2021-2022学年鲁教版（五四制）七年级数学下册8.5 平行线的性质定理 优生辅导训练（word版，含答案）

2021-2022学年鲁教版七年级数学下册《8.5平行线的性质定理》优生辅导训练（附答案）
一．选择题
1．如图，有下列判定，其中正确的有（　　）
①若∠1＝∠3，则AD∥BC；
②若AD∥BC，则∠1＝∠2＝∠3；
③若∠1＝∠3，AD∥BC，则∠1＝∠2；
④若∠C+∠3+∠4＝180°，则AD∥BC．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．将一副三角板按如图放置，则下列结论①∠1＝∠3；②如果∠2＝30°则有AC∥DE；③如果∠2＝30°，则有BC∥AD；④如果∠2＝30°，必有∠4＝∠C，其中正确的有（　　）
A．①②③ B．①②④ C．③④ D．①②③④
3．如图，AB∥EF，C点在EF上，∠EAC＝∠ECA，BC平分∠DCF，且AC⊥BC．下列结论：
①AC平分∠DCE；②AE∥CD；③∠1+∠B＝90°；④∠BDC＝2∠1．
其中结论正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题
4．如图，把一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，若∠1＝62°，则∠AEG＝　 　°．
5．已知，BC∥OA，∠B＝∠A＝100°，点E、F在BC上，OE平分∠BOF，且∠FOC＝∠AOC，下列结论中正确的是：　 　．
①OB∥AC；
②∠EOC＝45°；
③∠OCB：∠OFB＝1：3；
④若∠OEB＝∠OCA，则∠OCA＝60°．
6．如图，将一张纸片沿EF进行折叠，已知AB∥CD，若∠DFC′＝50°，则∠AEF＝　 　．
7．如图a是长方形纸带，∠DEF＝16°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是　 　．
8．一副直角三角尺叠放如图1所示，现将45°的三角尺ADE固定不动，将含30°的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动（旋转角不超过180度），使两块三角尺至少有一组边互相平行．如图2：当∠BAD＝15°时，BC∥DE．则∠BAD（0°＜∠BAD＜180°）其它所有可能符合条件的度数为 　 　．
9．如图，已知∠ABD＝∠PCE，AB∥CD，∠AEC的角平分线交直线CD于点H，∠AFD＝86°，∠H＝22°，∠PCE＝　 　°．
三．解答题
10．已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．
（1）如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系　 　；
（2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证：∠ABD＝∠C；
（3）如图3，在（2）问的条件下，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF＝180°，∠BFC＝3∠DBE，求∠EBC的度数．
11．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE，DF分别是∠ABC，∠ADC的平分线．
（1）∠1与∠2有什么关系，为什么？
（2）BE与DF有什么关系？请说明理由．
12．如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1与∠2互补．
（1）试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，求证：PF∥GH；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接PH，K是GH上一点使∠PHK＝∠HPK，作PQ平分∠EPK，问∠HPQ的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，说明理由．
