课件38张PPT。 选修1－1●课程目标
1．双基目标
(1)了解命题的概念，会判断命题的真假．
(2)理解全称量词、存在量词，会用符号语言表示全称命题、存在性命题，并能判断全称命题、存在性命题的真假．
(3)了解逻辑联结词“且”、“或”、“非”的含义，能够判断命题“p且q”、“p或q”、“非p”的真假．
(4)能够对含有一个量词的命题进行正确的否定．
(5)理解充分条件、必要条件、充要条件的意义．(6)会判断所给定的两个命题间的条件关系．
(7)了解命题的逆命题、否命题、逆否命题，能写出原命题的其他三种命题．
(8)能够利用命题的相互关系判定命题的真假．
(9)掌握反证法这一重要的数学方法，它从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而肯定命题的结论．
2．情感目标
(1)通过学习常用逻辑用语及其符号表达方式，提高逻辑分析、数学表达和逻辑思维能力．
(2)通过本章的学习体会数学的美，养成一丝不苟，追求完美的科学态度．
(3)通过本章的学习，体会用对立统一的思想认识数学问题，培养学生辩证唯物主义思想方法．
●重点难点
本章重点：命题与量词；基本逻辑联结词“或”“且”“非”；充分条件、必要条件与命题四种形式之间的逻辑关系．
本章难点：对一些代数命题真假的判定和对全称命题和存在性命题的否定．
●学法探究
常用逻辑用语是中学数学中最基本、应用非常广泛的基础知识，是研究数学问题、进行数学思维的基本工具，学习本章要认真理解，反复推敲全称命题与存在性命题的差异，理解命题的结构形式及逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义，掌握四种命题之间的内在联系，通过具体实例区别充分条件、必要条件及充要条件，在此基础上把握集合关系与各种条件的内在联系．
1．1 命题与量词
1．知识与技能
了解命题的概念，并能判断命题的真假．
2．过程与方法
通过生活与数学中的丰富实例，了解命题的概念．
3．情感态度与价值观
学会判断命题的真假，培养学生学习数学的兴趣．
本节重点：了解命题的定义．
本节难点：判定一个句子是不是命题．
要判断某个句子是否是命题，首先要看这个句子的句型．一般地，疑问句、祈使句、感叹句都不是命题．其次要看能不能判断真假，不能判断真假的语句，就不是命题．
1．命题的概念是数学中的基础概念，学习时应结合具体实例理解它的含义．可以判断真假是命题的特征．
2．一个命题要么是真的，要么是假的，但不能同时既真又假，也不能模棱两可，无法判断其真假．
3．命题的表达可以是语言、符号或式子．
1．只有那些 的语句才是命题．
2．一般可用 表示一个命题，如p、q、r…
3．按命题是否正确可将命题分为 和 ．能判断真假小写英语字母真命题假命题
[例1] 下列语句是命题的个数为 ( )
①空集是任何集合的真子集；
②x2－3x－4＝0；
③3x－2>0；
④把门关上！
⑤垂直于同一条直线的两直线必平行吗？
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个[解析] ①假命题．因为空集是空集的子集而不是真子集．
②③是开语句，不是命题．
④是祈使句，不是命题．
⑤是疑问句，不是命题．
故只有①是命题，应选A.
[说明] 首先是从句型上排除，然后再看语句能否判断真假．
判断下列语句是否是命题，并说明理由．
(1)一条直线l，不是与平面α平行就是相交．
(2)作△ABC∽△A′B′C′.
(3)这是一棵大树．
(4)等边三角形难道不是等腰三角形吗？
[解析] (1)直线l与平面α有相交、平行和在平面内三种位置关系，为假，是命题．
(2)为祈使句，不是命题．
(3)“大树”不能界定，故不能判断其真假，不是命题．
(4)用反问句对等边三角形是不是等腰三角形作出判断，为真，是命题．
[例2] 指出下列命题的条件和结论．
(1)当x＝2时，x2－3x＋2＝0.
(2)平行四边形的对角线互相平分．
[解答] (1)条件是“x＝2”，结论是“x2－3x＋2＝0”．
(2)命题可改写为：
若一个四边形为平行四边形，则它的对角线互相平分．
条件是“四边形为平行四边形”，结论是“对角线互相平分”．[规律方法] 一个命题总存在条件和结论两个部分，分清命题的条件和结论，对命题的真假判断非常关键，但是有的时候条件和结论不是很明显，这时可以把它的表述作适当的改变，写成“若p，则q”的形式，其中p为条件，q为结论．
指出下列命题的条件和结论．
(1)当abc＝0时，a＝0或b＝0或c＝0.
(2)弦的垂直平分线经过圆心，且平分弦所对的弧．
[解析] (1)条件是“abc＝0”，
结论是“a＝0或b＝0或c＝0”．
(2)若一条直线是弦的垂直平分线，则这条直线经过圆心，且平分弦所对的弧．条件是“弦的垂直平分线”，结论是“经过圆心，且平分弦所对的弧”．
一、选择题
1．下列语句中，不能成为命题的是 ( )
A．5>12
B．x>0
C．若a⊥b，则a·b＝0
D．三角形的三条中线交于一点
[答案] B
2．若A、B是两个集合，则下列命题中真命题是( )
A．如果A?B，那么A∩B＝A
B．如果A∩B＝A，那么(?UA)∩B＝?
C．如果A?B，那么A∪B＝A
D．如果A∪B＝A，那么A?B
[答案] A
[解析] 由Venn图知A项为假命题．
3．下列命题中真命题的个数为 ( )
①面积相等的三角形是全等三角形；
②若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；
③若a>b，则a＋c>b＋c；
④矩形的对角线互相垂直．
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] A[解析] “面积相等”不一定“两个三角形全等”，故①错误；
当x＝0，y≠0时，xy＝0；而|x|＋|y|≠0，故②错误；
矩形的对角线相等，但不一定垂直，故④错误；
由不等式的可加性得，若a>b，则a＋c>b＋c，
故选A.二、填空题
4．命题“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根”，条件：________，结论：________.是________命题．
[答案] 一个方程是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 它有两个不相等的实数根 假
[解析] 题意即“对任意一个一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，它都有两个不相等的实数根”．
三、解答题
5．判断下列语句是否是命题，若不是，说明理由；若是，判断命题的真假．
(1)奇数的平方仍是奇数；
(2)两对角线垂直的四边形是菱形；
(3)所有的质数都是奇数；
(4)5x>4x.
[解析] (1)是命题，而且是真命题；
(2)是假命题，如四边形ABCD，若AB＝AD≠BC＝CD时，对角线AC也垂直于对角线BD.
(3)是假命题，因为2是质数，但不是奇数．
(4)不是命题，因为x是未知数，不能判断不等式的真假．
6．判断下列语句是否是命题，若不是，说明理由；若是，判断命题的真假．
(1)x2＋x＋1>0；
(2)未来是多么美好啊！
(3)把数学课本给我带来！
(4)若x＋y是有理数，则x、y都是有理数．课件30张PPT。1．知识与技能
理解全称量词、存在量词以及全称命题、存在性命题，并能判断命题的真假．
2．过程与方法
通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义．
3．情感态度与价值观
通过本节的学习认识到两种命题在刻画现实问题、数学问题中的作用，从而激发学生的创新精神．
本节重点：理解全称量词与存在量词的概念．
本节难点：判断全称命题与存在性命题的真假．1．用集合的观点看，全称命题就是陈述某集合所有元素都具有某种性质的命题，是全体都具有的性质．而存在性命题是陈述在某集合中一些元素具有某种性质的命题，是指个体具有的性质．
2．全称命题、存在性命题就是含有全称量词、存在量词的命题，学会自然语言与符号语言的转化．
3．同一个全称命题、存在性命题，由于自然语言的不同，可以有不同的表述方法．1．短语“所有”在陈述句中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做 ，并用符号“ ”表示，含有全称量词的命题，叫做 ．
2．短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做 ，并用符号“ ”表示，含有存在量词的命题，叫做 ．
3．要判定一个全称命题为真，必须限定集合M中的每一个x验证p(x)成立，一般用代数推理的方法加以证明，要判定一个全称命题为假，只须 即可．全称量词?全称命题存在量词?存在性命题举一个反例4．要判定一个存在性命题为真，只要在限定集合M中，能够找一个x＝x0，使 成立即可．否则，这一存在性命题为假．p(x0)
[例1] 判断下列全称命题的真假：
(1)所有的质数是奇数．
(2)?x∈R，x2＋1≥0.
(3)对任何一个无理数x，x2也是无理数．
[说明] 要判定全称命题“?x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；如果在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)不成立，那么这个全称命题为假命题．
(2010·湖南文，2)下列命题中的假命题是( )
A．?x∈R，lgx＝0 B．?x∈R，tanx＝1
C．?x∈R，x3＞0 D．?x∈R,2x＞0
[答案] C
[解析] 本题主要考查全称命题和存在性命题真假的判断．
对于选项C，?x∈R，x3≥0，故C是假命题.
[例2] 判定下列存在性命题的真假：
(1)存在一个实数x，使x2＋x＋1＝0.
(2)存在两条相交直线垂直于同一平面．
(3)存在相似三角形对应边相等．(2)假．因为垂直于同一平面的两直线平行，所以不存在两条相交直线垂直于同一平面．
(3)真．因为全等三角形一定是相似三角形，所以当两个相似三角形是全等三角形时对应边相等．
[说明] 要判定一个存在性命题“?x∈M，p(x)”是真命题，只需在集合M中找一个元素x0，使p(x0)成立即可，如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，那么这个存在性命题为假命题．
判断下列存在性命题的真假．
(1)?x∈Z，x3<1；
(2)?x∈Q，x2＝5.
[解析] (1)由于－1∈Z，当x＝－1时，能使x3<1成立．所以命题“?x∈Z，x3<1”是真命题．[例3] 试用不同的表述写出全称命题“矩形都是平行四边形．”
[解析] 对所有的矩形x，x都是平行四边形；
对一切矩形x，x都是平行四边形；
每一个矩形x都是平行四边形；
任一个矩形x都是平行四边形；
凡是矩形x都是平行四边形．
设集合S＝{矩形}，p(x)：“x是平行四边形”．则命题为“?x∈S，p(x)”．[规律方法] 同一个全称命题或存在性命题，由于自然语言的不同，可以有不同的表述方法．现列表总结于下，在实际应用中可以灵活地选择.
设集合S＝{三角形}，p(x)：“内角和为180°”．试用不同的表述写出全称命题“?x∈S，p(x)”．
[解析] 对所有的三角形x，x的内角和为180°；
对一切三角形x，x的内角和为180°；
每一个三角形x的内角和为180°；
任一个三角形x的内角和为180°；
凡是三角形，它的内角和为180°.
一、选择题
1．下列命题中是存在性命题的是 ( )
A．?x∈R，x2≥0
B．?x∈R，x2<0
C．平行四边形的对边不平行
D．矩形的任一组对边都不相等
[答案] B
2．下列全称命题中真命题的个数为 ( )
①末位是0的整数，可以被2整除．
②角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
③正四面体中两侧面的夹角相等．
A．1 B．2
C．3 D．0
[答案] C3．在下列存在性命题中假命题的个数是( )
①有的实数是无限不循环小数
②有些三角形不是等腰三角形
③有的菱形是正方形
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] A
[解析] 因为三个命题都是真命题，所以假命题的个数为0.
4．下列命题中是真命题的是 ( )
A．?x∈R，x2＋1<0
B．?x∈Z,3x＋1是整数
C．?x∈R，|x|>3
D．?x∈Q，x2∈Z
[答案] B
[解析] 当x＝1时，3x＋1＝4是整数，故选B. 二、填空题
5．给出下列命题：
①所有的单位向量都相等；
②对任意实数x，均有x2＋2>x；
③不存在实数x，使x2＋2x＋3<0.
其中所有正确命题的序号为________．
[答案] ②③三、解答题
6．用符号“?”与“?”表示下列命题，并判断真假．
(1)不论m取什么实数，方程x2＋x－m＝0必有实根；
(2)存在一个实数x，使x2＋x＋4≤0.
[解析] (1)?m∈R，方程x2＋x－m＝0必有实根．
当m＝－1时，方程无实根，是假命题．
(2)?x∈R，使x2＋x＋4≤0，课件30张PPT。 1．2 基本逻辑联结词
1．知识与技能
了解含有“且”“或”的新命题的含义，能判断复合命题的真假．
2．过程与方法
通过学习，体会命题间的逻辑关系．
3．情感态度与价值观
通过学习，让学生体会探索的乐趣，培养学生的创新意识．本节重点：理解“且”、“或”的含义，并会判断由其组成的复合命题的真假．
本节难点：对“或”的含义的理解．
1．逻辑联结词“且”与自然语言中的“并且”“和”相当．“或”与自然语言中的“或者”“可能”相当，但自然语言中的“或者”有两种用法：一是“不可兼”的“或”；二是“可兼”的“或”，而我们仅研究可兼“或”在数学中的含义．“非”与日常生活中的“不是”“全盘否定”“问题的反面”相近．而“非”命题，就是对命题的否定．
2．通过实例去理解“且”“或”的含义．
1．结合例子去总结判断p∧q，p∨q形式命题的真假的规律．
2．逻辑联结词“且”、“或”与集合的交、并运算有着密切的联系，可以从集合的角度去进一步理解“且”“或”的意义．1．两种基本逻辑联结词．
(1)“且”
逻辑联结词“且”与日常语言中的 相当．
(2)“或”
逻辑联结词“或”的意义和日常语言中的“ ”是相当的．
2．由“且”与“或”构成的新命题的写法及读法．
(1)利用逻辑联结词“且”把命题p和q联结起来，就得到一个新命题，记作 ，读作“ ”．并且、及、和或者p∧qp且q(2)用逻辑联结词“或”把命题p，q联结起来，就得到一个新命题，记作 ，读作“ ”．
3．含有逻辑联结词“且”与“或”的命题的真假规律(真值表)：p∨qp或q(2)p:N?Z q:{0}?N
(3)p:35是15的倍数 q:35是7的倍数
(2)p∧q?N?Z且{0}?N，
p∨q?N?Z或{0}?N.(3)p∧q?35是15的倍数且是7的倍数，
p∨q?35是15的倍数或是7的倍数．
[说明] 解答这类题目的关键是要正确地使用联结词，并注意语法上的要求.
[例2] 判断下列命题的真假．
(1)2≤2.
