7.4.2超几何分布 同步检测-2021-2022学年高二下学期数学 人教A版（2019）选择性必修第三册（word版含答案）

7.4.2 超几何分布（同步检测）
一、选择题
1.(多选题)关于超几何分布，下列说法正确的是(　　)
A．超几何分布的模型是不放回抽样
B．超几何分布的总体里可以有两类或三类物品
C．超几何分布的参数是N、M、n
D．超几何分布的总体往往由差异明显的两部分组成
2.一批产品共10件，次品率为20%，从中任取2件，则恰好取到1件次品的概率为(　　)
A． B．
C． D．
3.现有语文、数学课本共7本(其中语文课本不少于2本)，从中任取2本，至多有1本语文课本的概率是，则语文课本共有(　　)
A．2本 B．3本
C．4本 D．5本
4.有8件产品，其中3件是次品，从中任取3件，若X表示取得次品的件数，则P(X≤1)＝(　　)
A． B．
C． D．
5.(多选题)10名同学中有a名女生，若从中抽取2个人作为学生代表，恰好抽取1名女生的概率为，则a的可能取值为(　　)
A．1 B．3
C．2 D．8
6.(多选题)一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6；还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10.现从中任取4个球，有如下几种变量，其中变量服从超几何分布的是(　　)
A．X表示取出的最大号码
B．X表示取出的最小号码
C．取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X表示取出的4个球的总得分
D．X表示取出的黑球个数
7.一个盒子里装有大小相同的红球、白球共30个，其中白球4个．从中任取两个，则概率为的事件是(　　)
A．没有白球 B．至少有一个白球
C．至少有一个红球 D．至多有一个白球
二、填空题
8.设袋中有8个红球，2个白球，若从袋中任取4个球，则其中恰有3个红球的概率为________
9.袋中装有5个红球和4个黑球，从袋中任取4个球，取到1个红球得3分，取到1个黑球得1分．设得分为随机变量ξ，则概率P(ξ≥8)＝________
10.从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，则取得次品数ξ的均值为______
11．50张彩票中只有2张中奖票，今从中任取n张，为了使这n张彩票里至少有一张中奖的概率大于0.5，n至少为________
12．某校为了解高三学生身体素质情况，从某项体育测试成绩中随机抽取n个学生成绩进行分析，得到成绩频率分布直方图(如图所示)，已知成绩在[90，100]的学生人数为8，且有4个女生的成绩在[50，60)中，则n＝______；现由成绩在[50，60)的样本中随机抽取2名学生，记所抽取学生中女生的人数为ξ，则ξ的数学期望是________．
三、解答题
13.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数．求：(1)ξ的分布列；(2)“所选3人中女生人数不超过1”的概率．
14.在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．
(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；
(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列．
15.某市在城市总体规划中提出若干年后实现“15分钟社区生活圈”全覆盖的目标，从教育与文化、医疗与养老、交通与购物、休闲与健身4个方面构建“15分钟社区生活圈”指标体系，并依据“15分钟社区生活圈”指数高低将小区划分为：优质小区(指数为0.6～1)、良好小区(指数为0.4～0.6)、中等小区(指数为0.2～0.4)以及待改进小区(指数为0～0.2)4个等级．下面是三个小区4个方面指标的调查数据：
注：每个小区“15分钟社区生活圈”指数T＝w1T1＋w2T2＋w3T3＋w4T4，其中w1，w2，w3，w4为该小区四个方面的权重，T1，T2，T3，T4为该小区四个方面的指标值(小区每一个方面的指标值为0～1之间的一个数值).
现有100个小区的“15分钟社区生活圈”指数数据，整理得到如下频数分布表：
分组 [0，0.2) [0.2，0.4) [0.4，0.6) [0.6，0.8) [0.8，1]
频数 10 20 30 30 10
(1)分别判断A，B，C三个小区是否为优质小区，并说明理由．
(2)对这100个小区按照优质小区、良好小区、中等小区和待改进小区进行分层抽样，抽取10个小区进行调查，若在抽取的10个小区中再随机地选取2个小区做深入调查，记这2个小区中优质小区的个数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．
参考答案：
一、选择题
1.ACD　
解析：由超几何分布的定义可知A、C、D均正确，因超几何分布的总体只有两类物品，故B错误．
2.B　
解析：由题意可知10件产品中有2件次品符合超几何分布，故所求的概率为P(X＝1)＝＝.
3.C　
解析：设语文课本有x本，则数学课本有(7－x)本，由题意知＋＝.
整理，得x2－x－12＝0，解得x＝－3(舍)或x＝4.∴语文课本有4本．]
4.B　解析：根据题意，得P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＝＋＝.
5.CD　解析：由题意知＝，解得a＝2或8.]
6.CD　
解析：将黑球视作次品，白球视作正品，则可以用超几何分布的数学模型计算概率的为CD，AB不符合超几何分布定义．]
7.B　
解析：＝＋表示任取的两个球中只有一个白球和两个都是白球的概率，即至少有一个白球的概率．
二、填空题
8.答案：　
解析：从袋中10个球中任取4个球，共有C种取法，则其中恰有3个红球的取法为CC.
∴从袋中任取4个球，则其中恰有3个红球的概率P＝＝.
9.答案：　
解析：由题意知P(ξ≥8)＝1－P(ξ＝6)－P(ξ＝4)＝1－－＝.
10.答案：　解析：由超几何分布的均值公式可知E(X)＝n·＝3×＝.
11．答案：15　解析：用X表示中奖票数，P(X≥1)＝＋>0.5，解得n≥15.
12．答案：50，　
解析：由(0.012＋0.016＋0.018＋0.024＋x)×10＝1，解得x＝0.03.
依题意0.016×10n＝8，则n＝50.成绩在[50，60)的人数为0.012×10×50＝6，
其中4个为女生，2个为男生．ξ的可能取值为0，1，2.
P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝＝，故E(ξ)＝0×＋×1＋2×＝.
三、解答题
13.解：(1)ξ可能取的值为0，1，2，服从超几何分布，P(ξ＝k)＝，k＝0，1，2.
所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2
P
(2)由(1)知“所选3人中女生人数不超过1”的概率为P(ξ≤1)＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝.
14.解：(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M，则P(M)＝＝.
(2)由题意知X所有可能的取值为0，1，2，3，4，则
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝.
因此X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
15.解：(1)A小区的指数T＝0.7×0.2＋0.7×0.2＋0.5×0.32＋0.5×0.28＝0.58，0.58<0.60，
所以A小区不是优质小区．
B小区的指数T＝0.9×0.2＋0.6×0.2＋0.7×0.32＋0.6×0.28＝0.692，0.692>0.60，
所以B小区是优质小区．
C小区的指数T＝0.1×0.2＋0.3×0.2＋0.2×0.32＋0.1×0.28＝0.172，0.172<0.60，
所以C小区不是优质小区．
(2)依题意，抽取10个小区中，共有优质小区10×＝4个，其它小区10－4＝6(个).
依题意ξ的所有可能取值为0，1，2.
P(ξ＝0)＝＝＝，P(ξ＝1)＝＝＝，P(ξ＝2)＝＝＝，
则ξ的分布列为
ξ 0 1 2
P
E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.