人教版数学九年级下册 第二十六章 反比例函数 26.1.2 反比例函数的图像和性质 同步练习
一、单选题
1．（2020九上·包河月考）在双曲线y= 的每一支上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是（ ）
A．k>0 B．k>7 C．k<7 D．k<0
2．（2020九上·亳州月考）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如下左图所示，则一次函数y＝ax+b和反比例函数y 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2020九上·亳州月考）如图，点A，点B分别在反比例函数 和反比例函数 的图象上，AB∥x轴，交y轴与点C，且∠AOB=90°，则AC：CB等于（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：
4．（2020九上·淮北月考）若反比例函数 的图像分布在第二、四象限，则k的取值范围是（ ）
A．k＜ B．k＞ C．k＞1 D．k＜1
5．（2020九上·淮北月考）已知反比例函数 ，下列说法中正确的是（ ）
A．该函数的图象分布在第一、三象限
B．点（-4，-3）在函数图象上
C．y随x的增大而增大
D．若点（-2，y1）和（-1，y2）在该函数图象上，则y1＜y2
6．（2020九上·合山月考）当压力F(N)一定时，物体所受的压强p(Pa)与受力面积S(m2)的函数关系式为P= (S≠0)，这个反比例函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2020八下·襄汾期末）如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数 ＝ （x＞0）及 ＝ （x＞0）的图象分别交于点A、B，连接OA、OB，若△OAB的面积为3，则k1﹣k2的值为（ ）
A． B．3 C．6 D．9
二、填空题
8．（2020九上·亳州月考）已知A（ ， ）和B（ ， ）是反比例函数 的图象上两点，若 ，则y1与y2的大小关系是 ．
9．（2020九上·青山期中）反比例函数y＝ 图象的每一条曲线上，y随x的增大而减小，则k的取值范围是 ．
10．（2020九上·杭州期中）如图，已知函数 与 的图象交于A(-4，1)、B(2，-2) 、C(1，-4)三点，根据图象可求得关于x的不等式 的解集为 .
11．（2020·滨州）若正比例函数 的图象与某反比例函数的图象有一个交点的纵坐标是2，则该反比例函数的解析式为 ．
12．（2020·怀化）如图， ， ， ，…， ，都是一边在x轴上的等边三角形，点 ， ， ，…， 都在反比例函数 的图象上，点 ， ， ，…， ，都在x轴上，则 的坐标为 ．
三、解答题
13．（2020·寻乌模拟）如图，一次函数 （k1、b为常数，k1≠0）的图象与反比例函数 的图象交于点A（m，8）与点B（4，2）．
①
（1）求一次函数与反比例函数的解析式．
（2）根据图象说明，当x为何值时， ．
14．（2020·上饶模拟）如图，已知点A（1，a）是反比例函数y1= 的图象上一点，直线y2=﹣ 与反比例函数y1= 的图象的交点为点B、D，且B（3，﹣1），求：
（Ⅰ）求反比例函数的解析式；
（Ⅱ）求点D坐标，并直接写出y1＞y2时x的取值范围；
（Ⅲ）动点P（x，0）在x轴的正半轴上运动，当线段PA与线段PB之差达到最大时，求点P的坐标．
15．（初中数学苏科版八年级下册11.3 反比例函数的应用 同步练习）如图，D为反比例函数 的图象上一点，过D作DE⊥ 轴于点E，DC⊥ 轴于点C，一次函数 的图象经过C点，与 轴相交于A点，四边形DCAE的面积为4，求 的值.
四、综合题
16．（2020九上·亳州月考）如图，一次函数y=x+b和反比例函数y= （k≠0）交于点A（4，1）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）根据图象直接写出一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．
17．（2020·扬州）如图，已知点 、 ，点P为线段AB上的一个动点，反比例函数 的图像经过点P.小明说：“点P从点A运动至点B的过程中，k值逐渐增大，当点P在点A位置时k值最小，在点B位置时k值最大.”
（1）当 时.
