标准方程的建立和推导．
1．对于椭圆定义的理解，要抓住椭圆上的点所要满足的条件，即椭圆上点的几何性质，可以对比圆的定义来理解．
2．在理解椭圆的定义时，要注意到对“常数”的限定，即常数要大于|F1F2|.这样就能避免忽略两种特殊情况，即：当常数等于|F1F2|时轨迹是一条线段；当常数小于|F1F2|时点不存在．3．观察椭圆的图形，发现椭圆有两条互相垂直的对称轴，以这两条对称轴作为坐标系的两轴建立平面直角坐标系，在方程的推导过程中遇到了无理方程的化简，这类方程的化简方法：(1)方程中只有一个根式时，需将它单独留在方程的一侧，把其它项移到另一侧；(2)方程中有两个根式时，需将它们放在方程的两侧，并使其中一侧只有一个根式．1．对椭圆的定义要正确理解、熟练运用，解决过焦点的问题时，要结合图形看能否运用定义．
2．用待定系数法来求椭圆的标准方程时，要“先定型，再定量”，不能确定焦点的位置，可进行分类讨论或设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)的形式．1．平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于定长(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做 ．这两个定点F1、F2叫做椭圆的 ，两焦点的距离|F1F2|叫做椭圆的 ．
2．在椭圆定义中，条件2a>|F1F2|不应忽视，若2a<|F1F2|，则这样的点不存在；若2a＝|F1F2|，则动点的轨迹是 ．椭圆焦点焦距线段
[例1] 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点坐标分别是(－3,0)、(3,0)，椭圆经过点(5,0)；
(2)两个焦点坐标分别是(0,5)、(0，－5)，椭圆上一点P到两焦点的距离和为26.[例2] 根据下列条件，求椭圆的标准方程．
(1)坐标轴为对称轴，并且经过两点A(0,2)，B.
(2)经过点(2，－3)且与椭圆9x2＋4y2＝36有共同的焦点．[点评] 1.求椭圆方程时，若没有指明焦点位置，一般可设所求方程为 ＝1(m>0，n>0)．再根据条件确定m、n的值．
2．当椭圆过两定点时，常设椭圆方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0)．将点的坐标代入解方程组求得系数．
[例3] 已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一定点B(3,0)，圆P过B且与圆A内切，求圆心P的轨迹方程．
[分析] 根据两圆内切的特点，得出|PA|＋|PB|＝10，由于A点的坐标为(－3,0)，B点的坐标为(3,0)，所以点P的轨迹方程是以A、B为焦点的椭圆的标准方程，这就把求点P的轨迹方程的问题转化成了求a2、b2的问题．[解析] 设圆P的半径为r，又圆P过点B，∴|PB|＝r，
又∵圆P与圆A内切，圆A的半径为10.
∴两圆的圆心距|PA|＝10－r，
即|PA|＋|PB|＝10(大于|AB|)．
∴点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆．
∴2a＝10,2c＝|AB|＝6，
∴a＝5，c＝3.∴b2＝a2－c2＝25－9＝16.
[点评] 在求动点的轨迹方程时，要对动点的运动规律仔细分析，去伪存真，当发现有动点到两定点的距离之和为定值时，要马上和椭圆的定义进行联系．若符合椭圆的定义，即可直接写出对应的椭圆方程，这种方法也叫定义法求轨迹方程．
已知F1、F2是两点，|F1F2|＝8，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝10，则点M的轨迹是____________．
动点M满足|MF1|＋|MF2|＝8，则点M的轨迹是__________．
[答案] 以F1、F2为焦点，焦距为8的椭圆 线段F1F2[解析] 因为|F1F2|＝8且动点M满足|MF1|＋|MF2|＝10>8＝|F1F2|，
由椭圆定义知，动点M的轨迹是以F1、F2为焦点，焦距为8的椭圆．其方程为
因为|MF1|＋|MF2|＝8＝|F1F2|，所以动点M的轨迹是线段F1F2.
[例4] 如图所示，已知点P是椭圆 ＝1上的点，F1和F2是焦点，且∠F1PF2＝30°，求△F1PF2的面积．
已知椭圆 ＝1上一点P，F1、F2为椭圆的焦点，若∠F1PF2＝θ，求△F1PF2的面积．[解析] 由椭圆的定义，有
|PF1|＋|PF2|＝2a，而在△F1PF2中，由余弦定理有
|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cosθ
＝|F1F2|2＝4c2，
∴(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|－2|PF1|·|PF2|cosθ＝4c2，
即4a2－4c2＝2|PF1|·|PF2|(1＋cosθ)[点评] 椭圆上一点P与两焦点F1、F2构成的三角形PF1F2我们通常称其为焦点三角形，在这个三角形中，既可运用到椭圆定义，又能用到正、余弦定理．上述解答过程中还运用了整体思想直接求出|PF1|·|PF2|，没有单独求|PF1|、|PF2|，以减少运算量．[例5] 设P为椭圆 ＝1上任意一点，F1为它的一个焦点，求|PF1|的最大值和最小值．
[解析] 设F2为椭圆的另一焦点，则由椭圆定义得：|PF1|＋|PF2|＝2a，
∵||PF1|－|PF2||≤2c，
∴－2c≤|PF1|－|PF2|≤2c，
∴2a－2c≤2|PF1|≤2a＋2c，
即a－c≤|PF1|≤a＋c
∴|PF1|的最大值为a＋c，最小值为a－c.[点评] 椭圆上到某一焦点的最远点与最近点分别是长轴的两个端点，应掌握这一性质．
已知椭圆的焦点F1、F2在x轴上，它与y轴的一个交点为P，且△PF1F2为正三角形，且焦点到椭圆上的点的最短距离为 ，则椭圆的方程为__________．[辨析] 上述解法只注意了焦点在y轴上，而没有考虑到m2>0且(m－1)2>0，这是经常出现的一种错误，一定要避免．[辨析] 由a2＝(m－1)2及b2＝m2，应得a＝|m－1|及b＝|m|，m－1与m不一定是正值，上述解法误认为m－1与m是正值而导致错误．一、选择题
1．(2009·陕西文，7)“m>n>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的
( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] C2．已知椭圆 ＝1上一点P到其一个焦点的距离为3，则点P到另一个焦点的距离为
( )
A．2 B．3 C．5 D．7
[答案] D
[解析] 设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，由椭圆定义知，|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，点P到另一个焦点的距离为7.[答案] A 4．椭圆 ＝1的焦点坐标是
( )
A．(±5,0) B．(0，±5)
C．(0，±12) D．(±12,0)
[答案] C
[解析] ∵椭圆方程为 ＝1，
∴椭圆焦点在y轴上，
又∵a＝13，b＝5，∴c＝12，
∴椭圆焦点坐标为(0，±12)．二、填空题
5．(2009·北京文，13)椭圆 ＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上．若|PF1|＝4，则|PF2|＝______；∠F1PF2的大小为________．
[答案] 2 120°6．椭圆 ＝1的焦距是2，则m的值为________．
[答案] 5或3
[解析] 由题意得2c＝2，c＝1，当焦点为x轴上时，a2＝m，b2＝4，c2＝m－4＝1，∴m＝5，
当焦点在y轴上时，a2＝4，b2＝m，c2＝4－m＝1，
∴m＝3.课件75张PPT。1．知识与技能
掌握椭圆的几何性质，掌握标准方程中的a，b以及c，e的几何意义，a，b，c，e之间的相互关系．
2．过程与方法
能根据椭圆的方程讨论椭圆的几何性质
会用代数方法研究曲线的特殊几何性质，如：对称中心，对称轴，范围等．本节重点：利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质．
本节难点：椭圆的几何性质的实际应用．
1．根据曲线的方程，研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，是解析几何的基本问题之一．本节就是根据椭圆的标准方程来研究它的几何性质．其性质可分为两类：一类是与坐标系无关的本身固有性质，如长短轴长、焦距、离心率；一类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点．2．根据椭圆几何性质解决实际问题时，关键是将实际问题转化为数学问题，建立数学模型，用代数知识解决几何问题，体现了数形结合思想、函数与方程及等价转化的数学思想方法．1．通过对椭圆的范围、对称性、特殊点(顶点、焦点、中心)、准线、对称轴及其他特性的讨论从整体上把握曲线的形状、大小和位置，进而掌握椭圆的性质，学习过程中应注意，图形与方程对照、方程与性质对照，只有通过数形结合的方式才能牢固掌握椭圆的几何性质．
2．涉及直线与椭圆位置关系问题时，注意判别式及韦达定理的运用，特别是函数与方程思想在解题中的应用．3．利用待定系数法求椭圆标准方程一定要注意先“定型”，“再定量”，在焦点位置不确定时，要注意分类讨论．
4．椭圆上两个重要的三角形
(1)椭圆上任意一点P(x，y)(y≠0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2称为焦点三角形，周长为2(a＋c)．
(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成了一个直角三角形，称为椭圆的特征三角形，边长满足a2＝b2＋c2.1．椭圆的对称中心叫做椭圆的 ，所以椭圆是 对称图形．中心中心这四个点叫做椭圆的 ，线段A1A2叫做椭圆的 ，它的长等于 ；线段B1B2叫做椭圆的 ，它的长等于 .显然，椭圆的两个焦点在它的 上．
4．椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的 ．顶点长轴2a短轴2b长轴离心率
[例1] 求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．
[分析] 由题目可获取以下主要信息：①已知椭圆的方程；②研究椭圆的几何性质．解答本题可先把方程化成标准形式然后再写出性质．[点评] 解决这类问题关键是将所给方程正确地化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a，b，c之间的关系求椭圆的几何性质．
已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝ ，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．
[例2] 已知椭圆的长轴是短轴的3倍，且过点A(3,0)，并且以坐标轴为对称轴，求椭圆的标准方程．
[分析] 由题目可获取以下主要信息：①已知椭圆的几何性质；②求椭圆的标准方程．解答本题要把已知条件转化为有关a、b、c的关系式．[点评] 已知椭圆的几何性质，求其标准方程的方法步骤：(1)确定焦点所在的位置，以确定椭圆方程的形式，(2)确立关于a、b、c的关系方程(组)，求出参数a、b、c，(3)写出标准方程．
求适合下面条件的椭圆的标准方程．
(1)经过点P(－5,0)、Q(0，－3)．
(2)长轴的长为10，离心率等于
[例3] F1、F2为椭圆的两个焦点，过F2的直线交椭圆于P、Q两点，PF1⊥PQ且|PF1|＝|PQ|，求椭圆的离心率．
[分析] 由题目可获取以下主要信息：①已知椭圆上两点与焦点连线的几何关系．②求椭圆的离心率．解答本题的关键是把已知条件化为a、b、c之间的关系．[点评] 所谓求椭圆的离心率e的值，即求 的值，所以，解答这类题目的主要思路是将已知条件转化为a、b、c之间的关系．如特征三角形中边边关系、椭圆的定义、c2＝a2－b2等关系都与离心率有直接联系，同时，a、b、c之间是平方关系，所以，在求e值时，也常先考查它的平方值．[答案] D [例4] 2003年10月15日9时，“神舟”五号载人飞船发射升空，于9时9分50秒准确进入预定轨道，开始巡天飞行．该轨道是以地球的中心F2为一个焦点的椭圆．选取坐标系如图所示，椭圆中心在原点，近地点A距地面200km，远地点B距地面350km.已知地球半径R＝6371km.(1)求飞船飞行的椭圆轨道的方程；
(2)飞船绕地球飞行了十四圈后，于16日5时59分返回舱与推进舱分离，结束巡天飞行，飞船共巡天飞行了约6×105km，问飞船巡天飞行平均速度是多少？(结果精确到1km/s)
(2)从15日9时到16日6时共21个小时，合21×3600秒，减去开始的9分50秒，即9×60＋50＝590(s)，再减去最后多计的1分钟，共计590＋60＝650(s)，飞船巡天飞行时间是21×3600－650＝74950(s)，
所以飞船巡天飞行的平均速度是8km/s.
