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第二章 匀变速直线运动的规律
1.匀变速直线运动的研究
自
主
预
习
探
新
知
均匀
均匀
不变化
均匀增加
均匀减小
钩码
静止
电源
释放小车
位移
位移差
时刻
v t
传感器实验系统
数据采集器
力学轨道
线性拟合
√
×
×
×
合
作
探
究
提
素
养
匀变速直线运动的v t 图像初步探究
研究小车的运动
两侧
当
堂
达
标
夯
基
础
tv/(m·s-1)
4
乙
2
甲
I
I
0
1
2
3
4
5
6
7
t/s
◆(ms-)
4
2
I
0
2
4
tls
6
纸带
、
电源插头
01
2
●●●●●●●●◆●●●●●
X2
X3
X4一
X5
X6
2(ms)
0
t/s
4/(ms-1)
0
s
Av/(m.s-1)
5
4
3
2
1
0
0.10.20.30.4
t/s
甲
mmmmmmmmmmmmmmmmml
01
2
345
1
P2 n2
乙匀变速直线运动的研究
学习目标：1.[物理观念]知道匀变速直线运动的定义． 2.[物理观念]了解匀变速直线运动的分类． 3.[科学探究]学会使用打点计时器研究小车的运动情况． 4.[科学探究]学会使用传感器研究小车的运动．
一、匀变速直线运动
1．定义：速度随时间均匀变化的直线运动．
2．特点
(1)任意相等时间内Δv相等，速度均匀变化；
(2)加速度大小、方向都不变化(填“变化”或“不变化”)．
3．分类
(1)匀加速直线运动：速度随时间均匀增加的匀变速直线运动．
(2)匀减速直线运动：速度随时间均匀减小的匀变速直线运动．
二、实验：研究小车的运动
1．方案1：用打点计时器进行研究
(1)与第一章第四节实验采取类似的装置图，但与其不同的在于不再使用手拉细线，而是用细线下方悬挂钩码的方式来拉动小车，使其运动．
(2)用手按住小车，使其保持静止，先开启打点计时器的电源，待工作稳定后释放小车，使它在恒定拉力作用下开始运动，并打出一条纸带．
(3)测量位移、位移差与其对应的时刻填入表格．
(4)求瞬时速度、画v t图像．
2．方案2：用位移传感器进行研究
(1)利用传感器实验系统，我们可以在计算机屏幕上直接获得相关实验结果．
(2)实验系统包括位移传感器、数据采集器、计算机、力学轨道、小车等．
(3)获得数据利用软件线性拟合得到v t图像．
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)匀变速直线运动是速度均匀变化的直线运动． (√)
(2)物体的加速度为负值时，不可能是匀加速直线运动． (×)
(3)速度随时间不断增加的运动叫作匀加速直线运动． (×)
(4)打点计时器可以使用直流电源． (×)
2．关于匀变速直线运动，下列说法正确的是( )
A．是加速度不变、速度随时间均匀变化的直线运动
B．是速度不变、加速度变化的直线运动
C．是速度随时间均匀变化、加速度也随时间均匀变化的直线运动
D．当加速度不断减小时，其速度也一定不断减小
A [匀变速直线运动是速度均匀变化，而加速度不变的直线运动，故A正确．]
3．(多选)如图所示的四个图像中，表示物体做匀加速直线运动的是( )
A B C D
AD [匀加速直线运动的v t图像是一条远离时间轴的倾斜直线，选项A中速度为负值代表速度方向与规定正方向相反，但速度在均匀增大，选项D中速度为正值，代表速度方向与规定正方向相同，速度不断均匀增大，故A、D正确．]
匀变速直线运动的v t图像初步探究
如果C919飞机沿直线做匀速运动，它的v t图像是一条平行于时间轴的直线．在本节课的实验中，小车在重物牵引下运动的v t图像是一条倾斜的直线，它表示小车在做什么样的运动？
提示：(1)v t图像为平行于时间轴的直线，表示物体的速度不随时间变化，做匀速运动．
(2)图像为倾斜的直线，表示小车的速度随时间均匀发生变化，做速度均匀变化的变速运动．
1．匀速直线运动的v t图像：如图甲所示，由于匀速直线运动的速度不随时间改变，因而v t图像是一条平行于时间轴的直线．从图像中可以直接读出速度的大小和方向．
甲 乙
2．匀变速直线运动的v t图像：如图乙所示，匀变速直线运动的v t图像是一条倾斜的直线．
(1)直线a反映了速度随着时间是均匀增加的，为匀加速直线运动的图像．
(2)直线b反映了速度随着时间是均匀减小的，为匀减速直线运动的图像．
(3)直线c反映了速度随着时间先均匀减小，后均匀增加，由于加速度不变，整个运动过程也是匀变速直线运动．
【例1】 (多选)甲、乙两物体从同一位置出发沿同一直线运动，两物体运动的v t图像如图所示，下列判断正确的是( )
A．甲做匀速直线运动，乙做匀变速直线运动
B．两物体两次速度相同的时刻分别在第1 s末和第4 s末
C．乙在前2 s内做匀加速直线运动，2 s后做匀减速直线运动
D．2 s后，甲、乙两物体的速度方向相反
BC [由v t图像知，甲以2 m/s的速度做匀速直线运动，乙在0～2 s内做匀加速直线运动，加速度a1＝2 m/s2，2～6 s内做匀减速直线运动，加速度a2＝－1 m/s2，A错误，C正确；t＝1 s和t＝4 s时二者速度相同，B正确；0～6 s内甲、乙的速度方向都沿正方向，D错误．]
分析v t图像时应注意的两点
(1)加速度是否变化看有无折点：在折点位置，图线的倾斜程度改变，表示此时刻物体的加速度改变，v-t图像为曲线，可认为曲线上处处是折点，加速度时刻在改变．
(2)速度方向是否改变看与时间轴有无交点：在与时间轴的交点位置前后，纵坐标的符号改变，表示物体的速度方向改变．
[跟进训练]
1．(多选)如图所示是质点做直线运动的v t图像，则有 ( )
A．在前6 s内物体做匀变速直线运动
B．在2～4 s内质点做匀变速直线运动
C．4 s末质点的速度大小是4 m/s，方向与规定的正方向相反
D．3～4 s内与4～6 s内质点的速度方向相反
BC [质点在0～6 s内速度方向改变，加速度未保持恒定不变，故整个6 s内质点不是做匀变速直线运动，A错误；质点在2～4 s内，速度图线的斜率不变，即加速度不变，质点做匀变速直线运动，B正确；根据图像可知4 s末质点的速度是－4 m/s，即大小是4 m/s，方向与规定的正方向相反，C正确；质点在3～4 s内和4～6 s内速度均为负值，表明在这两段时间内质点的速度方向相同，都与规定的正方向相反，D错误．]
研究小车的运动
一、用打点计时器进行研究
1．实验原理与方法
(1)利用打点计时器所打纸带的信息，代入计算式vn＝，即用以n点为中心的一小段时间间隔的平均速度代替n点的瞬时速度．
(2)用描点法作出小车的v t图像，根据图像的形状判断小车的运动性质．若所得图像为一条倾斜直线，则表明小车做匀变速直线运动．
(3)利用v t图像求出小车的加速度．
2．实验器材
打点计时器、一端附有定滑轮的长木板、小车、纸带、细绳、钩码、刻度尺、导线、交流电源．
3．实验步骤
(1)如图所示，把一端附有滑轮的长木板放在实验桌上，并使滑轮伸出桌面，把打点计时器固定在长木板上没有滑轮的一端，连接好电路．
(2)把一条细绳拴在小车上，使细绳跨过滑轮，下边挂上钩码，把纸带穿过打点计时器，并把纸带的一端固定在小车的后面．
(3)把小车停在靠近打点计时器处，先接通电源，待它工作稳定后释放小车，使小车在恒定拉力作用下拖着纸带运动，打点计时器就在纸带上打下一列小点．
(4)换上新的纸带，重复实验两次．
(5)增减所挂钩码，按以上步骤再做两次实验．
4．数据处理
(1)表格法
①从几条纸带中选择一条比较理想的纸带，舍掉开始一些比较密集的点，在后面便于测量的地方找一个点，作为计数始点，以后依次每五个点取一个计数点，并标明0,1,2,3,4，…，如图所示．
②依次测出01,02,03,04，…的距离x1，x2，x3，x4，…，填入表中．
位置 1 2 3 4 5 6
长度 x1 x2 x3 x4 x5 x6
各段长度 0～2 1～3 2～4 3～5 4～6 5～7
时间间隔
v/(m·s－1)
③1,2,3,4，…各点的瞬时速度分别为：v1＝，v2＝，v3＝，v4＝，….将计算得出的各点的速度填入表中．
④根据表格中的数据，分析速度随时间变化的规律．
(2)图像法
①在坐标纸上建立直角坐标系，横轴表示时间，纵轴表示速度，并根据表格中的数据在坐标系中描点．
②画一条直线，让这条直线通过尽可能多的点，不在线上的点均匀分布在直线两侧，偏差比较大的点忽略不计，如图所示．
③观察所得到的直线，分析小车的速度随时间的变化规律．
④根据所画v t图像求出小车运动的加速度a＝.
