2021-2022学年北师大版数学九年级上册 第四章 图形的相似 单元检测（word版含答案）

第四章单元检测
一、选择题(共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的)
1．下列四组线段中，不是成比例线段的是(　　)
A．0.5，3，2，10 B．3，4，6，2
C．5，6，15，18 D．1.5，4，1.2，5
2．已知＝，的值是(　　)
A. B. C. D.
3．如图，已知直线AB∥CD∥EF，BD＝2，DF＝4，则的值为(　　)
A. B. C. D．1
(第3题)　 　 (第4题)
4．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，S△ADE ∶S四边形DECB＝4 ∶5，则AD ∶DB为(　　)
A．1 ∶2 B．2 ∶3
C．2 ∶1 D．3 ∶2
5．在平面直角坐标系中，△ABO三个顶点的坐标分别为A(－2，4)，B(－4，0)，O(0，0)，以原点O为位似中心，把这个三角形放大为原来的2倍，得到△CDO，则点A的对应点C的坐标为(　　)
A．(－4，8) B．(4，－8)
C．(－4，8)或(4，－8) D．(－1，2)或(1，－2)
6．下列每个矩形都是由五个同样的小正方形拼合组成的，其中△ABC和△CDE的顶点都在小正方形的顶点上，则△ABC与△CDE一定相似的图形是(　　)
7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，将△ABC绕着点A按顺时针方向旋转角α(0°＜α＜180°)，并将其面积放大为原来的3倍后得到△ADE，连接BE，当△ABE的面积为时，α的值为(　　)
A．60° B．70°
C．80° D．90°
(第7题)　　 (第8题)
8．如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，BE⊥AC于点F，连接DF，分析下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③DF＝CD；④S四边形CDEF＝S△ABF.其中正确的是(　　)
A．①② B．①②③
C．①②③④ D．①
二、填空题(共5小题，每小题3分，计15分)
9．某公司举办“建党100周年”文艺汇演，舞台AB长为24 m，主持人小军主持节目时，站在离点A最长__________m处，主持节目效果最佳．
10．已知△ABC∽△A′B′C′，△A′B′C′的面积为6，周长为△ABC周长的一半，则△ABC的面积等于________．
11．如图，小明用相似图形的知识测量旗杆高度，已知小明的眼睛离地面1.5 m，他将3 m长的标杆竖直放置在身前3 m处，此时小明的眼睛、标杆的顶端、旗杆的顶端在一条直线上，通过计算得出旗杆高度为15 m，则旗杆和标杆之间的距离CE长________m.
(第11题)　　 (第12题)　　 (第13题)
12．如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，点B在OD上，AE，CB分别是△OAB，△OCD的中线，则的值为________．
13．如图，点P是矩形ABCD内一点，连接PA，PB，PC，PD，已知AB＝3，BC＝4，设△PAB，△PBC，△PCD，△PDA的面积分别为S1，S2，S3，S4，给出以下判断：①PA＋PB＋PC＋PD的最小值为10；②若△PAB≌△PCD，则△PAD≌△PBC；③若S1＝S2，则S3＝S4；④若△PAB∽△PDA，则PA＝2.其中正确的是______________(填序号)．
三、解答题(共13小题，计81分．解答应写出过程)
14．(本题满分5分)已知＝＝，求的值．
15.(本题满分5分)如图所示，l1∥l2∥l3，且AB＝2BC，DF＝5 cm，AG＝4 cm.求GF，AF，EF的长．
(第15题)
16．(本题满分5分)在如图所示的两个相似的五边形中，试求未知的边x，y，z的长度及角α，β的度数．
(第16题)
17．(本题满分5分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，AD平分∠BAC，交边BC于点D，过点D作CA的平行线，交边AB于点E.
(1)求线段DE的长；
(2)取线段AD的中点M，连接BM，交线段DE于点F，延长线段BM交边AC于点G，求的值．
(第17题)
18．(本题满分5分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4 cm，BC＝5 cm，点D在BC上，且CD＝3 cm，现有两个动点P，Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以1cm/s的速度沿AC向终点C运动；点Q以1.25 cm/s的速度沿BC向终点C运动，过点P作PE∥BC交AD于点E，连接EQ，设动点运动时间为t s(t＞0)．
(1)CP＝________，CQ＝________．(用含t的代数式表示)
(2)连接PQ，在运动过程中，不论t取何值时，总有线段PQ与线段AB平行，为什么？
(第18题)
19. (本题满分5分)如图，在 ABCD中，DE交BC于点F，交AB的延长线于点E，且∠EDB＝∠C.
(第19题)
(1)求证：△ADE∽△DBE；
(2)若DC＝7 cm，BE＝9 cm，求DE的长．
20.(本题满分5分)如图，已知△ABC，△DCE，△FEG是三个全等的等腰三角形，底边BC，CE，EG在同一直线上，BF交AC于点P，且AB＝，BC＝1.求BP.