(2)等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边．
[解析] (1)命题2≤2是由命题p?2＝2，q?2<2用逻辑联结词“或”联结后构成的新命题，即p∨q，因为命题p是真命题，∴命题p∨q是真命题．
(2)这个命题是“p∧q”的形式，其中p?等腰三角形顶角的平分线平分底边，q?等腰三角形顶角的平分线垂直于底边．
因p真q真，则“p∧q”真，所以该命题是真命题．
分别指出由下列各组命题构成的“p且q”“p或q”形式的新命题的真假．
(1)p：A?A，q：A∩A＝A.
(2)p：函数y＝x2＋3x＋4的图象与x轴有公共点，q：方程x2＋3x－4＝0没有实根．
[解析] (1)∵p真q真，∴“p∨q”为真，“p∧q”为真．
(2)∵p假q假，∴“p∨q”为假，“p∧q”为假．
[例3] 已知c>0，设p：函数y＝cx在R上递减；q：不等式x＋|x－2c|>1的解集为R，如果“p或q”为真，且“p且q”为假，求c的范围．
[解析] p：函数y＝cx在R上为减函数，
所以0
q：不等式x＋|x－2c|>1的解集为R.[说明] 本题以函数为载体将函数、不等式、简易逻辑有机地结合在一起，要求c的范围，可先由条件p、q分别求出c的范围；然后利用“p或q”为真，且“p且q”为假，确定c的范围．
已知p?方程x2－mx＋m＋3＝0有两个不等的负根，q?x2＋2(m－2)x－3m＋24＝0无实根，若p∨q为真，p∧q为假．求实数m的取值范围．
[解析] 当p为真命题时，当q为真命题时，有Δ＝[2(m－2)]2－4(－3m＋24)<0，
即m2－4m＋4＋3m－24<0?m2－m－20<0?－4∵p∨q为真，p∧q为假，
∴p与q中有一真命题，一假命题，即p真q假或p假q真．一、选择题
1．命题“x＝±1是方程|x|＝1的解”中，使用逻辑联结词的情况是 ( )
A．没有使用逻辑联结词
B．使用了逻辑联结词“或”
C．使用了逻辑联结词“且”
D．使用了逻辑联结词“或”与“且”
[答案] B
2．以下判断正确的是 ( )
A．命题p是真命题时，命题“p∧q”一定是真命题
B．命题“p∧q”为真命题时，命题p一定是真命题
C．命题“p∧q”为假命题时，命题p一定是假命题
D．命题p是假命题，命题“p∧q”不一定是假命题
[答案] B3．由下列各组命题构成的新命题是“p或q”“p且q”都为真命题的是 ( )
A．p：4＋4＝9，q：7>4
B．p：a∈{a，b，c}，q：{a}?{a，b，c}
C．p：15是质数，q：8是12的约数
D．p：2是偶数，q：2不是质数
[答案] B
[解析] A中p假q真，p且q为假，∴A为假．B中p真q真，∴“p或q”，“p且q”都为真命题，∴B为真．C中p假q假，∴C为假，D中p真q假，∴D为假．
二、填空题
4．已知命题p???{0}，q?{1}∈{1,2}．由它们构成的“p或q”“p且q”形式的命题中真命题有________个．
[答案] 1
5．分别用“p∧q”“p∨q”填空．
(1)命题“6是自然数且是偶数”是________形式．
(2)命题“5小于或等于7”是________形式．
(3)命题“正数或0的平方根是实数”是________形式．
[答案] (1)p∧q (2)p∨q (3)p∨q
三、解答题
6．已知命题p?0不是自然数，q?π是无理数，写出命题“p∨q”“p∧q”，并判断其真假．
[解析] p∧q?0不是自然数且π是无理数．假命题；p∨q?0不是自然数或π是无理数．真命题．课件33张PPT。1．知识与技能
(1)了解逻辑联结词“非”的意义，会写一个命题的否定命题，能判断否定命题的真假．
(2)会对含有全称量词、存在量词的全称命题，存在性命题进行否定．
2．过程与方法
(1)通过对否定命题、全称命题与存在性命题的否定的学习，体会从特殊到一般的探索性的学习方法．
(2)通过学习，体会命题间的逻辑关系．3．情感态度与价值观
通过学习，让学生体会探索的乐趣，培养学生的创新意识，提高学生的逻辑判断能力和逻辑思维能力．
本节重点：写出所给命题的否定命题，并判断真假．
本节难点：全称命题，存在性命题的否定和真假判断．
1．“非”与日常生活中的“不是”“全盘否定”“问题的反面”相近．而“非”命题，就是对命题的否定，p与?p真假相反．
2．存在性命题的否定：p：?x∈A，p(x)；?p：?x∈A，?p(x)．
全称命题的否定：p：?x∈A，p(x)；?p：?x∈A，?p(x)．
1．结合例子去判断?p形式命题的真假规律．
2．可以从集合的角度进一步理解“非”的意义．1．逻辑联结词“非”的含义：
逻辑联结词“非”(也称为“ ”)的意义是由日常语言中的“不是”、“全盘否定”、“问题的反面”等抽象而来的．
2．由逻辑联结词“非”构成的新命题的表示及读法：
对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作“ ”，读作“ ”或“p的否定”．
3．含有“非”的命题的真假判定：否定?p非p假真4.全称命题和存在性命题的否定：
(1)存在性命题p??x∈A，p(x)，它的否定是?p ．
(2)全称命题q??x∈A，q(x)．它的否定是：?p ．
5．开句(条件命题)：
的语句，通常称为开句或条件命题． ??x∈A，?p(x)??x∈A，?p(x)含有变量
[例1] 写出下列各命题的非(否定)：
(1)p?100既能被4整除，又能被5整除．
(2)q?三条直线两两相交．
(3)r?一元二次方程至多有两个解．
(4)t?2[解析] (1)?p?100不能被4整除，或不能被5整除．
(2)?q?三条直线不都两两相交．
(3)?r?一元二次方程至少有三个解．
(4)?t?x≤2或x>3.[规律方法] 1.写出命题的非(否定)，需要对其正面叙述的词语进行否定，常用正面叙述词语及它的否定列举如下：2.“p∧q”的否定是“?p∨?q”；“p∨q”的否定是“?p∧?q”．
写出下列命题的否定，并判断真假．
(1)p?y＝sinx是周期函数；
(2)p?3<2；
(3)p?空集是集合A的子集．
[解析] (1)?p?y＝sinx不是周期函数．
命题p是真命题，?p是假命题；
(2)?p?3≥2.命题p是假命题，?p是真命题；
(3)?p?空集不是集合A的子集．命题p是真命题，?p是假命题.
[例2] 写出下列命题的否定，并判断其真假：
(1)p??x∈R，x2＋2x＋1≥0；
(2)q?每一个四边形的四个顶点共圆．
[解析] (1)?p??x∈R，x2＋2x＋1<0.这是假命题，因为?x∈R，x2＋2x＋1＝(x＋1)2≥0，恒成立．
(2)?q?存在一个四边形，
它的四个顶点不共圆，真命题．
写出下列命题的否定
(1)p?所在的矩形都是平行四边形；
(2)p?能被3整除的数是奇数．
[解析] (1)?p?存在一个矩形不是平行四边形．
(2)?p?存在一个能被3整除的整数不是奇数.
[例3] 写出下列命题的否定：
(1)p??x∈R，x2＋x＋3≤0；
(2)q?有的三角形是等边三角形；
(3)r?有一个质数含有三个正因数．
[解析] (1)?p??x∈R，x2＋x＋3＝0.
(2)?q?所有的三角形都不是等边三角形．
(3)?r?每一个质数都不含三个正因数．[规律方法] 存在性命题的否定是全称命题，即“?x∈A，p(x)”的否定为“?x∈A，?p(x)”．由以上结论，可知写一个命题的否定时，首先判断该命题是“全称命题”还是“存在性命题”，要确定相应的量词，给出命题否定后，要判断与原命题是否相对应(全称命题存在性命题)，进一步判断它们的真假是否对应．
写出下列命题的否定：
(1)p?有些实数的绝对值是正数；
(2)p?某些平行四边形是菱形；
(3)p??x∈R，x3＋1<0.
[解析] (1)?p?所有实数的绝对值都不是正数．
(2)?p?每一个平行四边形都不是菱形．
(3)?p??x∈R，x3＋1≥0.
[例4] 已知全集U＝R，A?U，B?U，若命题p?a∈A∪B，则命题“非p”是 ( )
A．非p?a?A
B．非p?a∈?UB
C．非p?a?A∩B
D．非p?a∈(?UA)∩(?UB)
[解析] 由题意得非p?a?A∪B，即a∈?U(A∪B)，所以a∈(?UA)∩(?UB)．故选D.一、选择题
1．如果命题“p或q”与命题“非p”都是真命题，那么 ( )
A．命题p不一定是假命题
B．命题q一定是真命题
C．命题q不一定是真命题
D．命题p与命题q的真值相同
[答案] B
[解析] “非p”为真命题，则命题p为假，又p或q为真，则q为真，故选B.
2．若命题p：0是偶数，命题q：2是3的约数，则下列命题中为真的是 ( )
A．p且q B．p或q
C．非p D．以上都不对
[答案] B
[解析] 命题p为真，命题q为假，故p或q为真．
3．已知命题p??x∈R，使x2－3x＋3≤0，则( )
A．?p??x∈R，使x2－3x＋3>0，且?p为真
B．?p??x∈R，使x2－3x＋3>0，且?p为假
C．?p??x∈R，x2－3x＋3>0，且?p为真
D．?p??x∈R，x2－3x＋3>0，且?p为假
[答案] C
[解析] p为假命题，所以?p为真．
二、填空题
4．(2010·安徽文，11)命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是____________．
[答案] 对?x∈R，都有x2＋2x＋5≠0.
[解析] 该题考查命题的否定．注意存在性命题的否定是全称命题．5．A (A∪B)是________形式；该命题是________(填“真”“假”)命题．
[答案] ?p 假三、解答题
6．判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：
(1)三角形的内角和为180°；
(2)存在一个四边形不是平行四边形．
[解析] (1)是全称命题且为真命题．
命题的否定：三角形的内角和不全为180°，即存在一个三角形且它的内角和不等于180°.
(2)是存在性命题且为真命题．
命题的否定：所有的四边形都是平行四边形．课件41张PPT。1．3 充分条件、必要条件与命题的四种形式
1．知识与技能
(1)了解“如果是p，则q”形式的命题，并能判断命题的真假；
(2)理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；
(3)掌握充分条件、必要条件和充要条件的判定方法．
2．过程与方法
通过实例，探索充分条件、必要条件及充要条件的判定方法，学会用数学观点分析解决实际问题．
3．情感、态度与价值观
通过对“p?q”“q?p”的判断，使学生感受对立统一的思想，培养学生的辩证唯物主义观点，体会从特殊到一般的思维方法．
本节重点：充分条件、必要条件、充要条件的判定．
本节难点：判定所给条件是充分条件、必要条件，还是充要条件．本节内容比较抽象，在学习中应注意以下几个方面：
1．学习本节内容要多从分析实例入手理解概念，利用集合的观点加深理解．
2．(1)从不同角度，运用从特殊到一般的思维方法，归纳出条件与结论的推出关系，建立充分条件、必要条件的概念．
(2)要判断充分条件、必要条件，就是利用已有知识，借助代数推理的方法，判断p是否推出q，q是否推出p.
1．当命题“如果p，则q”经过推理证明断定是真命题时，我们就说由p成立可推出q成立，记作 ，读作 .
2．如果p?q，则p叫做q的 条件．
3．如果q?p，则p叫做q的 条件．
4．如果既有p?q成立，又有q?p成立，记作 ，则p叫做q的 条件．p?qp推出q充分必要p?q充要
[例1] 给出下列四组命题：
(1)p：x－2＝0；q：(x－2)(x－3)＝0.
(2)p：两个三角形相似；q：两个三角形全等．
(3)p：m<－2；q：方程x2－x－m＝0无实根．
(4)p：一个四边形是矩形；q：四边形的对角线相等．
试分别指出p是q的什么条件．[解析] (1)∵x－2＝0?(x－2)(x－3)＝0；而(x－2)(x－3)＝0? x－2＝0.
∴p是q的充分不必要条件．
(2)∵两个三角形相似? 两个三角形全等；但两个三角形全等?两个三角形相似．
∴p是q的必要不充分条件．
(3)∵m<－2?方程x2－x－m＝0无实根；方程x2－x－m＝0无实根? m<－2.
∴p是q的充分不必要条件．///(4)∵四边形是矩形?四边形的对角线相等；而四边形的对角线相等? 四边形是矩形，
∴p是q的充分不必要条件．
[规律方法] (1)判断p是q的什么条件，主要判断p?q及q?p两命题的正确性，若p?q为真，则p是q成立的充分条件，若q?p为真，则p是q成立的必要条件．
(2)注意利用“成立的证明，不成立的举反例”的数学方法技巧来作出判断．
(3)关于充要条件的判断问题，当不易判断p?q真假时，也可从集合角度入手进行判断．/A．充分非必要条件 B．充分必要条件
C．必要非充分条件 D．非充分非必要条件
[答案] A
[例2] 设命题甲为：0A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析] 解不等式|x－2|<3得－1∵0∴甲是乙的充分不必要条件，故选A./[规律方法] 一般情况下，若条件甲为x∈A，条件乙为x∈B.
当且仅当A?B时，甲为乙的充分条件；
当且仅当B?A时，甲为乙的必要条件；
当且仅当A＝B时，甲为乙的充要条件；
设集合M＝{x|x>2}，P＝{x|x<3}，那么“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的 ( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件[解析] 先分别写出适合条件的“x∈M或x∈P”和“x∈M∩P”的x的范围，再根据充要条件的有关概念进行判断．
由已知可得x∈M或x∈P即x∈R，x∈M∩P即2∴2∴“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的必要不充分条件，故应选B.