①求线段AB所在直线的函数表达式.
②你完全同意小明的说法吗？若完全同意，请说明理由；若不完全同意，也请说明理由，并求出正确的k的最小值和最大值.
（2）若小明的说法完全正确，求n的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数每一支图象上，y随x的增大而减小
∴k-7＞0
∴k＞7
故答案为：B.
【分析】根据题意，由反比例函数图象和性质，即可得到k-7的值大于0，求出k即可。
2．【答案】D
【知识点】一次函数的图象；反比例函数的图象；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：根据二次函数的图象可得，a＞0，c＞0
对称轴=-＞0，即b＜0
∴一次函数y随x的增大而增大，且与y轴交于负半轴；
∴反比例函数的图象在一、三象限。
故答案为：D.
【分析】根据二次函数的图象确定a、b以及c的位置，继而根据一次函数和反比例函数图象的性质，判断得到其图象即可。
3．【答案】A
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵AB∥x轴
∴点A和点B的纵坐标相等
设OC=h
将y=h分别代入反比例函数解析式
∴AC=，CB=
∴AC：CB=：=
故答案为：A.
【分析】根据题意，由AB和x轴平行，即可得到点A和点B的纵坐标相等，求出横坐标距离的比即可得到答案。
4．【答案】C
【知识点】反比例函数的图象
【解析】【解答】解：∵反比例函数 的图象分布在第二、四象限，
∴1 k＜0，
解得k＞1．
故答案为：C．
【分析】根据反比例函数的图象位于第二、四象限得出关于k的不等式，求出k的取值范围即可．
5．【答案】D
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：A、k=-6 ，函数的图象在第二、四象限，故说法不符合题意；
B、因为-3×（-4）=12 ，所以点（-4，-3）不在函数图象上，故说法不符合题意
C、k=-6 ，在每个象限内，y随着x的增大而增大，故说法不符合题意；
D、k=-6 ，在每个象限内，y随着x的增大而增大，因为-2<-1<0，则y1＜y2，故说法符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据反比例函数的性质逐一进行判断即可得出结果
6．【答案】A
【知识点】反比例函数的图象
【解析】【解答】解：当F一定时，P与S之间成反比例函数，则函数图象是双曲线，同时自变量是正数.
故答案为： A.
【分析】根据题意可知当F一定时，P与S之间成反比例关系，再结合反比例函数的图象和性质即可得出答案.
7．【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】∵ ＝ ， ＝
∴ ，
∵
∴
∴
故答案为C
【分析】根据反比例函数的几何意义可得： ， ，再由 ，列式计算即可．
8．【答案】
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：根据反比例函数解析式可知
反比例函数图象中，当x＜0或x＞0时，y随x的增大而增大
∵x1＞x2＞0
∴y1＞y2
【分析】根据反比例函数的性质，判断其增减性，根据两个点的横坐标的大小，即可得到其纵坐标的大小。
9．【答案】k＞
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解： 反比例函数y＝ 图象的每一条曲线上，y随x的增大而减小，
＞
＞
＞
故答案为： ＞
【分析】由反比例函数y＝ 图象的每一条曲线上，可得 ＞ 解不等式可得答案．
10．【答案】
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵函数 与 的图象交于A(-4，1)、B(2，-2) 、C(1，-4)三点，
由图像可知
当-4＜x＜0或1＜x＜2时，.
故答案为：-4＜x＜0或1＜x＜2.
【分析】观察两函数图象，由两函数图象的交点坐标A，B，C的横坐标，可得到当时的自变量x的取值范围。
11．【答案】
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】令y=2x中y=2，得到2x=2，解得x=1，
∴正比例函数 的图象与某反比例函数的图象交点的坐标是（1,2），
设反比例函数解析式为 ，
将点（1,2）代入，得 ，
∴反比例函数的解析式为 ，
故答案为： .
【分析】利用正比例函数解析式求出交点的横坐标，再将交点的坐标代入反比例函数解析式 中求出k即可得到答案.
