广东省惠州市实验中学2012-2013学年高二上学期期中考试数学（理）试题

考试用时120分钟 满分为150分。
一、选择题：(本大题共8小题，每小题5分，满分40分.)
1.“”是“”成立的 （ ）
A. 必要不充分条件. B. 充分条件
C. 充分不必要条件. D. 既不充分也不必要条件.
2．一组数据中的每一个数都减去90得到一组新的数据，如果求得新数据的平均数为1.2，方差为4.4，则原来数据的平均数和方差分别为(　 　)
A．91.2，4.4 B．91.2，94.4 C． 88.8，4.4 D．88.8，75.6
3．四位二进制数能表示的最大十进制数是（ ）
A.8 B.15 C.31 D.64
4．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表
广告费用x（万元）
4
2
3
5
销售额y（万元）
49
26
39
54
根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（ ）
A．63.6万元 B．65.5万元
C．67.7万元 D．72.0万元
5．定义某种运算,运算原理如图所示，则式子：
的值是( )
A．2 B．6 C． 8 D．7
6. 从1,2,3,4,5中任取两个不同的数字构成一个两位数,这个两位数大于40的概率为 ( )
A. B. C. D.
7．已知椭圆上的点到焦点的距离为2，为的中点，则（为坐标原点）的值为 (　 )
A．4　 　 　B．2　 　 　C．8　 　　D．
8. 如图3，平面中两条直线和相交于点，对于平面上任意一点，
若、分别是到直线和的距离，则称有序非负实数对
是点的“距离坐标”．已知常数，，给出下列命题：
①若，则“距离坐标”为的点有且仅有个；
②若，则“距离坐标”为的点有且仅有个；
③若，则“距离坐标”为的点有且仅有个．
上述命题中，正确命题的个数是 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分.）
9. 过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程 ______。
10．若椭圆经过点（2，3），且焦点为，则这个椭圆的标准方程为 .
11.已知函数，（、且是常数）．若是从、、、四个数中任取的一个数，是从、、三个数中任取的一个数，则函数为奇函数的概率是____________.
12．右图是底面半径为1，母线长均为2的圆锥和圆柱的组合体，
则该组合体的侧视图的面积为____________________．

13． 直线x+2y=0被曲线x2+y2－6x－2y－15=0所截得的弦长等于____________.
14. 椭圆的焦点F1 、F2，P为椭圆上的一点，已知，则的面积为________
三、解答题（共80分）
15. （本题满分12分）已知函数f(x)＝2sin，x∈R.
(1)求f 的值；
(2)设∈，＝，f(3β＋2π)＝，求cos(＋β)的值．
16.（本题满分12分）为了对某课题进行研究，用分层抽样的方法从三所高校A、B、C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表（单位：人）
高校
相关人数
抽取人数
A
18
x
B
36
2
C
54
y
（I）求x,y；
（II）若从高校B、C抽取的人中选2人作专题发言，求这2人都来自高校C的概率.
17.（本小题满分14分）已知：p：方程x2-mx+1=0有两个不等的正根；q：不等式|x-1|＞m的解集为R。若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数m的取值范围。
18. （本小题14分）已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线相切，分别是椭圆的左右两个顶点，为椭圆上的动点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若与均不重合，设直线的斜率分别为，求的值。
19. （本小题满分14分）如图，已知，分别是正方形边、的中点，与交于点，、都垂直于平面，且，，是线段上一动点．
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）若平面，试求的值；
（Ⅲ）当是中点时，求二面角的余弦值．
20．(本小题满分14分)关于的方程
（1）若方程C表示圆，求实数m的取值范围；
（2）在方程C表示圆时，若该圆与直线
且，求实数m的值；
（3）在（2）的条件下，若定点A的坐标为（1，0），点P是线段MN上的动点，
求直线AP的斜率的取值范围。
2012-2013学年度第一学期高二级理科数学期中试题答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
A
B
B
C
B
D
D
二、填空题：（5分×6=30分）
高校
相关人数
抽取人数
A
18
x
B
36
2
C
54
y
16．（本题满分12分）
解：（I）由题意可得 ，所以x=1,y=3
（II）记从高校B抽取的2人为b1,b2, 从高校C抽取的3人为c1,c2,c3,则从高校B、C抽取的5人中选2人作专题发言的基本事件有：
（b1,b2）,（b1,c1）, (b1,c2）, （b1,c3）, （b2,c1）, （b2,c2）, （b2,c3）,( c1,c2), ( c1,c3), ( c2,c3)共10种.
设选中的2人都来自高校C的事件为X,则X包含的基本事件有( c1,c2), ( c1,c3), ( c2,c3)共3种.
因此 . 故选中的2人都来自高校C的概率为

18．解：(1)由题意可得圆的方程为直线与圆相切，即又
即得
所以椭圆方程为
(2)设则
即
则
即
的值为
20．解：（Ⅰ）连结，∵平面，平面，∴，
又∵，，∴平面，
又∵，分别是、的中点，∴，
∴平面，又平面，
∴平面平面；---------------------------------------4分
（Ⅱ）连结，∵平面，平面平面，∴，
∴，故 ---------------------8分
（Ⅲ）∵平面，平面，∴ ，
在等腰三角形中，点为的中点，∴，
∴为所求二面角的平面角， --------------10分
∵点是的中点，∴，
所以在矩形中，可求得，，， --12分
在中，由余弦定理可求得，
∴二面角的余弦值为． --------------14分
20．解：（1）方程C可化为：要使该方程表示圆，只需5-m>0.即m<5
所以方程C表示圆时，实数m的取值范围是。
（2）由（1）知，当方程C表示圆时，圆心为C（1，2），半径为。
过圆心C作直线L的垂线CD，D为垂足。 则
又由