/
[例3] 证明一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
[说明] 证明充要条件问题时，要弄清条件和结论，由条件推出结论这是充分性，由结论推出条件这是必要性，避免在论证中将充分性错当必要性．
方程mx2＋(2m＋3)x＋1－m＝0有一个正根和一个负根的充要条件是什么？[例4] 已知p?x2－8x－20>0，q?x2－2x＋1－a2>0.若p是q的充分不必要条件，求正实数a的取值范围．
[解析] 解不等式x2－8x－20>0，得p?A＝{x|x>10或x<－2}．
解不等式x2－2x＋1－a2>0得
q?B＝{x|x>1＋a或x<1－a，a>0}(说明：“1＋a≤10”与“1－a≥－2”中等号不能同时取到)
解得0∴正实数a的取值范围是0(2)本例将命题p、q的关系转化为集合A、B之间的包含关系，体现了转化与化归的思想，在确定A?B后有时需要对A是否非空进行讨论，体现了分类讨论思想，但本题集合A是确定的不需讨论．
本例若改为已知p?x2－8x－20≤0，q?x2－2x＋1－a2≤0，若p是q的必要不充分条件，求正实数a的取值范围．
[解析] 解不等式x2－8x－20≤0，得p?A＝{x|－2≤x≤10}，
解不等式x2－2x＋1－a2≤0，
得q?B＝{x|1－a≤x≤1＋a，a>0}．
依题意q?p，但是p不能推出q，说明B A，∴0∴正实数a的取值范围0A．a<0 B．a>0
C．a<－1 D．a<1[辨析] 知识点掌握的不够牢固，不够熟练，一般会出现这种问题．充分不必要条件和必要不充分条件的应用在解题时往往易产生混淆性错误，出错原因有两个：①对定义理解不够深刻．比如说：p是q的充分条件，我们也可以说成q是p的必要条件．它们都是表述相同的关系，只是换个说法而已；②对数学中的文字语言把握不准确．比如说：p是q的充分条件，我们也可以说成q的充分条件是p.根据经验，有的同学对后一种说法不注意或不理解．在解题中，同学们一方面只要牢牢抓住我们的记忆口诀“推出”即“充分”，“被推出”即“必要”，“推不出”就是“不充分”，“不被推出”就是“不必要”就可解决第一个错因；另一方面，在解题中，把题目所给出的形式还原成定义形式(p是q的××条件)可豁然开朗．
一、选择题
1．(2009·安徽文，4)“a＋c>b＋d”是“a>b且c>d”的 ( )
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] 本题考查不等式的性质及充分条件、必要条件的概念．
如a＝1，c＝3，b＝2，d＝1时，a＋c>b＋d，
但ab＋d”?/ “a>b且c>d”，由不等式的性质可知，a>b且c>d，则a＋c>b＋d，
∴“a＋c>b＋d”是“a>b且c>d”的必要不充分条件．
[答案] D
[解析] 由N?M?M∩N＝N成立；
由M∩N＝N?N?M成立．[答案] C
[解析] x＝－1、3、5时，2x2－5x－3≥0成立，而2x2－5x－3≥0成立，x不一定等于－1、3、5.二、填空题
4．命题p：x1、x2是方程x2＋5x－6＝0的两根，命题q：x1＋x2＝－5，那么命题p是命题q的________条件．
[答案] 充分不必要条件
[解析] ∵x1、x2是方程x2＋5x－6＝0的两根，
∴x1＋x2＝－5.
5．(a－1)(b＋2)＝0的________条件是a＝1.
[答案] 充分不必要三、解答题
6．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
[证明] 必要性：∵方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，
∴x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0，
∴a·12＋b·1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.
充分性：∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0中可得ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)(ax＋a＋b)＝0.故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1.
综上所述：原命题成立．课件38张PPT。1．知识与技能
通过本节的学习，了解命题的四种形式及其关系，利用原命题与逆否命题，逆命题与否命题之间的等价性解决有关问题．
2．过程与方法
通过实例，让学生去发现四种命题形式间的逻辑关系，并能用命题间的关系去验证某些命题．
3．情感、态度与价值观
在学习过程中，让学生通过具体的命题，经过归纳，初步的解释说明，感受探索的乐趣．
本节重点：会分析四种命题的相互关系．
本节难点：正确区分原命题的否命题与命题的否定．1．要通过实例去发现四种命题间的关系，并能用命题间的关系去验证写出的命题是否正确．
2．要注意否命题与命题的否定是不同的．
例如：原命题“若∠A＝∠B，则a＝b”的否命题是“若∠A≠∠B，则a≠b”，而原命题的否定是“若∠A＝∠B，则a≠b”．通过实例真正弄清一个命题的否命题与它的否定的本质区别：否命题是既否定条件又否定结论；命题的否定是只否定结论不否定条件．
3．当原命题不易证明时，可利用两个互为逆否命题间的等效性转化为证明其逆否命题．1．四种命题的概念
把命题“如果p，则q”看作原命题，则它的
①逆命题是“ ”；
②否命题是“ ”；
③逆否命题是“ ”．
2．四种命题间的关系如果q，则p如果非p，则非q如果非q，则非p3．四种命题的真假性关系
(1)在原命题的逆命题、否命题、逆否命题中，一定与原命题真假性相同的是 ．
(2)两个命题互为逆命题或互为否命题时，它们的真假性 ．
逆否命题没有关系
[例1] 把命题“平行于同一条直线的两条直线平行”改写成“如果p，则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．
[解析] 原命题：如果两条直线平行于同一条直线，则这两条直线平行．真命题．
逆命题：如果两条直线平行，则这两条直线平行于同一条直线．真命题．
否命题：如果两条直线不平行于同一条直线，则这两条直线不平行．真命题．逆否命题：如果说两条直线不平行，则这两条直线不平行于同一条直线．真命题．
写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假：
(1)实数的平方是非负数；
(2)若q≤1，则方程x2＋2x＋q＝0有实根．
[解析] (1)逆命题：如果一个数的平方是非负数，则这个数是实数．真命题．
否命题：如果一个数不是实数，则它的平方不是非负数．真命题．
逆否命题：如果一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数．真命题．(2)逆命题：若方程x2＋2x＋q＝0有实根，则q≤1，为真命题．
否命题：若q>1，则方程x2＋2x＋q＝0无实根，真命题．
逆否命题：若方程x2＋2x＋q＝0无实根，则q>1，真命题.
[例2] 写出下列命题的否命题及命题的否定形式，并判断真假．
(1)若m>0，则关于x的方程x2＋x－m＝0有实根．
(2)若x、y都是奇数，则x＋y是奇数．
(3)若abc＝0，则a、b、c中至少有一个为0.[解析] (1)否命题：若m≤0，则关于x的方程x2＋x－m＝0无实根．(假命题)
命题的否定：若m>0，则关于x的方程x2＋x－m＝0无实根．(假命题)
(2)否命题：若x、y不都是奇数，则x＋y不是奇数．(假命题)
命题的否定：若x、y都是奇数，则x＋y不是奇数．(真命题)
(3)否命题：若abc≠0，则a、b、c全不为0.(真命题)
命题的否定：若abc＝0，则a、b、c全不为0.(假命题)[说明] 命题的否定形式及否命题是两个不同的概念，要注意区别，不能混淆．从形式上看，否命题既否定条件，又否定结论，而命题的否定，条件不变，只否定结论．
有下列四个命题：
(1)“若x＋y＝0，则x、y互为相反数”的否命题；
(2)“若a>b，则a2>b2”的逆否命题；
(3)“若x≤－3，则x2－x－6>0”的否命题；
(4)“对顶角相等”的逆命题．
其中真命题的个数是 ( )
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] B[解析] (1)“若x＋y≠0，则x、y不是相反数”是真命题．
(2)“若a2≤b2，则a≤b”，取a＝－1，b＝0，因为ab2，故是假命题．
(3)“若x>－3，则x2－x－6≤0”，解不等式x2－x－6≤0可得－2≤x≤3，而x＝4>－3，不是不等式的解，故是假命题．
(4)“相等的角是对顶角”是假命题．故选B.[例3] 已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，a、b∈R，对命题“若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”．
(1)写出其逆命题，判断其真假，并证明你的结论；
(2)写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．(2)逆否命题是：若f(a)＋f(b)因为a＋b≥0，所以a≥－b，b≥－a.因为f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，所以f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)，所以f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，故原命题为真．所以逆否命题为真．
[说明] 当证明一个命题的真假发生困难时，通常转化为判断它的逆否命题的真假．
判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．
[解析] 原命题的逆否命题：已知a，x为实数，若a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．
判断真假如下：
抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2开口向上，
判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7.因为a<1，所以4a－7<0.
即抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2与x轴无交点．
所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．故原命题的逆否命题为真．
/ / /
一、选择题
1．若x2＝1，则x＝1的否命题为 ( )
A．若x2≠1，则x＝1 B．若x2＝1，则x≠1
C．若x2≠1，则x≠1 D．若x≠1，则x2≠1
[答案] C
[解析] 一个命题的否命题，既否定条件，又否定结论，而一个命题的否定形式，只否定结论，不否定条件．2．(2009·重庆文，2)命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是 ( )
A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”
B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”
C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”
D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”
[答案] B
[解析] 考查命题与它的逆命题之间的关系．
原命题与它的逆命题的条件与结论互换，故选B.3．给出命题“a，b，c，d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d”，对其原命题、逆命题、否命题、逆否命题而言，真命题的是 ( )
A．0个 B．2个
C．3个 D．4个
[答案] B
[解析] ∵a，b，c，d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d是真命题，若a＋c＝b＋d不能推出a＝b，c＝d，所以逆命题是假命题．根据四种命题之间的关系，否命题是假命题，逆否命题是真命题，∴选B.二、填空题
4．设有两个命题：
(1)关于x的不等式mx2＋1>0的解集是R；
(2)函数f(x)＝logmx是减函数．
如果这两个命题中有且只有一个真命题，则实数m的取值范围是________．
[答案] m≥1或m＝0
[解析] 命题p：关于x的不等式mx2＋1>0的解集是R，m≥0；命题q：函数f(x)＝logmx是减函数，0p假：m<0；q假：m≥1或m≤0.
p真q假：m≥1或m＝0；
p假q真：无解．
综上所述，m的取值范围是：m≥1或m＝0.
5．命题“若ab＝0，则a＝0或b＝0”的逆否命题是____________________．
[答案] 若a≠0且b≠0，则ab≠0三、解答题
6．把命题“全等三角形的面积相等”改写成“若p，则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题与逆否命题．
[解析] “若p，则q”的形式：
若两个三角形全等，则它们的面积相等．
逆命题：若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等．
否命题：若两个三角形不全等，则它们的面积不相等．
逆否命题：若两个三角形的面积不相等，则这两个三角形不全等．课件26张PPT。章末归纳总结1．学习命题，首先根据能否判断语句的真假看是否是命题，然后再根据命题中是否含有量词和含有什么量词区别全称命题与存在性命题．
2．准确分析命题的构成和理解“或”、“且”、“非”的含义是学习命题的关键．
3．充要条件的判断是通过判断命题“若p则q”的真假来判断的．因此，充要条件与命题的四种形式之间的关系密切，可相互转化．4．判断充要条件的方法有定义法、集合关系法、四种命题法、箭头图法等．
充分、必要条件问题涉及的知识面广，要求考生不仅要深刻理解充分、必要条件的概念，而且要熟知问题中所涉及到的知识点和有关概念．
等价变换是判断充分、必要条件的重要手段之一，特别是对于否定形式的命题，常通过它的等价命题，即逆否命题来考查条件与结论间的充分、必要条件．
命题及其逆命题、否命题、逆否命题之间的关系是本章重点内容之一，也是全面分析与理解命题内涵的重要工具，在近年来的高考中时有涉及．有时作为叙述考题的工具，有时考查命题结构的变化，更多的时候是利用其等价关系(原命题与逆否命题，逆命题与否命题)判断命题真假或进行证明．
[例1] 给出命题：“已知a、b、c、d为实数，若a≠b且c≠d，则a＋c≠b＋d”，对原命题、逆命题、否命题、逆否命题而言，其中真命题的个数有 ( )
A．0 B．1 C．2 D．4
[解析] 原命题为假命题．如3≠5,4≠2，但3＋4＝5＋2.逆命题为“a＋c≠b＋d，则a≠b且c≠d”也是假命题．如3＋4≠3＋5中a＝b＝3，c＝4≠d＝5.由原命题与其逆否命题等价，逆命题与其否命题等价知逆否命题和否命题都为假命题．故选A.
[答案] A
(2008·山东)给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是 ( )
A．3 B．2
C．1 D．0
[解析] 本小题主要考查四种命题的真假．易知原命题是真命题，则其逆否命题也是真命题，而逆命题、否命题是假命题．故它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题有一个．
[答案] C
命题真假的判断是本章的重点内容，也是高考中的一种常见题型，一般在选择题或填空题中出现．多数与函数、向量、空间线面间的位置关系等其他部分的知识相结合进行考查，以命题的真假的判断方法为载体，综合考查数学中的重要知识点．在解决此类问题时，如果说明一个命题不正确，往往举一个反例说明即可．而要说明为真命题则需要有具体的依据或证明方法．[例2] 给出下列四个命题：
①垂直于同一直线的两条直线互相平行；
②垂直于同一平面的两个平面互相平行；
③若直线l1，l2与同一平面所成的角相等，则l1，l2互相平行；
④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2相交的两条直线是异面直线．
其中假命题的个数是 ( )
A．1 B．2
C．3 D．4[解析] 利用特殊图形—正方形不难发现①②③④均不正确．
[答案] D
A．0 B．1
C．2 D．3
[解析] 由已知条件容易判断命题p为假，命题q为真，再由简单命题及复合命题的真假关系可知①p或q为真，②p且q为假，③?p为真，④?q为假．
[答案] C
(2008·广东)已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是 ( )
A．(綈p)∨q B．p∧q
C．(綈p)∨(綈q) D．(綈p)∧(綈q)
[解析] 不难判断p为真命题，命题q为假命题，从而四个选项中只有(?p)∨(?q)为真命题．
[答案] C
有关充分条件和必要条件的判断是高中数学的一个重点，与命题判断一样，也贯穿于整个高中数学的始终，与函数、不等式等重要知识点联系密切，是历年高考的热点．
命题A和B(有时也称题设A和B)的条件关系通常有四类：
(1)充分不必要条件：若A?B，且B?/ A，则称A是B的充分不必要条件；
(2)必要不充分条件：若A?/ B，且B?A，则称A是B的必要不充分条件； (3)充要条件：若A?B且B?A，则称A是B的充要条件；
(4)既不充分也不必要条件：若A?/ B，且B?/ A，则称A是B的既不充分也不必要条件．
对充要条件问题的判断，有时候还可以利用命题与其逆命题的真假来判断：若原命题正确而其逆命题不正确，则为充分不必要条件；若原命题不正确而逆命题正确，则为必要不充分条件；若原命题正确逆命题也正确，则为充要条件；若原命题和逆命题都不正确，则为既不充分也不必要条件．
[例4] “等式sin(α＋γ)＝sin2β成立”是“α、β、γ成等差数列”的 ( )
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件[解析] 若等式sin(α＋γ)＝sin2β成立，则α＋γ＝kπ＋(－1)k·2β，此时α、β、γ不一定成等差数列，若α、β、γ成等差数列，则2β＝α＋γ，等式sin(α＋γ)＝sin2β成立，所以“等式sin(α＋γ)＝sin2β成立”是“α、β、γ成等差数列”的必要不充分条件．
[答案] AA．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件∴0∴xsin2x则x·sinx<1?x·sin2x<1成立，故选B.