二、用位移传感器进行研究
1．测量装置
(1)方案一 如图所示，该系统由发射器A与接收器B组成，发射器A能够发射红外线和超声波信号，接收器B可以接收红外线和超声波信号．发射器A固定在被测的运动物体上，接收器B固定在桌面上或滑轨上．测量时A向B同时发射一个红外线脉冲和一个超声波脉冲(即持续时间很短的一束红外线和一束超声波)．B接收到红外线脉冲开始计时，接收到超声波脉冲时停止计时．
(2)方案二 如图所示，该系统只有一个不动的小盒C，工作时小盒C向被测的运动物体D发出短暂的超声波脉冲，脉冲被运动物体反射后又被小盒C接收，根据发射与接收超声波脉冲的时间差和空气中的声速，可以得到小盒C与运动物体D的距离．
2．测速原理
(1)方案一利用了声和光在空气中传播速度的不同来确定物体和接收器之间的距离x.若经过Δt时间，两者之间的距离由x1变为x2，则物体运动的速度v＝＝.
(2)方案二中，小盒发出的信号到达被测物体所用的时间是小盒发射信号到接收到反射信号所用时间的一半，再根据空气中声速即可得小盒到被测物体的距离x.若经过Δt时间，两者之间的距离由x1变为x2，则物体运动的速度v＝＝.
3．线性拟合
获得数据后，通过计算机软件对数据进行处理，我们就得到了一系列的(vi，ti)数据．在软件的绘图设置对话框中，将横轴设置为t，纵轴设置为v，可以生成v t的散点图；利用软件的图像分析中的“线性拟合”功能，得到v t图像．
【例2】 在“探究小车速度随时间变化规律”的实验中，如图所示为一次记录小车运动情况的纸带，图中A、B、C、D、E为相邻的计数点(A点为第一个点)，相邻计数点间的时间间隔T＝0.1 s.
(1)根据_______________________计算各点的瞬时速度，则vD＝________m/s，vC＝________m/s，vB＝________m/s.
(2)在如图所示坐标系中画出小车的v t图线，并根据图线求出a＝________.
(3)将图线延长与纵轴相交，交点的物理意义：_______________
______________________________________________________.
[解析] (1)若时间较短，平均速度可以代替中间时刻的瞬时速度．
D点的瞬时速度
vD＝＝ cm/s＝390 cm/s＝3.90 m/s.
C点的瞬时速度
vC＝＝ cm/s＝264 cm/s＝2.64 m/s.
B点的瞬时速度
vB＝＝ cm/s＝138 cm/s＝1.38 m/s.
(2)由上述数据画出小车的v t图像如图所示，由图线的斜率可求得它的加速度a＝＝ m/s2＝12.6 m/s2.
(3)将图线延长后，与纵轴的交点的速度表示零时刻小车经过A点的速度大小．
[答案] (1)某段较短时间内的平均速度等于中间时刻的瞬时速度 3.90 2.64 1.38
(2)图像见解析图 12.6 m/s2
(3)表示小车经过A点的速度大小
1 处理纸带时，一定要分清计时点和计数点，搞清计数点之间的时间间隔T.
2 利用极限思想将平均值过渡到瞬时值是物理学中常用的方法.纸带上某点的瞬时速度等于以此为中心的前、后相邻两点间的平均速度.
3 标度的选择要结合数据及其分布特点制定，以使图像在坐标系中合理分布，大小适中.
[跟进训练]
2．在“探究小车速度随时间变化的规律”的实验中，用打点计时器在纸带上打的点记录了小车的运动情况．某同学做此实验时的步骤如下：
A．拉住纸带，把小车停在靠近打点计时器的位置，放开纸带，再接通电源；
B．将打点计时器固定在长木板上；
C．把一条细绳拴在小车上，细绳跨过定滑轮，下面挂上适当的钩码；
D．小车停止运动后，直接取下纸带；
E．将纸带固定在小车尾部，并穿过打点计时器的限位孔；
F．换上新纸带，再重复操作两次，然后从各纸带中选取一条点迹清晰的进行测量并数据处理．
其中错误或遗漏的步骤有
①____________________________________________________；
②____________________________________________________.
将以上步骤完善后，其合理的顺序为_____________．
[解析] A中应先接通电源，再放开纸带；D中取纸带前应先断开电源．实验步骤合理的顺序为BECADF.
[答案] A中应先接通电源，再放开纸带
D中取纸带前应先断开电源 BECADF
1．物理观念：匀变速直线运动概念，利用打点计时器和位移传感器研究小车运动．
2．科学思维：(1)会利用平均速度求瞬时速度；
(2)会利用v t图像处理实验数据.
1．下列关于匀变速直线运动的说法中，正确的是 ( )
A．匀变速直线运动是运动快慢相同的运动
B．匀变速直线运动是速度变化量相同的运动
C．匀变速直线运动的速度一直在增加
D．匀变速直线运动就是速度变化快慢相同的运动
D [匀变速直线运动是速度变化快慢相同的运动，即在相同时间内速度变化量相等的运动，若时间不相同，则速度的变化量不同，因此A、B错误，D正确；匀变速直线运动分为匀加速直线运动和匀减速直线运动，只有加速度方向与速度方向相同时，才做加速运动，C错误．]
2．(多选)一小球在水平桌面上做直线运动，用照相机对着小球每隔0.1 s拍照一次，得到一幅频闪照片，用刻度尺量得照片上小球各位置如图所示，已知照片与实物的比例为1∶10，则( )
A．图中对应的小球在通过8 cm距离内的平均速度是2 m/s
B．图中对应的小球在通过8 cm距离内的平均速度是1.6 m/s
C．图中对应的小球通过6 cm处的瞬时速度是2.5 m/s
D．图中对应的小球通过6 cm处的瞬时速度是2 m/s
AD [小球在通过8 cm距离内的平均速度＝＝ cm/s＝200 cm/s＝2 m/s，A正确，B错误．可以认为小球通过6 cm处的瞬时速度等于相邻两点间的平均速度v＝＝cm/s＝200 cm/s＝2 m/s，C错误，D正确．]
3．在“探究小车速度随时间变化的规律”的实验中，下列说法正确的是( )
A．长木板一定要水平摆放
B．使用刻度尺测量长度时，不必估读
C．使用刻度尺测量长度时，要估读到分度值的下一位
D．作v t图像时，所描线必须经过每一个点
C [实验过程中，一般长木板应平放，不能侧向倾斜，但适当一端高一端低，也是可以的，A错误；使用刻度尺测长度时，需要估读到分度值的下一位，B错误，C正确；作v t图像时，若各点与直线拟合，则作直线并使直线经过尽量多的点，不在直线上的点，分布在直线两侧，D错误．]
4．(新情景题)如图中的甲是在高速公路上用超声波测速仪测量车速的示意图．
1．实验创新思路：测速仪发出并接收超声波脉冲信号，根据发出和接收到的信号间的时间差，测出被测物体的速度．
2．实验步骤：
(1)测速仪发出的超声波信号，图乙中P1、P2，是测速仪发出的超声波信号．
(2)由汽车反射回来的信号，n1、n2分别是P1、P2反射回来的信号．
(3)测出P1、P2之间的时间间隔Δt＝1.0 s，已知超声波在空气中传播的速度是v＝340 m/s，若汽车是匀速行驶的．
3．数据分析：根据图乙可知，汽车在接收到P1、P2两个信号之间的时间内前进的距离是________m，汽车的速度是________m/s.
[解析] 图乙中每小格代表的时间间隔t0＝＝ s，从发出超声波信号P1到接收到反射信号n1的时间为t1＝12× s＝0.4 s，信号P1到达汽车时汽车离测速仪的距离为x1＝vt1＝×340×0.4 m＝68 m．从发出超声波信号P2到接收到反射信号n2的时间为t2＝9× s＝0.3 s．信号P2到达汽车时汽车离测速仪的距离为x2＝vt2＝×340×0.3 m＝51 m．汽车接收到P1、P2两个信号之间的时间内前进的距离为Δx＝x1－x2＝(68－51)m＝17 m．由图乙可看出测速仪发出的超声波信号P1接触到汽车到测速仪发出的超声波信号P2接触到汽车的时间间隔t＝28.5× s＝0.95 s.
这段时间即为汽车前进17 m所用的时间，所以汽车的速度为17.9 m/s.