(第20题)
21．(本题满分6分)如图①，在等边三角形ABC中，点D是边BC上的动点(不与点B，C重合)，点E，F分别在边AB和AC上，且∠EDF＝60°.
(1)求证：△BDE∽△CFD；
(2)若点D移至BC的中点，如图②，求证：FD平分∠EFC.
(第21题)
22．(本题满分7分)如图是一个小商场的纵截面图(矩形ABCD)，AD是商场的顶部，BC是商场的地面，地面由边长为80 cm的正方形瓷砖铺成，从B到C共有25块瓷砖，AB和CD是商场的两面墙壁，MN是顶部正中央的一个长方形的灯饰(AM＝DN)，小张同学想通过学过的几何知识来测量该商场的高度(AB)和灯饰的长度(MN)，于是去商场时带了一面镜子和一根激光笔，他先把激光笔挂在墙壁CD距地面两块砖高度(CG的长)的G处，镜子水平放在地面距离C两块砖的F处，发现激光笔的反射光照到了N处；再把激光笔挂在墙壁AB距地面两块砖高度(LB的长)的L处，镜子水平放在地面距离B三块砖的P处，发现激光笔的反射光恰好又照到了N处，请你帮忙计算AB的高度和MN的长度．
(第22题)
23．(本题满分7分)如图，BD，AC相交于点P，连接AB，BC，CD，DA，∠DAP＝∠CBP.
(1)求证：△ADP∽△BCP；
(2)直接回答△ADP与△BCP是不是位似图形；
(3)若AB＝8，CD＝4，DP＝3，求AP的长．
(第23题)
24.(本题满分8分)如图，在网格图中，每格是边长为1的正方形，四边形ABCD的顶点均为格点．
(1)请以点O为位似中心，在网格中作出四边形A′B′C′D′，使四边形A′B′C′D′与四边形ABCD位似，且＝2；
(2)求线段C′D′的长；
(3)求出△A′D′O的面积．
(第24题)
25．(本题满分8分)如图，在矩形ABCD中，AB＝12 cm，BC＝6 cm，点E自点A出发，以1 cm/s的速度向点D前进，同时点F从点D以2 cm/s的速度向点C前进，若移动的时间为t s，且0≤t≤6.
(1)当t为多少时，DE＝2DF
(2)四边形DEBF的面积是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是定值，请说明理由．
(3)以点D，E，F为顶点的三角形能否与△BCD相似？若能，请求出所有可能的t的值；若不能，请说明理由．
(第25题)
26．(本题满分10分)【阅读理解】我们知道，利用相似三角形性质求线段长是常用求线段长的方法之一，如图①，在△ABC中，D为BC上一点，若∠BAD＝∠C，可易证△ABD∽△CBA，从而可得AB2＝BD·BC，若已知其中两条线段的长即可求出第三条线段的长．
(1)【尝试应用】如图②，在 BCEF中，D为BC上一点，E为AC上一点，∠BAD＝∠C，若AB＝8，BD＝5，求EF的长．
(2)【拓展应用】如图③，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，∠EDF＝45°，EF＝8，DE＝12，请求出正方形ABCD的边长．
(第26题)
答案
一、1.A　2.C　3.A　4.C　5.C　6.A　7.D　8.C
二、9.(12 －12）　10.24　11.24
12.　13.①②③
三、14. 解：设＝＝＝k，则a＋b＝3k，b＋c＝4k，c＋a＝5k，解得a＝2k，b＝k，c＝3k，
所以＝＝－1.
15.解：∵l2∥l3，∴＝.
而AG＝4 cm，AB＝2BC，
∴＝2.∴GF＝2 cm.
∴AF＝AG＋GF＝4＋2＝6(cm）.
∵l1∥l2∥l3，
∴＝，即＝，
∴EF＝cm.
16.解：因为两个五边形相似，所以＝＝＝，β＝58°.
解得x＝0.8，y＝0.6，z＝1，α＝540°－100°－170°－58°－72°＝140°.
17.解：(1）∵AD平分∠BAC，
∠BAC＝60°，∴∠DAC＝30°，
在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，
∠DAC＝30°，AC＝6，∴CD＝2 ，
在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，∴BC＝6 ，
∴BD＝BC－CD＝4 ，
∵DE∥CA，
∴＝＝，∴DE＝4；
(2）如图.
(第17题）
∵点M是线段AD的中点，
∴DM＝AM，∵DE∥CA，
∴＝.∴DF＝AG.
∵DE∥CA，∴＝，＝.
∴＝.∵BD＝4 ， BC＝6 ， DF＝AG，∴＝.