[答案] B这一部分为新增内容，为体现新课标精神，高考中一定会考查，多以选择题、填空题的形式出现，解答题可与函数、方程相结合．
[例5] 已知命题p??x∈R，使tanx＝1，命题q?x2－3x＋2<0的解集是{x|1A．②③ B．①②④
C．①③④ D．①②③④由x2－3x＋2<0得1∴p∧q为真，p∧?q为假，?p∨q为真，?p∨?q为假．
[答案] D(2)存在实数x，使x≥4，或x2＋5x≠24，真命题．
(3)对实数x，若x2－6x－7＝0，则x2－6x－7<0，假命题．
[说明] 命题与命题的否定真假性相反．课件54张PPT。●课程目标
1．双基目标
(1)掌握椭圆的定义，椭圆标准方程的两种形式及其推导过程．
(2)能够根据条件确定椭圆的标准方程，会运用待定系数法求椭圆的标准方程．
(3)掌握椭圆的几何性质，掌握标准方程中的a、b、c、e的几何意义，以及a、b、c、e之间的相互关系．
(4)了解双曲线的定义，并能根据双曲线定义恰当地选择坐标系，建立及推导双曲线的标准方程． (5)会用待定系数法求双曲线标准方程中的a、b、c，能根据条件确定双曲线的标准方程．
(6)使学生了解双曲线的几何性质，能够运用双曲线的标准方程讨论它的几何性质，能够确定双曲线的形状特征．
(7)了解抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程，能根据条件确定抛物线的标准方程．
(8)了解抛物线的几何性质，能运用抛物线的标准方程推导出它的几何性质，同时掌握抛物线的简单画法．(9)通过抛物线四种不同形式标准方程的对比，培养学生分析归纳能力．
(10)通过根据圆锥曲线的标准方程研究其几何性质的讨论，加深曲线与方程关系的理解，同时提高分析问题和解决问题的能力，培养学生的数形结合、方程思想及等价转化思想．
(11)能够利用圆锥曲线的有关知识解决与圆锥曲线有关的简单实际应用问题．2．情感目标
通过对椭圆、双曲线、抛物线概念的引入教学，培养学生的观察能力和探索能力，通过画圆锥曲线的几何图形，让学生感知几何图形的曲线美、简洁美、对称美，培养学生学习数学的兴趣，通过圆锥曲线的统一性的研究，对学生进行运动、变化、对立、统一的辩证唯物主义思想教育．●重点难点
本章重点：椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程和几何性质．
本章难点：求椭圆、双曲线、抛物线的方程，及几何性质的应用，以及坐标法．
●学法探究
圆锥曲线可以看成是符合某种条件的点的轨迹，在本章中通过坐标法，运用代数工具研究曲线问题体现得最突出，它把数学的两个基本对象——形与数有机地联系起来，在学习中，要深刻领会数形结合这一重要数学方法．圆锥曲线的定义是解决圆锥曲线问题的出发点，要明确基本量a、b、c、e的相互关系、几何意义及一些概念的联系．
圆锥曲线中最值的求法有两种：(1)几何法：若题目中条件与结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形的性质来解决．(2)代数法：若题目的条件和结论能体现明确的函数关系，则可建立目标函数，再求这个函数的最值．
定点与定值问题的处理方法：(1)从特殊入手，求出定点或定值，再证明这个点(值)与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算过程消去变量，从而得到定点(定值)．2．1 圆1．知识与技能
通过本节的学习，理解并掌握椭圆的定义和标准方程，能根据条件利用待定系数法求椭圆的标准方程．
2．过程与方法
通过椭圆概念的引入与椭圆标准方程的推导过程，培养学生分析、探索问题的能力，熟练掌握解决解析几何问题的方法——坐标法．
3．情感、态度与价值观
通过椭圆定义和标准方程的学习，渗透数形结合的思想，启发学生在研究问题时，抓住问题本质，严谨细致思考，规范得出解答，体会运动变化，对立统一的思想．
本节重点：椭圆的定义和椭圆标准方程的两种形式．
本节难点：椭圆标准方程的建立和推导．1．对于椭圆定义的理解，要抓住椭圆上的点所要满足的条件，即椭圆上点的几何性质，可以对比圆的定义来理解．
2．在理解椭圆的定义时，要注意到对“常数”的限定，即常数要大于|F1F2|.这样就能避免忽略两种特殊情况，即：当常数等于|F1F2|时轨迹是一条线段；当常数小于|F1F2|时点不存在．3．观察椭圆的图形，发现椭圆有两条互相垂直的对称轴，以这两条对称轴作为坐标系的两轴建立平面直角坐标系，在方程的推导过程中遇到了无理方程的化简，这类方程的化简方法：(1)方程中只有一个根式时，需将它单独留在方程的一侧，把其他项移到另一侧；(2)方程中有两个根式时，需将它们放在方程的两侧，并使其中一侧只有一个根式．
1．平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于定长(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做 ．这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两焦点的距离|F1F2|叫做椭圆的 ．
2．在椭圆定义中，条件2a>|F1F2|不应忽视，若2a<|F1F2|，则这样的点不存在；若2a＝|F1F2|，则动点的轨迹是 ．椭圆焦距线段3．椭圆的标准方程F2(－c,0) F2(0，－c) a2－b2
[例1] 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点坐标分别是(－3,0)、(3,0)，椭圆经过点(5,0)；
(2)两个焦点坐标分别是(0,5)、(0，－5)，椭圆上一点P到两焦点的距离和为26.∴a＝5，c＝3，
∴b2＝a2－c2＝52－32＝16.
(1)如果方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是________．
[例2] 根据下列条件，求椭圆的标准方程．
2．当椭圆过两定点时，常设椭圆方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0)．将点的坐标代入解方程组求得系数．
[例3] 已知B，C是两个定点，|BC|＝6，且△ABC的周长等于16.求顶点A的轨迹方程．
[解析] 如图，建立坐标系，使x轴经过点B，C，且原点O为BC的中点，由已知|AB|＋|AC|＋|BC|＝16，由|BC|＝6，有|AB|＋|AC|＝10>6，
即点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，且2c＝6,2a＝10.
∴c＝3，a＝5，b2＝52－32＝16.
由于点A在直线BC上时，即y＝0时，A，B，C三点不能构成三角形，
已知F1、F2是两点，|F1F2|＝8，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝10，则点M的轨迹是____________．
动点M满足|MF1|＋|MF2|＝8，则点M的轨迹是__________．
[答案] 以F1、F2为焦点的椭圆 线段F1F2
[解析] 因为|F1F2|＝8且动点M满足|MF1|＋|MF2|＝10>8＝|F1F2|，
由椭圆定义知，动点M的轨迹是以F1、F2为焦点，焦距为8的椭圆．[解析] 由椭圆的定义，有
|PF1|＋|PF2|＝2a，而在△F1PF2中，由余弦定理有|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cosθ＝|F1F2|2＝4c2，
∴(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|－2|PF1|·|PF2|cosθ＝4c2，
即4a2－4c2＝2|PF1|·|PF2|(1＋cosθ)[说明] 椭圆上一点P与两焦点F1、F2构成的三角形PF1F2我们通常称其为焦点三角形，在这个三角形中，既可运用到椭圆定义，又能用到正、余弦定理．
上述解答过程中还运用了整体思想直接求出|PF1|·|PF2|，没有单独求|PF1|、|PF2|，以减少运算量．[例5] 已知F1，F2为两定点，|F1F2|＝4，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝4，则动点M的轨迹是 ( )
A．椭圆 B．直线
C．圆 D．线段
[误解] A
[辨析] 虽然动点M到定点F2，F2的距离之和为常数4，由于这个常数等于|F1F2|，所以动点M的轨迹是线段F1F2.误解中忽略了2a>|F1F2|的条件而致错．
[正解] D[辨析] 错因是没有注意椭圆的标准方程中a>b>0的条件，当a＝b时．方程并不表示椭圆，而是圆．一、选择题
1．平面上到点A(－5,0)、B(5,0)距离之和为10的点的轨迹是 ( )
A．椭圆 B．圆
C．线段 D．轨迹不存在
[答案] C
[解析] 设动点为P，由题意得|PA|＋|PB|＝10＝|AB|，∴点P的轨迹是线段AB.A．2 B．3
C．5 D．7
[答案] D
[解析] 设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，由椭圆定义知，|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，点P到另一个焦点的距离为7.3．过椭圆4x2＋y2＝1的一个焦点F1的直线与椭圆交于A、B两点，则A、B与椭圆的另一个焦点F2构成的△ABF2的周长是 ( )
A．2 B．4
[答案] B
[解析] 由△ABF2的周长为4a，又a＝1，故选B.5．已知椭圆的焦点是F1(0，－1)、F2(0,1)，P是椭圆上一点，并且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则椭圆的方程是________．三、解答题
6．求两焦点在坐标轴上，两焦点的中点为坐标原点，焦距为8，椭圆上一点到两焦点的距离之和为12的椭圆的方程．课件48张PPT。1．知识与技能
掌握椭圆的几何图形及简单几何性质，能根据这些几何性质解决一些简单问题，从而培养学生分析、归纳、推理的能力．
2．过程与方法
通过数形结合、观察分析、归纳出椭圆的几何性质，进一步体会数形结合的思想，掌握利用方程研究曲线性质的基本方法．
3．情感、态度与价值观
通过本节的学习，使学生进一步体会曲线与方程的对立关系，感受坐标法在研究几何图形中的作用．
本节重点：利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质．
本节难点：椭圆的几何性质的实际应用．1．根据曲线的方程，研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，是解析几何的基本问题之一．本节就是根据椭圆的标准方程来研究它的几何性质．其性质可分为两类：一类是与坐标系无关的本身固有性质，如长短轴长、焦距、离心率；一类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点．
2．根据椭圆几何性质解决实际问题时，关键是将实际问题转化为数学问题，建立数学模型，用代数知识解决几何问题，体现了数形结合思想、函数与方程及等价转化的数学思想方法．1．椭圆的简单几何性质－a≤x≤a且－b≤y≤b－b≤x≤b且－a≤y≤aB1(0，－b)、B2(0，b)B1(－b,0)、B2(b,0)2b2aF1(－C,0)，F2(C,0)F1(0，－C)，F2(0，C)x轴、y轴(0,0)2c(02.当椭圆的离心率越 ，则椭圆越扁；
当椭圆的离心率越 ，则椭圆越趋近于圆．趋近于1趋近于0
[例1] 求椭圆25x2＋16y2＝400的长轴和短轴的长、离心率、焦点坐标和顶点坐标．[说明] 已知椭圆的方程求其几何量时，应先将方程化成标准形式，找准a与b，才能正确地写出焦点坐标、顶点坐标等．
求椭圆4x2＋9y2＝1的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率．
[例2] 求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(2)在x轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8.如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，
∴c＝b＝4，∴a2＝b2＋c2＝32，
[例3] 已知椭圆的方程为2x2＋3y2＝m(m>0)，则此椭圆的离心率为 ( )
[答案] B
已知椭圆E的短轴长为6，焦点F到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆E的离心率等于 ( )
[答案] B
(2010·广东文，7)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 ( )
[答案] B
[例5] 已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.求椭圆的离心率的取值范围．[说明] 已知直线的斜率，常设直线的斜截式方程，已知弦的长度，考虑弦长公式列方程，求参数．[辨析] 当2>m>0时，焦点坐标在x轴上；当m>2时，焦点坐标在y轴上．一、选择题
1．椭圆的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率e为 ( )
[答案] A2．椭圆的对称轴是坐标轴，长轴长为6，焦距为4，则椭圆的方程为 ( )[答案] C
[解析] ∵长轴长为6，
∴2a＝6，a＝3，焦距2c＝4，c＝2，A．有相等的长、短轴
B．有相等的焦距
C．有相同的焦点
D．x、y有相同的取值范围
[答案] B[解析] ∵0∴25－k－9＋k＝16，
故两椭圆有相等的焦距．4．椭圆的一个顶点和两个焦点构成等腰直角三角形，则此椭圆的离心率为 ( )
[答案] C二、填空题
5．椭圆25x2＋y2＝25的长轴长为__________，短轴长为________，焦点坐标为______，离心率为________．三、解答题
∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝20.
又|PF2|＝3|PF1|，∴|PF1|＝5，|PF2|＝15.
由两点间的距离公式可得课件45张PPT。 2．2 双 曲 线1．知识与技能
通过本节学习，了解双曲线的定义、标准方程，并会根据已知条件求双曲线的标准方程．
2．过程与方法
通过双曲线定义及标准方程的推导过程，培养学生分析、类比、归纳与探索能力．
3．情感、态度与价值观
通过本节的学习，再次体会数形结合的思想、坐标法，启发学生在研究问题时，抓住问题实质，严谨细致思考，规范写出解答，体会运动变化、对立统一的思想．
本节重点：双曲线的定义及其标准方程．
本节难点：双曲线标准方程的推导．1．对于双曲线定义的理解，要抓住双曲线上的点所要满足的条件，即双曲线上点的几何性质，可以类比椭圆的定义来理解．
2．在理解双曲线的定义时，要注意到对“定值”的限定．即定值大于零且小于|F1F2|.这样就能避免忽略两种特殊情况，即：“当定值等于|F1F2|时，轨迹是两条射线；当定值大于|F1F2|时，点不存在．”
3．类比椭圆标准方程的推导方法，建立适当坐标系，推导出双曲线的标准方程，但要注意在椭圆标准方程推导中，是令b2＝a2－c2，而在双曲线标准方程的推导过程中，是令b2＝c2－a2.1．在平面内到两个定点F1、F2距离之差的绝对值等于定值2a(大于0且小于|F1F2|)的点的轨迹叫做 ．这两个定点叫做双曲线的 ，两焦点之间的距离叫做双曲线的 ．
2．在双曲线的定义中，条件0<2a<|F1F2|不应忽视，若2a＝|F1F2|，则动点的轨迹是 ；若2a>|F1F2|，则动点的轨迹是 ．
3．双曲线定义中应注意关键词“ ”，若去掉定义中“ ”三个字，动点轨迹只能是 ．双曲线焦点焦距两条射线不存在绝对值绝对值双曲线一支4．双曲线的标准方程F1(－C,0)，F2(C,0)F1(0，－C)，F2(0，C)a2＋b2[解析] 因为双曲线的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为[说明] 在焦点不确定的情况下求标准方程，解法二更简单些．
[例3] 已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1与圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程．
[解析] 如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B，根据两圆外切的充要条件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|.
