2021-2022学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册7.3.1离散型随机变量的均值课件（27张ppt）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册7.3.1离散型随机变量的均值课件（27张ppt） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 930.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-03-29 16:14:55 | ||
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文档简介
(共27张PPT)
7.3 离散型随机变量的数字特征
7.3.1 离散型随机变量的均值
高二数学选择性必修第三册第七章随机变量及其分布
离散型随机变量的分布列
1.概率分布列（分布列）
注意：①列出随机变量的所有可能取值；
②求出随机变量的每一个值发生的概率.
3.求随机变量X分布列的步骤如下:
复习巩固
≥
1
概率之和
2.离散型随机变量分布列的性质：
(1)确定取值：根据随机变量X的意义,写出X全部可能的取值；
(2)求 概 率：求出X取每个值的概率；
(3)写分布列：写出X的分布列（有时也可省略）.
X x1 x2 … xn
P …
离散型随机变量的分布列全面地刻画了这个随机变量的取值规律.但在解决有些实际问题时,直接使用分布列并不方便.有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特征。
例如，要了解某班同学在一次数学测验中的总体水平，我们通常会比较平均分；要了解某班同学数学成绩是否“两极分化”，我们通常会考察这个班数学成绩的方差。
因此,类似于研究一组数据的均值和方差,我们也可以研究离散型随机变量的均值和方差,它们统称为随机变量的数字特征.
问题导学
问题1：甲、乙两名射箭运动员进行了100次射击，成绩如下（单位：环）：
环数X 7 8 9 10
甲射中的频率 0.1 0.2 0.3 0.4
乙射中的频率 0.15 0.25 0.4 0.2
甲、乙两人谁的射箭水平更高呢？
问题探究
样本均值
类似两组数据的比较，首先比较击中的平均环数，如果平均环数相等，再看稳定性.假设甲射箭n次，射中7环、8环、9环和10环的频率分别为
甲n次射箭射中的平均环数为
问题2：甲、乙两名射箭运动员以往的射击比赛，分布列如下表所示：
问题探究
环数X 7 8 9 10
甲射中的概率 0.1 0.2 0.3 0.4
乙射中的概率 0.15 0.25 0.4 0.2
甲、乙两人谁的射箭水平更高呢？
当n足够大时，频率稳定于概率，所以 稳定于
7×0.1+8×0.2+9×0.3+10×0.4=9.
即甲射中平均环数的稳定值(理论平均值)为9,
这个平均值的大小可以反映甲运动员的射箭水平.
同理，乙射中环数的平均值为
7×0.15+8×0.25+9×0.4+10×0.2=8.65.
从平均值的角度比较，甲的射箭水平比乙高.
问题探究
问题1：甲、乙两名射箭运动员进行了100次射击，成绩如下（单位：环）：
环数X 7 8 9 10
甲射中的频率 0.1 0.2 0.3 0.4
乙射中的频率 0.15 0.25 0.4 0.2
甲、乙两人谁的射箭水平更高呢？
问题探究
问题2：甲、乙两名射箭运动员以往的射击比赛，分布列如下表所示：
环数X 7 8 9 10
甲射中的概率 0.1 0.2 0.3 0.4
乙射中的概率 0.15 0.25 0.4 0.2
甲、乙两人谁的射箭水平更高呢？
样本均值
一般地，若离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望.
它反映了离散型随机变量的平均水平.
概念生成
期望的计算是从概率分布出发，因而它是概率意义下的平均值.对于确定的随机现象，随机变量的均值是确定的常数，不依赖于样本的抽取.而样本均值是一个随机的数值，它随着样本抽取的不同而变化.因此我们也可以得出随机变量的均值与样本均值的区别与联系：
离散型随机变量的均值说明
①区别:随机变量的均值是一个常数,它不依赖于样本的抽取,而样本的平均值是一个随机变量,它随样本的不同而变化；
②联系:对于简单随机样本,随着样本容量的增加样本的平均值越来越接近于总体的均值.因此我们常用样本的平均值估计总体的均值.
概念解析
例1:在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分. 如果某运动员罚球命中的概率为0.8，那么他罚球1次的得分X的均值是多少？
X=1或X=0
P(X=1)=0.8
X 0 1
P 0.2 0.8
变式1:如果将题目中概率0.8改成p,那么他罚球1次得分X的均值是多少呢？
所以 E(X)=0×P(X=0)+1×P(X=1)
=0×0.2+1×0.8 =0.8
即他罚球1次的得分X的均值是0.8.