[答案] 17 17.9
PAGE
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第二章 匀变速直线运动的规律
2.匀变速直线运动速度与时间的关系
自
主
预
习
探
新
知
初速度
变化量at
一次函数
倾斜直线(或“斜线”)
大小
方向
同向
反向
×
√
×
×
合
作
探
究
提
素
养
匀变速直线运动速度与时间关系式的理解
匀变速直线运动与v t 图像的理解应用
当
堂
达
标
夯
基
础
v/(m.s-1)
8
B
A
6420246
1
2
3
4
6
t/s
vl(m-s-1)
乙
10
甲
5
0
1
2
3
4 t/s匀变速直线运动速度与时间的关系
学习目标：1.[物理观念]理解匀变速直线运动的v t图像特点 2.[科学思维]掌握匀变速直线运动的速度公式，并会用公式解决简单的匀变速直线运动的问题．
一、匀变速直线运动的速度与时间的关系式
1．速度公式：v＝v0＋at.
2．对公式的理解：做匀变速直线运动的物体，在t时刻的速度v等于物体在开始时刻的初速度加上在整个过程中速度的变化量at.
二、匀变速直线运动的v t图像
1．匀变速直线运动的v t图像
公式vt＝v0＋at表示了匀变速直线运动速度vt是时间t的一次函数，对应的v t图像是一条倾斜直线(或“斜线”)．
2．斜率的含义
v t图像的斜率表示加速度的大小和方向．
(1)匀加速直线运动：Δv>0，a＝>0，a与v0同向(填“同向”或“反向”)，如图甲所示．
(2)匀减速直线运动：Δv<0，a＝<0，a与v0反向(填“同向”或“反向”)，如图乙所示．
甲 乙
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在匀变速直线运动中，由公式vt＝v0＋at可知，初速度相同，加速度a越大，则v越大． (×)
(2)匀变速直线运动的v t图像是一条倾斜直线． (√)
(3)v t图像的斜率为负值时，物体一定做匀减速直线运动． (×)
(4)在匀变速直线运动中，由公式v＝v0＋at可知，经过相同时间t，v0越大，则v越大． (×)
2．(多选)在公式v＝v0＋at中，涉及四个物理量，除时间t是标量外，其余三个v、v0、a都是矢量．在直线运动中这三个矢量的方向都在同一条直线上，当取其中一个量的方向为正方向时，其他两个量的方向与其相同的取正值，与其相反的取负值，若取初速度方向为正方向，则下列说法正确的是( )
A．匀加速直线运动中，加速度a取负值
B．匀加速直线运动中，加速度a取正值
C．匀减速直线运动中，加速度a取负值
D．无论匀加速直线运动还是匀减速直线运动，加速度a均取正值
BC [若取初速度方向为正方向，加速度为正值，表示初速度方向和加速度方向相同，物体加速，若物体加速度为负值，物体减速，故B、C正确．]
3．一质点做直线运动，速度vt＝5＋0.3t(m/s)，则质点的初速度为________m/s，加速度为________m/s2，3 s末的速度为________m/s.
[答案] 5 0.3 5.9
匀变速直线运动速度与时间关系式的理解
设一个物体做匀变速直线运动，运动开始时刻(t＝0)的速度为v0(初速度)，加速度为a，请根据加速度公式，求t时刻物体的瞬时速度．
提示：a＝＝ vt＝v0＋at
1．公式的矢量性
(1)公式中的v0、vt、a均为矢量，应用公式解题时，首先要规定正方向，一般取v0的方向为正方向，a、vt与v0的方向相同时取正值，与v0的方向相反时取负值．计算时将各量的数值和正负号一并代入计算．
(2)a与v0同向时物体做匀加速直线运动，a与v0方向相反时，物体做匀减速直线运动．
2．公式的适用条件
公式vt＝v0＋at只适用于匀变速直线运动．
3．公式的特殊形式
(1)当a＝0时，vt＝v0(匀速直线运动)．
(2)当v0＝0时，vt＝at(由静止开始的匀加速直线运动)．
4．速度公式vt＝v0＋at与加速度定义式a＝的比较
速度公式vt＝v0＋at虽然是加速度定义式a＝的变形，但两式的适用条件是不同的：
(1)vt＝v0＋at仅适用于匀变速直线运动；
(2)a＝可适用于任意的运动，包括直线运动和曲线运动．
5．匀变速直线运动：veq \s\do8()＝.
中间时刻的瞬时速度等于始末速度和的一半．
【例1】 在平直公路上，一辆汽车以108 km/h的速度行驶，司机发现前方有危险立即刹车，刹车时加速度大小为6 m/s2，求：
(1)刹车后3 s末汽车的速度大小；
(2)刹车后6 s末汽车的速度大小．
思路点拨：①汽车刹车至速度减为零后将停止运动．
②判断汽车在3 s末、6 s末是否停止运动．
[解析] 汽车行驶速度v0＝108 km/h＝30 m/s，规定v0的方向为正方向，则a＝－6 m/s2
汽车刹车所用的总时间
t0＝＝ s＝5 s.
(1)t1＝3 s时的速度
v1＝v0＋at1＝30 m/s－6×3 m/s＝12 m/s.
(2)由于t0＝5 s[答案] (1)12 m/s (2)0
上例中，若司机前方有下坡，汽车以6 m/s2的加速度加速，则经3 s末汽车的速度大小？
[提示] 由vt＝v0＋at得
v＝30 m/s＋6×3 m/s＝48 m/s.
刹车问题的求解方法
(1)先求出刹车时间t刹＝.(a＜0)
(2)若t＞t刹，车已停止，v＝0；若t＜t刹，再利用vt＝v0＋at计算，求末速度v.
[跟进训练]
1．一物体从静止开始以2 m/s2的加速度做匀加速直线运动，经5 s后做匀速直线运动，最后2 s的时间内物体做匀减速直线运动直至静止．求：
(1)物体做匀速直线运动的速度的大小；
(2)物体做匀减速直线运动时的加速度．
[解析] 解题关键是画出如下的示意图：
设图中A→B做匀加速直线运动，B→C做匀速直线运动，C→D做匀减速直线运动，匀速运动的速度为AB段的末速度，也为CD段的初速度．
(1)由速度与时间的关系式得
vB＝a1t1＝2×5 m/s＝10 m/s
vC＝vB＝10 m/s
即做匀速直线运动的速度为10 m/s.
(2)由vD＝vC＋a2t2得
a2＝＝ m/s2＝－5 m/s2
负号表示加速度方向与运动方向相反．
[答案] (1)10 m/s (2)－5 m/s2，加速度方向与运动方向相反
匀变速直线运动与v t图像的理解应用
2018年10月29日，我国针对运载火箭垂直回收项目进行了一次技术验证，只见一枚火箭升空后，又稳稳地垂直落回目标地点，圆满完成了此次技术验证．
讨论：假如火箭在点火升空时做匀加速直线运动，则其v t图像有什么样的特点？
提示：是一条过原点的倾斜直线．
1．v t图像的应用
通过v t图像，可以明确以下信息：
图线上某点的纵坐标 正负号 表示瞬时速度的方向
绝对值 表示瞬时速度的大小
图线的斜率 正负号 表示加速度的方向
绝对值 表示加速度的大小
图线与坐标轴的交点 纵截距 表示初速度
横截距 表示开始运动或速度为零的时刻
图线的拐点 表示运动性质、加速度改变的时刻
两图线的交点 表示速度相等的时刻
图线与横轴所围图形的面积 表示位移，面积在横轴上方位移为正值，在横轴下方位移为负值
特别提醒：(1)v t图像只能描述直线运动，不能描述曲线运动．
(2)v t图像描述的是物体的速度随时间的运动规律，并不表示物体的运动轨迹．
2．非匀变速直线运动的v t图像
非匀变速直线运动的v t图像是一条曲线，如图所示．
甲 乙
甲图中，在相等的时间Δt内Δv2>Δv1，加速度增大；乙图中，在相等的时间Δt内Δv2<Δv1，加速度减小．即v t图像为曲线时，物体的加速度是变化的，曲线上某点的切线斜率等于该时刻物体的加速度．
【例2】 如图所示，是A、B两物体做匀变速直线运动的速度—时间图像．问：
(1)A、B各做什么运动？其加速度是多少？
(2)两图线的交点有什么意义？
(3)1 s末A、B的速度各是多少？
(4)5 s末A、B的速度各是多少？
思路点拨：v t图线
[解析] (1)A物体沿规定的正方向做匀加速直线运动，加速度大小a1＝＝ m/s2＝1 m/s2，方向与规定的正方向相同；B物体前4 s沿规定的正方向做匀减速直线运动，4 s后沿反方向做匀加速直线运动，其加速度a2＝＝ m/s2＝－2 m/s2，负号表示方向与规定的正方向相反．
(2)图像交点表示二者的速度相等．
(3)1 s末vA＝v0＋a1t1＝(2＋1×1)m/s＝3 m/s，vB＝v0′＋a2t1＝(8－2×1)m/s＝6 m/s，方向都与规定的正方向相同．
(4)5 s末vA′＝v0＋a1t2＝(2＋1×5)m/s＝7 m/s，vB＝v0′＋a2t2＝(8－2×5)m/s＝－2 m/s，A的方向与规定的正方向相同，B的方向与规定的正方向相反．
[答案] 见解析
应用v t图像的三点注意事项
(1)正确认识v t图像，从图像中读出需要的信息是解题关键，其中图线斜率k＞0，加速度为正；图线斜率k＜0，加速度为负．
(2)物体的速度变为负值，表示物体运动方向发生了变化，负号不表示速度的大小．
(3)v t图线为直线且跨过t轴，可分段分析也可全程分析；v t图线是折线一般采用分段分析．
[跟进训练]
2．(多选)甲、乙、丙是三个在同一直线上运动的物体，它们的运动的v t图像如图所示，下列说法正确的是( )
A．丙与甲的运动方向相反
B．丙与乙的运动方向相同
C．乙的加速度的大小大于甲的加速度的大小
D．丙的加速度的大小小于乙的加速度的大小
BC [甲、乙、丙三个物体的速度均为正值，运动方向相同，选项A错误，B正确．根据速度—时间图像斜率的绝对值表示加速度的大小，乙的加速度的大小大于甲的加速度的大小，丙的加速度的大小大于乙的加速度的大小，选项C正确，D错误．]
1．物理观念：速度与时间的关系式vt＝v0＋at，匀变速直线运动v t图像的特点．
2．科学思维：应用vt＝v0＋at和v t图像解决匀变速直线运动问题．
1．一辆匀加速行驶的汽车，经过路旁两根电线杆共用5 s时间，汽车的加速度为2 m/s2，它经过第2根电线杆时的速度为15 m/s，则汽车经过第1根电线杆的速度为( )
A．2 m/s B．10 m/s
C．2.5 m/s D．5 m/s
D [由题意知vt＝15 m/s，a＝2 m/s2，t＝5 s，根据vt＝v0＋at得，v0＝vt－at＝(15－2×5)m/s＝5 m/s，故选D.]