13．如图，点D、F在线段AB上，点E、G分别在线段BC和AC上，CD∥EF，∠1＝∠2．
（1）判断DG与BC的位置关系，并说明理由；
（2）若DG是∠ADC的平分线，∠3＝85°，且∠DCE：∠DCG＝9：10，试说明AB与CD有怎样的位置关系？
14．如图，AB∥CD，点E为两直线之间的一点
（1）如图1，若∠BAE＝35°，∠DCE＝20°，则∠AEC＝　 　；
（2）如图2，试说明，∠BAE+∠AEC+∠ECD＝360°；
（3）①如图3，若∠BAE的平分线与∠DCE的平分线相交于点F，判断∠AEC与∠AFC的数量关系，并说明理由；
②如图4，若设∠E＝m，∠BAF＝∠FAE，∠DCF＝∠FCE，请直接用含m、n的代数式表示∠F的度数．
15．已知直线AB∥CD，EF是截线，点M在直线AB、CD之间．
（1）如图1，连接GM，HM．求证：∠M＝∠AGM+∠CHM；
（2）如图2，在∠GHC的角平分线上取两点M、Q，使得∠AGM＝∠HGQ．请直接写出∠M与∠GQH之间的数量关系；
（3）如图3，若射线GH平分∠BGM，点N在MH的延长线上，连接GN，若∠AGM＝∠N，∠M＝∠N+∠FGN，求∠MHG的度数．
16．如图，AB∥CD，点E是AB上一点，连结CE．
（1）如图1，若CE平分∠ACD，过点E作EM⊥CE交CD于点M，试说明∠A＝2∠CME；
（2）如图2，若AF平分∠CAB，CF平分∠DCE，且∠F＝70°，求∠ACE的度数；
（3）如图3，过点E作EM⊥CE交∠DCE的平分线于点M，MN⊥CM交AB于点N，CH⊥AB，垂足为H．若∠ACH＝∠ECH，请直接写出∠MNB与∠A之间的数量关系．
17．（1）如图1，已知AB∥CD，则∠AEC＝∠BAE+∠DCE成立吗？请说明理由；
（2）如图2，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在直线交于点E，若∠FAD＝60°，∠ABC＝40°，求∠BED的度数；
（3）如图3，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在直线交于点E，若∠FAD＝α，∠ABC＝β，请你求出∠BED的度数（用含α，β的式子表示）．
18．已知AB∥CD，点M在直线AB上，点N、Q在直线CD上，点P在直线AB、CD之间，连接PM、PN、PQ，PQ平分∠MPN，如图①．
（1）若∠PMA＝α、∠PQC＝β，求∠NPQ的度数（用含α，β的式子表示）；
（2）过点Q作QE∥PN交PM的延长线于点E，过E作EF平分∠PEQ交PQ于点F，如图②，请你判断EF与PQ的位置关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，连接EN，如图③，若∠NEF＝∠PMA，求证：NE平分∠PNQ．
19．如图，已知AC∥FE，∠1+∠2＝180°．
（1）求证：∠FAB＝∠BDC；
（2）若AC平分∠FAD，EF⊥BE于点E，∠FAD＝80°，求∠BCD的度数．
20．如图，AD∥BC，∠BAD的平分线交BC于点G，∠BCD＝90°．
（1）试说明：∠BAG＝∠BGA；
（2）如图1，点F在AG的反向延长线上，连接CF交AD于点E，若∠BAG﹣∠F＝45°，求证：CF平分∠BCD．
（3）如图2，线段AG上有点P，满足∠ABP＝3∠PBG，过点C作CH∥AG．若在直线AG上取一点M，使∠PBM＝∠DCH，求的值．
21．（1）【问题】
如图1，若AB∥CD，∠BEP＝25°，∠PFC＝150°．求∠EPF的度数；
（2）【问题迁移】
如图2，AB∥CD，点P在AB的上方，问∠PEA，∠PFC，∠EPF之间有何数量关系？请说明理由；
（3）【联想拓展】