12．【答案】
【知识点】点的坐标；等边三角形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】如图，过点B1作B1C⊥x轴于点C，过点B2作B2D⊥x轴于点D，过点B3作B3E⊥x轴于点E，
∵△OA1B1为等边三角形，
∴∠B1OC=60°，
∴ ，B1C= OC，
设OC的长度为x，则B1的坐标为（ ），代入函数关系式可得： ，
解得，x=1或x=-1（舍去），
∴OA1=2OC=2，
∴A1（2，0）
设A1D的长度为y，同理，B2D为 y，B2的坐标表示为 ，
代入函数关系式可得 ，
解得：y= 或y= （舍去）
∴A1D= ，A1A2= ，OA2=
∴A2（ ，0）
设A2E的长度为z，同理，B3E为 z，B3的坐标表示为 ，
代入函数关系式可得 ，
解得：z= 或z= （舍去）
∴A2E= ，A2A3= ，OA3=
∴A3（ ，0），
综上可得：An（ ，0），
故答案为： ．
【分析】如图，过点B1作B1C⊥x轴于点C，过点B2作B2D⊥x轴于点D，过点B3作B3E⊥x轴于点E，先在△OCB1中，表示出OC和B1C的长度，表示出B1的坐标，代入反比例函数，求出OC的长度和OA1的长度，表示出A1的坐标，同理可求得A2、A3的坐标，即可发现一般规律．
13．【答案】（1）解：把点B（4，2）代入反比例函数 得， ，
∴反比例函数的解析式为 ，
将点A（m，8）代入y2得， ，解得 ，
∴A（1，8），
将A、B的坐标代入 （k1、b为常数， ）得 ，
解得 ，
∴一次函数的解析式为 ；
（2）解：由图象可知：当 或 时，
，即 ．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】①把B点坐标代入反比例函数解析式可求得k2的值，把点A（m，8）代入求得的反比例函数的解析式求得m，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；②直接由A、B的坐标可求得答案．
14．【答案】解：（Ⅰ）∵B（3，﹣1）在反比例函数 的图象上，
∴-1= ，
∴m=-3，
∴反比例函数的解析式为 ；
（Ⅱ） ，
∴ = ，
x2-x-6=0，
（x-3）（x+2）=0，
x1=3，x2=-2，
当x=-2时，y= ，
∴D（－2， ）；
y1＞y2时x的取值范围是-2 ；
（Ⅲ）∵A（1，a）是反比例函数 的图象上一点，
∴a=-3，
∴A（1，-3），
设直线AB为y=kx+b，
，
∴ ，
∴直线AB为y=x-4，
令y=0，则x=4，
∴P(4，0)
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）把点B（3，﹣1）代入反比例函数 中，即可求得k的值；（2）联立直线和反比例函数的解析式构成方程组，化简为一个一元二次方程，解方程即可得到点D坐标，观察图象可得相应x的取值范围；（3）把A（1，a）是反比例函数 的解析式，求得a的值，可得点A坐标，用待定系数法求得直线AB的解析式，令y=0，解得x的值，即可求得点P的坐标.
15．【答案】解：当x=0时，y=-x+2=2
，∴C（0，2），
当y=0时，0=-x+2，
解得x=2，∴A（2，0），
四边形DCAE的面积=（DC+EA）×OC÷2=4，
∴（DC+DC+OA）×OC=8，
即（2DC+2）×2=8，
解得DC=1，
∴D（-1，2），
∴k=xy=-2.
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；三角形的面积；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】分别求出直线与坐标轴的交点坐标，则OC和OA的线段长可知，然后根据四边形DCAE的面积列关系式即可求出DC的长，则D点坐标可知，反比例函数函数k值也可求.