[点评] 解答本题的关键是要明确近地点与远地点的几何意义，把实际问题转化为数学问题求解．[答案] A
[例5] 已知椭圆x2＋8y2＝8，在椭圆上求一点P，使P到直线l：x－y＋4＝0的距离最小，并求出最小值．[点评] 本题利用了数形结合的思想寻找解题思路，简化了运算过程，也可以设出P点坐标，利用点到直线的距离公式求出最小值．[点评] 本题应用三角形中两边之差小于第三边，两边之和大于第三边的思想，并结合椭圆定义求解.[点评] 本题根据椭圆定义及性质从不同角度应用了四种方法求椭圆离心率的范围，法一应用了基本不等式，法二构造一元二次方程，应用了方程思路，可谓奇思妙解，法三通过焦半径公式搭建起应用x范围的桥梁，法四应用了极端思想使问题迅速得解，由此可见，在椭圆中建立不等关系的途径或方法还是比较多的，平时解题时需要根据已知条件灵活选择方法，达到快速而又准确地解答题目的目的．[辨析] 上述解法没有讨论焦点的位置，而默认了椭圆的焦点在x轴上．[答案] A [答案] D [答案] C [答案] A 二、填空题
5．椭圆25x2＋y2＝25的长轴长为________，短轴长为______，焦点坐标为________，离心率为________．课件60张PPT。2．2 双曲线 1．知识与技能
记住双曲线的定义，会推导双曲线的标准方程．
2．过程与方法
会用待定系数法确定双曲线的方程
与椭圆的标准方程比较，加以区分．本节重点：双曲线的定义及其标准方程．
本节难点：双曲线标准方程的推导．
1．对于双曲线定义的理解，要抓住双曲线上的点所要满足的条件，即双曲线上点的几何性质，可以类比椭圆的定义来理解．
2．在理解双曲线的定义时，要注意到对“定值”的限定．即定值大于零且小于|F1F2|.这样就能避免忽略两种特殊情况，即：“当定值等于|F1F2|时，轨迹是两条射线；当定值大于|F1F2|时，点不存在．”3．类比椭圆标准方程的推导方法，建立适当坐标系，推导出双曲线的标准方程，但要注意在椭圆标准方程推导中，是令b2＝a2－c2，而在双曲线标准方程的推导过程中，是令b2＝c2－a2.1．当用双曲线的定义来求解双曲线的标准方程时，可直接求出a、b，写出对应的方程，而无须由距离公式写出推导过程．
2．利用待定系数法求双曲线的标准方程时，应先判断焦点所在位置，不能确定时应分类讨论．
3．已知双曲线上一点与两焦点构成的三角形问题，往往利用正弦定理、余弦定理以及双曲线的定义列出关系式．
4．当利用双曲线的定义求解轨迹方程问题时，要注意应用数形结合的思想方法．5．利用待定系数法求双曲线标准方程的步骤
(1)确定焦点位置：根据条件判定双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上，还是两坐标轴都有可能．
(3)确立参数的关系式：根据已知条件列出关于a、b、c的方程组．
(4)解方程组：定形式，解上述方程组，得到参数a、b、c的值，代入所设方程即为所求．1．在平面内到两个定点F1、F2距离之差的绝对值等于定值2a(大于0且小于|F1F2|)的点的轨迹叫做 ．这两个定点叫做双曲线的 ，两焦点之间的距离叫做双曲线的 ．
2．在双曲线的定义中，条件0<2a<|F1F2|不应忽视，若2a＝|F1F2|，则动点的轨迹是 ；若2a>|F1F2|则动点的轨迹是 ．
3．双曲线定义中应注意关键词“ ”，若去掉定义中“ ”三个字，动点轨迹只能是 ．双曲线焦点焦距两条射线不存在绝对值绝对值双曲线一支[点评] 求双曲线的标准方程一般应先判定焦点所在的坐标轴，其次再确定a、b的值．若已知双曲线经过两个定点，求双曲线方程，设所求双曲线方程为Ax2－By2＝1(AB<0)，列出关于A、B的二元一次方程组，求出A、B既避免了讨论又降低了未知数的次数，大大减少所需的运算，体现了由繁至简的化归思想．
[例2] 已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1与圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程．
[解析] 如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B，根据两圆外切的充要条件，得
|MC1|－|AC1|＝|MA|，
|MC2|－|BC2|＝|MB|.
∵|MA|＝|MB|，
∴|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，∴|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝3－1＝2.
这表明动点M与两定点C2、C1的距离的差是常数2.根据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)．
这里a＝1，c＝3，则b2＝8，设点M的坐标为(x，y)，
则其轨迹方程为x2－ ＝1(x<0)．[点评] (1)本题是用定义法求动点的轨迹方程，当判断出动点的轨迹是双曲线的一支，且可求出a、b时，直接根据定义写出其标准方程，而无需用距离公式写出方程，再通过复杂的运算进行化简．
(2)由于动点M到两定点C2、C1的距离的差为常数，而不是差的绝对值为常数，因此，其轨迹只能是双曲线的一支．这一点要特别注意！
已知△ABC的底边BC长为12，且底边固定，顶点A是动点，使sinB－sinC＝ sinA.求点A的轨迹．[解析] 由双曲线的对称性，可设点P在第一象限，
由双曲线的方程，知a＝3，b＝4，∴c＝5.
由双曲线的定义，得|PF1|－|PF2|＝2a＝6.
上式两边平方，得|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋64＝100，
由余弦定理，得[点评] 在焦点三角形中，正弦定理、余弦定理、双曲线的定义等是经常使用的知识点．另外，还经常结合|PF1|－|PF2|＝2a，运用平方的方法，建立它与|PF1|·|PF2|的联系，请同学们多加注意．[解析] 设双曲线的左焦点为F1，右焦点为F2，如图所示，由双曲线的定义知||PF1|－|PF2||＝2a.在△F1PF2中，由余弦定理，得
[例4] 设声速是am/s.在相距10am的A、B两个哨所，听到一炮弹爆炸声的时间相差6s，且B处的声强是A处声强的4倍，试确定炮弹爆炸点P的位置，即确定P点到AB中点M的距离及∠PMB的大小．(注：声强与距离的平方成反比)[点评] 本题是实际问题，必须抽象为数学问题，建立数学模型后，利用所学知识解决．本题符合双曲线的定义，故可利用双曲线方程求解．[例5] 已知双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点为(0,3)，求k的值．一、选择题
1．已知两定点F1(－5,0)、F2(5,0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，则当a＝3和5时，P点的轨迹为
( )
A．双曲线和一直线
B．双曲线和一条射线
C．双曲线的一支和一条射线
D．双曲线的一支和一条直线
[答案] C[解析] 当a＝3时，|PF1|－|PF2|＝2a＝6<|F1F2|＝10，由双曲线定义知，P点轨迹是双曲线的右支．
当a＝5时，|PF1|－|PF2|＝2a＝10＝|F1F2|，
∴P点轨迹是以F2为始点的一条射线．2．在方程mx2－my2＝n中，若mn<0，则方程的曲线是
( )
A．焦点在x轴上的椭圆
B．焦点在x轴上的双曲线
C．焦点在y轴上的椭圆
D．焦点在y轴上的双曲线
[答案] D[答案] A
[解析] ∵a2＝20，b2＝5，c2＝25，c＝5，
∴焦距2c＝10.[答案] C
[解析] c2＝a2＋b2＝m2＋12＋4－m2＝16，c＝4，
焦距2c＝8.[答案] m>2或－17．已知双曲线的一个焦点坐标为F1(0，－13)，双曲线上一点P到两焦点距离之差的绝对值为24，求双曲线标准方程．课件62张PPT。
1．知识与技能
类比椭圆的性质，能根据双曲线的标准方程，讨论它的几何性质．
2．过程与方法
能运用双曲线的性质解决一些简单的问题
与椭圆的性质比较，归纳并加以区别记忆．本节重点：双曲线的几何性质，双曲线各元素之间的相互依存关系，特别是双曲线的渐近线性质．
本节难点：有关双曲线的离心率、渐近线的问题，数形结合思想、方程思想、等价转化思想的运用．
1．对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线的特有性质，利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，而且较为精确，只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线，就能画出它的近似图形．2．要明确双曲线的渐近线是哪两条直线，过双曲线实轴的两个端点与虚轴的两个端点分别作对称轴的平行线，它们围成一个矩形，其两条对角线所在直线即为双曲线的渐近线．
3．要理解“渐近”两字的含义，当双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近，接近的程度是无限的．5．根据双曲线的渐近线方程求双曲线方程的方法：如果两条渐近线的方程为Ax±By＝0，那么双曲线的方程为A2x2－B2y2＝m(m≠0)，这里m是待定系数，其值可由题目中的已知条件确定．
6．双曲线的几何性质与椭圆的几何性质有不少相同或类似之处，要注意它们的区别与联系，不能混淆，列表如下：2．双曲线上两个重要的三角形
(1)实轴端点、虚轴端点及对称中心构成一个直角三角形，边长满足c2＝a2＋b2，称为双曲线的特征三角形．(2)焦点F、过F作渐近线的垂线，垂足为D，则|OF|＝c，|FD|＝b，|OD|＝a，△OFD亦是直角三角形，满足|OF|2＝|FD|2＋|OD|2，也称为双曲线的特征三角形．3．双曲线中应注意的几个问题：
(1)双曲线是两支曲线，而椭圆是一条封闭的曲线；
(2)双曲线的两条渐近线是区别于其他圆锥曲线所特有的；
(3)双曲线只有两个顶点，离心率e>1；
(5)注意双曲线中a、b、c、e的等量关系与椭圆中a、b、c、e的不同．1．双曲线是以x轴、y轴为对称轴的 图形；也是以原点为对称中心的 图形，这个对称中心叫做 ．
2．双曲线与它的对称轴的两个交点叫做双曲线的顶点，双曲线 ＝1(a>0，b>0)的顶点是 ，这两个顶点之间的线段叫做双曲线的 ，它的长等于 .同时在另一条对称轴上作点B1(0，－b)，B2(0，b)，线段B1B2叫做双曲线的 ，它的长等于 ，a、b分别是双曲线的 和 ．轴对称中心对称双曲线的中心(±a,0)实轴2a虚轴2b实半轴长虚半轴长4．双曲线的半焦距c与实半轴a的比叫做双曲线的 ，其范围是 ．离心率(1，＋∞)
[例1] 求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程，并作出草图．
[分析] 要将双曲线方程化成标准方程，然后由各个所求量的定义作答．作草图如图：[点评] (1)必须对λ进行讨论；(2)当λ<0时，要将方程化为标准形式，否则容易导致错误.[点评] 本题是双曲线与平面向量的综合题，首先通过建立坐标系设出双曲线方程，由题设条件得到λ与离心率e的关系式，最后借助于λ的范围来建立离心率e的不等式求解．[点评] 根据双曲线的定义用a来表示出|PF1|和|PF2|，利用两点之间线段最短建立|PF2|＋|PF1|≥|F1F2|的不等关系式，解不等式求解，注意等号成立的条件，还要注意隐含条件“e>1”．[点评] 面对较复杂的式子不要急于化简，要先观察特点，从特点入手进行整体化简；本题中三式变成两式，又由两式变成一式完全是从整体出发的，充分体现了整体运算的好处．[点评] 本题借助于两个曲线的“整体方程”来处理问题，显然，这样避免了将直线方程分别为双曲线方程及渐近线方程联立的复杂运算．求解过程简练易懂．[辨析] 错因在于忽视了4－k2＝0，即l与双曲线的渐近线平行时，l与双曲线只有一个交点也符合题意．另外没有考虑直线l斜率不存在的情况．[答案] A[答案] C[答案] A[答案] C二、填空题