如图3所示，在（2）的条件下，已知∠EPF＝α，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，用含有α的式子表示∠G的度数．
22．如图，AB∥CD，定点E，F分别在直线AB，CD上，在平行线AB，CD之间有一个动点P，满足0°＜∠EPF＜180°．
（1）试问：∠AEP，∠CFP，∠EPF满足怎样的数量关系？
解：由于点P是平行线AB，CD之间一动点，因此需对点P的位置进行分类讨论．
①如图1，当点P在EF的左侧时，猜想∠AEP，∠CFP，∠EPF满足的数量关系，并说明理由；
②如图2，当点P在EF的右侧时，直接写出∠AEP，∠CFP，∠EPF满足的数量关系为 　 　．
（2）如图3，QE，QF分别平分∠PEB，∠PFD，且点P在EF左侧．
①若∠EPF＝100°，则∠EQF的度数为 　 　；
②猜想∠EPF与∠EQF的数量关系，并说明理由．
参考答案
一．选择题
1．解：①若∠1＝∠3，则AB＝AD，故本小题错误；
②若AD∥BC，则∠2＝∠3，故本小题错误；
③若∠1＝∠3，AD∥BC，则∠1＝∠2，正确；
④若∠C+∠3+∠4＝180°，则AD∥BC正确；
综上所述，正确的有③④共2个．
故选：B．
2．解：∵∠1+∠2＝90°，∠3+∠2＝90°，
∴∠1＝∠3，①正确；
∵∠2＝30°，
∴∠1＝60°，
又∵∠E＝60°，
∴∠1＝∠E，
∴AC∥DE，②正确；
∵∠2＝30°，
∴∠1+∠2+∠3＝150°，
又∵∠C＝45°，
∴BC与AD不平行，③错误；
∵∠2＝30°
∴AC∥DE，
∴∠4＝∠C，④正确．
故选：B．
3．解：∵AB∥EF，
∴∠ECA＝∠BAC，∠BCF＝∠B，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∴∠1+∠BCD＝90°，∠ECA+∠BCF＝90°，
∵BC平分∠DCF，
∴∠BCD＝∠BCF，
∴∠1＝∠ECA，
∴AC平分∠DCE，①正确；
∵∠EAC＝∠ECA，
∴∠EAC＝∠1，
∴AE∥CD，②正确；
∵∠BCF＝∠B，∠BCD＝∠BCF，
∴∠B＝∠BCD，
∴∠1+∠B＝90°，③正确；
∵∠1＝∠ECA＝∠BAC，∠BDC＝∠BAC+∠1，
∴∠BDC＝2∠1，④正确；
故选：D．
二．填空题
4．解：∵四边形ABCD是长方形，
∴AD∥BC，
∴∠DEF＝∠1＝62°，
∵沿EF折叠D到D′，
∴∠FEG＝∠DEF＝62°，
∴∠AEG＝180°﹣62°﹣62°＝56°，
故答案为：56．
5．解：∵BC∥OA，∠B＝∠A＝100°，
∴∠AOB＝∠ACB＝180°﹣100°＝80°，
∴∠A+∠AOB＝180°，
∴OB∥AC．
故①正确；
∵OE平分∠BOF，
∴∠FOE＝∠BOE＝∠BOF，
∴∠FOC＝∠AOC＝∠AOF，
∴∠EOC＝∠FOE+∠FOC＝（∠BOF+∠AOF）＝×80°＝40°．
故②错误；
∵∠OCB＝∠AOC，∠OFB＝∠AOF＝2∠AOC，
∴∠OCB：∠OFB＝1：2．
故③错误；
∵∠OEB＝∠OCA＝∠AOE＝∠BOC，
∴∠AOE﹣∠COE＝∠BOC﹣∠COE，
∴∠BOE＝∠AOC，
∴∠BOE＝∠FOE＝∠FOC＝∠AOC＝∠AOB＝20°，
∴∠OCA＝∠BOC＝3∠BOE＝60°．
故④正确．
故答案为：①④．
6．解：∵AB∥CD，
∴∠EOF＝∠BEO，
由折叠的性质得：∠AEF＝∠OEF，A'E∥C'F，
∴∠EOF＝∠DFC'＝50°，
∴∠BEO＝50°，
∴∠AEF＝∠OEF＝（180°﹣50°）＝65°；
故答案为：65°．
7．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠BFE＝∠DEF＝16°，
∴∠CFE＝∠CFG﹣∠EFG＝180°﹣2∠BFE﹣∠EFG＝180°﹣3×16°＝132°，
故答案为：132°．
8．解：如图，
当AC1∥DE时，∠B1AD＝∠DAE＝45°；
当B2C2∥AD时，∠DAB＝∠B＝60°；