18.解：(1）(4－t）cm；(5－1.25 t）cm
(2）由(1）知PC＝(4－t）cm，QC＝(5－1.25t）cm，
∴＝＝1－，
＝＝1－.
∴＝，
∵∠C＝90°，∴△ABC∽△PQC，
∴∠PQC＝∠B，∴PQ∥AB.
∴不论t取何值时，总有线段PQ与线段AB平行.
19.(1）证明： ABCD中，∠A＝∠C，∵∠EDB＝∠C，
∴∠A＝∠EDB，又∵∠E＝∠E，
∴△ADE∽△DBE；
(2）解： ABCD中，
DC＝AB，由(1）得△ADE∽△DBE，
∴＝，
∵DC＝7 cm，BE＝9 cm，
∴AB＝7 cm，AE＝16 cm.
∴DE＝12 cm.
20.解：∵△ABC，△DCE，△FEG是三个全等的等腰三角形，
∴FG＝AB＝，GE＝BC＝1，
BG＝3BC＝3，
∴＝，＝＝.
∴＝.∵∠FGE＝∠BGF，
∴△BFG∽△FEG.∴＝.
∵FG＝FE，∴BF＝BG＝3.
∵∠ACB＝∠G，∴AC∥FG，
∴＝＝，
∴BP＝BF＝1.
21.证明：(1）∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，
∵∠BED＋∠B＝∠EDF＋∠FDC，∠EDF＝60°，
∴∠BED＝∠CDF，
∴△BDE∽△CFD；
(2）∵△BDE∽△CFD，∴＝.
∵BD＝CD，∴＝.
∵∠EDF＝∠C＝60°，
∴△DFE∽△CFD.
∴∠EFD＝∠CFD.
∴FD平分∠EFC.
22.解：过点N作NT⊥BC于点T，则四边形ABTN，四边形CDNT都是矩形，设AB＝NT＝CD＝x cm.
由题意，得BC＝80×25＝2 000(cm），CG＝CF＝LB＝2×80＝160(cm），BP＝3×80＝240(cm），∵∠B＝∠PTN＝90°，∠NPT＝∠LPB，
∴△LBP∽△NTP，∴＝，
∴＝，∴PT＝x，
同法可证，△GCF∽△NTF，可得FT＝NT＝x cm，
∵BP＋PT＋TF＋CF＝2 000 cm，
∴240＋x＋x＋160＝2 000，
∴x＝640，∴DN＝CT＝800 cm，
AB＝CD＝640 cm，∴AM＝DN＝800 cm，∴MN＝AD－AM－DN＝2 000－1 600＝400(cm）.
23.(1）证明：∵∠DAP＝∠CBP，∠DPA＝∠CPB，∴△ADP∽△BCP.
(2）解：△ADP与△BCP不是位似图形.
(3）解：∵△ADP∽△BCP，
∴＝，又∵∠APB＝∠DPC，
∴△APB∽△DPC，∴＝，
即＝，解得AP＝6.
24.解：(1）如图所示，四边形A′B′C′D′即为所求.
(第24题）
(2）线段C′D′的长为＝4 .
(3）△A′D′O的面积为×(4＋2）×6－×4×2－×4×2＝10.
25.解：(1）由题意，得DE＝AD－t＝6－t，DF＝2t，
∴6－t＝2×2t，解得t＝，
故当t＝时，DE＝2DF.
(2）四边形DEBF的面积是定值.
∵矩形ABCD的面积为12×6＝72(cm2），S△ABE＝×12×t＝6t(cm2），S△BCF＝×6×(12－2t）＝36－6t(cm2），
∴四边形DEBF的面积＝矩形的面积－S△ABE－S△BCF＝72－6t－36＋6t＝36(cm2），故四边形DEBF的面积为定值.
(3）设以点D，E，F为顶点的三角形能与△BCD相似，
则＝或＝，
由ED＝(6－t）cm，DF＝2t cm，CD＝12 cm，BC＝6 cm，代入，得＝或＝，解得t＝3或t＝，
故当t＝3或时，以点D，E，F为顶点的三角形与△BCD相似.
26. 解：(1）∵∠BAD＝∠C，∠ABD＝∠CBA，∴△ABD∽△CBA，
∴＝，即＝，
解得BC＝.
∵四边形BCEF为平行四边形，
∴EF＝BC＝.
(2）分别延长EF，DC相交于点G，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACD＝45°，AC＝AD，
∵EF∥AC，∴∠EGD＝∠ACD＝45°，
∵∠EDF＝45°，∴∠EDF＝∠EGD，
∵∠E＝∠E，∴△EDF∽△EGD，
∴＝，即＝，
解得EG＝18，
∵AC∥EG，AB∥CD，
∴四边形AEGC为平行四边形，
∴AC＝EG＝18，
∴AD＝×18＝9 .