2．歼 20飞机在第11届中国国际航空航天博览会上进行飞行展示，这是中国自主研制的新一代隐身战斗机首次公开亮相．在某次短距离起飞过程中，战机只用了10 s就从静止加速到起飞速度288 km/h，假设战机在起飞过程中做匀加速直线运动，则它的加速度大小为( )
A．28.8 m/s2 B．10 m/s2
C．8 m/s2 D．2 m/s2
C [飞机末速度v＝288 km/h＝80 m/s，飞机做初速度为零的匀加速直线运动，根据公式vt＝v0＋at可知vt＝at，即a＝＝ m/s2＝8 m/s2，选项C正确．]
3．如图所示是几个质点的运动图像，其中是做匀变速直线运动的是( )
甲 乙 丙 丁
A．甲、乙、丙 B．甲、乙、丁
C．甲、丙、丁 D．乙
C [匀变速直线运动的速度—时间图像为倾斜直线，故所给图中甲、丙、丁表示质点做匀变速直线运动，选项C正确．]
4．一列火车匀减速进站，停靠一段时间后又匀加速(同方向)出站．在如图所示的四个v t图像中，正确描述了火车运动情况的是( )
A B C D
B [进站速度均匀减小，出站速度均匀增大，故A、D错误；进站、出站火车的运动方向相同，故B正确，C错误．]
5．(新情境题)某品牌汽车尾部标识有30TFSI、35TFSI、40TFSI等字样．前面数字叫G值，用来表现车型的整体加速度感．数字越大，加速越快，G值的大小为车辆从静止开始加速到100 km/h的平均加速度数值(其单位为国际基本单位)再乘10，若某品牌汽车尾部标有45TFSI字样．
问题：此汽车百公里加速时间是多少？
[解析] 完成百公里加速的G值为G＝×10，解得t＝6.2 s.
[答案] 6.2 s
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7匀变速直线运动位移与时间的关系
学习目标：1.[物理观念]知道v t图像中“面积”与位移的对应关系． 2.[物理观念]理解位移与时间的关系式的意义． 3.[科学思维]掌握三个平均速度公式及其适用条件，会用平均速度求解相关问题． 4.[科学思维]会推导位移差公式Δx＝aT2，会用它解决相关问题．
一、匀速直线运动的位移
1．位移公式：Δx＝vt.
2．v t图像特点
(1)平行于横轴的直线．
(2)位移Δx就对应着那段图像与两个坐标轴间所围成的矩形(即图中阴影区域)的“面积”．
二、匀变速直线运动的位移
1．位移在v t图像中的表示
(1)微元法推导
①将时间t分成若干等份，每一小段时间Δt，都是如图甲所示，每段位移＝每段起始时刻速度×每段的时间＝对应小矩形“面积”．所有这些小矩形合起来就是一个“阶梯形”的图形．
②如果将v t图像中的时间间隔划分的更小些，如图乙所示，所得的阶梯图形与原来的阶梯图形相比较，可以更精确地表示物体在整个过程的位移．
③极限情况下，即把时间分成无限多个小的间隔，如图丙所示，“台阶”形的折线就变成了一条直线，它与两个坐标轴所围成的图形的“面积”，就可以看作等于那个梯形的“面积”．梯形的“面积”在数值上就等于在时间t内的位移值．
甲 乙 丙
(2)结论：做匀变速直线运动的物体的位移对应着v t图像中的图线与对应的时间轴所包围的“面积”．
2．位移与时间的关系
x＝v0t＋at2.
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)位移公式x＝v0t＋at2仅适用于匀变速直线运动． (√)
(2)初速度越大，时间越长，匀变速直线运动物体的位移一定越大． (×)
(3)匀变速直线运动的位移与初速度、加速度、时间三个因素有关． (√)
(4)初速度越大，匀变速直线运动物体的位移一定越大． (×)
2．一物体由静止开始做匀变速直线运动，加速度为2 m/s2，则2 s末速度和位移分别为( )
A．4 m/s 4 m B．2 m/s 4 m
C．4 m/s 2 m D．2 m/s 2 m
A [物体初速度v0＝0，a＝2 m/s2，t＝2 s，
则v＝v0＋at＝0＋2×2 m/s＝4 m/s，
x＝v0t＋at2＝0＋×2×22 m＝4 m，故A正确．]
3．某质点做直线运动的位移随时间变化的关系是x＝4t＋2t 2，x与t的单位分别为m和s，则质点的初速度与加速度分别为( )
A．4 m/s与2 m/s2 B．0与4 m/s2
C．4 m/s与4 m/s2 D．4 m/s与0
C [对比x＝4t＋2t 2和位移公式x＝v0t＋at 2，可知其初速度v0＝4 m/s，2＝a，则加速度a＝4 m/s2，故C正确．]
匀变速直线运动的位移
在珠海航展上，歼 10B矢量推力验证机的出现，为研制垂直起降战斗机发动机铺平了道路．
讨论：如果歼 10B在垂直升空的过程中，做匀加速直线运动，其位移与运动时间的关系是什么？
提示：x＝v0t＋at2.
1．公式的适用条件：位移公式x＝v0t＋at2只适用于匀变速直线运动．
2．公式的矢量性：公式x＝v0t＋at2为矢量公式，其中x、v0、a都是矢量，应用时必须选取统一的正方向，一般选v0的方向为正方向．通常有以下几种情况：
运动情况 取值
若物体做匀加速直线运动 a与v0同向，a取正值(v0方向为正方向)
若物体做匀减速直线运动 a与v0反向，a取负值(v0方向为正方向)
若位移的计算结果为正值 说明位移的方向与规定的正方向相同
若位移的计算结果为负值 说明位移的方向与规定的正方向相反
3.公式的两种特殊形式
(1)当a＝0时，x＝v0t(匀速直线运动)．
(2)当v0＝0时，x＝at2(由静止开始的匀加速直线运动)．
【例1】 一辆汽车正在平直的公路上以72 km/h的速度行驶，司机看见红色信号灯便立即踩下制动器，此后，汽车开始做匀减速直线运动．设汽车减速过程的加速度大小为5 m/s2，求：
(1)开始制动后，前2 s内汽车行驶的距离；
(2)开始制动后，前5 s内汽车行驶的距离．
思路点拨：①由vt＝v0＋at判断滑行的时间．
②由x＝v0t＋at2求x.
[解析] 汽车的初速度v0＝72 km/h＝20 m/s，末速度v＝0，加速度a＝－5 m/s2；汽车运动的总时间t＝＝ s＝4 s.
(1)因为t1＝2 s故x1＝v0t1＋at＝(20×2－×5×22)m＝30 m.
(2)因为t2＝5 s>t，所以汽车5 s时已停止运动
故x2＝v0t＋at2＝(20×4－×5×42)m＝40 m.
[答案] (1)30 m (2)40 m
处理刹车类问题的思路
(1)先确定刹车时间，若车辆从刹车到速度减到零所用的时间为T，则刹车时间为T＝.