当BC∥AE时，∵∠EAB3＝∠B3＝60°，∴∠B3AD＝∠DAE+∠EAB3＝45°+60°＝105°；
当AB4∥DE时，∵∠E＝∠EAB4＝90°，∴∠B4AD＝∠DAE+∠EAB4＝45°+90°＝135°．
故答案为：45°，60°，105°，135°．
9．解：∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠PDB，
∵∠ABD＝∠PCE，
∴∠PDB＝∠PCE，
∴BD∥CE，
∴∠CEG＝∠DGH，
∵EH平分∠AEC，
∴∠CEH＝∠AEH，
∵∠DGH＝∠EGF，
∴∠EGF＝∠GEF，
∵∠AFD＝∠AEG+∠EGF＝2∠EGF＝86°，
∴∠EGF＝43°，
∴∠DGH＝43°，
∴∠PCE＝∠PDG＝∠H+∠DGH＝65°，
故答案为：65．
三．解答题
10．解：（1）如图1，AM与BC的交点记作点O，
∵AM∥CN，
∴∠C＝∠AOB，
∵AB⊥BC，
∴∠A+∠AOB＝90°，
∴∠A+∠C＝90°，
故答案为：∠A+∠C＝90°；
（2）如图2，过点B作BG∥DM，
∵BD⊥AM，
∴DB⊥BG，即∠ABD+∠ABG＝90°，
又∵AB⊥BC，
∴∠CBG+∠ABG＝90°，
∴∠ABD＝∠CBG，
∵AM∥CN，BG∥AM，
∴CN∥BG，
∴∠C＝∠CBG，
∴∠ABD＝∠C；
（3）如图3，过点B作BG∥DM，
∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，
∴∠DBF＝∠CBF，∠DBE＝∠ABE，
由（2）可得∠ABD＝∠CBG，
∴∠ABF＝∠GBF，
设∠DBE＝α，∠ABF＝β，则
∠ABE＝α，∠ABD＝2α＝∠CBG，∠GBF＝β＝∠AFB，∠BFC＝3∠DBE＝3α，
∴∠AFC＝3α+β，
∵∠AFC+∠NCF＝180°，∠FCB+∠NCF＝180°，
∴∠FCB＝∠AFC＝3α+β，
△BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF＝180°，可得
（2α+β）+3α+（3α+β）＝180°，①
由AB⊥BC，可得
β+β+2α＝90°，②
由①②联立方程组，解得α＝15°，
∴∠ABE＝15°，
∴∠EBC＝∠ABE+∠ABC＝15°+90°＝105°．
11．解：（1）∠1+∠2＝90°；
∵BE，DF分别是∠ABC，∠ADC的平分线，
∴∠1＝∠ABE，∠2＝∠ADF，
∵∠A＝∠C＝90°，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∴2（∠1+∠2）＝180°，
∴∠1+∠2＝90°；
（2）BE∥DF；
在△FCD中，∵∠C＝90°，
∴∠DFC+∠2＝90°，
∵∠1+∠2＝90°，
∴∠1＝∠DFC，
∴BE∥DF．
12．解：（1）如图1，∵∠1与∠2互补，
∴∠1+∠2＝180°．
又∵∠1＝∠AEF，∠2＝∠CFE，
∴∠AEF+∠CFE＝180°，
∴AB∥CD；
（2）如图2，由（1）知，AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFD＝180°．
又∵∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，
∴∠FEP+∠EFP＝（∠BEF+∠EFD）＝90°，
∴∠EPF＝90°，即EG⊥PF．
∵GH⊥EG，
∴PF∥GH；
（3）∠HPQ的大小不会发生变化，利用如下：
∵∠PHK＝∠HPK
∴∠PKG＝2∠HPK
∵GH⊥EG
∴∠KPG＝90°﹣∠PKG＝90°﹣2∠HPK
∴∠EPK＝180°﹣∠KPG＝90°+2∠HPK
∵PQ平分∠EPK
∴∠QPK＝∠EPK＝45°+∠HPK
∴∠HPQ＝∠QPK﹣∠HPK＝45°
∴∠HPQ的大小不会发生变化，其值为45°．
13．解：（1）DG∥BC．