5．双曲线9x2＋144＝16y2的虚轴长为________，焦点坐标为________，渐近线方程是__________．6．双曲线中a、b、c的长成等差数列，则e＝________.三、解答题
7．求一条渐近线方程是3x＋4y＝0，一个焦点是(4,0)的双曲线标准方程．
[解析] ∵双曲线的一条渐近线方程为3x＋4y＝0，课件58张PPT。 2．3 抛 物 线
1．知识与技能
知道抛物线的定义，能推导抛物线的标准方程．
2．过程与方法
能根据条件，求出抛物线的标准方程．
3．情感态度与价值观
与椭圆、双曲线的标准方程比较，加深理解．
本节重点：抛物线的定义及标准方程．
本节难点：建立标准方程时坐标系的选取．
1．对抛物线的认识
(1)抛物线不是双曲线的一支，当抛物线上的点趋向于无穷远时，抛物线接近于与其对称轴平行，而双曲线上的点趋向于无穷远时，双曲线接近于与它的渐近线平行．注意：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象一定是抛物线．但是，抛物线对应的方程不一定是二次函数，如x＝y2是抛物线，但不是函数．2．对抛物线定义的理解应注意定点不在定直线上，否则动点的轨迹是一条直线．
3．由抛物线的定义推导出它的标准方程时，要考虑怎样选择坐标系．由定义可知直线KF是曲线的对称轴，所以把KF作为x轴可以使方程不出现y的一次项．因为抛物线KF的中点适合条件，所以它在抛物线上，因而以KF的中点为原点，就不会出现常数项，这样建立坐标系，得出的方程形式比较简单．1．利用抛物线的定义可以将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，这一相互转化关系会给解题带来方便．要注意灵活运用定义解题．
2．求抛物线标准方程的方法
主要是待定系数法，其步骤为：
(1)依据条件设出抛物线标准方程的类型(当焦点位置不确定时，应分类讨论)；
(2)求参数p；
(3)简明写出答案．注意：当焦点的位置不确定时，为避免讨论带来的麻烦，可设抛物线方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝my(m≠0)，若m>0，抛物线开口向右或向上；若m<0，抛物线开口向左或向下．1． 叫做抛物线．点F叫做抛物线的 ，直线l叫做抛物线的 ，焦点到准线的距离(定长p)叫做抛物线的 ．平面内到定点F的距离等于到定直线l(定点不在定直线上)的距离的点的轨迹焦点准线焦准距3．过抛物线焦点的直线与抛物线相交，被抛物线所截得的线段，称为抛物线的 ．
4．通过抛物线的焦点作垂直于坐标轴而交抛物线于A、B两点的线段，称为抛物线的通径，通径|AB|的长等于 .焦点弦2p
[例1] 求满足下列条件的抛物线的标准方程：
(1)过点(－3,2)；
(2)焦点在直线x－2y－4＝0上；
(3)过抛物线y2＝2mx的焦点F作x轴的垂线交抛物线于A、B两点，且|AB|＝6.
已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，抛物线上的点M(3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值．[点评] 解法二利用抛物线的定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，既快捷又方便，要善于转化.
[例2] 设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线焦点．
(1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值；
(2)若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．此时，由抛物线定义知：
|P1Q|＝|P1F|.
那么|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|
＝|BQ|＝3＋1＝4.
即最小值为4.[点评] 本题中的两个问题有一个共性，都是利用抛物线的定义，即抛物线的点到准线的距离等于该点到焦点的距离，从而构造出“两点间线段最短”或“点到直线垂线段最短”使问题获解．[答案] C
[解析] 如下图．[点评] 方法一分直线斜率存在与不存在两种情况讨论，同学们容易忽略斜率不存在的情形，应引起重视；方法二对直线方程的设法避免了直线的斜率不存在这一情况，解答更为简洁，在学习过程中应深刻体会．
斜率为1的直线经过抛物线y2＝4x的焦点，与抛物线相交于两点A、B，求线段AB的长．
[解析] 如图，由抛物线的标准方程可知，焦点F(1,0)，准线方程x＝－1.由题设，直线AB的方程为：y＝x－1.
代入抛物线方程y2＝4x，整理得：x2－6x＋1＝0.
设A(x1，y1)、B(x2，y2)，由抛物线定义可知，|AF|等于点A到准线x＝－1的距离|AA′|，
即|AF|＝|AA′|＝x1＋1，同理|BF|＝x2＋1，
∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝6＋2＝8.
[例4] 如图(1)所示，花坛水池中央有一喷泉，水管O′P＝1m，水从喷头P喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2m，P距抛物线的对称轴1m，则水池的直径至少应设计多少米？(精确到1m)图(1)[解析]
图(2)
如图(2)所示，建立平面直角坐标系．设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)．[点评] 根据图形的对称性，求出抛物线的方程．可得出水池的直径．值得注意的是，上面所求半径为|O′B|＝|O′A|＋|AB|.[例5] 设抛物线y2＝mx的准线与直线x＝1的距离为3，求抛物线的方程．[点拨] 错因只考虑到了m>0的情况，而m<0时也可以满足条件．因此，求抛物线方程时，要考虑各种情况，以免遗漏．一、选择题
1．抛物线y2＝20x的焦点坐标为 ( )
A．(20,0) B．(10,0)
C．(5,0) D．(0,5)
[答案] C
2．平面内到定点F的距离等于到定直线l的距离的点的轨迹是 ( )
A．抛物线 B．直线
C．抛物线或直线 D．不存在
[答案] C
[解析] 当F∈l上时，是直线，当F?l上时，是抛物线．3．顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，又过点(－2,3)的抛物线方程是 ( )[答案] D
[解析] ∵点(－2,3)在第二象限，
∴设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)或x2＝2p′y(p′>0)，
又点(－2,3)在抛物线上，4．已知抛物线的准线方程为x＝－7，则抛物线的标准方程为 ( )
A．x2＝－28y B．y2＝28x
C．y2＝－28x D．x2＝28y
[答案] B二、填空题
5．抛物线x＝ay2的准线方程为__________． 6．在抛物线y2＝12x上，与焦点的距离等于9的点的坐标是________．三、解答题
7．求到定点F(4,0)的距离比到定直线x＋5＝0的距离大10的点的轨迹方程．
[解析] 设点P(x，y)到定点F(4,0)的距离比到定直线x＋5＝0的距离大10，
当x≥－5时，化简整理得y2＝38x＋209，
当x<－5时，化简整理得y2＝－2x＋9，
∴所求点的轨迹方程为：y2＝38x＋209(x≥5)或y2＝－2x＋9(x<－5)．课件54张PPT。
1．知识与技能
能根据抛物线的方程推导它的几何性质．
2．过程与方法
能应用抛物线的性质解决有关问题
归纳，对比四种方程表示的抛物线几何性质的异同．本节重点：抛物线的几何性质．
本节难点：抛物线几何性质的运用．
1．抛物线与椭圆、双曲线的重要区别是：只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴和一条准线，没有中心和渐近线．
2．不能把抛物线看作是双曲线的一支．虽然两者都是沿开口方向越来越远离对称轴，但抛物线却越来越接近于对称轴的平行线．
3．为了简化解题过程，有时可根据抛物线方程的特征利用参数表示抛物线上动点的坐标，有时还可以利用抛物线的对称性避免分类讨论． 4．在抛物线的几何性质中，应用最广泛的是范围、对称性、顶点坐标，在解题时，应先注意开口方向、焦点位置，选准标准形式，然后运用条件求解．
5．要注意运用数形结合思想，根据抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相互转化．
6．在求解直线与抛物线的位置关系的问题时，要注意运用函数与方程思想，将位置关系问题转化为方程根的问题．1．抛物线四种标准形式与图象的对应关系2．焦半径
抛物线上一点与焦点F连线的线段叫做焦半径，设抛物线上任一点A(x0，y0)，则四种标准方程形式下的焦半径公式为3.焦点弦问题
如图所示：AB是抛物线y2＝2px(p>0)过焦点F的一条弦，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，抛物线的准线为l.1．范围 因为p>0，由方程y2＝2px(p>0)可知，这条抛物线上任意一点M的坐标(x，y)满足等式．所以这条抛物线在y轴的 侧；当x的值增大时，|y|也 ，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸，它开口 ．
2．对称性 以－y代y，方程y2＝2px(p>0)不变，因此这条抛物线是以x轴为对称轴的轴对称图形，抛物线的对称轴叫做抛物线的 ．
3．顶点 抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的 发 ．在方程y2＝2px(p>0)中，当y＝0时，x＝0，因此这条抛物线的顶点就是 ．右增大越开阔轴顶点坐标原点4．离心率 抛物线上的点与焦点和准线的距离的比，叫做抛物线的 ，用e表示，按照抛物线的定义，e＝ .离心率1
[例1] 抛物线y2＝2x上距点M(m,0)(m>0)最近的点恰好是抛物线的顶点，求m的取值范围．
[分析] 由题目可获取以下主要信息：①已知抛物线的标准方程及抛物线上的一动点．②由抛物线上动点与顶点距离的关系求参数m的取值范围，解答本题的关键是建立m与距离的联系．
对于抛物线y2＝4x上任意一点Q，点P(a,0)都满足|PQ|≥|a|，则a的取值范围是 ( )
A．(－∞，0) B．(－∞，2]
C．[0,2] D．(0,2)
[答案] B
[例2] 正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2＝2px(p>0)上，求这个正三角形的边长．
[解析] 如图，设正三角形OAB的顶点A、B在抛物线上，且它们坐标分别为(x1，y1)和(x2，y2)，则y＝2px1，y＝2px2，[点评] 本题利用了抛物线与正三角形有公共对称轴这一性质，但往往会直观上承认而忽略了它的证明．
求例2中正三角形外接圆的方程．
[解析] 依题意可知圆心在x轴上，且过原点故可设所求的圆方程为：x2＋y2＋Dx＝0，
[例3] 求过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦长的最小值．解法二：如图所示，设焦点弦AB的中点为E，分别过A，E，B作准线l的垂线，垂足为D，H，C，由抛物线定义知|AD|＝|AF|，|BC|＝|BF|，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AD|＋|BC|＝2|EH|.