(2)将题中所给出的已知时间t与T比较，若Tt，则在利用以上公式进行计算时，公式中的时间应为t.
[跟进训练]
1．物体做匀减速直线运动，初速度为10 m/s，加速度大小为1 m/s2，则物体在停止运动前1 s内的平均速度为 ( )
A．5.5 m/s B．5 m/s
C．1 m/s D．0.5 m/s
D [对于末速度为0的匀减速直线运动可采用逆向思维法处理，速度公式和位移公式变为v＝at、x＝at2.由题意知最后1 s内的位移x＝at2＝×1×12 m＝0.5 m；故物体停止运动前1 s内的平均速度＝＝m/s＝0.5 m/s，选项D正确．]
两个重要推论
1．平均速度
(1)三个平均速度公式及适用条件
①＝，适用于所有运动．
②＝，适用于匀变速直线运动．
③＝v，即一段时间内的平均速度，等于这段时间内中间时刻的瞬时速度，适用于匀变速直线运动．
(2)对＝v＝的推导
设物体的初速度为v0，做匀变速直线运动的加速度为a，t秒末的速度为vt.
由x＝v0t＋at 2得， ①
平均速度＝＝v0＋at. ②
由速度公式vt＝v0＋at知，当t′＝时，
v＝v0＋a ， ③
由②③得＝v. ④
又vt＝v＋a ， ⑤
由③④⑤解得v＝，所以＝v＝.
2．位移差公式Δx＝aT2
(1)匀变速直线运动中任意两个连续相等的时间间隔内的位移差相等．做匀变速直线运动的物体，如果在各个连续相等的时间T内的位移分别为xⅠ、xⅡ、xⅢ、…、xN，则Δx＝xⅡ－xⅠ＝xⅢ－xⅡ＝…＝aT 2.
(2)推导：x1＝v0T＋aT 2，x2＝v0·2T＋a·T 2，x3＝v0·3T＋aT 2…，
所以xⅠ＝x1＝v0T＋aT 2；
xⅡ＝x2－x1＝v0T＋aT 2；
xⅢ＝x3－x2＝v0T＋aT 2…，
故xⅡ－xⅠ＝aT 2，xⅢ－xⅡ＝aT 2…，
所以，Δx＝xⅡ－xⅠ＝xⅢ－xⅡ＝…＝aT 2.
(3)应用
①判断物体是否做匀变速直线运动
如果Δx＝xⅡ－xⅠ＝xⅢ－xⅡ＝…＝xN－xN－1＝aT2成立，则a为一恒量，说明物体做匀变速直线运动．
②求加速度
利用Δx＝aT2，可求得a＝.
【例2】 从车站开出的汽车，做匀加速直线运动，走了12 s时，发现还有乘客没上来，于是立即做匀减速运动至停车，共历时20 s，行进50 m，求其最大速度．
思路点拨：汽车先做初速度为零的匀加速直线运动，达到最大速度后，立即改做匀减速直线运动，中间的最大速度既是第一阶段的末速度，又是第二阶段的初速度．
[解析] 方法一：(基本公式法)设最大速度为vmax，由题意得x＝x1＋x2＝a1t＋vmaxt2－a2t，
t＝t1＋t2，vmax＝a1t1，0＝vmax－a2t2，
解得vmax＝＝ m/s＝5 m/s.
方法二：(平均速度法)由于汽车在前、后两阶段均做匀变速直线运动，故前、后两阶段的平均速度均为最大速度vmax的一半，即，＝＝
由x＝t得vmax＝＝5 m/s.
方法三：(图像法)作出运动全过程的v t图像如图所示，v t图像与t轴围成的三角形的面积与位移等值，故x＝，则vmax＝＝5 m/s.
[答案] 5 m/s
应用推论＝v＝解题时应注意
(1)推论＝v＝只适用于匀变速直线运动，且该等式为矢量式．
(2)该推论是求瞬时速度的常用方法．
(3)当v0＝0时，v＝；当v＝0时，v＝.
[跟进训练]
训练角度1 平均速度法
2．飞机在航空母舰上起飞时，在6 s的时间内从30 m/s的弹射速度加速到起飞速度50 m/s，求航空母舰飞行甲板的最小长度．
[解析] 飞机起飞过程的平均速度
＝＝ m/s＝40 m/s
飞行甲板的最小长度x＝ t＝40×6 m＝240 m.
[答案] 240 m
训练角度2 位移公式法
3．一辆公共汽车进站后开始刹车，做匀减速直线运动．开始刹车后的第1 s内和第2 s内位移大小依次为9 m和7 m，则刹车后6 s内的位移是 ( )
A．20 m B．24 m
C．25 m D．75 m
C [设汽车的初速度为v0，加速度为a.根据匀变速直线运动的推论Δx＝aT2得x2－x1＝aT2
得a＝＝ m/s2＝－2 m/s2.
根据第1 s内的位移x1＝v0t＋at2，代入数据得，9＝v0×1＋×(－2)×12，
解得v0＝10 m/s.
汽车刹车到停止所需的时间t0＝＝ s＝5 s.
则汽车刹车后6 s内的位移等于5 s内的位移，为x＝t0＝×5 m＝25 m．故C正确，A、B、D错误．]
1．物理观念：理解x＝v0t＋at2意义．
2．科学思维：＝＝v和Δx＝aT2推导与应用．
1．某质点的位移随时间的变化规律的关系是：x＝2t2－4t，x与t的单位分别为m和s，则质点的初速度与加速度分别为( )
A．2 m/s与－8 m/s2 B．－4 m/s与4 m/s2
C．0与4 m/s2 D．4 m/s与0
B [根据x＝v0t＋at2＝2t2－4t得，质点的初速度为－4 m/s，加速度为4 m/s2，故B正确，A、C、D错误．]
2．汽车以20 m/s的速度做匀速直线运动，刹车后的加速度大小为5 m/s2，那么开始刹车后2 s内与开始刹车后6 s内汽车通过的位移之比为( )
A．1∶1 B．1∶3
C．3∶4 D．4∶3
C [汽车从刹车到静止用时t刹＝＝ s＝4 s，
故刹车后2 s内汽车的位移x1＝v0t－at2＝(20×2－×5×22)m＝30 m
刹车后6 s内汽车的位移x2＝v0t刹－at＝(20×4－×5×42)m＝40 m，故x1∶x2＝3∶4，故A、B、D错误，C正确．]
3．(多选)物体从静止开始做匀加速直线运动，第3 s内通过的位移是3 m，则 ( )
A．前3 s的位移是6 m
B．3 s末的速度是3.6 m/s
C．3 s内的平均速度是2 m/s
D．第5 s内的平均速度是5.4 m/s
BD [由位移公式x＝at2知，第3 s内的位移为a×32 m－a×22m＝3 m，故加速度a＝1.2 m/s2，所以前3 s 的位移x＝×1.2×32 m＝5.4 m，A错误；第3 s末的速度v＝at＝1.2×3 m/s＝3.6 m/s，B正确；3 s内的平均速度＝＝ m/s＝1.8 m/s，C错误；第5 s内的平均速度等于第4.5 s末的瞬时速度，故v′＝at′＝1.2×4.5 m/s＝5.4 m/s，D正确．]
4．一质点做匀加速直线运动，依次经过O、A、B、C四点，A、B间的距离为10 m，B、C间的距离为14 m，已知物体通过OA段、AB段、BC段所用的时间相等．则O与A的距离为 ( )
A．8 m B．6 m
C．4 m D．2 m
B [OA段、AB段、BC段所用时间相等，由Δx＝x2－x1＝x3－x2＝aT2得，xAB－xOA＝xBC－xAB即10 m－xOA＝14 m－10 m得xOA＝6 m，选项B正确．]
5．(新情境题)如表是济青高铁济南东至青岛北的两个车次，根据列车时刻表请回答
表格一：
车站名称 车次 到点 开点 里程
济南东 G6903 始发站 07：50 0
邹平 G6903 08：06 08：09 51
淄博北 G6903 08：20 08：23 82
潍坊北 G6903 08：50 08：54 190
高密北 G6903 09：13 09：15 253
青岛北 G6903 09：18 终点站 329
表格二：
车站名称 车次 到点 开点 里程
济南东 G6901 始发站 07：25 0
章丘北 G6901 07：37 07：39 30
淄博北 G6901 07：54 07：56 82
青州市北 G6901 08：12 08：14 135
潍坊北 G6901 08：30 08：32 190
高密北 G6901 08：51 08：53 253
胶州北 G6901 09：05 09：07 281
青岛北 G6901 09：33 终点站 329
问题：
(1)G6903次从淄博北到潍坊北运行时间是多少分钟？
(2)G6901次从淄博北到潍坊北区间增加青州市北站多耗用的时间是几分钟？
(3)列车为了增加青州市北站停靠，需要匀减速、停靠、匀加速三个过程，请估算列车进站前后做匀变速运动的距离．
[解析] (1)G6903次从淄博北8：23开到潍坊北8：50，运行时间是27分钟．
(2)G6901次从淄博北7：56开到潍坊北8：30，运行时间是34分钟，结合(1)知增加青州市北站多耗用的时间是7分钟．
(3)停靠车站2分钟，减速加速5分钟，列车进站前后做匀变速运动的距离x＝·t＝12.75 km.