解：因为P(X=1)=0.8，P(X=0)=0.2，
典例解析
一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)=？
若X服从两点分布，则E(X)=p.
X 0 1
P 1－ p p
例题推广
在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分.如果某运动员罚球命中的概率为0.8，那么他罚球2次的得分X的均值是多少？
解：因为可能取值为0,1,2.
所以
所以.
所以他罚球2次的得分X的均值是1.6.
变式2
X 0 1 2
P 0.04 0.32 0.64
即X的分布列如右图所示：
(1)确定取值：根据随机变量X的意义,写出X全部可能的取值；
(2)求概率：求出X取每个值的概率；
(3)写分布列：写出X的分布列（有时也可省略）；
(4)求均值：由均值的定义公式求出E(X).
求离散型随机变量的均值的步骤
方法归纳
例2:抛掷一枚质地均匀的骰子，设出现的点数为X，求X的均值.
解：分布列为
所以.
学以致用
变式1:将所得点数的2倍加1作为得分分数Y，即Y=2X+1，求Y的数学期望.
P
13
11
9
7
5
3
Y
解:(1)若Y=aX+b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量.
因为 P(Y=axi+b)=P(X=xi)，i=1，2，…，n，
所以，Y的分布列为
···
···
···
···
···
···
E(aX+b)=
离散型随机变量均值的性质
aE(X)+b
问题探究
若Y=aX+b，其中a,b为常数，X为随机变量;
(1)写出随机变量Y的分布列；
(2)求Y的均值。
所以
E(aX+b)=aE(X)+b
离散型随机变量的均值的性质
若X,Y是两个随机变量,且Y=aX+b,则有E(Y)=aE(X)+b.特别地:
当a=1时,E(X+b)=E(X)+b,即随机变量X与常数之和的均值等于X的均值与这个常数的和.
当b=0时,E(aX)=aE(X),即常数与随机变量乘积的均值等于这个常数与随机变量的均值的乘积.
总结提升
离散型随机变量均值的运算性质
(1) E(X＋b)＝E(X)＋b，
(2) E(aX)＝aE(X)，
(3) E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
X -1 0 1
P 0.5 0.25 m
C
例3 猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.某嘉宾参加猜歌名节目,猜对每首歌曲的歌名相互独立,猜对三首歌曲A,B,C歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如表所示
规则如下:按照A,B,C的顺序猜,只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，求嘉宾获得的公益基金总额的分布列及均值.
歌曲 A B C
猜对的概率 0.8 0.6 0.4
获得的公益基金/元 1000 2000 3000
分析:根据规则,公益基金总额的可能取值有四种情况:猜错A,获得0元基金;猜对A而猜错B,获得1000元基金;猜对A和B而猜错C,获得3000元基金;A,B,C全部猜对,获得6000元基金.因此是一个离散型随机变量.利用独立条件下的乘法公式可求分布列.
典例解析
例3 猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.某嘉宾参加猜歌名节目,猜对每首歌曲的歌名相互独立,猜对三首歌曲A,B,C歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如表所示
规则如下:按照A,B,C的顺序猜,只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，求嘉宾获得的公益基金总额的分布列及均值.
歌曲 A B C
猜对的概率 0.8 0.6 0.4
获得的公益基金/元 1000 2000 3000
解：分别用A,B,C表示猜对歌曲A,B,C歌名的事件，则A,B,C相互独立.
所以
典例解析
例3 猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.某嘉宾参加猜歌名节目,猜对每首歌曲的歌名相互独立,猜对三首歌曲A,B,C歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如表所示
规则如下:按照A,B,C的顺序猜,只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，求嘉宾获得的公益基金总额的分布列及均值.
歌曲 A B C
猜对的概率 0.8 0.6 0.4
获得的公益基金/元 1000 2000 3000
的分布列如下表.
X 0 1000 3000 6000
P 0.2 0.32 0.288 0.192
的均值为
0 0.2+1000 0.32+3000 0.288+6000 0.192
2336
典例解析
如果改变猜歌的顺序，获得公益基金的均值是否相同？如果不同，你认为哪个顺序获得的公益基金均值最大？
如果按ACB的顺序来猜歌，获得的公益基金的均值是多少？
解：分别用A,B,C表示猜对歌曲A,B,C歌名的事件，则A,B,C相互独立.
所以
的分布列如下表.
X 0 1000 3000 6000
P 0.2 0.48 0.128 0.192
的均值为
0 0.2+1000 0.48+3000 0.128+6000 0.192=2144
思考
对于例3，决策的原则是选择期望值大的猜歌顺序，这称为期望值原则.