由图可知|HE|≥|GF|，当且仅当AB与x轴垂直时，|HE|＝|GF|，即|AB| min＝2|GF|＝2p.[点评] 解法一运用了弦长公式；解法二运用了抛物线的几何意义，由此题我们可以得出一个结论：过抛物线焦点的所有弦中，通径最短(当过焦点的弦垂直于x轴时，此弦为抛物线的通径)，但值得注意的是，若弦长小于通径，则此弦不可能过焦点．
抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线，被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线方程．(2)在抛物线上求一点P，使P到直线x－y＋3＝0的距离最短，并求出距离的最小值．[分析] 由题目可获取以下主要信息：①已知抛物线的标准方程．②求抛物线上的一点到其他元素的距离的最值，解答本题时一是可找到表示最值的目标函数；二是可分析最值对应的数学元素的意义．[点评] 有关抛物线的最值问题，主要有两种解决思路：一是利用抛物线的定义，进行到焦点的距离与到准线的距离的转化，数形结合，以几何意义解决之，二是利用抛物线的标准方程，进行消元代换，获得有关距离的含变量的代数关系式，以目标函数最值的求法解决之．
抛物线y2＝4x上有两个定点A、B分别在对称轴的上下两侧，F为抛物线的焦点，并且|FA|＝2，|FB|＝5，在抛物线AOB这段曲线上求一点P，使△PAB的面积最大，并求这个最大面积．
[解析] 由已知得F(1,0)，不妨设点A在x轴上方且坐标为(x1，y1)，
由|FA|＝2得x1＋1＝2，x1＝1
所以A(1,2)，同理B(4，－4)，所以直线AB的方程为2x＋y－4＝0.设在抛物线AOB这段曲线上任一点P(x0，y0)，且0≤x0≤4，－4≤y0≤2.
则点P到直线AB的距离
[例5] 求过点P(0,1)且与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线方程．
[辨析] 本题造成错解的原因有两个：一是遗漏了直线不存在斜率的情况，只考虑了斜率存在的直线；二是方程组消元后的方程认定为二次方程，事实上，当二次项系数为零的一次方程的解也符合题意．[答案] C[答案] B3．顶点在原点、坐标轴为对称轴的抛物线，过点(－1,2)，则它的方程是 ( )
A．y＝2x2或y2＝－4x
B．y2＝－4x或x2＝2y
C．x2＝－ y
D．y2＝－4x
[答案] A
[解析] ∵抛物线的顶点在原点，坐标轴为对称轴，
∴抛物线的方程为标准形式．当抛物线的焦点在x轴上时，
∵抛物线过点(－1,2)，
∴设抛物线的方程为y2＝－2px(p>0)．
∴22＝－2p(－1)．∴p＝2.
∴抛物线的方程为y2＝－4x.
当抛物线的焦点在y轴上时，
∵抛物线过点(－1,2)，
∴设抛物线的方程为x2＝2py(p>0)．4．过抛物线y2＝8x的焦点，作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为 ( )
A．8 B．16
C．32 D．61
[答案] B
[解析] 由抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)，得直线的方程为y＝x－2.
代入y2＝8x，得(x－2)2＝8x，即x2－12x＋4＝0.
∴x1＋x2＝12，弦长＝x1＋x2＋p＝12＋4＝16.二、填空题
5．顶点在原点，焦点在x轴上且正焦弦(过焦点和对称轴垂直的弦)长为6的抛物线方程是__________．
[答案] y2＝±6x
[解析] ∵焦点在x轴上，顶点在原点，
∴抛物线方程为：y2＝±2px(p>0)
又正焦弦长为2p＝6，∴y2＝±6x.6．抛物线y＝x2上的点到直线y＝2x－4的距离最短的点的坐标是________．
[答案] (1,1)
[解析] 设与直线y＝2x－4平行且与y＝x2相切的直线方程为y＝2x＋b，[解析] (1)设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)
又焦点F(3,0)，∴P＝6，∴抛物线方程为y2＝12x.
(2)由题意，设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)课件28张PPT。章末归纳总结坐标法是研究圆锥曲线问题的基本方法，它是用代数的方法研究几何问题．
本章介绍了研究圆锥曲线问题的基本思路，建立直角坐标系，设出点的坐标，根据条件列出等式，求出圆锥曲线方程，再通过曲线方程，研究曲线的几何性质．
本章内容主要有两部分：一部分是求椭圆、双曲线、抛物线的标准方程，基本方法是利用定义或待定系数法来求；另一部分是研究椭圆、双曲线、抛物线的几何性质，并利用它们的几何性质解决有关几何问题．
学习本章应深刻体会数形结合的思想，转化的思想，函数的思想及待定系数法等重要的数学思想和方法．
[例1] 已知A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，求椭圆的另一个焦点F的轨迹方程．
[分析] 依据椭圆的定义，列出关系式，再将其坐标化即可．[解析] |AC|＝13，|BC|＝15，|AB|＝14.又|AF|＋|AC|＝|BF|＋|BC|，∴|AF|－|BF|＝|BC|－|AC|＝2，故F点的轨迹是以A，B为焦点，实轴长为2的双曲线，
又c＝7，a＝1，b2＝48，
[点评] 利用圆锥曲线的定义直接求出相关点的轨迹，是常考的题型．
求曲线方程的基本方法有：直接法和间接法．常见的求曲线方程的方法有：直接法、定义法、代入法、参数法以及求弦的中点轨迹时常用的“设而不求”法．这里仍需强调的是不管用什么方法求轨迹方程，都要注意检验所求的方程与曲线是否等价，多余的点要舍去，缺少的点要补上.
[例2] 已知抛物线y2＝2x上两个动点A、B，且|AB|＝3，求AB的中点P到y轴距离的最小值．
[解析] 如右图，分别过A、B、P作准线l的垂线，设垂足为A1、B1、P1，PP1交y轴于Q点，连结AF、BF.
由抛物线定义可知
|AF|＝|A1A|，
|BF|＝|B1B|，
∴|A1A|＋|B1B|＝|AF|＋|BF|.
又四边形A1ABB1为梯形，P1P是中位线，[点评] 本题利用抛物线的定义，通过图形，借助梯形中位线定理，从而确定了最值，体现了“转化与化归”的数学思想，应深刻体会这一重要思想方法．[例3] 已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于A，B两点(A，B不是左右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．(1)证明：λ＝1－e2；
(2)确定λ的值，使得△PF1F2是等腰三角形．
[分析] 解析几何中的向量问题，化为坐标处理．[点评] 圆锥曲线随着定义的不同，那么它们的几何性质也不尽相同，这就需要结合相关圆锥曲线的定义和方程，准确刻画它们的几何性质．通常由圆锥曲线方程研究圆锥曲线的几何性质时，常把圆锥曲线方程化成标准方程，再讨论曲线的顶点、焦点、准线、离心率、渐近线、对称性等几何性质.[分析] 设直线AB的点斜式方程，由已知得出线段AB的垂直平分线方程，利用求值域的方法求解．[点评] 直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型．课件46张PPT。●课程目标
1．双基目标
(1)通过分析实例，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵．
(2)通过函数图象直观地理解导数的几何意义．(4)能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．
(5)结合实例，借助几何直观图探索并了解函数的单调性与导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间．
(6)结合函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会利用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及在给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值．
(7)通过利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用．2．情感目标
通过具体实例，认识导数的工具性及其与实际问题的联系，感受和体会导数在解决实际问题中的作用，提高学生学习兴趣，感受导数在解题中的作用和威力，自觉形成将数学理论和实际问题相结合的思想，在解题过程中，逐步养成扎实严格、实事求是的科学态度．●重点难点
本章重点：导数的运算和利用导数解决实际问题．
本章难点：导数概念的理解．
●学法探究
导数是微积分的初步知识，是研究函数、解决实际问题的有力工具．学习本章要认真理解平均变化率、瞬时速度的概念，进一步理解导数的概念和导函数的定义，掌握导数的几何意义，掌握基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，通过具体实例，认识导数的工具性及其与实际问题的联系，感受导数在解题中的作用，充分体会数形结合思想、分类讨论思想、等价转化思想及理论联系实际的思想方法． 3．1 变化率与导数
1．知识与技能
理解函数在某点的平均变化率的概念并会求此变化率．
2．过程与方法
理解函数在x0处的瞬时变化率，理解导数的概念和定义．本节重点：函数在某一点的平均变化率，瞬时变化率、导数的概念．
本节难点：导数的概念的理解．
本节学习的有关概念比较抽象，学习时应通过实例理解相关概念，深刻体会数学源于生活，又应用于生活．
对导数的定义要注意两点：第一：Δx是自变量x在x0处的改变量，所以Δx可正可负，但Δx≠0；第二：函数在某点的导数，就是在该点的函数值改变量与自变量改变量之比的极限值．因此它是一个常数而不是变数．1．平均变化率是本节中的重要概念，求函数平均变化率的步骤是：
(1)求自变量的增量Δx＝x－x0.