[答案] (1)27分钟 (2)7分钟 (3)12.75 km
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第二章 匀变速直线运动的规律
4.匀变速直线运动规律的应用
自
主
预
习
探
新
知
×
√
×
×
合
作
探
究
提
素
养
速度与位移的关系
匀变速直线运动的几个推论
当
堂
达
标
夯
基
础匀变速直线运动规律的应用
学习目标：1.[物理观念]理解匀变速直线运动的位移与速度的关系． 2.[科学思维]了解匀变速直线运动的位移与速度关系的推导方法． 3.[科学思维]掌握匀变速直线运动的位移、速度、加速度和时间之间的相互关系，会用公式解决匀变速直线运动的问题．
一、位移与速度的关系
1．公式：v－v＝2ax；若v0＝0，则v＝2ax.
2．推导：速度公式vt＝v0＋at，位移公式x＝v0t＋at2
由以上两式可得：v－v＝2ax.
二、匀变速直线运动的推论
中间位置的瞬时速度
1．公式：v＝.
2．推导：在匀变速直线运动中，某段位移x的初、末速度分别是v0和vt，加速度为a，中间位置的速度为v，则根据速度与位移关系式，对前一半位移：v－v＝2a·，对后一半位移v－v＝2a·，即v－v＝v－v，所以v＝.
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)公式v－v＝2ax适用于所有的直线运动． (×)
(2)公式v－v＝2ax中的四个物理量都是矢量，各量的正、负表示与规定的正方向相同还是相反． (√)
(3)因为v－v＝2ax，则v＝v＋2ax，所以物体的末速度vt一定大于初速度v0. (×)
(4)只有初速度为零的匀加速直线运动，v>v的关系才是成立的. (×)
2．物体从长为L的光滑斜面顶端由静止开始下滑，滑到底端时的速率为v，如果物体以v0＝的初速度从斜面底端沿斜面上滑，上滑时的加速度与下滑时的加速度大小相同，则可以达到的最大距离为( )
A． B． C． D．L
C [对于下滑阶段有：v2＝2aL，
对于上滑阶段：0－＝－2ax，
联立解得x＝，A、B、D错误，C正确．]
速度与位移的关系
提示：由v2－v＝2ax得x＝＝3240 m.
1．对公式v－v＝2ax的理解
(1)适用条件：公式表述的是匀变速直线运动的速度与位移的关系，适用于匀变速直线运动．
(2)公式的矢量性：公式中v0、vt、a、x都是矢量，应用时必须选取统一的正方向，一般选v0方向为正方向．
①物体做加速运动时，a取正值，做减速运动时，a取负值．
②x>0，说明物体位移的方向与初速度方向相同；x<0，说明物体位移的方向与初速度的方向相反．
2．两种特殊形式
(1)当v0＝0时，v＝2ax.(初速度为零的匀加速直线运动)．
(2)当vt＝0时，－v＝2ax.(末速度为零的匀减速直线运动)．
【例1】 我国多地出现的雾霾天气，给交通安全带来了很大的危害，某地雾霾天气中高速公路上的能见度只有72 m，要保证行驶前方突发紧急情况下汽车的安全，汽车行驶的速度不能太大．已知汽车刹车时的加速度大小为5 m/s2.
(1)若前方紧急情况出现的同时汽车开始制动，汽车行驶的速度不能超过多大？(结果可以带根号)
(2)若驾驶员从感知前方紧急情况到汽车开始制动的反应时间为0.6 s，汽车行驶的速度不能超过多大？
思路点拨：①该问题中减速过程中，已知量和未知量都不涉及时间，可用速度和位移的关系式求解．
②在驾驶员的反应时间内，汽车做匀速直线运动．
[解析] (1)汽车刹车的加速度a＝－5 m/s2，要在x＝72 m内停下，设行驶的速度不超过v1，
由运动学公式有：0－v＝2ax
代入题中数据可得v1＝12 m/s.
(2)设汽车行驶的速度不超过v2，在驾驶员的反应时间t0内汽车做匀速运动的位移为x1，则
x1＝v2t0
刹车减速位移x2＝－
x＝x1＋x2
联立各式代入数据可得v2＝24 m/s.
[答案] (1)12 m/s (2)24 m/s
运动学问题的一般求解思路
(1)弄清题意．建立一幅物体运动的图景，尽可能地画出草图，并在图中标明一些位置和物理量．
(2)弄清研究对象．明确哪些是已知量，哪些是未知量，据公式特点选用恰当公式．
(3)列方程、求解．必要时要检查计算结果是否与实际情况相符合．
[跟进训练]
1．美国“肯尼迪”号航空母舰上装有帮助飞机起飞的弹射系统．已知“F－15”型战斗机在跑道上加速时，产生的最大加速度为5 m/s2，起飞的最小速度是50 m/s，弹射系统能够使飞机具有的最大速度为30 m/s，则：
(1)飞机起飞时在跑道上至少加速多长时间才能起飞？
(2)航空母舰的跑道至少应该多长？
[解析] (1)飞机在跑道上运动的过程中，当有最大初速度、最大加速度时，起飞所需时间最短，故有
t＝＝ s＝4 s
则飞机起飞时在跑道上的加速时间至少为4 s.
(2)由v－v＝2ax得
x＝＝ m＝160 m，即航空母舰的跑道至少为160 m.
[答案] (1)4 s (2)160 m
匀变速直线运动的几个推论
汽车以2 m/s2的加速度由静止开始启动，若汽车做匀加速直线运动．
请分别计算汽车1 s、2 s、3 s、4 s末的速度，以及1 s、2 s、3 s、4 s末的速度比．你能发现什么规律？
提示：v＝at知v1＝2 m/s，v2＝4 m/s，v3＝6 m/s，v4＝8 m/s，故v1∶v2∶v3∶v4＝1∶2∶3∶4，速度比等于时间比．
1．中间位置的速度与初末速度的关系
在匀变速直线运动中，某段位移x的初末速度分别是v0和v，加速度为a，中间位置的速度为v，则根据速度与位移关系式，对前一半位移v－v＝2a·，对后一半位移v2－v＝2a·，即v－v＝v2－v，所以v＝.由数学知识知：v＞v＝.
2．由静止开始的匀加速直线运动的几个重要比例
(1)1T末、2T末、3T末……nT末瞬时速度之比
v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n.
(2)1T内、2T内、3T内……nT内的位移之比
x1∶x2∶x3∶…∶xn＝12∶22∶32∶…∶n2.
(3)第一个T内、第二个T内、第三个T内……第n个T内位移之比
xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶…∶xn＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)．
(4)通过前x、前2x、前3x……位移时的速度之比
v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶∶∶…∶.
(5)通过前x、前2x、前3x……的位移所用时间之比
t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶∶∶…∶.
(6)通过连续相等的位移所用时间之比
tⅠ∶tⅡ∶tⅢ∶…∶tn＝1∶(－1)∶(－)∶…∶(－)．
【例2】 一小球沿斜面由静止开始匀加速滚下(斜面足够长)，已知小球在第4 s末的速度为4 m/s.求：
(1)第6 s末的速度；
(2)前6 s内的位移；
(3)第6 s内的位移．
思路点拨：①小球做初速度为零的匀加速直线运动．
②注意区别前6 s和第6 s的确切含义．
[解析] (1)由于第4 s末与第6 s末的速度之比
v1∶v2＝4∶6＝2∶3
故第6 s末的速度v2＝v1＝6 m/s.
(2)由v1＝at1得
a＝＝m/s2＝1 m/s2.
所以第1 s内的位移
x1＝a×12 m＝0.5 m
第1 s内与前6 s内的位移之比
x1∶x6＝12∶62
故前6 s内小球的位移x6＝36x1＝18 m.
(3)第1 s内与第6 s内的位移之比
xⅠ∶xⅥ＝1∶(2×6－1)＝1∶11
故第6 s内的位移xⅥ＝11xⅠ＝5.5 m.