猜歌顺序 E(X)/元 猜歌顺序
E(X)/元
ABC 2336 BCA 2112
ACB 2144 CAB 1904
BAC 2256 CBA 1872
按由易到难的顺序来猜歌，
获得的公益基金的均值最大
例4.根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01，该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元。为保护设备，有以下三种方案：
方案1：运走设备，搬运费为3800元。
方案2：建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能挡住小洪水。
方案3：不采取措施，希望不发生洪水。
工地的领导该如何决策呢
典例解析
分析:决策目标为总损失(投入费用与设备损失之和)越小越好,
根据题意,各种方案在不同状态下的总损失如表所示：
天气状况 大洪水 小洪水 没有洪水
概率 0.01 0.25 0.74
总损失/元 方案1 3800 3800 3800
方案2 62000 2000 2000
方案3 60000 10000 0
方案2和方案3的总损失都是随机变量,可以采用期望总损失最小的方案。
解:设方案1、方案2、方案3的总损失分别为X1,X2,X3.
采用方案1,无论有无洪水,都损失3800元.因此,P(X1=3800)=1.
采用方案2,遇到大洪水时,总损失为2000+6000=62000元;没有大洪水时,
总损失为2000元,因此,P(X2=62 000)=0.01,P(X2=2000)=0.99.
采用方案3,P(X3=60 000)=0.01,P(X3=10000)=0.25,P(X3=0)=0.74.
于是,E(X1)=3800,
E(X2)=62 000×0.01+2 000×0.99=2 600,
E(X3)=60 000×0.01+10 000×0.25+0×0.74=3 100.
因此,从期望损失最小的角度,应采取方案2.
值得注意的是,上述结论是通过比较“期望总损失”而得出的,一般地,我们可以这样来理解“期望总损失”:如果问题中的天气状况多次发生,那么采用方案2将会使总损失减到最小,不过,因为洪水是否发生以及洪水发生的大小都是随机的,所以对于个别的一次决策,采用方案2也不一定是最好的.
解题反思
例4也是利用期望值决策的问题.随机变量的期望是一个理论上的均值，如果是大量重复地就同样的问题进行决策，期望值原则就是一个合理的决策原则.例如，保险公司面对众多的客户，每份保单需要理赔的期望值对制定合理的保险费率具有重要的参考意义.但如果是一次性决策的话，可以采用期望值原则决策，也可以采用其它的决策原则.
提炼升华
总结归纳
谢谢倾听
7.3 离散型随机变量的数字特征
7.3.1 离散型随机变量的均值
高二数学选择性必修第三册第七章随机变量及其分布
离散型随机变量的分布列
1.概率分布列（分布列）
注意：①列出随机变量的所有可能取值；
②求出随机变量的每一个值发生的概率.
3.求随机变量X分布列的步骤如下:
复习巩固
≥
1
概率之和
2.离散型随机变量分布列的性质：
(1)确定取值：根据随机变量X的意义,写出X全部可能的取值；
(2)求 概 率：求出X取每个值的概率；
(3)写分布列：写出X的分布列（有时也可省略）.
X x1 x2 … xn
P …
离散型随机变量的分布列全面地刻画了这个随机变量的取值规律.但在解决有些实际问题时,直接使用分布列并不方便.有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特征。
例如，要了解某班同学在一次数学测验中的总体水平，我们通常会比较平均分；要了解某班同学数学成绩是否“两极分化”，我们通常会考察这个班数学成绩的方差。
因此,类似于研究一组数据的均值和方差,我们也可以研究离散型随机变量的均值和方差,它们统称为随机变量的数字特征.
问题导学
问题1：甲、乙两名射箭运动员进行了100次射击，成绩如下（单位：环）：
环数X 7 8 9 10
甲射中的频率 0.1 0.2 0.3 0.4
乙射中的频率 0.15 0.25 0.4 0.2
甲、乙两人谁的射箭水平更高呢？
问题探究
样本均值
类似两组数据的比较，首先比较击中的平均环数，如果平均环数相等，再看稳定性.假设甲射箭n次，射中7环、8环、9环和10环的频率分别为
甲n次射箭射中的平均环数为
问题2：甲、乙两名射箭运动员以往的射击比赛，分布列如下表所示：
问题探究
环数X 7 8 9 10
甲射中的概率 0.1 0.2 0.3 0.4
乙射中的概率 0.15 0.25 0.4 0.2
甲、乙两人谁的射箭水平更高呢？
当n足够大时，频率稳定于概率，所以 稳定于
7×0.1+8×0.2+9×0.3+10×0.4=9.