(2)函数的增量Δy＝y－y0＝f(x)－f(x0)＝f(x＋Δx)－f(x0)．2．函数在某点的导数即为函数在该点的瞬时变化率，就是在该点的函数改变量与自变量的改变量的比值的极限，它是一个数值，不是变数．如果f(x)在开区间(a，b)内每一点x导数都存在，则称f(x)在区间(a，b)内可导．这样，对开区间(a，b)内每一个值x，都对应一个确定的导数f′(x)，于是在区间(a，b)内f′(x)构成一个新的函数，把这个函数称为函数y＝f(x)的导函数，记为f′(x)(或yx′，y′)．求函数在某点处的导数时，一般是先求出函数的导函数，再计算这点的导函数值．导函数简称导数，不是具体数值，而是一个函数，每一个或几个x对应一个f′(x)值，这二者是一般与个别的关系．求导数的步骤是：
由导数的定义知，求函数y＝f(x)在点x0处的导数的步骤：
(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；3．物体在某一时刻的速度称为 ．瞬时速度t时刻的瞬时速度 [分析] 直接利用概念求平均变化率，先求出表达式，再直接代入数据就可以得出相应的平均变化率．[点评] 解答本题的关键是熟练掌握平均变化率的意义．只要求出平均变化率的表达式，它的值就可以很容易求出．
某质点沿曲线运动的方程为f(x)＝－2x2＋1(x表示时间，f(x)表示位移)，则该质点从x＝1到x＝2时的平均速度为 ( )
A．－4 B．－8
C．6 D．－6
[答案] D
[点评] 瞬时速度是平均速度在Δt→0时的极限值．因此，要求瞬时速度，应先求出平均速度．
一作直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，求此物体在t＝2时的瞬时速度．
[解析] 由于Δs＝3(2＋Δt)－(2＋Δt)2－(3×2－22)
＝3Δt－4Δt－Δt2＝－Δt－Δt2，[点评] 用导数定义求函数在某一点处的导数的过程：一差、二比、三极限．
求y＝f(x)＝x3＋2x＋1在x＝1处的导数．
[解析] Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)3＋2(1＋Δx)＋1－(13＋2×1＋1)＝5Δx＋3(Δx)2＋(Δx)3，[辨析] 错误的原因是由于对导数的定义理解不清，函数值f(x0－Δx)－f(x0)所对应的自变量的改变量为(x0－Δx)－x0＝－Δx.A．4 B．4x
C．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2
[答案] C2．如果质点A按规律s＝2t3运动，则在t＝3秒时的瞬时速度为 ( )
A．6 B．18
C．54 D．81
[答案] C
[解析] s(t)＝2t3，Δs＝s(3＋Δt)－s(3)＝2Δt3＋18Δt2＋54Δt，3．当自变量x0变到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数 ( )
A．在区间[x0，x1]上的平均变化率
B．在x0处的变化率
C．在x1处的导数
D．在区间[x0，x1]上的导数
[答案] A
[解析] 由平均变化率的定义可知A正确．4．已知f(x)＝x2－3x，则f′(0)＝ ( )
A．Δx－3 B．(Δx)2－3Δx
C．－3 D．0
[答案] C二、填空题
5．已知函数f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，则a等于______．
[答案] a＝2
[解析] Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝a(1＋Δx)＋4－a－4＝aΔx，6．球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为____________．三、解答题
7．枪弹在枪筒中的运动可以看作匀加速直线运动，如果它的加速度是a＝5×105m/s2，枪弹从枪口射出所用的时间为1.6×10－3s.求枪弹射出枪口时的瞬时速度．
[分析] 由题目可获取以下主要信息：①加速度；②射出所用时间．解答本题可先求出运动方程，再运用导数求瞬时速度．
[点评] 导数的物理意义：
(1)若已知位移s与时间t的函数关系s＝s(t)，则在t0时刻的瞬时速度v＝s′(t0)；
(2)若已知速度v与时间t的函数关系v＝v(t)，则在t0时刻的瞬时加速度a＝v′(t0)．课件55张PPT。
1．知识与技能
了解导函数的概念，理解导数的几何意义．
2．过程与方法
会求导函数，根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．本节重点：导数的几何意义．
本节难点：对导数几何意义的理解．
1．正确理解曲线的切线的定义，即：过曲线y＝f(x)上一点P作曲线的割线PQ，当Q点沿着曲线无限趋近于P时，若割线PQ趋近于某一确定的直线PT，则这一确定的直线PT称为曲线y＝f(x)在点P的切线．
2．“函数f(x)在点x0处的导数”、“导函数”、“导数”三者之间的区别与联系
(1)“函数在一点处的导数”，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量的比的极限，它是一个数值，不是变数．(3)导函数也简称导数，所以
(4)函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在点x＝x0处的函数值．f′(x0)＝f′(x)|x＝x0.1．已知曲线的切点P(x0，y0)，求曲线的切线方程的步骤：
(1)求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)；
(2)根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)；
(3)若曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的导数不存在，就是切线与y轴平行或不存在；f′(x0)>0，切线与x轴正向夹角为锐角；f′(x0)<0，切线与x轴正向夹角为钝角；f′(x0)＝0，切线与x轴平行．注意：只有曲线方程可看成函数解析式时才能利用导数来求切线方程，否则不能利用导数来求，如求过圆上某点的切线方程就不能直接利用导数来求．
2．过曲线外的点P(x1，y1)，求曲线的切线方程的步骤：
(1)设切点为(x0，y0)，求出切点坐标；
(2)求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)；
(3)根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．切线 ②导数的几何意义
函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的 ．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是 ．相应地，切线方程为 ．
2．函数的导数斜率f′(x0)y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)
[例1] 过曲线y＝f(x)＝x3上两点P(1,1)和Q(1＋Δx,1＋Δy)作曲线的割线，求出当Δx＝0.1时割线的斜率．
[解析] ∵Δf＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)3－1
＝Δx3＋3Δx2＋3Δx，
(1)求曲线C上的横坐标为2的点处的切线方程；
(2)第(1)小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？
[分析] 解答本题可先求出切点坐标及斜率，再利用直线方程的点斜式形式求切线方程．[解析] (1)将x＝2代入曲线C的方程得y＝4，
∴切点P(2,4)．解得x1＝2，x2＝－4.
从而求得公共点为P(2,4)或M(－4，－20)．
即切线与曲线C的公共点除了切点外，还有另外的公共点．
[点评] 求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在P点处的切线”的差异：过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在曲线上；而在点P处的切线，点P必为切点．
已知曲线y＝2x3上一点A(1,2)，则点A处的切线斜率等于 ( )
A．2 B．4
C．6＋6Δx2 D．6
[答案] D
[解析] ∵y＝2x3，
[例3] 抛物线y＝x2在点P处的切线与直线2x－y＋4＝0平行，求P点的坐标及切线方程．
[分析] 解答本题可先设切点坐标再利用切线斜率及切点在抛物线上列方程组求解．得y′|x＝x0＝2x0.
又由切线与直线2x－y＋4＝0平行，得2x0＝2，x0＝1.
∵P(1，y0)在y＝x2上，∴y0＝1.
∴点P的坐标为(1,1)，切线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.
[点评] 解决切线问题的关键是求出切点坐标．求切点坐标往往利用切点既在曲线上又在切线上及切点处的导数值，即为切线斜率这些条件来构造方程组求解．
若抛物线y＝x2与直线2x－y＋m＝0相切，求m.
[解析] 设切点为P(x0，y0)，由本例知，y′|x＝x0＝2x0.
[例4] 若抛物线y＝4x2上的点P到直线y＝4x－5的距离最短，求点P的坐标．
[分析] 抛物线上到直线y＝4x－5的距离最短的点，是平移该直线与抛物线相切时的切点．解答本题可先求导函数，再求P点的坐标．[解析] 由点P到直线y＝4x－5的距离最短知，过点P的切线方程与直线y＝4x－5平行．设P(x0，y0)，则[点评] 求最值问题的基本思路：(1)目标函数法：通过设变量构造目标函数，利用函数求最值；(2)数形结合法：根据问题的几何意义，利用图形的特殊位置求最值．
求抛物线y＝4x2上的点到直线y＝4x－5的距离的最小值．
[解析] 解法一：由例题解析知最短距离为[例5] 曲线y＝x3在x0＝0处的切线是否存在，若存在，求出切线的斜率和切线方程；若不存在，请说明理由．[点评] (1)y＝x3在点(0,0)处的切线是x轴，符合切线定义．这似乎与学过的切线知识有所不同，其实不然，直线与曲线有两个公共点时，在其中一点也可能相切．如图所示． A．4x－y＋9＝0或4x－y＋25＝0
B．4x－y＋1＝0
C．4x＋y＋9＝0或4x＋y－25＝0
D．以上都不对
[答案] C即直线l的斜率为－4.
故经过(1,4)的曲线的切线方程为
y－4＝－4(x－1)，即4x＋y－8＝0.
设直线l的方程为4x＋y＋c＝0.[例6] 试求过点M(1,1)且与曲线y＝x3＋1相切的直线方程．
[辨析] 上述解法错在将点(1,1)当成了曲线y＝x3＋1上的点．因此在求过某点的切线时，一定要先判断点是否在曲线上，再据不同情况求解．一、选择题
1．曲线y＝－2x2＋1在点(0,1)处的切线的斜率是( )
A．－4 B．0
C．4 D．不存在
[答案] B[答案] B3．若曲线y＝h(x)在点P(a，h(a))处的切线方程为2x＋y＋1＝0，那么 ( )
A．h′(a)＝0 B．h′(a)<0
C．h′(a)>0 D．h′(a)不确定
[答案] B
[解析] 由导数的几何意义，得h′(a)＝k＝－2<0.4．曲线y＝x3在点P处的切线斜率为3，则点P的坐标为 ( )
A．(－2，－8) B．(1,1)，(－1，－1)
[答案] B[答案] y＝2x－1
[解析] 设P(x0，x)，则k＝y′＝2x0＝2，
故x0＝1，∴P(1,1)，k＝2，
∴切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.课件32张PPT。 3．2 导数的计算
1．知识与技能
了解常数函数和幂函数的求导方法和规律，会求任意y＝xα(α∈Q)的导数．
2．过程与方法
掌握基本初等函数的导数公式，并能利用这些公式求基本初等函数的导数．
本节重点：常数函数、幂函数的导数
本节难点：由常见幂函数的求导公式发现规律，得到幂函数的求导公式．
利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归，才能抓住问题的本质，把解题思路放开．1．在应用(sinx)′＝cosx与(cosx)′＝－sinx时，一要注意函数的变化；二要注意符号的变化．1．若f(x)＝c，则f′(x)＝ .