16．【答案】（1）解： ∵反比例函数的图象经过点A（4，1）
∴1=，即k=4
∴反比例函数的解析式为y=
∵一次函数y=x+b的图象经过点A（4，1）
∴1=4+b
∴b=-3
∴一次函数的解析式为y=x-3
（2）解： 令x=0，则y=-3
∴点D的坐标为（0，-3），即DO=3
解方程可得，=x-3，解得，x=-1
∴点B的坐标为（-1，-4）
∴S△AOB=S△AOD+S△BOD=×3×4+×3×1=7.5
（3）解： ∵点A为（4，1），点B为（-1，-4）
∴一次函数的值大于反比例函数值的x的取值范围为-1＜x＜0或x＞4
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；三角形的面积
【解析】【分析】（1）利用待定系数法，分别计算反比例函数和一次函数的解析式即可；
（2）求出点D以及点B的欧标，根据三角形的面积计算得到答案即可；
（3）根据函数图象以及点A和点B的坐标，求出答案即可。
17．【答案】（1）解：当 时，点B为（5，1），
①设直线AB为 ，则
，解得： ，
∴ ；
②不完全同意小明的说法；理由如下：
由①得 ，
设点P为（x， ），由点P在线段AB上则
，
∴ ；
∵ ，
∴当 时， 有最大值 ；
当 时， 有最小值 ；
∴点P从点A运动至点B的过程中，k值先增大后减小，当点P在点A位置时k值最小，在 的位置时k值最大.
（2）解：∵ 、 ，
设直线AB为 ，则
，解得： ，
∴ ，
设点P为（x， ），由点P在线段AB上则
，
则对称轴为： ；
∵点P从点A运动至点B的过程中，k值逐渐增大，当点P在点A位置时k值最小，在点B位置时k值最大.
即k在 中，k随x的增大而增大；
当 时，有
∴ ，解得： ，
∴不等式组的解集为： ；
当 时，有
∴ ，解得： ，
∴综合上述，n的取值范围为： 或 .
【知识点】一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）①直接利用待定系数法，即可求出函数的表达式；②由①得直线AB为 ，则 ，利用二次函数的性质，即可求出答案；（2）根据题意，求出直线AB的直线为 ，设点P为（x， ），则得到 ，由二次函数的性质，得到对称轴 ，即可求出n的取值范围.
1 / 1人教版数学九年级下册 第二十六章 反比例函数 26.1.2 反比例函数的图像和性质 同步练习
一、单选题
1．（2020九上·包河月考）在双曲线y= 的每一支上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是（ ）
A．k>0 B．k>7 C．k<7 D．k<0
【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数每一支图象上，y随x的增大而减小
∴k-7＞0
∴k＞7
故答案为：B.
【分析】根据题意，由反比例函数图象和性质，即可得到k-7的值大于0，求出k即可。
2．（2020九上·亳州月考）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如下左图所示，则一次函数y＝ax+b和反比例函数y 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数的图象；反比例函数的图象；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：根据二次函数的图象可得，a＞0，c＞0
对称轴=-＞0，即b＜0
∴一次函数y随x的增大而增大，且与y轴交于负半轴；
∴反比例函数的图象在一、三象限。
故答案为：D.
【分析】根据二次函数的图象确定a、b以及c的位置，继而根据一次函数和反比例函数图象的性质，判断得到其图象即可。
3．（2020九上·亳州月考）如图，点A，点B分别在反比例函数 和反比例函数 的图象上，AB∥x轴，交y轴与点C，且∠AOB=90°，则AC：CB等于（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：
【答案】A
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵AB∥x轴
∴点A和点B的纵坐标相等
设OC=h
将y=h分别代入反比例函数解析式
∴AC=，CB=
∴AC：CB=：=
故答案为：A.