∵|MA|＝|MB|，
∴|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，
∴|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝3－1＝2.
这表明动点M与两定点C2、C1的距离的差是常数2.根据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)．[说明] (1)本题是用定义法求动点的轨迹方程，当判断出动点的轨迹是双曲线的一支，且可求出a、b时，可直接据定义写出其标准方程，而无需用距离公式写出方程，再通过复杂的运算进行化简．
(2)由于动点M到两定点C2、C1的距离的差为常数，而不是差的绝对值为常数，因此，其轨迹只能是双曲线的一支．这一点要特别注意！
已知两点F1(－5,0)，F2(5,0)，求与它们的距离差的绝对值是6的点的轨迹．
[解析] 根据双曲线的定义，所求点的轨迹是双曲线，且以F1，F2为焦点，
∵c＝5，a＝3，∴b2＝c2－a2＝52－32＝42.[解析] 由双曲线的对称性，可设点P在第一象限，由双曲线的方程，知a＝3，b＝4，∴c＝5.
由双曲线的定义，得|PF1|－|PF2|＝2a＝6.
上式两边平方，得|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋64＝100，
由余弦定理，得[说明] 在焦点三角形中，正弦定理、余弦定理、双曲线的定义等是经常使用的知识点．另外，还经常结合|PF1|－|PF2|＝2a，运用平方的方法，建立它与|PF1|·|PF2|的联系，请同学们多加注意．[例6] 已知双曲线2x2－y2＝k的焦距为6，求k的值．
[辨析] 因为不能确定k的正负，需讨论．一、选择题
1．已知两定点F1(－5,0)、F2(5,0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，则当a＝3和5时，P点的轨迹为 ( )
A．双曲线和一直线
B．双曲线和一条射线
C．双曲线的一支和一条射线
D．双曲线的一支和一条直线
[答案] C[解析] 当a＝3时，|PF1|－|PF2|＝2a＝6<|F1F2|＝10，由双曲线定义知，P点轨迹是双曲线的右支．
当a＝5时，|PF1|－|PF2|＝2a＝10＝|F1F2|，
∴P点轨迹是以F2为始点的一条射线．
2．在方程mx2－my2＝n中，若mn<0，则方程的曲线是 ( )
A．焦点在x轴上的椭圆
B．焦点在x轴上的双曲线
C．焦点在y轴上的椭圆
D．焦点在y轴上的双曲线
[答案] D3．(2010·安徽理，5)双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为 ( )
[答案] C[答案] m>2或－16．已知双曲线的一个焦点坐标为F1(0，－13)，双曲线上一点P到两焦点距离之差的绝对值为24，求双曲线标准方程．
[解析] 设双曲线标准方程为：课件49张PPT。
1．知识与技能
了解双曲线的几何性质，并会应用于实际问题之中．会利用双曲线的定义、标准方程、几何性质及图形四者之间的内在联系，分析和解决实际问题．
2．过程与方法
在与椭圆的性质类比中获得双曲线的几何性质，进一步体会数形结合的思想．掌握利用方程研究曲线的性质的基本方法．3．情感、态度与价值观
使学生进一步体会曲线与方程的对应关系，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决问题中的作用，从而培养学生分析、归纳、类比、推理等能力．
本节重点：双曲线的几何性质，双曲线各元素之间的相互依存关系，特别是双曲线的渐近线性质．
本节难点：有关双曲线的离心率、渐近线的问题，数形结合思想、方程思想、等价转化思想的运用．1．对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线的特有性质，利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，而且较为精确，只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线，就能画出它的近似图形．
2．要明确双曲线的渐近线是哪两条直线，过双曲线实轴的两个端点与虚轴的两个端点分别作对称轴的平行线，它们围成一个矩形，其两条对角线所在直线即为双曲线的渐近线．
3．要理解“渐近”两字的含义，当双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近，接近的程度是无限的．5．根据双曲线的渐近线方程求双曲线方程的方法：如果两条渐近线的方程为Ax±By＝0，那么双曲线的方程为A2x2－B2y2＝m(m≠0)，这里m是待定系数，其值可由题目中的已知条件确定．双曲线的几何性质e＝(e>1)2a2b(－a,0)、(a,0)(0，－a)、(0，a)关于x轴、y轴和原点对称|F1F2|＝2cF1(－c,0)、F2(c,0)F1(0，－c)、F2(0，c)x≥a或x≤－a，y∈Ry≥a或y≤－a，x∈R
[说明] 本题的主线是渐近线与离心率的关系，注意对焦点在x轴或y轴上两种进行分类讨论．[答案] D
[解析] 考查双曲线的渐近线方程及如何用a，b，c三者关系转化出离心率．[辨析] 错因在于忽略了4－k2＝0，即直线l与双曲线的渐近线平行时，l与双曲线只有一个交点也符合题意，另外没有考虑直线l斜率不存在的情况．[答案] D[答案] D[答案] A[答案] C二、填空题
5．双曲线9x2＋144＝16y2的虚轴长为________，焦点坐标为________，渐近线方程是__________．6．双曲线中a、b、c的长成等差数列，则e＝________.课件50张PPT。2.3 抛物线 1．知识与技能
通过本节学习，了解抛物线的定义、标准方程，能根据条件确定抛物线的标准方程，并注意标准方程的形式，掌握四种形式的特点，会利用待定系数法求抛物线的标准方程．
2．过程与方法
掌握开口向右的抛物线标准方程的推导过程，进一步理解求曲线方程的方法——坐标法，从而培养学生观察、类比、分析、计算的能力．3．情感、态度与价值观
通过本节的学习，让学生体验研究解析几何的基本思想，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用，进一步体会数形结合的思想，提高学生分析问题和解决问题的能力．本节重点：抛物线的定义及标准方程．
本节难点：建立标准方程时坐标系的选取．1．对于抛物线定义的理解，可以通过以下几种途径：
通过多媒体设备展示与抛物线有关的实物模型；也可让学生举出生活中与抛物线有关的物体和现象，加强知识与实际的联系，增强学生的学习兴趣．
2．对抛物线定义的理解应注意定点不在定直线上，否则动点的轨迹是一条直线．
3．由抛物线的定义推导出它的标准方程时，要考虑怎样选择坐标系．由定义可知直线KF是曲线的对称轴，所以把KF作为x轴可以使方程不出现y的一次项．因为抛物线KF的中点适合条件，所以它在抛物线上，因而以KF的中点为原点，就不会出现常数项，这样建立坐标系，得出的方程形式比较简单．1．抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(F?l) 的点的轨迹叫做抛物线．定点F叫做抛物线的 ，定直线l叫做抛物线的 ．距离相等焦点准线y2＝2pxy2＝－2pxx2＝2pyx2＝－2py
[例1] 判断适合下列条件的动点的轨迹是何种曲线：
(1)过点P(0,3)且与直线y＋3＝0相切的动圆的圆心M的轨迹；
(2)到点A(0,2)的距离比到直线l?y＝－4的距离小2的动点P的轨迹．[解析] (1)依题意，圆心M到点P的距离等于M到直线y＝－3的距离，∴动圆的圆心M的轨迹是以点P为焦点，以直线y＝－3为准线的抛物线．
(2)依题意，动点P到点A(0,2)的距离与到直线l?y＝－2的距离相等，∴点P的轨迹是以点A为焦点，以直线y＝－2为准线的抛物线．
已知点B(4,0)，过y轴上的一点A作直线l⊥y轴，求l与线段AB的中垂线的交点P的轨迹．
[解析] 依题意，|PA|＝|PB|，且|PA|为点P到y轴的距离，∴点P到点B的距离与到y轴的距离相等，其轨迹是以点B为焦点，以y轴为准线的抛物线.
[例2] 求过点(－3,2)的抛物线的标准方程．
[说明] 判断抛物线的开口方向，用待定系数法求之．[例3] 已知抛物线的焦点在x轴上，抛物线上的点M(－3，m)到焦点的距离是5.
(1)求抛物线方程和m值．
(2)求抛物线的焦点和准线方程．
[解析] (1)设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)[说明] 1.求抛物线方程的方法．
(1)定义法，直接利用定义求解．
(2)待定系数法，若已知抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p值即可，若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论，另外，焦点在x轴上的抛物线方程统一设成y2＝ax(a≠0)，焦点在y轴上的抛物线方程可统一设成x2＝ay(a≠0)．
根据下列条件求抛物线的标准方程：
(1)经过点P(4，－2)；
(2)焦点在直线3x－4y－12＝0上．
[解析] (1)∵点P在第四象限，∴抛物线开口向右或向下，标准方程可设为y2＝2px(p>0)或x2＝－2py(p>0)．
将点P(4，－2)代入y2＝2px，得2p＝1；将P(4，－2)代入x2＝－2py，得2p＝8.
∴所求抛物线的标准方程为y2＝x或x2＝－8y.(2)由于有标准方程的抛物线的焦点在坐标轴上，故由直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点可得抛物线的焦点．
令x＝0，得y＝－3，令y＝0，得x＝4.∴抛物线的焦点为(0，－3)或(4,0)．
当焦点为(0，－3)时，＝3,2p＝12，此时抛物线的标准方程为x2＝－12y；
[例4] 已知抛物线的方程为x2＝8y，F是其焦点．点A(－2,4)在抛物线的内部，在此抛物线上求一点P，使|PF|＋|PA|的值最小．
[分析] 如图所示，根据抛物线的定义把PF转化为PQ，使折线段PA，PQ的两端点A，Q分别落在抛物线的两侧，再通过“数形结合”可知当A，P，Q三点共线时距离达到最小．
若点A的坐标为(3,2)，F为抛物线y2＝2x的焦点，点P在该抛物线上移动，为使得|PA|＋|PF|取得最小值，则P点坐标为 ( )
A．(0,0) B．(1,1)[解析] 由抛物线定义，|PF|等于点P到抛物线准线的距离|PP′|，如图所示，因此，当且仅当点P、A、P′在同一条直线上时，有|PF|＋|PA|＝|PP′|＋|PA|最小，此时点P的纵坐标等于A点纵坐标，即y＝2，故此时P点坐标为(2,2)．故选C.[说明] 确定圆锥曲线上的点到两定点的距离之和最短时的位置，通常有两种情况：(1)当两定点在曲线两侧时，连结两定点的线段与曲线的交点即为所求点；(2)当两定点在曲线同侧时，由圆锥曲线定义作线段的等量长度转移，转变为(1)的情形即可.
[例5] 直线l过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，且与抛物线相交于A(x1，y1)和B(x2，y2)两点．[说明] 解法1分直线斜率存在与不存在两种情况讨论，同学们容易忽略斜率不存在的情形，应引起重视；解法2对直线方程的设法避免了直线的斜率不存在这一情况，解答更为简洁，在学习过程中应深刻体会．
斜率为1的直线经过抛物线y2＝4x的焦点，与抛物线相交于两点A、B，求线段AB的长．
[解析] 如图，由抛物线的标准方程可知，焦点F(1,0)，准线方程x＝－1.由题设，直线AB的方程为：y＝x－1.
代入抛物线方程y2＝4x，整理得：x2－6x＋1＝0.
设A(x1，y1)、B(x2，y2)，由抛物线定义可知，|AF|等于点A到准线x＝－1的距离|AA′|，
即|AF|＝|AA′|＝x1＋1，同理|BF|＝x2＋1，
∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝6＋2＝8.
[说明] 利用抛物线定义，把过焦点的这一特殊的弦分成两个焦半径的和，转化为到准线的距离，这是解决有关抛物线的焦点弦问题很重要的一种数学思想：等价转化的思想．
[例6] 如图，一位运动员在距离篮球架4 m远处跳起投篮，球运行的路线是抛物线．当球运行的水平距离为2.5 m时，达到最大高度3.5 m，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3.05 m，如图所示建立平面直角坐标系．(1)试求球运行路线所在抛物线的方程；
(2)球出手时，球离开地面的高度是多少？
[解析] (1)设球运行所在的抛物线方程为
x2＝－2py(p>0)，
由题意知抛物线经过点(1.5，－0.45)，
代入抛物线方程得1.52＝－2p×(－0.45)，
解得2p＝5，
∴所求抛物线方程为x2＝－5y.(2)把x＝－2.5代入x2＝－5y
得(－2.5)2＝－5y，
∴y＝－1.25，∴球出手时球离开地面的高度是3.5－1.25＝2.25(m)．
[说明] 关键是确定抛物线的方程．
如图所示，设田地喷灌水管AB高出地面1.5米，在B处有一个自动旋转的喷水头，一瞬间，喷出的水流是抛物线状，喷头B与水流最高点C的连线与水平地面成45°角，若C比B高出2米，在所建立的坐标系中，求水流的落地点D到点A的距离是多少米？[解析] 如上图依题可知，BE＝CE＝2(米)，CF＝CE＋EF＝3.5(米)，点B的坐标为(0,1.5)，
∴抛物线的方程为y＝a(x－2)2＋3.5.由于它经过点B，故1.5＝a(0－2)2＋3.5.[误解] 选C.
[辨析] 抛物线的定义中，定点不在定直线上，而本题点F(1,1)恰好在直线3x＋y－4＝0上，因而对抛物线的定义认识不清而错选了C.