若f(x)＝xn(n∈N*)，则f′(x)＝ .
2．若f(x)＝sinx，则f′(x)＝ .
若f(x)＝cosx，则f′(x)＝ .
3．若f(x)＝ax，则f′(x)＝ ．
若f(x)＝ex，则f′(x)＝ .0nxn－1cosx－sinxaxlna(a>0)ex
[例1] 求下列函数的导数．
(1)y＝a2(a为常数)．
(2)y＝x12.
(3)y＝cosx.
[解析] (1)∵a为常数，∴a2为常数，
∴y′＝(a2)′＝0.
(2)y′＝(x12)′＝12x11
(3)y′＝(cosx)′＝－sinx.[点评] (1)用导数的定义求导是求导数的基本方法，但运算较繁．利用常用函数的导数公式，可以简化求导过程，降低运算难度．
(2)利用导数公式求导，应根据所给问题的特征，恰当地选择求导公式，将题中函数的结构进行调整．如将根式、分式转化为指数式，利用幂函数的求导公式求导．
[点评] 求函数在某点处的导数的步骤是先求导函数，再代入变量的值求导数．[点评] 在确定与切线垂直的直线方程时，应注意考察函数在切点处的导数y′是否为零，当y′＝0时，切线平行于x轴，过切点P垂直于切线的直线斜率不存在．
求曲线y＝3x2的斜率等于12的切线方程．
[解析] 设切点为P(x0，y0)，
则y′＝(3x2)′＝6x，
∴y′|x＝x0＝12，即6x0＝12，∴x0＝2
当x0＝2时，y0＝12
∴切点P的坐标为(2,12)
∴所求切线方程为：y－12＝12(x－2)，
即y＝12x－12.
一、选择题
1．函数f(x)＝0的导数是 ( )
A．0 B．1
C．不存在 D．不确定
[答案] A
[解析] 常数函数的导数为0A．x－y－1＝0 B．x＋y－3＝0
C．x－y＋1＝0 D．x＋y－1＝0
[答案] A[答案] D[答案] B
二、填空题
5．曲线y＝xn在x＝2处的导数为12，则n等于________．
[答案] 3
[解析] y′＝nxn－1，∴y′|x＝2＝n2n－1＝12，∴n＝3.
6．若函数y＝sint，则y′|t＝6π＝________.
[答案] 1
[解析] y′＝(sint)′＝cost，y′|t＝6π＝cos6π＝1.三、解答题
7．求抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0的最短距离．
[解析] 平移直线x－y－2＝0与抛物线y＝x2相切，
设切点为P(x0，y0)，课件38张PPT。
能利用给出的基本初等函数的导数公式表和导数的四则运算法则求简单函数的导数本节重点：导数的四则运算及其运用．
本节难点：导数的四则运算法则的推导．
1．可导函数的四则运算法则是解决函数四则运算形式的求导法则，也是进一步学习导数的基础，因此，必须透彻理解函数求导法则的结构内涵，注意挖掘知识的内在联系及规律，通过对知识的重新组合，以达到巩固知识、提升能力的目的．
2．利用导数的定义推导出函数的和、差、积的求导法则，以及常见函数的导数公式之后，对一些简单函数的求导问题，便可直接应用法则和公式很快地求出导数，而不必每一问题都回到定义．3．应用导数的四则运算法则和常见函数的导数公式求导数时，在可能的情况下，应尽量少用甚至不用乘积的求导法则，应在求导之前，先利用代数、三角恒等变形对函数进行化简，然后再求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，避免差错．1．[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)的推广[f1(x)±f2(x)±f3(x)±f4(x)±…±fn(x)]′＝f1′(x)±f2′(x)±f3′(x)±…±fn′(x)
2．积或商的导数法则的误解
[f(x)g(x)]′≠f′(x)g′(x)1．设函数f(x)、g(x)是可导函数，(f(x)±g(x))′＝ ；
(f(x)·g(x))′＝ ．f′(x)±g′(x)f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)
[例1] 求下列函数的导数：
(1)y＝(x＋1)2(x－1)；
(2)y＝x2sinx；[解析] (1)方法一：y′＝[(x＋1)2]′(x－1)＋(x＋1)2(x－1)′＝2(x＋1)(x－1)＋(x＋1)2＝3x2＋2x－1.
方法二：y＝(x2＋2x＋1)(x－1)＝x3＋x2－x－1，
y′＝(x3＋x2－x－1)′＝3x2＋2x－1.
(2)y′＝(x2sinx)′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx.[点评] 较为复杂的求导运算，一般综合了和、差、积、商的几种运算，要注意：(1)先将函数化简；(2)注意公式法则的层次性．[点评] 在可能的情况下，求导时应尽量少用甚至不用乘法的求导法则，所以在求导之前，应利用代数、三角恒等变形对函数进行化简，然后再求导，这样可减少运算量.[分析] 解答本题可先化简解析式再求导函数，否则较繁．[点评] 不加分析，盲目套用求导法则，会给运算带来不便，甚至导致错误．在求导之前，对三角恒等式先进行化简，然后再求导，这样既减少了计算量，也可少出差错．
[例3] 偶函数f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e的图象过点P(0,1)，且在x＝1处的切线方程为y＝x－2，求y＝f(x)的解析式．
[解析] ∵f(x)的图象过点P(0,1)，∴e＝1.
又∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)．
故ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e＝ax4－bx3＋cx2－dx＋e.
∴b＝0，d＝0.∴f(x)＝ax4＋cx2＋1.
∵函数f(x)在x＝1处的切线方程为y＝x－2，
∴切点为(1，－1)．∴a＋c＋1＝－1.
∵f′(x)|x＝1＝4a＋2c，∴4a＋2c＝1.
已知抛物线y＝ax2＋bx－7通过点(1,1)，过点(1,1)的切线方程为4x－y－3＝0，求a、b的值．
[解析] 由于抛物线y＝ax2＋bx－7经过点(1,1)，
∴1＝a＋b－7，即a＋b－8＝0①
又由于经过点(1,1)的抛物线的切线方程为
4x－y－3＝0，
∴经过该点的抛物线的切线斜率为4.
∵y′＝(ax2＋bx－7)′＝2ax＋b，∴2a＋b－4＝0.②
由①、②解得a＝－4，b＝12.[误解] D
[正解] C一、选择题
1．函数y＝2sinxcosx的导数为 ( )
A．y′＝cosx B．y′＝2cos2x
C．y′＝2(sin2x－cos2x) D．y′＝－sin2x
[答案] B
[解析] y′＝(2sinxcosx)′
＝2(sinx)′·cosx＋2sinx(cosx)′
＝2cos2x－2sin2x＝2cos2x.[答案] C
3．函数y＝(x－a)(x－b)在x＝a处的导数为 ( )
A．ab B．－a(a－b)
C．0 D．a－b
[答案] D
[解析] ∵y＝(x－a)(x－b)＝x2－(a＋b)x＋ab
∴y′＝2x－(a＋b)，y′|x＝a＝2a－a－b＝a－b.4．函数y＝x·lnx的导数是 ( )
[答案] C
二、填空题
5．函数y＝2x3－3x2＋4x－1的导数为____________．
[答案] 6x2－6x＋4
[解析] y′＝(2x3)′－(3x2)′＋(4x)′＝6x2－6x＋4.
6．函数y＝xsinx－cosx的导数为__________________．
[答案] 2sinx＋xcosx
[解析] y′＝(xsinx)′－(cosx)′＝2sinx＋xcosx.三、解答题
7．函数f(x)＝x3－x2－x＋1的图象上有两点A(0,1)和B(1,0)，在区间(0,1)内求实数a，使得函数f(x)的图象在x＝a处的切线平行于直线AB.课件38张PPT。3．3 导数在研究函数中的应用
1．知识与技能
结合实例，借助几何直观发现函数的单调性与导数的关系．
2．过程与方法
能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间．本节重点：利用求导的方法判断函数的单调性．
本节难点：函数的导数与单调性的关系．
1．用导数去研究函数的单调性比用定义法更为简便，是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个重要应用，它充分体现了数形结合的基本思想．因此，必须重视对数学思想、方法进行归纳总结，提高应用数学思想、方法解决问题的熟练程度，达到优化解题思路、简化解题过程的目的．
2．利用导数的符号判断函数单调性的解题过程中，只能在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，判断函数的单调区间．1．利用导数判断单调性，是比较好的解题思路其一般步骤：(1)求导数f′(x)；(2)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0或f′(x)<0；(3)据(2)的结果确定函数f(x)的单调区间．
2．单调区间为函数定义域的子集，求解时首先考虑定义域．
3．要注意单调区间的写法，特别是不连续点或不可导点．4．y＝f(x)在(a，b)内可导，f′(x)≥0或f′(x)≤0且y＝f(x)在(a，b)内导数为0的点仅有有限个，则y＝f(x)在(a，b)内仍是单调函数，例如：y＝x3在R上f′(x)≥0，所以y＝x3在R上单调递增．
5．利用导数判断单调性常与一些参数有关，此时要注意对参数的分类讨论．1．设函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，
(1)如果在区间(a，b)内，f′(x)≥0，则f(x)在此区间是 的；
(2)如果在区间(a，b)内，f′(x)≤0，则f(x)在此区间内是 的．
2．如果函数y＝f(x)在x的某个开区间内，总有f′(x)＞0，则f(x)在这个区间上严格增加，这时该函数在这个区间为 ；如果函数当自变量x在某区间上，总有f′(x)＜0，则f(x)在这个区间为 ．单调递增单调递减严格增函数严格减函数
[例1] 求下列函数的单调区间
(1)f(x)＝x3－3x＋1
[解析] (1)函数f(x)的定义域为R
f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＞0，则3x2－3＞0.
即3(x＋1)(x－1)＞0，解得x＞1或x＜－1.
∴函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)
令f′(x)＜0，则3(x＋1)(x－1)＜0，解得－1＜x＜1.
∴函数f(x)的单调递减区间为(－1,1)(2)函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)[点评] 求函数的单调区间必须在函数的定义域内，依据导数在某一区间内的符号来确定函数的单调区间，体现了形象思维的直观性．另外，单调区间不可写成并集的形式．
求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝x3＋3x2－9x
(2)f(x)＝sinx－x，x∈(0，π)
[解析] (1)f′(x)＝3x2＋6x－9＝3(x2＋2x－3)，
由f′(x)＞0得，x>1或x<－3，
∴函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－3)、(1，＋∞)．
由f′(x)＜0得，－3∴函数f(x)的单调递减区间为(－3,1)．(2)f′(x)＝cosx－1，∵x∈(0，π)时，
∴cosx∈(－1,1)，∴cosx－1＜0，
∴函数f(x)在(0，π)上是单调递减函数.