【分析】根据题意，由AB和x轴平行，即可得到点A和点B的纵坐标相等，求出横坐标距离的比即可得到答案。
4．（2020九上·淮北月考）若反比例函数 的图像分布在第二、四象限，则k的取值范围是（ ）
A．k＜ B．k＞ C．k＞1 D．k＜1
【答案】C
【知识点】反比例函数的图象
【解析】【解答】解：∵反比例函数 的图象分布在第二、四象限，
∴1 k＜0，
解得k＞1．
故答案为：C．
【分析】根据反比例函数的图象位于第二、四象限得出关于k的不等式，求出k的取值范围即可．
5．（2020九上·淮北月考）已知反比例函数 ，下列说法中正确的是（ ）
A．该函数的图象分布在第一、三象限
B．点（-4，-3）在函数图象上
C．y随x的增大而增大
D．若点（-2，y1）和（-1，y2）在该函数图象上，则y1＜y2
【答案】D
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：A、k=-6 ，函数的图象在第二、四象限，故说法不符合题意；
B、因为-3×（-4）=12 ，所以点（-4，-3）不在函数图象上，故说法不符合题意
C、k=-6 ，在每个象限内，y随着x的增大而增大，故说法不符合题意；
D、k=-6 ，在每个象限内，y随着x的增大而增大，因为-2<-1<0，则y1＜y2，故说法符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据反比例函数的性质逐一进行判断即可得出结果
6．（2020九上·合山月考）当压力F(N)一定时，物体所受的压强p(Pa)与受力面积S(m2)的函数关系式为P= (S≠0)，这个反比例函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数的图象
【解析】【解答】解：当F一定时，P与S之间成反比例函数，则函数图象是双曲线，同时自变量是正数.
故答案为： A.
【分析】根据题意可知当F一定时，P与S之间成反比例关系，再结合反比例函数的图象和性质即可得出答案.
7．（2020八下·襄汾期末）如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数 ＝ （x＞0）及 ＝ （x＞0）的图象分别交于点A、B，连接OA、OB，若△OAB的面积为3，则k1﹣k2的值为（ ）
A． B．3 C．6 D．9
【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】∵ ＝ ， ＝
∴ ，
∵
∴
∴
故答案为C
【分析】根据反比例函数的几何意义可得： ， ，再由 ，列式计算即可．
二、填空题
8．（2020九上·亳州月考）已知A（ ， ）和B（ ， ）是反比例函数 的图象上两点，若 ，则y1与y2的大小关系是 ．
【答案】
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：根据反比例函数解析式可知
反比例函数图象中，当x＜0或x＞0时，y随x的增大而增大
∵x1＞x2＞0
∴y1＞y2
【分析】根据反比例函数的性质，判断其增减性，根据两个点的横坐标的大小，即可得到其纵坐标的大小。
9．（2020九上·青山期中）反比例函数y＝ 图象的每一条曲线上，y随x的增大而减小，则k的取值范围是 ．
【答案】k＞
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解： 反比例函数y＝ 图象的每一条曲线上，y随x的增大而减小，
＞
＞
＞
故答案为： ＞
【分析】由反比例函数y＝ 图象的每一条曲线上，可得 ＞ 解不等式可得答案．
10．（2020九上·杭州期中）如图，已知函数 与 的图象交于A(-4，1)、B(2，-2) 、C(1，-4)三点，根据图象可求得关于x的不等式 的解集为 .
【答案】
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵函数 与 的图象交于A(-4，1)、B(2，-2) 、C(1，-4)三点，
由图像可知
当-4＜x＜0或1＜x＜2时，.
故答案为：-4＜x＜0或1＜x＜2.
【分析】观察两函数图象，由两函数图象的交点坐标A，B，C的横坐标，可得到当时的自变量x的取值范围。
11．（2020·滨州）若正比例函数 的图象与某反比例函数的图象有一个交点的纵坐标是2，则该反比例函数的解析式为 ．
【答案】
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】令y=2x中y=2，得到2x=2，解得x=1，
∴正比例函数 的图象与某反比例函数的图象交点的坐标是（1,2），
设反比例函数解析式为 ，
将点（1,2）代入，得 ，
∴反比例函数的解析式为 ，
故答案为： .
【分析】利用正比例函数解析式求出交点的横坐标，再将交点的坐标代入反比例函数解析式 中求出k即可得到答案.