[正解] D一、选择题
1．抛物线y2＝20x的焦点坐标为 ( )
A．(20,0) B．(10,0)
C．(5,0) D．(0,5)
[答案] C
2．过点A(3,0)与y轴相切的圆的圆心轨迹为 ( )
A．圆
B．椭圆
C．直线
D．抛物线
[答案] D
[解析] 设P为轨迹上一点，则P到A的距离等于P到y轴的距离，所以P的轨迹为以A为焦点，y轴为准线的抛物线．3．(2010·四川文，3)抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是 ( )
A．1
B．2
C．4
D．8
[答案] C
[解析] 本题考查抛物线的焦点到准线的距离．二、填空题
4．到点A(－1,0)和直线x＝3距离相等的点的轨迹方程是________．
[答案] y2＝8－8x
[答案] y2＝－20x
[解析] ∵双曲线的左焦点为(－5,0)，故设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)，又p＝10，∴y2＝－20x.三、解答题
6．求到定点F(4,0)的距离比到定直线x＋5＝0的距离大10的点的轨迹方程．
[解析] 设点P(x，y)到定点F(4,0)的距离比到定直线x＋5＝0的距离大10，
当x≥－5时，化简整理得y2＝38x＋209，
当x<－5时，化简整理得y2＝－2x＋9，
∴所求点的轨迹方程为：y2＝38x＋209(x≥－5)或y2＝－2x＋9(x<－5)．课件47张PPT。1．知识与技能
了解抛物线的几何性质，并理解抛物线的几何性质与标准方程的关系，了解抛物线在实际问题中的应用，进一步理解抛物线的标准方程、几何性质及图形三者之间的内在联系．
2．过程与方法
在进行椭圆、双曲线、抛物线的几何性质类比中获得抛物线的性质，进一步体会数形结合思想，掌握利用方程研究曲线性质的基本方法．3．情感态度与价值观
通过本节的学习，渗透数形结合的思想，启发学生用类比归纳法，经过严谨细致思考，得到正确结论，体会对比统一思想．本节重点：抛物线的几何性质．
本节难点：抛物线几何性质的运用．1．类比椭圆、双曲线的几何性质，根据抛物线方程讨论其几何性质，并注意椭圆、双曲线和抛物线的联系与区别．
2．注意抛物线的性质与椭圆、双曲线相比较，差别较大，它的离心率等于1，它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线，它不是中心对称图形，因而没有中心．x≥0，
y∈R(0,0)x轴e＝1x≤0，
y∈R(0,0)x轴e＝1y≥0，
x∈R(0,0)y轴e＝1y≤0，
x∈R(0,0)y轴e＝1
[例1] 已知抛物线的方程为x2＝ay，求它的焦点坐标和准线方程．
[说明] 参数a≠0，a可能取正值，也可能取负值，不要忽略a<0的情况．
[例2] 正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2＝2px(p>0)上，求这个正三角形的边长．[说明] 本题利用了抛物线与正三角形有公共对称轴这一性质，但往往会直观上承认而忽略了它的证明．
[解析] 如图，设直角三角形为AOB，直角顶点为O，AO边的方程为y＝2x，
[例3] 点P在抛物线2y2＝x上，点Q在圆(x－2)2＋y2＝1上，求|PQ|的最小值．
[解析] 圆(x－2)2＋y2＝1的圆心为M(2,0)，
如下图所示，线段AB为抛物线y＝x2上的动弦，且|AB|＝a(a为常数，且a≥1)，求弦的中点M到x轴的最近距离．
[例4] 已知抛物线y2＝8x上两个动点A、B及一个定点M(x0，y0)，F是抛物线的焦点，且|AF|、|MF|、|BF|成等差数列，线段AB的垂直平分线与x轴交于点N.
(1)求点N的坐标(用x0表示)；[说明] (1)本题采用设出交点坐标，而不求出交点坐标的方法去解，这就是解析几何中的“设而不求”的方法．(2)解方程组时，是消去x还是消去y，应该根据解题的思路确定，当然，这里还是消去x是最简捷的．
[例5] 求过定点P(0,1)，且与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线方程．[辨析] 本题造成错解的原因有两个：一是遗漏了直线不存在斜率的情况，只考虑了斜率存在的情况；二是方程组消元后的方程认定为二次方程，事实上，二次项系数为零的一次方程的解也符合题意．一、选择题
1．(2009·湖南文，2)抛物线y2＝－8x的焦点坐标是
( )
A．(2,0) B．(－2,0)
C．(4,0) D．(－4,0)
[答案] B
[答案] B
[答案] C二、填空题
4．(2010·浙江理，13)设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A(0,2)．若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为________．三、解答题
6．如图所示，P为圆M?(x－3)2＋y2＝1上的动点，Q为抛物线y2＝x上的动点，试求|PQ|的最小值．课件34张PPT。章末归纳总结坐标法是研究圆锥曲线问题的基本方法，它是用代数的方法研究几何问题．
本章介绍了研究圆锥曲线问题的基本思路，建立直角坐标系，设出点的坐标，根据条件列出等式，求出圆锥曲线方程，再通过曲线方程，研究曲线的几何性质．
本章内容主要有两部分：一部分是求椭圆、双曲线、抛物线的标准方程，基本方法是利用定义或待定系数法来求；另一部分是研究椭圆、双曲线、抛物线的几何性质，并利用它们的几何性质解决有关几何问题．学习本章应深刻体会数形结合的思想，转化的思想，函数的思想及待定系数法等重要的数学思想和方法．
椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程及几何性质是圆锥曲线的重点内容，是历年高考的重点．重在考查基础知识、基本思想方法，例如数形结合思想和方程思想等．而该部分在高考中多以选择题、填空题为主，为中档题目．
[答案] A
[分析] 此题用基本坐标法求解，运算相当繁琐，而且一时难以理出思路．本题易借助几何图形的几何性质加以解决．[说明] 看似凌乱繁多的条件，应用圆锥曲线的定义求解，可避免很多繁琐的计算，提高解题效率．
(2010·重庆理，10)到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是 ( )
A．直线 B．椭圆
C．抛物线 D．双曲线
[答案] D[解析] 如图所示，设两异面直线为m，n过n上任一点O，作m的平行线m′，设m′与n确定的平面为α，以O为原点，m′，n分别为x轴，y轴建立坐标系，设与两异面直线距离相等的点为M(x，y)，令m为平面α的距离为d，由题意|x|2＋d2＝|y|2，
即y2－x2＝d2故轨迹为双曲线.
(1)直线与圆锥曲线的位置关系，从几何角度看有三种：相离、相交和相切，相离和相切，直线与圆锥曲线分别无公共点和有一个公共点．相交时，直线与椭圆有两个公共点，但直线与双曲线，抛物线的公共点个数可能为一个(直线与双曲线的渐近线平行时，直线与抛物线的轴平行时)或两个．(2)直线与圆锥曲线的位置关系，从代数角度看(几何问题代数化)是直线方程和圆锥曲线的方程组成的方程组，无解时必相离；有两组解是必相交，若二次项系数为零，有一组解也相交(代数结果几何化)．(4)在解决直线与圆锥曲线的位置关系中，常用的数学思想方法有：①方程的思想；②数形结合思想；③设而不求与整体代入的技巧与方法．
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆与直线y＝kx＋m(k≠0)相交于不同的两点M、N.当|AM|＝|AN|时，求m的取值范围．[说明] 注意表达定量及中点坐标公式的应用．解决本题，亦可用“点差法”，即设而不求，直接整体表达直线斜率．从而由点斜式得直线方程．解决本题也可用两方程直接相减求解．
(2010·山东文，9)已知抛物线y2＝2px(p>0)，过焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为 ( )
A．x＝1 B．x＝－1
C．x＝2 D．x＝－2
[答案] B
圆锥曲线中最值问题是高考中的重要内容之一，有选择题，也有填空题和解答题，综合性较强，有一定的难度，因此在平时的学习过程中要注意总结．常见题型有运用圆锥曲线的定义求最值和运用圆锥曲线的性质求最值等．[例5] 已知点A(4，－2)，F为抛物线y2＝8x的焦点，点M在抛物线上移动．当|MA|＋|MF|取最小值时，点M的坐标为 ( )
[例6] 过抛物线y2＝2px的焦点F作两条互相垂直的弦AB、CD，求|AB|＋|CD|的最小值．课件43张PPT。●课程目标
1．双基目标
(1)理解函数在某点的平均变化率的概念，并会求此变化率．
(2)理解运动物体的速度在某时刻的瞬时变化率(瞬时速度)，理解函数在x0处的瞬时变化率，理解导数的概念和定义，会求函数在某点处的瞬时变化率(导数)．
(3)理解导数的几何意义，并会求出曲线在某点处的切线方程．(4)了解常数函数和幂函数的求导方法和规律，会求任意幂函数y＝xα，α∈Q的导数，掌握基本初等函数的导数公式，并能利用这些公式求基本初等函数的导数．
(6)能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(仅限于形如)f(ax＋b)的导数．(7)了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间．
(8)结合函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会利用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及在给定区间上的多项式函数的最大值、最小值．
(9)了解导数在实际问题中的应用，对给出的实际问题，如使利润最大、效率最高、用料最省等问题，体现导数在解决实际问题中的作用．2．情感目标
通过具体实例，认识导数的工具性及其与实际问题的联系，感受和体会导数在解决实际问题中的作用，提高学生学习兴趣，感受导数在解题中的作用和威力，自觉形成将数学理论和实际问题相结合的思想，在解题过程中，逐步养成扎实严格、实事求是的科学态度．●重点难点
本章重点：导数的运算和利用导数解决实际问题．
本章难点：导数概念的理解．
●学法探究
导数是微积分的初步知识，是研究函数、解决实际问题的有力工具．学习本章要认真理解平均变化率、瞬时速度的概念，进一步理解导数的概念和导函数的定义，掌握导数的几何意义，掌握基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，通过具体实例，认识导数的工具性及其与实际问题的联系，感受导数在解题中的作用，充分体会数形结合思想、分类讨论思想、等价转化思想及理论联系实际的思想方法．3．1 导 数1．知识与技能
了解函数的平均变化率的概念，会求函数的平均变化率，知道函数的瞬时速度的概念，理解导数的概念，能利用导数的定义求导数．
2．过程与方法
经历从实例中抽象出导数概念的过程，体会由特殊到一般的思维方法，通过例题的学习和体会，掌握用定义求导数的方法．
3．情感、态度与价值观
经历由平均速度到瞬时速度刻画现实问题的过程，感受导数在实际问题中的应用，初步认识导数的应用价值，树立学好数学的信心．本节重点：函数在某一点的平均变化率，瞬时变化率、导数的概念．
本节难点：导数的概念．本节学习的有关概念比较抽象，学习时应通过实例理解相关概念，深刻体会数学源于生活，又应用于生活．
对导数的定义要注意两点：第一：Δx是自变量x在x0处的改变量，所以Δx可正可负，但Δx≠0；第二：函数在某点的导数，就是在该点的函数值改变量与自变量改变量之比的极限值．因此它是一个常数而不是变数．4．如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每点处都有导数，此时对于每一个x∈(a，b)，都对应着一个确定的导数f′(x)，从而构成了一个新的函数f′(x)，称这个函数f′(x)为函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的 ，简称 ．导函数导数
[例1] 过曲线y＝f(x)＝x3上两点P(1,1)和Q(1＋Δx,1＋Δy)作曲线的割线，求出当Δx＝0.1时割线的斜率．
[解析] ∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)3－1
＝Δx3＋3Δx2＋3Δx，
某质点沿曲线运动的方程为y＝－2x2＋1(x表示时间，y表示位移)，则该质点从x＝1到x＝2时的平均速度为( )
A．－4 B．－8
C．6 D．－6
[解析] 令f(x)＝y＝－2x2＋1，则质点从x＝1到x＝2时的平均速度为
[说明] 瞬时速度是平均速度在Δt→0时的极限值．因此，要求瞬时速度应先求出平均速度．
一作直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，求此物体在t＝2时的瞬时速度．
[解析] 由于Δs＝3(2＋Δt)－(2＋Δt)2－(3×2－22)＝3Δt－4Δt－Δt2＝－Δt－Δt2，
[例3] 求y＝x2在点x＝1处的导数．
[解析] 因为Δy＝(x＋Δx)2－x2
＝(1＋Δx)2－12＝2Δx＋(Δx)2，[例4] 已知f(x)＝(x－1)2，求f′(x)，f′(0)，f′(2)．
[分析] 求导数的步骤一般是先求导函数，再求导函数在各点的导数．
[解析] 因为Δf＝(x＋Δx－1)2－(x－1)2＝2xΔx－2Δx＋(Δx)2，
利用导数定义求函数f(x)＝－x2＋3x在x＝2处的导数．
[辨析] 求导数要与代数式的变形结合起来，利用分子有理化的方法，最终约去分子上的根号．[答案] C2．如果质点A按规律s＝2t3运动，则在t＝3秒时的瞬时速度为 ( )
A．6 B．18
C．54 D．81
[答案] C
[解析] s(t)＝2t3，Δs＝s(3＋Δt)－s(3)＝2Δt3＋18Δt2＋54Δt，
A．与x0，Δx有关
B．仅与x0有关，而与Δx无关
C．仅与Δx有关，而与x0无关
D．与x0，Δx均无关
[答案] B
[解析] f(x)在x0处的导数与x0有关，与Δx无关．
[答案] 1
[解析] 根据导数的定义，
[答案] (Δx)2＋6Δx＋12
[解析] Δy＝(Δx＋2)3－2－23＋2
＝Δx3＋6Δx2＋12Δx，课件46张PPT。1．知识与技能
理解导数的几何意义，并会用导数的定义求曲线的切线方程．
2．过程与方法
能用导数的方法解决有关函数的一些问题．
3．情感态度与价值观
理解导数的几何意义，体会导数的思想及丰富内涵，感受导数在解决实际问题中的应用．本节重点：导数的几何意义．
本节难点：利用导数解决实际问题．导数的几何意义主要应用在研究曲线的切线问题上．(1)已知函数图象上某一点的坐标，可以利用导数求该点的切线方程或其倾斜角的大小；(2)已知函数图象上某一点的切线方程可以求出切点坐标等．
[例1] 求曲线y＝x2＋3x＋1在点(1,5)处的切线的方程．即切线的斜率k＝5，
∴曲线在点(1,5)处的切线方程为y－5＝5(x－1)
即5x－y＝0.
[说明] 解答本题的过程中，易出现把“过点P的切线”与“曲线在点P处的切线”混淆的错误，导致该种错误的原因是没有分清已知点是否为切点．求曲线在点P(x0，y0)处的切线的方程，即给出了切点P(x0，y0)的坐标，求切线方程的步骤：
①求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)；
②根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)；
③若曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的导数存在且f′(x0)>0，切线与x轴正向夹角为锐角；f′(x0)<0，切线与x轴正向夹角为钝角；f′(x0)＝0，切线与x轴平行．[例2] 若上例中曲线方程不变，求过点(2,5)的切线的方程．
[解析] 设曲线过点(2,5)的切线的切点坐标为(x0，y0)，
y′|x＝x0[说明] 若点Q(x1，y1)在曲线外，求过点Q曲线的切线方程的步骤为：
①设切点为(x0，y0)；
②求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)；
③根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)；
④该切线过点Q(x1，y1)，代入求出x0，y0的值，代入③得到所要求的切线方程．
(1)点P处的切线的斜率；
(2)点P处的切线方程．
求曲线C?y＝x2＋x过点P(1,1)的切线方程．
则切线方程为y－y0＝(2x0＋1)(x－x0)，
因为切线方程过点P(1,1)，
解得x0＝0或x0＝2，
所以切线方程的斜率为1或5，
所以所求切线方程为y＝x或y＝5x－4.