[例2] 已知x＞1，求证x＞lnx.
[解析] 设f(x)＝x－lnx (x＞1)
∴函数f(x)在(1，＋∞)上是增函数．
又f(1)＝1－ln1＝1＞0
即f(x)＞0对x∈(1，＋∞)恒成立
∴x－lnx＞0，即x＞lnx (x＞1)．[点评] 构造函数是解本题的突破口，构造函数，利用导数确定函数单调性，这种不等式证明方法经常使用，它是作差法的一个延伸．
已知：x＞0，求证：x＞sinx.
[解析] 设f(x)＝x－sinx (x＞0)
f′(x)＝1－cosx≥0对x∈(0，＋∞)恒成立
∴函数f(x)＝x－sinx在(0，＋∞)上是单调增函数
又f(0)＝0∴f(x)＞0对x∈(0，＋∞)恒成立
即：x＞sinx (x＞0)．
[解析] 解法一：(区间法)
f′(x)＝x2－ax＋a－1，令f′(x)＝0，所以x＝1或x＝a－1.
当a－1≤1，即a≤2时，函数f(x)在(1，＋∞)内单调递增，不合题意．当a－1>1，即a>2时，f(x)在(－∞，1)和(a－1，＋∞)上单调递增，在(1，a－1)上单调递减，由题意知：(1,4)?(1，a－1)且(6，＋∞)?(a－1，＋∞)，
所以4≤a－1≤6，即5≤a≤7.
解法二：(数形结合)
如图所示，f′(x)＝(x－1)[x－(a－1)]．若在(1,4)内f′(x)≤0，(6，＋∞)内f′(x)≥0，且f′(x)＝0有一根为1，则另一根在[4,6]上．解法三：(转化为不等式的恒成立问题)
f′(x)＝x2－ax＋a－1.因为f(x)在(1,4)内单调递减，所以f′(x)≤0在(1,4)上恒成立．即a(x－1)≥x2－1在(1,4)上恒成立，所以a≥x＋1，因为2又因为f(x)在(6，＋∞)上单调递增，所以f′(x)≥0在(6，＋∞)上恒成立，所以a≤x＋1，因为x＋1>7，所以a≤7时，f′(x)≥0在(6，＋∞)上恒成立．由题意知5≤a≤7.
[点评] 本题是含参数单调性问题，是高考的重点和热点，体现了数学上的数形结合与转化思想．[解析] 因为f′(x)＝x2＋ax＋a(a∈R)
由题意知：f′(x)≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，
所以Δ＝a2－4a≤0，所以0≤a≤4.
故当0≤a≤4时，f(x)在R上单调递增．[例4] 已知函数f(x)＝2ax－x3，x∈(0,1]，a>0，若f(x)在(0,1]上单调递增，求a的取值范围．[点评] 在某区间内若f′(x)>0，则函数在该区间内单调递增，反之，若f(x)在区间D上为增函数，则f′(x)≥0在D上恒成立．一、选择题
1．函数f(x)＝2x－sinx在(－∞，＋∞)上 ( )
A．是增函数
B．是减函数
C．在(0，＋∞)上增，在(－∞，0)上增
D．在(0，＋∞)上减，在(－∞，0)上增
[答案] A
[解析] f′(x)＝2－cosx>0在(－∞，＋∞)上恒成立．2．函数y＝xlnx在区间(0,1)上是 ( )
A．单调增函数
B．单调减函数
[答案] C
3．若在区间(a，b)内有f′(x)＞0，且f(a) ≥0，则在(a，b)内有 ( )
A．f(x)＞0 B．f(x)＜0
C．f(x)＝0 D．不能确定
[答案] A
[解析] ∵在区间(a，b)内有f′(x)>0，且f(a)≥0，
∴函数f(x)在区间(a，b)内是递增的，且f(x)>f(a)≥0.
4．在下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( )
A．sin2x B．xex
C．x3－x D．－x＋ln(1＋x)
[答案] B
[解析] y＝xex，则y′＝ex＋x·ex＝ex(1＋x)，
又∵x>0，∴y′>0，故选B.二、填空题
5．函数f(x)＝x3－x的增区间是____________和____________，减区间是____________．
6．已知函数y＝ax2＋2x＋3在(－1，＋∞)上是减函数，则a的取值范围是____________．
[答案] 0[解析] 令f(x)＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2，
∴函数f(x)在(－1，＋∞)上是增函数，
要使y＝af(x)在(－1，＋∞)上是减函数，应有07．已知函数f(x)＝x3＋ax＋8的单调递减区间为(－5,5)，求函数f(x)的递增区间．
[解析] f′(x)＝3x2＋a.
∵(－5,5)是函数y＝f(x)是单调递减区间，则－5、5是方程3x2＋a＝0的根，
∴a＝－75.此时f′(x)＝3x2－75.
令f(x)>0，则3x2－75>0.
解得x>5或x<－5.
∴函数y＝f(x)的单调递增区间为(－∞，－5)和(5，＋∞)．课件51张PPT。1．知识与技能
结合函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．
2．过程与方法
会用导数求不超过三次的多项式函数的极值，以及在给定区间上求最大值、最小值．本节重点：利用导数的知识求函数的极值．
本节难点：函数的极值与导数的关系．
利用函数的导数求极值时，首先要确定函数的定义域；其次，为了清楚起见，可用导数为零的点，将函数的定义域分成若干小开区间，并列成表格，判断导函数在各个小开区间的符号．
求函数的最大值和最小值，需要先确定函数的极大值和极小值，极值是一个局部概念并且不唯一，极大值与极小值之间无确定的大小关系．f′(x0)＝0只是可导函数f(x)在x0取得极值的必要条件，不是充分条件．例如：函数f(x)＝x3，f′(0)＝0但x＝0不是f(x)＝x3的极值点．1．理解极值概念时需注意的几点
(1)函数的极值是一个局部性的概念，是仅对某一点的左右两侧附近的点而言的．
(2)极值点是函数定义域内的点，而函数定义域的端点绝不是函数的极值点．
(3)若f(x)在[a，b]内有极值，那么f(x)在[a，b]内绝不是单调函数，即在定义域区间上的单调函数没有极值． (4)极大值与极小值没有必然的大小关系．一个函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值可能大于另一点的极大值．(如图(1))(5)若函数f(x)在[a，b]上有极值，它的极值点的分布是有规律的(如图(2)所示)，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点．
2．导数为0的点不一定是极值点．
3．正确理解“在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)必有最值．”
此性质包括两个条件：4．正确区分极值和最值
(1)函数的最值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的最大值和最小值可以在极值点、不可导点、区间的端点取得，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，最值具有绝对性，极值具有相对性．
(2)函数的最值是一个整体性概念，最大值必须是整个区间上所有函数值中的最大的值，最小值是所有函数值中的最小的值；极值只能在区间内取得；但最值可以在端点处取得；极值有可能成为最值．5．若连续函数在区间(a，b)内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值．1．已知函数y＝f(x)及其定义域内一点x.对于包含x0在内的开区间内的所有点x，如果都有 ，则称函数f(x)在点x0处取得 ，并把x0称为函数f(x)的一个 ；如果都有 ，则称函数f(x)在点x0处取得 ，并把x0称为函数f(x)的一个 ．极大值与极小值统称为 ，极大值点与极小值点统称为 ．f(x)≤f(x0)极大值极大值点f(x)≥f(x0)极小值极小值点极值极值点2．假设函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条 ，该函数在[a，b]上一定能够取得 与 ，该函数在(a，b)内是 ，该函数的最值必在 取得．
3．当函数f(x)在点x0处连续时，判断f(x0)是否存在极大(小)值的方法是：
(1)如果在x0附近的左侧 ，右侧 ，那么f(x0)是极 值；连续不断的曲线最大值最小值可导的极值点或区间端点f′(x)>0f′(x)<0大(2)如果在x0附近的左侧 ，右侧 ，那么f(x0)是极 值；
(3)如果f′(x)在点x0的左右两侧符号不变，则f(x0) 函数f(x)的极值．f′(x)<0f′(x)>0小不是
[例1] 求函数y＝3x3－x＋1的极值．
[分析] 首先对函数求导，求得y′，然后求方程y′＝0的根，再检查y′在方程根左右的值的符号．如果左正右负，那么y在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么y在这个根处取得极小值．[点评] 熟记极值的定义是做好本题的关键，要利用求函数极值的一般步骤求解．
函数y＝x3－3x2－9x(－2＜x＜2)有 ( )
A．极大值为5，极小值为－27
B．极大值为5，极小值为－11
C．极大值为5，无极小值
D．极大值为－27，无极小值
[答案] C
[解析] f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x＋1)(x－3)
令f′(x)＝0得x1＝－1，x2＝3(舍去)
当－2＜x＜－1时，f′(x)＞0
当－1＜x＜2时，f(x)＜0
∴当x＝－1时f(x)有极大值，f(x)极大值＝f(－1)＝5，无极小值．故应选C.
[例2] 求函数f(x)＝x3－2x2＋1在区间[－1,2]上的最大值与最小值．
[分析] 首先求f(x)在(－1,2)内的极值．然后将f(x)的各极值与f(－1)，f(2)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
[解析] f′(x)＝3x2－4x.
故f(x)最大值＝1，f(x)最小值＝－2.
[点评] 利用求最值的步骤求解．
函数最大值及最小值点必在下面各种点之中：导数等于0的点、导数不存在的点或区间的端点．
函数在区间[a，b]上连续是f(x)在[a，b]上存在最大值的充分而非必要条件．
求函数f(x)＝x4－8x2＋2在[－1,3]上的最大值与最小值．
[解析] f′(x)＝4x3－16x＝4x(x－2)(x＋2)．
令f′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝0，x3＝2.
其中x2＝0，x3＝2在[－1,3]内，计算得
f(0)＝2，f(2)＝－14，f(－1)＝－5，f(3)＝11，
故f(x)在[－1,3]上的最大值是11，最小值是－14.
[例3] 已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1时取得极值，且f(1)＝－1，
(1)试求常数a、b、c的值；
(2)试判断x＝±1时函数取得极小值还是极大值，并说明理由．
[解析] (1)由f′(－1)＝f′(1)＝0，得3a＋2b＋c＝0,3a－2b＋c＝0.