即甲射中平均环数的稳定值(理论平均值)为9,
这个平均值的大小可以反映甲运动员的射箭水平.
同理，乙射中环数的平均值为
7×0.15+8×0.25+9×0.4+10×0.2=8.65.
从平均值的角度比较，甲的射箭水平比乙高.
问题探究
问题1：甲、乙两名射箭运动员进行了100次射击，成绩如下（单位：环）：
环数X 7 8 9 10
甲射中的频率 0.1 0.2 0.3 0.4
乙射中的频率 0.15 0.25 0.4 0.2
甲、乙两人谁的射箭水平更高呢？
问题探究
问题2：甲、乙两名射箭运动员以往的射击比赛，分布列如下表所示：
环数X 7 8 9 10
甲射中的概率 0.1 0.2 0.3 0.4
乙射中的概率 0.15 0.25 0.4 0.2
甲、乙两人谁的射箭水平更高呢？
样本均值
一般地，若离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望.
它反映了离散型随机变量的平均水平.
概念生成
期望的计算是从概率分布出发，因而它是概率意义下的平均值.对于确定的随机现象，随机变量的均值是确定的常数，不依赖于样本的抽取.而样本均值是一个随机的数值，它随着样本抽取的不同而变化.因此我们也可以得出随机变量的均值与样本均值的区别与联系：
离散型随机变量的均值说明
①区别:随机变量的均值是一个常数,它不依赖于样本的抽取,而样本的平均值是一个随机变量,它随样本的不同而变化；
②联系:对于简单随机样本,随着样本容量的增加样本的平均值越来越接近于总体的均值.因此我们常用样本的平均值估计总体的均值.
概念解析
例1:在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分. 如果某运动员罚球命中的概率为0.8，那么他罚球1次的得分X的均值是多少？
X=1或X=0
P(X=1)=0.8
X 0 1
P 0.2 0.8
变式1:如果将题目中概率0.8改成p,那么他罚球1次得分X的均值是多少呢？
所以 E(X)=0×P(X=0)+1×P(X=1)
=0×0.2+1×0.8 =0.8
即他罚球1次的得分X的均值是0.8.
解：因为P(X=1)=0.8，P(X=0)=0.2，
典例解析
一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)=？
若X服从两点分布，则E(X)=p.
X 0 1
P 1－ p p
例题推广
在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分.如果某运动员罚球命中的概率为0.8，那么他罚球2次的得分X的均值是多少？
解：因为可能取值为0,1,2.
所以
所以.
所以他罚球2次的得分X的均值是1.6.
变式2
X 0 1 2
P 0.04 0.32 0.64
即X的分布列如右图所示：
(1)确定取值：根据随机变量X的意义,写出X全部可能的取值；
(2)求概率：求出X取每个值的概率；
(3)写分布列：写出X的分布列（有时也可省略）；
(4)求均值：由均值的定义公式求出E(X).
求离散型随机变量的均值的步骤
方法归纳
例2:抛掷一枚质地均匀的骰子，设出现的点数为X，求X的均值.
解：分布列为
所以.
学以致用
变式1:将所得点数的2倍加1作为得分分数Y，即Y=2X+1，求Y的数学期望.
P
13
11
9
7
5
3
Y
解:(1)若Y=aX+b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量.
因为 P(Y=axi+b)=P(X=xi)，i=1，2，…，n，
所以，Y的分布列为
···
···
···
···
···
···
E(aX+b)=
离散型随机变量均值的性质
aE(X)+b
问题探究
若Y=aX+b，其中a,b为常数，X为随机变量;
(1)写出随机变量Y的分布列；
(2)求Y的均值。
所以
E(aX+b)=aE(X)+b
离散型随机变量的均值的性质
若X,Y是两个随机变量,且Y=aX+b,则有E(Y)=aE(X)+b.特别地:
当a=1时,E(X+b)=E(X)+b,即随机变量X与常数之和的均值等于X的均值与这个常数的和.
当b=0时,E(aX)=aE(X),即常数与随机变量乘积的均值等于这个常数与随机变量的均值的乘积.
总结提升
离散型随机变量均值的运算性质
(1) E(X＋b)＝E(X)＋b，
(2) E(aX)＝aE(X)，
(3) E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
X -1 0 1
P 0.5 0.25 m
C
例3 猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.某嘉宾参加猜歌名节目,猜对每首歌曲的歌名相互独立,猜对三首歌曲A,B,C歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如表所示
规则如下:按照A,B,C的顺序猜,只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，求嘉宾获得的公益基金总额的分布列及均值.