[答案] (1)6 m/s (2)18 m (3)5.5 m
有关匀变速直线运动推论的选取技巧
(1)对于初速度为零，且运动过程可分为等时间段或等位移段的匀加速直线运动，可优先考虑应用初速度为零的匀变速直线运动的常用推论．
(2)对于末速度为零的匀减速直线运动，可把它看成逆向的初速度为零的匀加速直线运动，然后用比例关系，可使问题简化．
[跟进训练]
2.(多选)如图所示，一冰壶以速度v垂直进入两个相同矩形区域做匀减速运动，且刚要离开第二个矩形区域时速度恰好为零，则冰壶依次进入每个矩形区域时的速度之比和穿过每个矩形区域所用的时间之比分别是(设冰壶可看成质点)( )
A．v1∶v2＝2∶1 B．v1∶v2＝∶1
C．t1∶t2＝1∶ D．t1∶t2＝(－1)∶1
BD [初速度为零的匀加速直线运动中连续两段相等位移的时间之比为1∶(－1)，故所求时间之比为(－1)∶1，所以C错误，D正确；由v＝at可得初速度为零的匀加速直线运动中的速度之比为1∶，则所求的速度之比为∶1，故A错误，B正确．]
1．物理观念：速度与位移关系v2－v＝2ax.
2．科学思维：v0＝0的匀加速直线运动的推论.
1．做匀减速直线运动的物体经4 s后停止，若在第1 s内的位移是14 m，则最后1 s内的位移是 ( )
A．3.5 m B．2 m C．1 m D．0
B [物体做匀减速直线运动至停止，可以把这个过程看成逆向的初速度为零的匀加速直线运动，则相等时间内的位移之比为1∶3∶5∶7，所以由＝得，所求位移x1＝2 m，故B正确．]
2．A、B、C三点在同一条直线上，一物体从A点由静止开始做匀加速直线运动，经过B点的速度是v，到C点的速度是3v，则xAB∶xBC等于 ( )
A．1∶8 B．1∶6 C．1∶5 D．1∶3
A [由公式v－v＝2ax，得v2＝2axAB，(3v)2＝2a(xAB＋xBC)，两式相比可得xAB∶xBC＝1∶8.]
3．一个做初速度为零的匀加速直线运动的物体，第1秒内位移和第3秒内位移的比为( )
A．1∶9 B．1∶5
C．1∶4 D．1∶316
B [根据x＝at2得1 s内、2 s内、3 s内的位移之比为1∶4∶9，则第1 s内、第3 s内的位移之比为1∶5，故B正确，A、C、D错误．]
4．(新情境题)歼 31是中航工业沈阳飞机工业集团研制的第五代单座双发战斗机，某次该飞机起飞滑行时，从静止开始做匀加速运动，加速度大小为4.0 m/s2，飞机速度达到80 m/s时离开地面升空．如果在飞机刚达到起飞速度时，突然接到命令停止起飞，飞行员立即使飞机紧急制动，飞机做匀减速运动，加速度的大小为5.0 m/s2.请你为该类型的飞机设计一条跑道，使在这种特殊的情况下飞机停止起飞而不滑出跑道．那么，设计的跑道至少要多长？
[解析] 由匀变速直线运动速度—位移关系式，可得飞机匀加速和匀减速阶段的位移分别为
x1＝＝ m＝800 m
x2＝＝ m＝640 m
所以，设计的跑道至少长
x＝x1＋x2＝(800＋640)m＝1 440 m.
[答案] 1 440 m
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第二章 匀变速直线运动的规律
5.自由落体运动
自
主
预
习
探
新
知
重力
静止
重力
自由落体
亚里士多德
落体运动
正比
匀加速
匀加速直线运动
gt
相同
重力加速度
竖直向下
相同
B
增大
9.8 m/s2
10 m/s2
×
×
√
×
×
合
作
探
究
提
素
养
自由落体运动的研究及规律
自由落体加速度
当
堂
达
标
夯
基
础
有空气
D
刚
抽掉空气
Q
asn时
A
ad
打点
计时器
纸带
夹子
重锤
斤
T
4
h
d
cm
0.20
8
0.80
-oB
1.80
oC
3.20
5.00
oE
7.20oF自由落体运动
学习目标：1.[物理观念]知道物体做自由落体运动的条件，知道自由落体是初速度为零的匀加速直线运动． 2.[物理观念]掌握自由落体加速度． 3.[科学思维]能够运用自由落体运动的规律和特点解决有关问题． 4.[科学探究]会通过实验探究自由落体运动的规律，会利用打点计时器测自由落体加速度．
一、自由落体运动
1．亚里士多德观点：重的物体比轻的物体下落得快．
2．自由落体运动的定义：只在重力作用下，物体由静止开始下落的运动．
3．自由落体运动的特点：
①受力特点：只受重力作用．
②物体下落可看作自由落体运动的条件：在实际中物体下落时由于受空气阻力的作用，物体并不是做自由落体运动，只有当空气影响很小可以忽略的情况下，且下落高度不是很大，则可以近似地看作自由落体运动．
二、伽利略对自由落体运动的研究
1．问题提出
不仅要推翻亚里士多德的观点，更重要的是要找出落体运动具体遵循的规律．
2．提出猜想
伽利略提出一个大胆的猜想：物体下落的过程是一个速度随时间均匀增大的过程，其速度与时间成正比，即v∝t.在此基础上通过构造几何图形进行推理，伽利略得出自由落体运动应满足x∝t2的推论．
3．实验验证
伽利略让铜球在近似光滑的斜槽上不同位置由静止滚下，测出小球从不同起点滚动的位移x和所用的时间t.验证了运动距离与时间平方成正比．证实了斜面上滚下的小球速度与时间成正比的猜想．
4．合理外推
将斜面倾角外推到θ＝90°情况——小球自由下落，小球仍会做匀加速运动，从而得到了自由落体运动的规律．
三、自由落体运动的规律
(1)性质：初速度等于零的匀加速直线运动．
(2)基本公式
速度公式v＝gt.
位移公式x＝gt2.
四、自由落体加速度
1．定义：在同一地点，一切物体自由下落的加速度都相同．这个加速度叫作自由落体加速度，也叫作重力加速度，通常用g表示．
2．方向：竖直向下．
3．大小
(1)在地球上的同一地点：一切物体自由下落的加速度都相同．
(2)在地球上不同的地点，g的大小一般是B(A.相同 B．不同)的，g值随纬度的增大而逐渐增大．
(3)一般取值：g＝9.8 m/s2或g＝10 m/s2.
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)只在重力作用下的下落运动就是自由落体运动． (×)
(2)物体越重，重力加速度越大，下落得越快． (×)
(3)理想斜面实验是通过“合理外推”得出自由落体运动的规律的，并没有直接验证自由落体运动的规律． (√)
(4)重力加速度的方向总是垂直地面向下． (×)
(5)物体在月球上做自由落体运动的重力加速度也是9.8 m/s2. (×)
2．(多选)一个铁钉和一团棉花同时从同一高处下落，总是铁钉先落地，这是因为( )
A．铁钉比棉花团重
B．棉花团受到的空气阻力不能忽略
C．棉花团的加速度比重力加速度小
D．铁钉的重力加速度比棉花团的重力加速度大
BC [铁钉下落快，原因是棉花团受到的空气阻力相对其重力不能忽略，导致加速度比铁钉的加速度小，与各自的重力无关，故B、C正确，A错误；两者的重力加速度与质量无关，同一地点物体的重力加速度相同，故D错误．]
3．下列哪位科学家首先采用了实验检验猜想和假设的科学方法，把实验和逻辑推理和谐地结合起来，从而有力地推动了人类科学的发展( )
A．亚里士多德 B．伽利略
C．牛顿 D．爱因斯坦
B [在物理学发展史上，伽利略把实验和逻辑推理和谐地结合起来，有力地推动了人类科学的发展，故B正确．]
自由落体运动的研究及规律
如图所示，在有空气的玻璃管中，金属片比羽毛下落得快，在抽掉空气的玻璃管中，金属片和羽毛下落快慢相同．
(1)为什么物体下落快慢相同？
(2)空气中的落体运动在什么条件下可看作自由落体运动？
提示：(1)因为没有空气阻力．
(2)空气阻力作用可以忽略．
1．对自由落体运动的理解
(1)自由落体运动的条件：
①运动条件：初速度为零．
②受力条件：除重力外不受其他力的作用．
(2)自由落体运动是一种理想化模型
①这种模型忽略了次要因素——空气阻力，突出了主要因素——重力．实际中，物体下落时由于受空气阻力的作用，并不做自由落体运动．
②当空气阻力远小于重力时，物体由静止开始的下落可看作自由落体运动．如在空气中石块的自由下落可看作自由落体运动，空气中羽毛的下落不能看作自由落体运动．
(3)自由落体运动的图像：自由落体运动的v t图像(如图所示)是一条过原点的倾斜直线，斜率k＝g.
2．研究自由落体运动的方法
(1)利用打点计时器进行研究．
(2)利用频闪照片进行研究．
3．自由落体运动的重要推论
(1)整个自由落体运动的平均速度等于末速度v的一半，也等于中间时刻的瞬时速度v，即＝＝v.
(2)在连续相等的时间(T)内位移之差为一恒定值，即Δh＝gT2.
(3)自由落体运动是初速度为零的匀变速直线运动，因此其规律与初速度为0的匀加速直线运动相同，即v＝gt，h＝gt2，v2＝2gh.