12．（2020·怀化）如图， ， ， ，…， ，都是一边在x轴上的等边三角形，点 ， ， ，…， 都在反比例函数 的图象上，点 ， ， ，…， ，都在x轴上，则 的坐标为 ．
【答案】
【知识点】点的坐标；等边三角形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】如图，过点B1作B1C⊥x轴于点C，过点B2作B2D⊥x轴于点D，过点B3作B3E⊥x轴于点E，
∵△OA1B1为等边三角形，
∴∠B1OC=60°，
∴ ，B1C= OC，
设OC的长度为x，则B1的坐标为（ ），代入函数关系式可得： ，
解得，x=1或x=-1（舍去），
∴OA1=2OC=2，
∴A1（2，0）
设A1D的长度为y，同理，B2D为 y，B2的坐标表示为 ，
代入函数关系式可得 ，
解得：y= 或y= （舍去）
∴A1D= ，A1A2= ，OA2=
∴A2（ ，0）
设A2E的长度为z，同理，B3E为 z，B3的坐标表示为 ，
代入函数关系式可得 ，
解得：z= 或z= （舍去）
∴A2E= ，A2A3= ，OA3=
∴A3（ ，0），
综上可得：An（ ，0），
故答案为： ．
【分析】如图，过点B1作B1C⊥x轴于点C，过点B2作B2D⊥x轴于点D，过点B3作B3E⊥x轴于点E，先在△OCB1中，表示出OC和B1C的长度，表示出B1的坐标，代入反比例函数，求出OC的长度和OA1的长度，表示出A1的坐标，同理可求得A2、A3的坐标，即可发现一般规律．
三、解答题
13．（2020·寻乌模拟）如图，一次函数 （k1、b为常数，k1≠0）的图象与反比例函数 的图象交于点A（m，8）与点B（4，2）．
①
（1）求一次函数与反比例函数的解析式．
（2）根据图象说明，当x为何值时， ．
【答案】（1）解：把点B（4，2）代入反比例函数 得， ，
∴反比例函数的解析式为 ，
将点A（m，8）代入y2得， ，解得 ，
∴A（1，8），
将A、B的坐标代入 （k1、b为常数， ）得 ，
解得 ，
∴一次函数的解析式为 ；
（2）解：由图象可知：当 或 时，
，即 ．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】①把B点坐标代入反比例函数解析式可求得k2的值，把点A（m，8）代入求得的反比例函数的解析式求得m，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；②直接由A、B的坐标可求得答案．
14．（2020·上饶模拟）如图，已知点A（1，a）是反比例函数y1= 的图象上一点，直线y2=﹣ 与反比例函数y1= 的图象的交点为点B、D，且B（3，﹣1），求：
（Ⅰ）求反比例函数的解析式；
（Ⅱ）求点D坐标，并直接写出y1＞y2时x的取值范围；
（Ⅲ）动点P（x，0）在x轴的正半轴上运动，当线段PA与线段PB之差达到最大时，求点P的坐标．
【答案】解：（Ⅰ）∵B（3，﹣1）在反比例函数 的图象上，
∴-1= ，
∴m=-3，
∴反比例函数的解析式为 ；
（Ⅱ） ，
∴ = ，
x2-x-6=0，
（x-3）（x+2）=0，
x1=3，x2=-2，
当x=-2时，y= ，
∴D（－2， ）；
y1＞y2时x的取值范围是-2 ；
（Ⅲ）∵A（1，a）是反比例函数 的图象上一点，
∴a=-3，
∴A（1，-3），
设直线AB为y=kx+b，
，
∴ ，
∴直线AB为y=x-4，
令y=0，则x=4，
∴P(4，0)
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）把点B（3，﹣1）代入反比例函数 中，即可求得k的值；（2）联立直线和反比例函数的解析式构成方程组，化简为一个一元二次方程，解方程即可得到点D坐标，观察图象可得相应x的取值范围；（3）把A（1，a）是反比例函数 的解析式，求得a的值，可得点A坐标，用待定系数法求得直线AB的解析式，令y=0，解得x的值，即可求得点P的坐标.