又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1.[点评] 若函数f(x)在x0处取得极值，则一定有f′(x0)＝0，因此我们可根据极值得到一个方程，来解决参数．而x1代入①式，得a(x2－1)＝0.
∵a>0，∴x＝±1.再代入f(x1)或f(x2)，得a＝2.
∴a＝2，b＝0.[例4] 已知函数f(x)＝ax4lnx＋bx4－c(x>0)在x＝1处取得极值－3－c，其中a、b、c为常数．
(1)试确定a，b的值；
(2)若对任意x>0，不等式f(x)≥－2c2恒成立，求c的取值范围．
[点评] 恒成立转化为最值，即用导数求最值．
函数的极值、最值常与单调性，不等式结合出解答题，是历年考试的重点，一般分为二至三问，要注意它们之间的内在联系，另外解此类问题要注意极值，最值的注意事项．[例5] 已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，求常数a、b的值．
[误解] 因为f(x)在x＝－1时有极值0，且f′(x)＝3x2＋6ax＋b.[辨析] 根据极值定义，函数先减后增为极小值，函数先增后减为极大值，此题未验证x＝－1时函数两侧的单调性，故求错．
[正解] (在上述解法之后继续)当a＝1，b＝3时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，
所以f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去；
当a＝2，b＝9时，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)．
当x∈[－3，－1]时，f(x)为减函数；
当x∈[－1，＋∞)时，f(x)为增函数，
所以f(x)在x＝－1时取得极小值．因此a＝2，b＝9.一、选择题
1．若函数y＝f(x)是定义在R上的可导函数，则f′(x)＝0是x0为函数y＝f(x)的极值点的 ( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] B
[解析] 如y＝x3，y′＝3x2，y′|x＝0＝0，但x＝0不是函数y＝x3的极值点．
[答案] A3．函数y＝x3＋1 的极大值是 ( )
A．1 B．0
C．2 D．不存在
[答案] D
[解析] ∵y′＝3x2≥0在R上恒成立，
∴函数y＝x3＋1在R上是单调增函数，
∴函数y＝x3＋1无极值．4．y＝f(x)＝2x3－3x2＋a的极大值是6，那么a等于
( )
A．6 B．0
C．5 D．1
[答案] A
[解析] f′(x)＝6x2－6x，令f′(x)＝0，得6x2－6x＝0，
解得x＝0或1.且易知x＝0是极大值点．
∴f(0)＝a＝6.
[答案] 36．函数y＝x·ex的最小值为________．
[解析] 设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(d≠0)，因为其图象关于原点对称，即f(－x)＝－f(x)，得ax3＋bx2＋cx＋d＝ax3－bx2＋cx－d，
∴b＝0，d＝0，即f(x)＝ax3＋cx.
由f′(x)＝3ax2＋c，课件47张PPT。3．4 生活中的优化问题举例
1．知识与技能
了解导数在实际问题中的应用，对给出的实际问题，如使利润最大、效率最高、用料最省等问题，体会导数在解决实际问题中的作用．
2．过程与方法
能利用导数求出某些特殊问题的最值．本节重点：利用导数知识解决实际中的最优化问题．
本节难点：将实际问题转化为数学问题，建立函数模型．
解决最优化问题的关键是建立函数模型，因此需先审清题意，细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的因变量y与自变量x，把实际问题化为数学问题，即列出函数关系式y＝f(x)，根据实际问题确定y＝f(x)的定义域．解应用题的思路和方法
解应用题首先要在阅读材料、理解题意的基础上把实际问题抽象成数学问题，就是从实际问题出发，抽象概括，利用数学知识建立相应的数学模型，再利用数学知识对数学模型进行分析、研究，得到数学结论，然后再把数学结论返回到实际问题中去，其思路如下：(1)审题：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，找出问题的主要关系；
(2)建模：将文字语言转化成数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
(3)解模：把数学问题化归为常规问题，选择合适的数学方法求解；
(4)对结果进行验证评估，定性定量分析，做出正确的判断，确定其答案．
注意：实际应用中，准确地列出函数解析式并确定函数定义域是关键．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为 ．优化问题
[例1] 在边长为60cm的正方形铁片的四角上切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？[解析] 设箱高为xcm，则箱底边长为(60－2x)cm，则得箱子容积V是x的函数，
V(x)＝(60－2x)2·x(0＝4x3－240x2＋3600x.
∴V′(x)＝12x2－480x＋3600，
令V′(x)＝0，得x＝10，或x＝30(舍去)
当00，
当10∴当x＝10时，V(x)取极大值，这个极大值就是V(x)的最大值V(10)＝16000(cm3)答：当箱子的高为10cm，底面边长为40cm时，箱子的体积最大，最大容积为16000cm3.
[点评] 在解决实际应用问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只需根据实际意义判定是最大值还是最小值．不必再与端点的函数值进行比较．
已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y＝4－x2在x轴上方的曲线上，求这个矩形面积最大时的长和宽．
[解析] 如图所示，设出AD的长，进而求出AB，表示出面积S，然后利用导数求最值．
设AD＝2x(0则AB＝y＝4－x2，
则矩形面积为
S＝2x(4－x2)(0即S＝8x－2x3，
[例2] 将一段长为100cm的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆，问如何截法使正方形与圆面积之和最小？[点评] 该题中涉及的量较多，一定要通过建立各个量之间的关系，通过消元法达到建立函数关系式的目的．
已知圆柱的表面积为定值S，求当圆柱的容积V最大时圆柱的高h的值．
[例3] 某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5000辆，本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x(0[解析] (1)由题意得：本年度每辆车的投入成本为10×(1＋x)；出厂价为13×(1＋0.7x)，年销售量为5000×(1＋0.4x)．因此本年度的年利润为：
p＝[13×(1＋0.7x)－10×(1＋x)]×5000×(1＋0.4x)＝(3－0.9x)×5000×(1＋0.4x)＝－1800x2＋1500x＋15000(0(1)写出该厂的日盈利额T(元)用日产量x(件)表示的函数关系式；
(2)为获最大日盈利，该厂的日产量应定为多少件？
[例4] 甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元．
(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域；
(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？一、选择题
1．三次函数当x＝1时，有极大值4；当x＝3时，有极小值0，且函数过原点，则此函数是 ( )
A．y＝x3＋6x2＋9x
B．y＝x3－6x2＋9x
C．y＝x3－6x2－9x
D．y＝x3＋6x2－9x
[答案] B
[答案] A
[解析] f′(x)＝3x2－3b＝3(x2－b)，令f′(x)＝0，即x2－b＝0，[答案] D
[答案] C二、填空题
5．面积为S的一切矩形中，其周长最小的是________．故面积为S的一切矩形中，其周长最小的是以为边长的正方形．6．函数f(x)＝x2(2－x)的单调递减区间是________．三、解答题
7．用边长为120cm的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接成水箱．问：水箱底边的长取多少时，水箱容积最大？最大容积是多少？令V′(x)＝0得，x＝0(舍)或x＝80.
当x在(0,120)内变化时，导数V′(x)的正负如下表：
答：水箱底边长取80cm时，容积最大，最大容积为128000cm3.课件28张PPT。章末归纳总结导数是在函数极限的基础上发展起来的研究变量的一门科学．它是研究函数、解决实际问题的有力工具．
如求曲线的切线方程，函数的单调区间，函数的最值以及有关的实际问题．熟练记忆基本导数公式和函数的求导法则，是正确进行导数运算的基础．
掌握导数运算在判断函数的单调性，求函数的极大(小)值中的应用，尤其要重视导数运算在实际问题中的最大(小)值问题中的作用．
通过本章的学习，深刻体会导数的思想和丰富的内涵，感受导数在解决实际问题中的应用．
[例1] 求下列函数的导数
(1)y＝2tanx＋3cotx
(2)y＝x·ex＋lnx
[点评] 对于复杂函数的导数，可先化成基本初等函数，然后利用运算法则求导计算.
由于函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，其切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．因此关于曲线的切线问题可尝试用导数的方法解决．
[分析] 因为切线与直线y＝－2x＋3垂直，可知其斜率，进而可由导数求出切点的横坐标．
[点评] 根据导数的几何意义知，函数的导数就是曲线在该点的切线斜率，利用斜率求出切点的坐标，再由点斜式求出切线方程.
∴函数在(－∞，3)上是增函数．
当x∈(3，＋∞)时，y′<0.函数是减函数．
[例5] 已知f(x)＝ax3＋cx＋d(a≠0)是R上的奇函数，当x＝1时f(x)取得极值－2.
(1)求f(x)的单调区间和极大值；
(2)证明对任意x1、x2∈(－1,1)，不等式|f(x1)－f(x2)|<4恒成立．
[解析] (1)解：由函数的定义，应有f(－x)＝－f(x)，x∈R，即－ax3－cx＋d＝－ax3－cx－d，∴d＝0.
因此f(x)＝ax3＋cx，f′(x)＝3ax2＋c.
由条件f(1)＝－2为f(x)的极值，必有f′(1)＝0，
故a＋c＝－2,3a＋c＝0.
∴a＝1，c＝－3.因此f(x)＝x3－3x，
f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，
f′(－1)＝f′(1)＝0.
当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0，故f(x)在(－∞，－1)上为增函数；当x∈(－1,1)时，f′(x)<0，故f(x)在(－1,1)上是减函数；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(1，＋∞)上是增函数．所以f(x)在x＝－1处取得极大值，极大值为f(－1)＝－2.(2)证明：由(1)知，f(x)＝x3－3x(x∈[－1,1])是减函数，且f(x)在[－1,1]上的最大值M＝f(－1)＝2，f(x)在[－1,1]上的最小值m＝f(1)＝－2，
∴对任意的x1、x2∈(－1,1)，恒有|f(x1)－f(x2)|要证不等式f(x)>g(x)，则构造函数φ(x)＝f(x)－g(x)．
只需证φ(x)>0，由此转化成求φ(x)最小值问题，借助于导数解决．
[分析] 可利用构造函数求极值的方法予以证明，同时要注意到题中x>0这一隐含条件．[点评] 如果连续函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个导数为零的点，且在该点取得极大(小)值，那么这个极大(小)值就是最大(小)值.
[例7] 用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．
[分析] 应先理解题意把实际问题转化成求函数的最值问题，然后利用导数求最值．
由题意知x>0，x＋0.5>0，且3.2－2x>0.
∴0设容器的容积为Vm3，则有V＝x(x＋0.5)(3.2－2x)(0∴V＝－2x3＋2.2x2＋1.6x(0∴V′＝－6x2＋4.4x＋1.6.
令V′＝0，有15x2－11x－4＝0，[点评] 解决实际应用问题的关键在于建立数学模型和目标函数，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题，再化归为常规问题，选择适当的方法求解．