【例1】 如图所示，有一根长为l＝0.5 m的木棍AB，悬挂在某房顶上，它自由下落时经过一高为d＝1.5 m的窗口，通过窗口所用的时间为0.2 s，求木棍B端离窗口上沿的距离h.(不计空气阻力，g取10 m/s2)
思路点拨：自由落体运动是初速度为零、加速度为g的匀加速直线运动．木棍下端到达窗口上沿的位移为h，根据位移公式列出h与所用时间的关系式．木棍上端到达窗口下沿的位移为h＋d＋l，列出其与所用时间的表达式，再联立求解h.
[解析] 设木棍B端下落到窗口上沿所用的时间为t，则A端下落到窗口下沿所用的总时间为t＋0.2 s，B下落到上沿有h＝gt2，A下落到下沿有h＋d＋l＝g(t＋0.2 s)2，联立以上两式得t＝0.9 s，h＝4.05 m.
[答案] 4.05 m
处理自由落体运动问题时，首先要善于根据题意，灵活运用公式，特别是注意如下特殊问题的求解：对于不可以看作质点的物体的运动，比如铁链自由下落，计算经过某点所用的时间时，由于它有一定的长度，经过这一点时不是一瞬间，而是一段时间，解决这类问题的关键是选准研究过程，找准与这段研究过程的起点和终点相对应的位移，解答过程中应借助示意图，搞清楚物体运动的过程，从而达到解决问题的目的.
[跟进训练]
1．“自由落体”演示实验装置如图所示，当牛顿管被抽成真空后，将其迅速倒置，管内轻重不同的物体从顶部下落到底端的过程中，下列说法正确的是( )
A．时间相同，加速度相同
B．时间相同，加速度不同
C．时间不同，加速度相同
D．时间不同，加速度不同
A [轻重不同的物体在牛顿管中不受空气阻力，做自由落体运动，所以加速度相同，都为g；因高度相同，根据h＝gt2知运动时间相同．故A正确，B、C、D错误．]
自由落体加速度
不同地点重力加速度g是否相同？g若不同与什么因素有关？
提示：不同地点g不同，g与纬度和海拔高度有关．
1．自由落体加速度的大小
(1)产生原因：由处在地球上的物体受到重力作用而产生的，因此也称为重力加速度．
(2)大小：与所处地球上的位置及距地面的高度有关．
①在地球表面会随纬度的增加而增大，在赤道处最小，在两极最大，但差别很小．
②在地面上的同一地点，随高度的增加而减小，但在一定的高度范围内，可认为重力加速度的大小不变．通常情况下g取9.8 m/s2，粗略计算时g可取10 m/s2.
2．自由落体加速度的方向
(1)方向竖直向下，不是垂直向下，也不是指向地球球心．
(2)由于地球是球体，各处重力加速度的方向并不相同．
3．重力加速度的测量方法
(1)打点计时器法
①利用如图所示装置，让物体自由下落打出点迹清晰的纸带．
②对纸带上计数点间的距离x进行测量，利用g＝，求出重力加速度．
(2)频闪照相法：频闪照相机可以间隔相等的时间拍摄一次，利用频闪照相机可追踪记录做自由落体运动的物体在各个时刻的位置，根据匀变速运动的推论Δx＝gT2可求出重力加速度g＝.也可以根据v＝＝，求出物体在某两个时刻的速度，由g＝，也可求出重力加速度g.
(3)滴水法：如图所示，让水滴自水龙头滴下，在水龙头正下方放一个盘，调节水龙头，让水一滴一滴地滴下，并调节到使第一滴水碰到盘的瞬间，第二滴水正好从水龙头口开始下落，并且能依次持续下去．用刻度尺测出水龙头口距盘面的高度h，再测出每滴水下落的时间T，其方法是：当听到某一滴水滴落在盘上的同时，开启秒表开始计时，之后每落下一滴水依次数1、2、3、…，当数到n时按下秒表停止计时，则每一滴水下落的时间为T＝，由h＝gT2 得g＝＝.
(4)误差来源：
①打点计时器法的误差主要来自阻力的影响和测量误差．
②频闪照相法和滴水法的误差主要是测量误差．
【例2】 甲、乙两图都是使用电磁打点计时器测量重力加速度g的装置示意图，已知该打点计时器的打点频率为50 Hz.
甲 乙 丙
(1)甲、乙两图相比较，哪个图所示的装置更合理？_____________.
(2)丙图是采用较合理的装置并按正确的实验步骤进行实验打出的一条纸带，其中打出的第一个点标为1，后面依次打下的一系列点迹分别标为2、3、4、5…经测量，第15至第17点间的距离为11.70 cm，第1至第16点间距离为43.88 cm，则打下第16个点时，重锤下落的速度大小为________m/s，测出的重力加速度值为g＝________ m/s2.(要求保留三位有效数字)
思路点拨：①利用v＝＝求打第16个点时重锤的速度．②利用v＝gt和h＝gt2求g.
[解析] (1)甲图释放时更稳定，既能更有效地减小摩擦力，又能保证释放时初速度的大小为零，所以甲图更合理．
(2)自由落体运动是初速度为零的匀加速直线运动，所以v16＝＝2.93 m/s
又根据v16＝gt h＝gt2
可得g＝9.78 m/s2.
[答案] (1)甲图 (2)2.93 9.78±0.02
利用纸带求重力加速度的三种方法
(1)逐差法：依据相等时间间隔内的位移差为定值，即Δx＝gT 2，则g＝.
(2)平均值法：依据位移公式x＝gt 2，得g＝，并多次测量x、t，求多个g值，再取平均值．
(3)图像法：用vn＝，求各打点时刻的瞬时速度，画出v t图像，由图像斜率求g值．
[跟进训练]
3．登上月球的宇航员利用频闪仪(频率为20 Hz)给自由下落的小球拍照，所拍的闪光照片如图所示(图上所标数据为小球到达各位置时总的下落高度)，则月球表面的重力加速度为________m/s2(保留两位有效数字)．
[解析] 由O到F，每两个相邻位置间的距离依次记为x1、x2、x3、x4、x5、x6，根据逐差法有，小球的加速度为a＝，其中T＝0.05 s，x6＋x5＋x4＝(7.20－1.80)cm＝5.40 cm，x1＋x2＋x3＝1.80 cm，代入数据得a＝1.6 m/s2.
[答案] 1.6
1．物理观念：自由落体运动的概念，基本规律．
2．科学思维：运用自由落体运动的规律解决问题．
3．科学探究：测量重力加速度.
1．小丽同学在探究自由落体运动规律时，从生活情境中选出处于不同状态的四种物体进行探究，你认为哪一个选项中的物体所做运动是自由落体运动 ( )
A．枫叶的自由下落的运动
B．从桌边由静止开始滑落的钢笔的运动
C．被运动员推出去的铅球的运动
D．从水面自由落到水底的石子的运动
B [枫叶在自由下落时，所受到的空气阻力并不远小于其重力，阻力不能忽略不计，枫叶的下落不是自由落体运动，选项A错误；钢笔从桌边由静止开始滑落后，钢笔的运动是自由落体运动，因为其初速度为零且下落过程中的阻力远小于钢笔的重力，可忽略不计，选项B正确；被运动员推出去的铅球初速度不为零，不是自由落体运动，选项C错误；从水面自由落到水底的石子，除了自身重力外，还受水的浮力和阻力作用，不是自由落体运动，选项D错误．]
2．关于重力加速度的说法中不正确的是 ( )
A．重力加速度g是标量，只有大小没有方向，通常计算中g取9.8 m/s2
B．在地面上不同的地方，g的大小不同，但它们相差不是很大
C．在地球上同一地点，一切物体在自由落体运动中落至同一高度时的加速度都相同
D．在地球上同一地点，离地面高度越大，重力加速度g越小
A [重力加速度是矢量，方向竖直向下，在地球的表面，不同的地方重力加速度g的大小略有不同，但都为9.8 m/s2 左右．在地球表面同一地点，g的值都相同，但随着高度的增大，g的值逐渐减小，故A不正确．]
3．伽利略在对自由落体运动的研究过程中，开创了如图所示的一套科学研究方法，其中方框2和4中的方法分别是( )
→→→→→
A．实验检验，数学推理 B．数学推理，实验检验
C．提出假设，实验检验 D．实验检验，合理外推
C [这是依据思维程序排序的问题，这一套科学研究方法，要符合逻辑顺序，即通过观察现象，提出假设，根据假设进行逻辑推理，然后对自己的逻辑推理进行实验检验，紧接着要对实验结论进行修正推广．故A、B、D错误，C正确．]
4．一物体从H高处自由下落，经时间t落地，则当它下落时，离地的高度为 ( )
A． B． C． D．
C [由h＝gt2得，H＝gt2，当下落时，物体下落高度h＝g＝，此时离地高度为h′＝H－h＝H，故C正确．]
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