理由：∵CD∥EF，
∴∠2＝∠BCD．
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠BCD，
∴DG∥BC；
（2）CD⊥AB．
理由：∵由（1）知DG∥BC，∠3＝85°，
∴∠BCG＝180°﹣85°＝95°．
∵∠DCE：∠DCG＝9：10，
∴∠DCE＝95°×＝45°．
∵DG是∠ADC的平分线，
∴∠ADC＝2∠CDG＝90°，
∴CD⊥AB．
14．解：
（1）55°
如图所示，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD∴AB∥CD∥EF，
∴∠BAE＝∠1，∠ECD＝∠2，
∴∠AEC＝∠1+∠2＝∠BAE+∠ECD＝35°+20°＝55°，
故答案为55°．
（2）如图所示，过点E作EG∥AB，
∵AB∥CD∴AB∥CD∥EG，
∴∠A+∠1＝180°，∠C+∠2＝180°，
∴∠A+∠1+∠2+∠C＝360°，
即∠BAE+∠AEC+∠ECD＝360°．
（3）①2∠AFC+∠AEC＝360°，理由如下：
由（1）可得，∠AFC＝∠BAF+∠DCF，
∵AF平分∠BAE，CF平分∠DCE，
∴∠BAE＝2∠BAF，∠DCE＝2∠DCF，
∴∠BAE+∠DCE＝2∠AFC，
由（2）可知，∠BAE+∠AEC+∠DCE＝360°，
∴2∠AFC+∠AEC＝360°．
②由①知∠F+∠FAE+∠E+∠FCE＝360°，
∵∠BAF＝∠FAE，∠DCF＝∠FCE，∠BAF+∠DCF＝∠F，
∴∠F＝（∠FAE+∠FCE），
∴∠FAE+∠FCE＝n∠F，
∴∠F+∠E+n∠F＝360°，
∴（n+1）∠F＝360°﹣∠E＝360°﹣m，
∴∠F＝．
15．（1）证明：如图1，过点M作MR∥AB，
又∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥MR．
∴∠GMR＝∠AGM，∠HMR＝∠CHM．
∴∠GMH＝∠GMR+∠RMH＝∠AGM+∠CHM．
（2）解：∴∠M+∠HQG＝180°，
理由：∵MH是∠CHG的平分线，
∴∠CHM＝∠MHG，
由（1）知∠M＝∠AGM+∠MHC，
∵∠MQG＝∠HGQ+∠MHG，∠AGM＝∠HGQ，
∴∠M＝∠MQG，
∵∠MQG+∠HQG＝180°，
∴∠M+∠HQG＝180°．
（3）解：如图3，令∠AGM＝2α，∠CHM＝β，则∠N＝2α，∠M＝2α+β，
∵射线GH是∠BGM的平分线，
∴∠FGM＝BGM＝（180°﹣∠AGM）＝90°﹣α，
∴∠AGH＝∠AGM+∠FGM＝2α+90°﹣α＝90°+α，
∵∠M＝∠N+∠FGN，
∴2α+β＝2α+∠FGN，
∴∠FGN＝2β，
过点H作HT∥GN，
则∠MHT＝∠N＝2α，∠GHT＝∠FGN＝2β，
∴∠GHM＝∠MHT+∠GHT＝2α+2β，
∠CHG＝∠CHM+∠MHT+∠GHT＝β+2α+2β＝2α+3β，
∵AB∥CD，
∴∠AGH+∠CHG＝180°，
∴90°+α+2α+3β＝180°，
∴α+β＝30°，
∴∠GHM＝2（α+β）＝60°．
16．（1）证明：∵EM⊥CE，
∴∠CEM＝90°．
∵∠AEC+∠CEM+∠BEM＝180°，
∴∠AEC+∠BEM＝90°．
∵AB∥CD，
∴∠AEC＝∠ECD，∠CME＝∠BEM．
∴∠ECD+∠CME＝90°．
∴2∠ECD+2∠CME＝180°．
∵CE平分∠ACD，
∴ACD＝2∠ECD．
∴∠ACD+2∠CME＝180°．
∵AB∥CD，
∴∠ACD+∠A＝180°．
∴∠A＝2∠CME．
（2）解：过点F作FM∥AB，如图，
∵AB∥CD，
∴FM∥AB∥CD．
∴∠AFM＝∠BAF，∠CFM＝∠DCF．
∴∠AFM+∠CFM＝∠BAF+∠DCF．
即∠AFC＝∠BAF+∠DCF．
∵AF平分∠CAB，CF平分∠DCE，
∴∠CAB＝2∠BAF，∠DCE＝2∠DCF．
∴∠CAB+∠DCE＝2（∠BAF+∠DCF）＝2∠AFC．