15．（初中数学苏科版八年级下册11.3 反比例函数的应用 同步练习）如图，D为反比例函数 的图象上一点，过D作DE⊥ 轴于点E，DC⊥ 轴于点C，一次函数 的图象经过C点，与 轴相交于A点，四边形DCAE的面积为4，求 的值.
【答案】解：当x=0时，y=-x+2=2
，∴C（0，2），
当y=0时，0=-x+2，
解得x=2，∴A（2，0），
四边形DCAE的面积=（DC+EA）×OC÷2=4，
∴（DC+DC+OA）×OC=8，
即（2DC+2）×2=8，
解得DC=1，
∴D（-1，2），
∴k=xy=-2.
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；三角形的面积；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】分别求出直线与坐标轴的交点坐标，则OC和OA的线段长可知，然后根据四边形DCAE的面积列关系式即可求出DC的长，则D点坐标可知，反比例函数函数k值也可求.
四、综合题
16．（2020九上·亳州月考）如图，一次函数y=x+b和反比例函数y= （k≠0）交于点A（4，1）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）根据图象直接写出一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．
【答案】（1）解： ∵反比例函数的图象经过点A（4，1）
∴1=，即k=4
∴反比例函数的解析式为y=
∵一次函数y=x+b的图象经过点A（4，1）
∴1=4+b
∴b=-3
∴一次函数的解析式为y=x-3
（2）解： 令x=0，则y=-3
∴点D的坐标为（0，-3），即DO=3
解方程可得，=x-3，解得，x=-1
∴点B的坐标为（-1，-4）
∴S△AOB=S△AOD+S△BOD=×3×4+×3×1=7.5
（3）解： ∵点A为（4，1），点B为（-1，-4）
∴一次函数的值大于反比例函数值的x的取值范围为-1＜x＜0或x＞4
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；三角形的面积
【解析】【分析】（1）利用待定系数法，分别计算反比例函数和一次函数的解析式即可；
（2）求出点D以及点B的欧标，根据三角形的面积计算得到答案即可；
（3）根据函数图象以及点A和点B的坐标，求出答案即可。
17．（2020·扬州）如图，已知点 、 ，点P为线段AB上的一个动点，反比例函数 的图像经过点P.小明说：“点P从点A运动至点B的过程中，k值逐渐增大，当点P在点A位置时k值最小，在点B位置时k值最大.”
（1）当 时.
①求线段AB所在直线的函数表达式.
②你完全同意小明的说法吗？若完全同意，请说明理由；若不完全同意，也请说明理由，并求出正确的k的最小值和最大值.
（2）若小明的说法完全正确，求n的取值范围.
【答案】（1）解：当 时，点B为（5，1），
①设直线AB为 ，则
，解得： ，
∴ ；
②不完全同意小明的说法；理由如下：
由①得 ，
设点P为（x， ），由点P在线段AB上则
，
∴ ；
∵ ，
∴当 时， 有最大值 ；
当 时， 有最小值 ；
∴点P从点A运动至点B的过程中，k值先增大后减小，当点P在点A位置时k值最小，在 的位置时k值最大.
（2）解：∵ 、 ，
设直线AB为 ，则
，解得： ，
∴ ，
设点P为（x， ），由点P在线段AB上则
，
则对称轴为： ；
∵点P从点A运动至点B的过程中，k值逐渐增大，当点P在点A位置时k值最小，在点B位置时k值最大.
即k在 中，k随x的增大而增大；
当 时，有
∴ ，解得： ，
∴不等式组的解集为： ；
当 时，有
∴ ，解得： ，
∴综合上述，n的取值范围为： 或 .
【知识点】一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）①直接利用待定系数法，即可求出函数的表达式；②由①得直线AB为 ，则 ，利用二次函数的性质，即可求出答案；（2）根据题意，求出直线AB的直线为 ，设点P为（x， ），则得到 ，由二次函数的性质，得到对称轴 ，即可求出n的取值范围.
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