歌曲 A B C
猜对的概率 0.8 0.6 0.4
获得的公益基金/元 1000 2000 3000
分析:根据规则,公益基金总额的可能取值有四种情况:猜错A,获得0元基金;猜对A而猜错B,获得1000元基金;猜对A和B而猜错C,获得3000元基金;A,B,C全部猜对,获得6000元基金.因此是一个离散型随机变量.利用独立条件下的乘法公式可求分布列.
典例解析
例3 猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.某嘉宾参加猜歌名节目,猜对每首歌曲的歌名相互独立,猜对三首歌曲A,B,C歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如表所示
规则如下:按照A,B,C的顺序猜,只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，求嘉宾获得的公益基金总额的分布列及均值.
歌曲 A B C
猜对的概率 0.8 0.6 0.4
获得的公益基金/元 1000 2000 3000
解：分别用A,B,C表示猜对歌曲A,B,C歌名的事件，则A,B,C相互独立.
所以
典例解析
例3 猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.某嘉宾参加猜歌名节目,猜对每首歌曲的歌名相互独立,猜对三首歌曲A,B,C歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如表所示
规则如下:按照A,B,C的顺序猜,只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，求嘉宾获得的公益基金总额的分布列及均值.
歌曲 A B C
猜对的概率 0.8 0.6 0.4
获得的公益基金/元 1000 2000 3000
的分布列如下表.
X 0 1000 3000 6000
P 0.2 0.32 0.288 0.192
的均值为
0 0.2+1000 0.32+3000 0.288+6000 0.192
2336
典例解析
如果改变猜歌的顺序，获得公益基金的均值是否相同？如果不同，你认为哪个顺序获得的公益基金均值最大？
如果按ACB的顺序来猜歌，获得的公益基金的均值是多少？
解：分别用A,B,C表示猜对歌曲A,B,C歌名的事件，则A,B,C相互独立.
所以
的分布列如下表.
X 0 1000 3000 6000
P 0.2 0.48 0.128 0.192
的均值为
0 0.2+1000 0.48+3000 0.128+6000 0.192=2144
思考
对于例3，决策的原则是选择期望值大的猜歌顺序，这称为期望值原则.
猜歌顺序 E(X)/元 猜歌顺序
E(X)/元
ABC 2336 BCA 2112
ACB 2144 CAB 1904
BAC 2256 CBA 1872
按由易到难的顺序来猜歌，
获得的公益基金的均值最大
例4.根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01，该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元。为保护设备，有以下三种方案：
方案1：运走设备，搬运费为3800元。
方案2：建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能挡住小洪水。
方案3：不采取措施，希望不发生洪水。
工地的领导该如何决策呢
典例解析
分析:决策目标为总损失(投入费用与设备损失之和)越小越好,
根据题意,各种方案在不同状态下的总损失如表所示：
天气状况 大洪水 小洪水 没有洪水
概率 0.01 0.25 0.74
总损失/元 方案1 3800 3800 3800
方案2 62000 2000 2000
方案3 60000 10000 0
方案2和方案3的总损失都是随机变量,可以采用期望总损失最小的方案。
解:设方案1、方案2、方案3的总损失分别为X1,X2,X3.
采用方案1,无论有无洪水,都损失3800元.因此,P(X1=3800)=1.
采用方案2,遇到大洪水时,总损失为2000+6000=62000元;没有大洪水时,
总损失为2000元,因此,P(X2=62 000)=0.01,P(X2=2000)=0.99.
采用方案3,P(X3=60 000)=0.01,P(X3=10000)=0.25,P(X3=0)=0.74.
于是,E(X1)=3800,
E(X2)=62 000×0.01+2 000×0.99=2 600,
E(X3)=60 000×0.01+10 000×0.25+0×0.74=3 100.
因此,从期望损失最小的角度,应采取方案2.
值得注意的是,上述结论是通过比较“期望总损失”而得出的,一般地,我们可以这样来理解“期望总损失”:如果问题中的天气状况多次发生,那么采用方案2将会使总损失减到最小,不过,因为洪水是否发生以及洪水发生的大小都是随机的,所以对于个别的一次决策,采用方案2也不一定是最好的.
解题反思
例4也是利用期望值决策的问题.随机变量的期望是一个理论上的均值，如果是大量重复地就同样的问题进行决策，期望值原则就是一个合理的决策原则.例如，保险公司面对众多的客户，每份保单需要理赔的期望值对制定合理的保险费率具有重要的参考意义.但如果是一次性决策的话，可以采用期望值原则决策，也可以采用其它的决策原则.
提炼升华
总结归纳
谢谢倾听