∵∠AFC＝70°，
∴∠CAB+∠DCE＝140°．
∵AB∥CD，
∴∠CAB+∠ACE+∠DCE＝180°．
∴∠ACE＝180°﹣（∠CAB+∠DCE）
＝180°﹣140°
＝40°．
（3）∠MNB与∠A之间的数量关系是：∠MNB＝135°﹣∠A．
延长CM交AN的延长线于点F，如图，
∵MN⊥CM，
∴∠NMF＝90°．
∴∠MNB＝90°﹣∠F．
同理：∠HCF＝90°﹣∠F．
∴∠MNB＝∠HCF．
∵∠ACH＝∠ECH，
∴设∠ACH＝x，则∠ECH＝2x．
∵CM平分∠DCE，
∴设∠ECM＝∠DCM＝y．
∴∠MNB＝∠HCF＝2x+y．
∵AB∥CD，CH⊥AB，
∴CH⊥CD．
∴∠HCD＝90°．
∴∠ECH+∠ECD＝90°．
∴2x+2y＝90°．
∴x+y＝45°．
∵CH⊥AB，
∴∠A＝90°﹣∠ACH＝90°﹣x．
∴∠A+∠MNB＝90°﹣x+2x+y＝90°+x+y＝135°．
∴∠MNB＝135°﹣∠A．
17．解：（1）成立，
理由：如图1中，作EF//AB，则有EF//CD，
∴∠1＝∠BAE，∠2＝∠DCE，
∴∠AEC＝∠1+∠2＝∠BAE+∠DCE；
（2）如图2，过点E作EH//AB，
∵AB//CD，∠FAD＝60°，
∴∠FAD＝∠ADC＝60°，
∵DE平分∠ADC，∠ADC＝60°，
∴，
∵BE平分∠ABC，∠ABC＝40°，
∴，
∵AB//CD，
∴AB//CD//EH，
∴∠ABE＝∠BEH＝20°，∠CDE＝∠DEH＝30°，
∴∠BED＝∠BEH+∠DEH＝50°．
（3）如图3，过点E作EG//AB，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝β，∠ADC＝∠FAD＝α，
∴，，
∵AB//CD，
∴AB//CD//EG，
∴，，
∴．
18．解：（1）过点P作PR∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PR，
∴∠MPR＝∠PMA＝α，∠RPQ＝∠PQC＝β，
∴∠MPQ＝∠MPR+∠RPQ＝α+β，
∵PQ平分∠MPN，
∴∠NPQ＝∠MPQ＝α+β；
（2）如图②，EF⊥PQ，理由如下：
∵PQ平分∠MPN．
∴∠MPQ＝∠NPQ＝α+β，
∵QE∥PN，
∴∠EQP＝∠NPQ＝α+β，
∴∠EPQ＝∠EQP＝α+β，
∵EF平分∠PEQ，
∴∠PEQ＝2∠PEF＝2∠QEF，
∵∠EPQ+∠EQP+∠PEQ＝180°，
∴2∠EPQ+2∠PEF＝180°，
∴∠EPQ+∠PEF＝90°，
∴∠PFE＝180°﹣90°＝90°，
∴EF⊥PQ；
（3）由（2）可知：∠EQP＝∠AMP+∠PQC，∠EFQ＝90°，
∴∠QEF＝90°﹣（∠AMP+∠PQC），
∴∠NQE＝∠PQC+∠EQP＝∠AMP+2∠PQC，
∴∠NEF＝180°﹣∠QEF﹣∠NQE﹣∠QNE
＝180°﹣[90°﹣（∠AMP+∠PQC）]﹣（∠AMP+2∠PQC）﹣∠QNE
＝180°﹣90°+∠AMP+∠PQC﹣∠AMP﹣2∠PQC﹣∠QNE
＝90°﹣∠PQC﹣∠QNE，
∵∠NEF＝∠AMP，
∴90°﹣∠PQC﹣∠QNE＝∠AMP，
即∠APM+2∠PQC+2∠QNE＝180°，
∴∠NQE+2∠QNE＝180°，
∵∠NQE+∠QNE+∠NEQ＝180°，
∴∠QNE＝∠NEQ，
∵QE∥PN，
∴∠PNE＝∠QEN，
∴∠PNE＝∠QNE，
∴NE平分∠PNQ．
19．（1）证明：∵AC∥EF，
∴∠1+∠FAC＝180°，
又∵∠1+∠2＝180°，
∴∠FAC＝∠2，
∴FA∥CD，
∴∠FAB＝∠BDC；
（2）解：∵AC平分∠FAD，
∴∠FAC＝∠CAD，∠FAD＝2∠FAC，
由（1）知∠FAC＝∠2，
∴∠FAD＝2∠2，
∴∠2＝∠FAD，
∵∠FAD＝80°，
∴∠2＝×80°＝40°，
∵EF⊥BE，AC∥EF，