[例3] 已知抛物线y＝x2在点P处的切线与直线y＝2x＋4平行．求点P的坐标和切线方程．
已知直线y＝2x＋m与曲线y＝x2相切，求实数m的值及切点坐标．
由曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y＝2x＋m知2x0＝2，∴x0＝1，∴P(1,1)．
又点P在切线y＝2x＋m上，∴m＝－1，
∴m的值为－1，切点坐标为(1,1)．
[例4] 曲线y＝x3在x0＝0处的切线是否存在，若存在，求出切线的斜率和切线方程；若不存在，请说明理由．
[解析] 令y＝f(x)＝x3，
Δy＝f(0＋Δx)－f(0)＝Δx3，[说明] (1)y＝x3在点(0,0)处的切线是x轴，符合切线定义．这似乎与学过的切线知识有所不同，其实不然，直线与曲线有两个公共点时，在其中一点也可能相切．如图所示．
已知曲线y＝2x3上一点A(1,2)，则点A处的切线斜率等于 ( )
A．2
B．4
C．6＋6Δx2
D．6
[答案] D
[说明] 深刻理解导数的几何意义，掌握求曲线的切线方法．[辨析] 应先判断点是否在曲线上，点不在曲线上误认为在曲线上而产生误解．
[正解] 设切线过抛物线上的点(x0，x)，由导数的意义知此切线的斜率为2x0.一、选择题
1．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线 ( )
A．不存在
B．与x轴平行或重合
C．与x轴垂直
D．与x轴斜交
[答案] B
[解析] 由导数的几何意义知，f(x)在(x0，f(x0))处切线的斜率k＝f′(x0)＝0.
∴切线与x轴平行或重合．2．如果曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为x＋2y－3＝0，那么 ( )
A．f′(x0)＞0
B．f′(x0)＜0
C．f′(x0)＝0
D．f′(x0)不存在
[答案] B
[答案] D4．曲线y＝x3－3x在点(2,2)的切线斜率是 ( )
A．9
B．6
C．－3
D．－1
[答案] A
[答案] 3g课件34张PPT。3．2 导数的运算
2．过程与方法
通过利用导数定义推导及归纳导数公式的过程，掌握利用导数公式求函数导数的方法．3．情感、态度与价值观
通过公式的推导与归纳，进一步体会极限思想，培养从特殊到一般、从有限到无限的思维方法；通过使用数学软件求导，体会算法思想，进一步感受数学的应用价值，培养探究问题、发现问题的兴趣．本节重点：常数函数、幂函数的导数．
本节难点：由常见幂函数的求导公式发现规律，得到幂函数的求导公式．利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归，才能抓住问题的本质，把解题思路放开．4．(sinx)′＝ .
(cosx)′＝ .cosx－sinx
[说明] (1)应用导数的定义求导，是求导数的基本方法，但运算较繁琐，而利用导数公式求导数，可以简化求导过程，降低运算难度，是常用的求导方法．
(2)利用导数公式求导，应根据所给问题的特征，恰当地选择求导公式．有时还要先对函数解析式进行化简整理．这样能够简化运算过程．
求下列函数的导数．
(1)y＝ax(a>0且a≠1)；
(2)y＝log3x；
(3)y＝ex；
(4)y＝lnx.[说明] 利用导数公式直接求出切线的斜率是解题的关键．
[说明] 在确定与切线垂直的直线方程时，应注意考察函数在切点处的导数y′是否为零，当y′＝0时，切线平行于x轴，过切点P垂直于切线的直线斜率不存在．
[误解] B一、选择题
1．函数f(x)＝0的导数是 ( )
A．0
B．1
C．不存在
D．不确定
[答案] A
[解析] 常数函数的导数为0.
[答案] D
[答案] C5．曲线y＝xn在x＝2处的导数为12，则n等于____________．
[答案] 3
[解析] ∵y′＝nxn－1，∴y′|x＝2＝n2n－1＝12，∴n＝3.三、解答题
6．求曲线y＝lnx在x＝e2处的切线方程．课件38张PPT。1．知识与技能
能利用导数的四则运算法则和导数公式，求简单函数的导数．
2．过程与方法
经历导数的四则运算法则的推理过程，进一步体会极限思想方法，通过求函数的导数过程，掌握运用法则求导数的方法．
3．情感、态度与价值观
通过用导数的定义证明四则运算法则的过程，学会一些变形技巧，提高逻辑推理论证能力，进一步体会数学的应用价值，提高学习数学的兴趣．本节重点：导数的四则运算及其运用．
本节难点：导数的四则运算法则的推导．1．可导函数的四则运算法则是解决函数四则运算形式的求导法则，也是进一步学习导数的基础，因此，必须透彻理解函数求导法则的结构内涵，注意挖掘知识的内在联系及规律，通过对知识的重新组合，以达到巩固知识、提升能力的目的．
2．利用导数的定义推导出函数的和、差、积的求导法则，以及常见函数的导数公式之后，对一些简单函数的求导问题，便可直接应用法则和公式很快地求出导数，而不必每一问题都回到定义．3．应用导数的四则运算法则和常见函数的导数公式求导数时，在可能的情况下，应尽量少用甚至不用乘积的求导法则，应在求导之前，先利用代数、三角恒等变形对函数进行化简，然后再求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，避免出错．1．设函数f(x)、g(x)是可导函数，(f(x)±g(x))′＝
2．若f(x)、g(x)是可导的，则(f(x)·g(x))′＝ f′(x)±g′(x)．f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)．
[例1] 求下列函数的导数：
(1)y＝x4－3x2－5x＋6；
(2)y＝(x＋1)(x＋2)；
[解析] (1)y′＝(x4－3x2－5x＋6)′＝(x4)′－(3x2)′－(5x)′＋6′＝4x3－6x－5
(2)y′＝((x＋1)(x＋2))′＝(x＋1)′(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)′＝x＋2＋x＋1＝2x＋3[说明] 熟练掌握导数运算法则，再结合给定函数本身的特点，才能准确有效地进行求导运算，在解决问题时才能做到举一反三，触类旁通．
求下列函数的导数：
[解析] 由函数的和(或差)与积的求导法则，可得
(1)解法1：y′＝(2x2＋3)′(3x－2)＋(2x2＋3)(3x－2)′＝4x(3x－2)＋(2x2＋3)·3
＝18x2－8x＋9.
解法2：∵y＝(2x2＋3)(3x－2)＝6x3－4x2＋9x－6，
∴y′＝18x2－8x＋9.
[说明] 在可能的情况下，求导时应尽量少用甚至不用乘法的求导法则，所以在求导之前，应利用代数、三角恒等变形对函数进行化简，然后再求导，这样可减少运算量．
[说明] 解答本题可先运用求导法则求出y′，进而求出y′|x＝1，再用点斜式写出切线方程，令y＝0，求出x的值，即为切线在x轴上的截距．
(2009·宁夏、海南文，13)曲线y＝xex＋2x＋1在点(0,1)处的切线方程为________．
[答案] y＝3x＋1
[解析] 本题考查导数的相关知识．
y′＝ex＋xex＋2，
∴y′|x＝0＝3，
∴切线方程为y－1＝3x，即：y＝3x＋1.
曲线y＝x(1－ax)2(a>0)，且y′|x＝2＝5，求实数a的值．
[解析] ∵y′＝(1－ax)2＋x[(1－ax)2]′
＝(1－ax)2＋x(1－2ax＋a2x2)′
＝(1－ax)2＋x(－2a＋2a2x)，
∴y′|x＝2＝(1－2a)2＋2(－2a＋4a2)＝5，
即3a2－2a－1＝0.∵a>0，∴a＝1.[例5] 求函数y＝(x－1)(x－2)…(x－100)(x>100)的导数．
[误解] y′＝[(x－1)(x－2)…(x－100)]′
＝(x－1)′[(x－2)…(x－100)]＋(x－1)[(x－2)…(x－100)]′
＝(x－2)(x－3)…(x－100)＋(x－1)[(x－2)…(x－100)]′
无法求解或求导困难．
[辨析] (1)直接利用公式求导比较困难．
(2)忽视变形的应用．一、选择题
1．函数f(x)＝a4＋5a2x2－x6的导数为 ( )
A．4a3＋10ax2－x6
B．4a3＋10a2x－6x5
C．10a2x－6x5
D．以上都不对
[答案] C
[解析] f′(x)＝(a4)′＋(5a2x2)′－(x6)′＝－6x5＋10a2x.2．函数y＝2sinxcosx的导数为 ( )
A．y′＝cosx
B．y′＝2cos2x
C．y′＝2(sin2x－cos2x)
D．y′＝－sin2x
[答案] B
[解析] y′＝(2sinxcosx)′＝2(sinx)′·cosx＋2sinx(cosx)′＝2cos2x－2sin2x＝2cos2x.
[答案] B
[解析] 根据对数函数的求导法则可知B正确．二、填空题
4．函数y＝2x3－3x2＋4x－1的导数为____________．
[答案] 6x2－6x＋4
[解析] y′＝(2x3)′－(3x2)′＋(4x)′＝6x2－6x＋4.5．函数y＝xsinx－cosx的导数为__________________．
[答案] 2sinx＋xcosx
[解析] y′＝(xsinx)′－(cosx)′＝2sinx＋xcosx.三、解答题
6．函数f(x)＝x3－x2－x＋1的图象上有两点A(0,1)和B(1，0)，在区间(0,1)内求实数a，使得函数f(x)的图象在x＝a处的切线平行于直线AB.
[解析] 直线AB的斜率kAB＝－1，
f′(x)＝3x2－2x－1，
令f′(a)＝－1(0借助于函数的图象了解函数的单调性与导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间．
2．过程与方法
通过对函数单调性与导数关系的研究，掌握用导数研究函数单调性的方法．
3．情感、态度与价值观
通过实例探究函数的单调性与导数的关系，体会知识间的相互联系和运动变化的观点，提高理性思维能力．本节重点：利用求导的方法判断函数的单调性．
本节难点：函数的导数与单调性的关系．1．用导数去研究函数的单调性比用定义法更为简便，是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个重要应用，它充分体现了数形结合的基本思想．因此，必须重视对数学思想、方法进行归纳总结，提高应用数学思想、方法解决问题的熟练程度，达到优化解题思路、简化解题过程的目的．
2．利用导数的符号判断函数单调性的解题过程中，只能在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，判断函数的单调区间．1．设函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，
(1)如果在区间(a，b)内，f′(x)>0，则f(x)在此区间内是 的；
(2)如果在区间(a，b)内，f′(x)<0，则f(x)在此区间内是 的．
2．如果函数y＝f(x)在x的某个开区间内，总有f′(x)＞0，则f(x)在这个区间上严格增加，这时该函数在这个区间上为 ；如果函数y＝f(x)在自变量x的某区间上，总有f′(x)＜0，则f(x)在这个区间上为 ．单调递增单调递减严格增函数严格减函数
[例1] 求函数f(x)＝3x2－2lnx的单调区间．
[解析] 函数的定义域为(0，＋∞)
[解析] (1)函数f(x)的定义域为R
f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＞0，则3x2－3＞0.
即3(x＋1)(x－1)＞0，解得x＞1或x＜－1.
∴函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)
令f′(x)＜0，则3(x＋1)(x－1)＜0，解得－1＜x＜1.
∴函数f(x)的单调递减区间为(－1,1)．[说明] 实质上就是证明不等式f′(x)>0在(0,2)上恒成立．
[解析] f(x)的定义域为(－1,1)，函数f(x)是奇函数，所以只需讨论函数在(0,1)上的单调性．∴当b>0时，f′(x)<0.∴函数f(x)在(0,1)上是减函数；
当b<0时，f′(x)>0，∴函数f(x)在(0,1)上是增函数．
又函数f(x)是奇函数，而奇函数的图象关于原点对称，所以可知：
当b>0时，f(x)在(－1,1)上是减函数；
当b<0时，f(x)在(－1,1)上是增函数．
[例4] 已知向量a＝(x2，x＋1)，b＝(1－x，t)，若函数f(x)＝a·b在区间(－1,1)上是增函数，求t的取值范围．
[解析] 解法1：f(x)＝a·b＝x2(1－x)＋t(x＋1)＝－x3＋x2＋tx＋t.
f′(x)＝－3x2＋2x＋t，
∵函数f(x)在(－1,1)上是增函数．
∴f′(x)≥0对x∈(－1,1)恒成立，
∴－3x2＋2x＋t≥0在(－1,1)上恒成立． 解法2：依题意，得f(x)＝x2(1－x)＋t(x＋1)
＝－x3＋x2＋tx＋t.
f′(x)＝－3x2＋2x＋t.
∵函数f(x)在区间(－1,1)上是增函数，
∴f′(x)≥0对x∈(－1,1)恒成立．
又∵f′(x)的图象是开口向下的抛物线，
∴当且仅当f′(1)＝t－1≥0，且f′(－1)＝t－5≥0时，即t≥5时，f′(x)在区间(－1,1)上满足f′(x)＞0.
即f(x)在(－1,1)上是增函数．
故t的取值范围是t≥5.[规律方法] 已知函数的单调性，确定字母的取值范围是高考考查的重点内容，解决这类问题的方法主要有两种，其一，转化为函数求最值，其二，若能比较容易求出函数的单调区间时，可利用子区间来解决．特别注意的是，若导函数为二次函数时，也可借助图象，利用数形结合思想来解决，如上例中的解法2.
[解析] 所给函数为非基本函数，故求单调区间和最值可利用导数分析，解题的重点是求导的准确性及函数定义域的确定．
函数f(x)的定义域为(0,2)，一、选择题
1．函数y＝x3的递减区间是 ( )
A．(－∞，＋∞)
B．(0，＋∞)
C．(－∞，0)
D．不存在
[答案] D
[解析] ∵y′＝3x2≥0，(x∈R)恒成立，
∴函数y＝x3在R上是增函数．2．函数f(x)＝2x－sinx在(－∞，＋∞)上 ( )
A．是增函数
B．是减函数
C．在(0，＋∞)上增，在(－∞，0)上减
D．在(0，＋∞)上减，在(－∞，0)上增
[答案] A
[解析] f′(x)＝2－cosx>0在(－∞，＋∞)上恒成立．3．(2009·广东文，8)函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是 ( )
A．(－∞，2)
B．(0,3)
C．(1,4)
D．(2，＋∞)
[答案] D
[解析] 考查导数的简单应用．
f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，
令f′(x)>0，解得x>2，故选D.二、填空题
4．函数f(x)＝x3－x的增区间是____________和____________，减区间是____________．5．已知函数f(x)＝－x3＋ax在区间(－1,1)上是单调递增函数，则实数a的取值范围是________．
[答案] a≥3
[解析] 由题意应有f′(x)＝－3x2＋a≥0在区间(－1,1)上恒成立，
即a≥3x2，因为x∈(－1,1)，故a≥3.三、解答题
6．已知x＞1，求证x＞lnx.