∴AC⊥BE，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BCD＝90°﹣∠2＝50°．
20．（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠GAD＝∠BGA，
∵AG平分∠BAD，
∴∠BAG＝∠GAD
∴∠BAG＝∠BGA；
（2）解：∵∠BGA＝∠F+∠BCF，
∴∠BGA﹣∠F＝∠BCF，
∵∠BAG＝∠BGA，
∴∠∠BAG﹣∠F＝∠BCF，
∵∠BAG﹣∠F＝45°，
∴∠BCF＝45°，
∵∠BCD＝90°，
∴CF平分∠BCD；
（3）解：有两种情况：
①当M在BP的下方时，如图5，
设∠ABC＝4x，
∵∠ABP＝3∠PBG，
∴∠ABP＝3x，∠PBG＝x，
∵AG∥CH，
∴∠BCH＝∠AGB＝＝90°﹣2x，
∵∠BCD＝90°，
∴∠DCH＝∠PBM＝90°﹣（90°﹣2x）＝2x，
∴∠ABM＝∠ABP+∠PBM＝3x+2x＝5x，
∠GBM＝2x﹣x＝x，
∴∠ABM：∠GBM＝5x：x＝5；
②当M在BP的上方时，如图6，
同理得：∠ABM＝∠ABP﹣∠PBM＝3x﹣2x＝x，
∠GBM＝2x+x＝3x，
∴∠ABM：∠GBM＝x：3x＝．
综上，的值是5或．
21．解：（1）如图1，过点P作PQ∥AB，
∵PQ∥AB，AB∥CD，
∴CD∥PQ．
∴∠CFP+∠FPQ＝180°
∴∠FPQ＝180°﹣150°＝30°，
又∵PQ∥AB，
∴∠BEP＝∠EPQ＝25°，
∴∠EPF＝∠EPQ+∠FPQ＝25°+30°＝55°；
（2）∠PFC＝∠PEA+∠P，
理由：如图2，过P点作PN∥AB，则PN∥CD，
∴∠PEA＝∠NPE，
∵∠FPN＝∠NPE+∠FPE，
∴∠FPN＝∠PEA+∠FPE，
∵PN∥CD，
∴∠FPN＝∠PFC，
∴∠PFC＝∠PEA+∠FPE，即∠PFC＝∠PEA+∠P；
（3）如图3，过点G作AB的平行线GH．
∵GH∥AB，AB∥CD，
∴GH∥AB∥CD，
∴∠HGE＝∠AEG，∠HGF＝∠CFG，
又∵∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，
∴∠HGE＝∠AEG＝∠AEP，∠HGF＝∠CFG＝∠CFP，
同（1）易得，∠CFP＝∠P+∠AEP，
∴∠HGF＝（∠P+∠AEP）＝（α+∠AEP），
∴∠EGF＝∠HGF﹣∠HGE＝（α+∠AEP）＝α+∠AEP﹣∠HGE＝α．
22．解：（1）①如图1，当点P在EF的左侧时，过点P作PH∥AB，则PH∥CD，
∴∠AEP＝∠EPH，∠FPH＝∠CFP，
∴∠EPF＝∠EPH+∠FPH＝∠AEP+∠CFP，
当点P在EF的右侧时，过点P作PM∥AB，则PM∥CD，
∴∠AEP+∠EPM＝180°，∠PFC+∠MPF＝180°，
∴∠AEP+∠EPM+∠PFC+∠MPF＝360°，
即，∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°；
故答案为：∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°；
（2）①∠EPF＝100°，则∠EQF＝130°，
由（1）知∠PEA+∠PFC＝∠EPF＝100°，
∵QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，
∴∠PFC+2∠DFQ＝180°，∠PEA+2∠BEQ＝180°，
故∠DFQ+∠BEQ＝130°＝∠EQF，
故答案为130°；
②∠EPF+2∠EQF＝360°．
理由：如图3，QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，
设：∠BEQ＝∠QEP＝α，∠QFD＝∠PFQ＝β，
则∠P＝180°﹣2α+180°﹣2β＝360°﹣2（α+β），
∠Q＝α+β，
即：∠EPF+2∠EQF＝360°．