[证明] 设f(x)＝x－lnx(x＞1)课件54张PPT。1．知识与技能
了解函数在某点取得极值的条件，会用导数求多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上多项式函数的最大值、最小值．
2．过程与方法
通过本节课的学习，掌握用导数求函数极大值、极小值和闭区间上的最大值、最小值的方法．
3．情感、态度与价值观
通过本节课的学习，体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性，通过对函数的极值与最值的类比，体验知识间的联系，逐步提高科学地分析、解决问题的能力．
本节重点：利用导数的知识求函数的极值．
本节难点：函数的极值与导数的关系．利用函数的导数求极值时，首先要确定函数的定义域；其次，为了清楚起见，可用导数为零的点，将函数的定义域分成若干小开区间，并列成表格，判断导函数在各个小开区间的符号．
求函数的最大值和最小值，需要先确定函数的极大值和极小值，极值是一个局部概念并且不唯一，极大值与极小值之间无确定的大小关系，极大值可能比极小值大，也可能比极小值小．f′(x0)＝0只是函数f(x)在x0取得极值的必要条件，不是充分条件．例如：函数f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)＝x3的极值点．1．已知函数y＝f(x)及其定义域内一点x.对于包含x0在内的开区间内的所有点x，如果都有 ，则称函数f(x)在点x0处取得 ，并把x0称为函数f(x)的一个 ；如果都有 ，则称函数f(x)在点x0处取得 ，并把x0称为函数f(x)的一个 ．极大值与极小值统称为 ，极大值点与极小值点统称为 ．f(x)f(x0)极小值极小值点极值极值点
2．假设函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条 ，该函数在[a，b]上一定能够取得 与 ，该函数在(a，b)内是 ，该函数的最值必在 取得．
连续不断的曲线最大值最小值可导的极值点或区间端点3．当函数f(x)在点x0处连续时，判断f(x0)是否存在极大(小)值的方法是：
(1)如果在x0附近的左侧 ，右侧 ，那么f(x0)是极大值；
(2)如果在x0附近的左侧 ，右侧 ，那么f(x0)是极 值；
(3)如果f′(x)在点x0的左右两侧符号不变，则f(x0) 函数f(x)的极值．f′(x)>0f′(x)<0f′(x)<0f′(x)>0小不是
[例1] 求函数y＝－x3＋12x＋6的极值．
[解析] (1)y′＝－3x2＋12＝－3(x＋2)．令y′＝0，解得x1＝－2，x2＝2.当x变化时，y′，y的变化情况如下表：当x＝－2时，y有极小值，并且y极小值＝f(－2)＝－10；
而当x＝2时，y有极大值，并且y极大值＝f(2)＝22.[规律方法] 一般地，求函数y＝f(x)的极值的步骤是：
(1)求函数y＝f(x)的导数f′(x)；
(2)解方程f′(x)＝0，得方程的根x0(可能不止一个)；
(3)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值．如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．
求函数f(x)＝x3－3x2－9x＋5的极值．
[解析] f′(x)＝3x2－6x－9.
解方程3x2－6x－9＝0，得x1＝－1，x2＝3.
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：因为，当x＝－1时函数取得极大值，且极大值为f(－1)＝10；当x＝3时函数取得极小值，且极小值为f(3)＝－22.
[例2] 已知f(x)＝ax5－bx3＋c在x＝±1处有极大值为4，极小值为0，试确定a、b、c值．
[分析] 对参数的分类讨论是本题的难点．[解析] f′(x)＝5ax4－3bx2＝x2(5ax2－3b)．由题意，f′(x)＝0应有根x＝±1，故5a＝3b，于是f′(x)＝5ax2(x2－1)
(1)当a＞0时，(2)当a＜0时，[说明] 本题从逆向思维的角度出发根据题设条件进行逆向联想，合理地实现了问题的转化，使抽象问题具体化．
[例3] 求函数f(x)＝－x4＋2x2＋3(x∈[－3,2])的最大值和最小值．[解析] f′(x)＝－4x3＋4x＝－4x(x－1)(x＋1)
由f′(x)＝0得x＝0或x＝1或x＝－1，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：∴当x＝－3时，f(x)取得最小值－60，
当x＝－1或x＝1时，函数f(x)取得最大值4.[规律方法] 函数最值的求法
求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值的步骤如下：
(1)求函数f(x)的导数f′(x)；
(2)解方程f′(x)＝0，求出使得f′(x)＝0的所有点；
(3)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；
(4)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的是函数的最大值，最小的是函数的最小值．
求函数f(x)＝x3－3x2＋6x－10在区间[－1,1]上的最值．
[解析] f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x－1)2＋3，所以f′(x)>0在区间[－1,1]上恒成立，即函数f(x)在区间[－1,1]上是单调递增函数，故当x＝－1时，函数取得最小值f(－1)＝－20；当x＝1时，函数取得最大值f(1)＝－6.
[例4] 设函数f(x)＝2x3＋3ax2＋3bx＋8c在x＝1及x＝2时取得极值．
(1)求a，b的值；
(2)若对于任意的x∈[0,3]，都有f(x)0.
所以当x＝1时，f(x)取得极大值f(1)＝5＋8c，
又f(0)＝8c，f(3)＝9＋8c.
则当x∈[0,3]时，f(x)的最大值为f(3)＝9＋8c，
因为对于任意的x∈[0,3]，有f(x)所以9＋8c9，
因此c的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞)．[规律方法] (1)不等式恒成立问题与函数最值有密切的关系，解决有关不等式恒成立问题，通常转化为最值问题来解：
c≥f(x)恒成立?c≥f(x)max；
c≤f(x)恒成立?c≤f(x)min.
(2)高次函数或非基本初等函数的最值问题，通常采用导数法解决．
上例改为“若对任意的x∈[0,3]都有f(x)≥c2成立，求c的取值范围”，如何解答？[解析] 由例题可知
f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c，
若对于任意的x∈[0,3]，都有f(x)≥c2成立，只需f(x)在x∈[0,3]上的最小值大于c2即可．
又当x＝1或x＝2时，f′(x)＝0，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：可见函数f(x)在[0,3]上的最小值为8c，
∴f(x)≥c2恒成立，等价于8c≥c2，
解得0≤c≤8.[例5] 已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值为0，求常数a，b的值．
[误解] 因为f(x)在x＝－1时有极值为0，且f′(x)＝3x2＋6ax＋b，
所以即
解得或
因此常数a＝1时，b＝3；a＝2时，b＝9.
[辨析] 根据极值的定义，函数先减后增为极小值，函数先增后减为极大值，此题未验证x＝－1两侧函数的单调性．[正解] 由错解得当a＝1，b＝3时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，
所以f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去．
当a＝2，b＝9时，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)．
当x∈(－3，－1)时，f(x)为减函数，
当x∈(－1，＋∞)时，f(x)为增函数，
所以f(x)在x＝－1处取得极小值，因此a＝2，b＝9.一、选择题
1．若函数y＝f(x)是定义在R上的可导函数，则f′(x)＝0是x0为函数y＝f(x)的极值点的 ( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] B
[解析] 如y＝x3，y′＝3x2，y′|x＝0＝0，但x＝0不是函数y＝x3的极值点．[答案] A[答案] B二、填空题
4．函数f(x)＝x(x－m)2在x＝2处有极大值，则常数m的值为____________．
[答案] 6
[解析] ∵f(x)＝x(x－m)2＝x3－2mx2＋m2x，
∴f′(x)＝3x2－4mx＋m2，由题意得，f′(2)＝0，
∴m＝6或2，
当m＝2时，函数f(x)在x＝2处取极小值，故m＝6.[答案] 0 －1三、解答题
6．已知函数f(x)＝x3－3x2－9x＋11.
(1)写出函数的递减区间；
(2)讨论函数的极大值或极小值，如有试写出极值．
[解析] f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x＋1)(x－3)，
令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3.
x变化时，f′(x)的符号变化情况及f(x)的增减性如下表所示：(1)由表可得函数的递减区间为(－1,3)．
(2)由表可得，当x＝－1时，函数有极大值为f(－1)＝16；当x＝3时，函数有极小值为f(3)＝－16.课件40张PPT。1．知识与技能
能利用导数解决实际问题中的最优化问题．
2．过程与方法
通过利用导数解决实际问题，学会将实际问题转化为数学问题的方法，掌握利用导数求解实际问题中的最值问题的方法．
3．情感、态度与价值观
通过本节课的学习，进一步体会数学是从实际中来，又将应用于实践中去，体验数学的应用价值，从而提高学习数学的兴趣，坚定学好数学的信心．
本节重点：利用导数知识解决实际中的最优化问题．
本节难点：将实际问题转化为数学问题，建立函数模型．解决最优化问题的关键是建立函数模型，因此需先审清题意，细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的因变量y与自变量x，把实际问题化为数学问题，即列出函数关系式y＝f(x)，根据实际问题确定y＝f(x)的定义域．解决实际应用问题时，要把问题中所涉及的几个变量转化成函数关系式，这需要通过分析、联想、抽象和转化完成，函数的最值要由 和 确定，当定义域是 且函数只有一个 时，这个 也就是它的 ．极值端点的函数值开区间极值极值最值
[例1] 在边长为60cm的正方形铁片的四角上切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？[解析] 设箱高为xcm，则箱底边长为(60－2x)cm，则得箱子容积V是x的函数，
V(x)＝(60－2x)2·x(0＝4x3－240x2＋3600x.
∴V′(x)＝12x2－480x＋3600，
令V′(x)＝0，得x＝10，或x＝30(舍去)
当00，
当10答：当箱子的高为10cm，底面边长为40cm时，箱子的体积最大．[说明] 在解决实际应用问题时，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只需根据实际意义判定是最大值还是最小值．不必再与端点的函数值进行比较．
已知圆柱的表面积为定值S，求当圆柱的容积V最大时圆柱的高h的值．
[例3] 若要做一个容积为324的方底(底为正方形)无盖的水箱，则它的高为多少时，材料最省？[例4] 甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比，比例系数为b(b>0)，固定部分为a元．
(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域；
(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行驶？一、选择题
1．三次函数当x＝1时，有极大值4；当x＝3时，有极小值0，且函数过原点，则此函数是
( )
A．y＝x3＋6x2＋9x B．y＝x3－6x2＋9x
C．y＝x3－6x2－9x D．y＝x3＋6x2－9x
[答案] B[答案] A3．在区间(0，＋∞)内，函数y＝ex－x是( )
A．增函数 B．减函数
C．先增后减 D．先减后增
[答案] A
[解析] y′＝ex－1，∵x>0，∴ex>1，∴ex－1>0，
即y′>0，对x∈(0，＋∞)时恒成立，
∴函数y＝ex－x在(0，＋∞)上是增函数．二、填空题
4．面积为S的一切矩形中，其周长最小的是________．5．函数f(x)＝x2(2－x)的单调递减区间是________．三、解答题
6．有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元与5a元．问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？在(0,50)上，y只有一个极值点，根据实际问题的意义，函数在x＝30(km)处取得最小值，此时AC＝50－x＝20(km)．
∴供水站建在A、D之间距甲厂20km处，可使水管费用最省．课件33张PPT。章末归纳总结导数是微积分的初步知识，是研究函数，解决实际问题的有力工具．
1．导数的应用主要有以下几个方面：
(1)利用导数研究函数的单调性，求单调区间；
(2)利用导数求函数的极值和最值；
(3)利用导数研究函数、方程、不等式和曲线切线问题；(4)利用导数研究实际问题．
利用导数刻画函数的方法比初等方法精确细微；利用导数可用于研究平面曲线的切线；在实际问题中，主要是利用导数求实际问题的最大(小)值，将实际问题数学化后，常见的情形是，该数学问题用初等方法求解往往技巧性要求较高，而用导数方法则显得简便．
另外，导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型．高考中常用这种题目考查学生的综合能力．
1．应熟练掌握导数的四则运算法则．
2．熟练掌握导数在常见问题中的一般方法，这是正确解题的关键．2．导数的意义
(1)几何意义：函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝f′(x0)．
(2)物理意义：函数s＝s(t)在点t处的导数s′(t)，就是当物体的运动方程为s＝s(t)时，物体运动在时刻t时的瞬时速度v，即v＝s′(t)．而函数v＝v(t)在t处的导数v′(t)，就是物体运动在时刻t时的瞬时加速度a，即a＝v′(t)．[答案] 4x－y－4＝0
用导数解决不等式问题是指运用导数求解不等式、比较大小、证明不等式等；用导数研究方程问题，主要是指根据方程构造函数，然后利用导数，研究得到函数的单调性、极值、最值，从而结合函数图象来研究方程的根的个数、大小等问题．这是导数的重要应用之一，也是高考的重点和热点内容．∴x＝x0是其方程的唯一实数根．
即方程f(x)＝g(x)＋3在区间[1，＋∞)上恰有一个实数根．
利用导数研究函数的极大(小)值，函数在闭区间[a，b]上的最大(小)值是本章的重点，求函数的最大值和最小值需要先确定函数的极大值和极小值，因此，求函数的极值是关键．
求函数极值的一般步骤：
(1)确定函数的定义域；
(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)用方程f′(x)＝0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并判断f′(x)在各区间的符号；
(4)结合f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右两侧的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况，并求出这个极值．
(2010·安徽理，17)设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.
(1)求f(x)的单调区间及极值；
(2)求证：当a>ln2－1且x>0时，ex>x2－2ax＋1.[解析] 本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调区间，求函数的极值和证明函数不等式，考查运算能力、综合分析和解决问题的能力．
解题思路是：(1)利用导数的符号判定函数的单调性，进而求出函数的极值．(2)将不等式转化构造函数，再利用函数的单调性证明．(1)解：由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R知f′(x)＝ex－2，x∈R.
令f′(x)＝0，得x＝ln2.于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln2)，单调递增区间是(ln2，＋∞)，
f(x)在x＝ln2处取得极小值，极小值为f(ln2)＝eln2－2ln2＋2a＝2(1－ln2＋a)．(2)证明：设g(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈R，于是g′(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.
由(1)知当a>ln2－1时，g′(x)最小值为g′(ln2)＝2(1－ln2＋a)>0.
于是对任意x∈R，都有g′(x)>0，所以g(x)在R内单调递增．
于是当a>ln2－1时，对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>g(0)．
而g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，g(x)>0.
即ex－x2＋2ax－1>0，故ex>x2－2ax＋1.