浙江省宁波市兴宁中学2021-2022学年七年级下学期起始考数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2022七下·宁波开学考）下列各组数中，互为倒数的是（ ）
A．﹣2与12 B．0.1与1 C．﹣1与﹣1 D．﹣43与43
2．（2022七下·宁波开学考）随着北京冬奥会的成功举办，“双奥之城”将进一步提升北京的国际影响力和城市竞争力.冬奥会的举办也带动了群众冰雪运动的迅速普及，据悉，仅春节假日期间，北京冰雪场所就共接待74万人次其中，“74万”用科学记数法可以表示为（ ）
A．7.4×105 B．7.4×106 C．74×104 D．74×105
3．（2022七下·宁波开学考）下列方程中，解为x＝2的是（ ）
A．x﹣2＝0 B．2x＝6 C．x+2＝0 D．3x+6＝0
4．（2022七下·宁波开学考）已知∠1＝38°36′，∠2＝38.36°，∠3＝38.6°， 则下列说法正确的是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠3
C．∠1＝∠3 D．∠1、∠2、∠3互不相等
5．（2022七下·宁波开学考）下列叙述中不正确的个数是（ ）
①π﹣1不是单项式；② πab2的系数是
，次数是4；③代数式2x2y﹣y+3y﹣1是二次四项式，其中二次项是﹣xy；④ 不是整式，而
是整式；⑤ 是单项式．
A．2 B．3 C．4 D．5
6．（2022七下·宁波开学考）已知a，b两数在数轴上的表示如图所示，那么化简代数式|a+b|﹣|a﹣1|+|b+2|的结果是（ ）
A．1 B．2b+3 C．2a﹣3 D．﹣1
7．（2022七下·宁波开学考）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOC，若∠BOD：∠BOE=1：2，则∠AOE的大小为（ ）
A．72° B．98° C．100° D．108°
8．（2022七下·宁波开学考）《算法统宗》是中国古代数学名菩，由明代数学家程大位所菩，书中有这样一题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺，若将绳四折测之，绳多一尺，求绳长、井深各几何？如图，如果设井深为x尺，则可列方程为（ ）
A．3（x+4）＝4（x+1）
B．3x+4＝4x+1
C．
D．
9．（2022七下·宁波开学考）小明受“求2×2方格中阴影正方形边长（如图1）”启发，将宽AB为1的长方形纸片（如图2）沿着AE折叠，使得AB落在AD边上，点B和点F重合，再将折好的纸片沿着AH折叠，使得AE落在AD上，刚好点E和点D重合，则DF的长为（ ）
A．
B． ﹣1
C．1
D．
10．（2021七上·瑞安期末）将图1中周长为32的长方形纸片剪成1号、2号、3号、4号正方形和5号长方形，并将它们按图2的方式放入周长为48的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长为（ ）
A．16 B．24 C．30 D．40
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（2022七下·宁波开学考）7平方根是 ．
12．（2020七上·松北期末）比较大小：2 4
13．（2022七下·宁波开学考）已知﹣2m+3n2＝﹣7，则代数式12n2﹣8m+4的值等于 ．
14．（2022七下·宁波开学考）一个角的补角比它的余角的4倍少60°，这个角的度数为 ．
15．（2022七下·宁波开学考）长方形ABCD可以分割成如图所示的七个正方形．若AB＝22，则AD＝ ．
16．（2022七下·宁波开学考）若关于x的方程x﹣
的解是正整数，则正整数m的值为 ．
三、解答题（共6小题，共52分）
17．（2022七下·宁波开学考）计算或解方程：
（1） ；
（2） ．
18．（2022七下·宁波开学考）如图，码头、火车站分别位于A，B两点，直线a和b分别表示铁路与河流.
①两点确定一条直线；②两点之间线段最短；③垂线段最短．
（1）从码头A到火车站B怎样走最近，请画图，并选择理由 （填序号）．
（2）从码头A到铁路a怎样走最近，请画图，并选择理由 （填序号）．
19．（2022七下·宁波开学考）我们把有相同的解的两个方程称为同解方程.例如，方程2x=6与方程4x=12的解都为x=3，所以它们为同解方程，若关于x的方程x﹣2（x﹣m）=4和
是同解方程，求m的值．
20．（2021七上·衢州期末）如图，直线AB与直线CD相交于点O，OE⊥OF，且OA平分∠COE.
（1）若∠DOE＝50°，求∠BOF的度数.
（2）设∠DOE＝α，∠BOF＝β，请探究α与β的数量关系（要求写出过程）.
21．（2022七下·宁波开学考）某垃圾处理厂，对不可回收垃圾的处理费用为90元/吨，可回收垃圾的分拣处理费用也为90元/吨，分拣后再被相关企业回收，回收价格如表：
垃圾种类 纸类 塑料类 金属类 玻璃类
回收单价（元/吨） 500 800 500 200
据了解，可回收垃圾占垃圾总量的60%，现有A，B，C三个小区12月份产生的垃圾总量分别为100吨，100吨和m吨
（1）已知A小区金属类垃圾质量是塑料类的5倍，纸类垃圾质量是塑料类的2倍.设塑料类的质量为x吨，则A小区可回收垃圾有 吨，其中玻璃类垃圾有 吨（用含x的代数式表示），
（2）B小区纸类与金属类垃圾总量为35吨，当月可回收垃圾回收总金额扣除所有垃圾处理费后，收益16500元.求12月份该小区可回收垃圾中塑料类垃圾的质量．
（3）C小区发现塑料类与玻璃类垃圾的回收总额恰好相等，所有可回收垃圾的回收总金额为12000元，设该小区塑料类垃圾质量为a吨，求a与m的数量关系.
22．（2022七下·宁波开学考）如图，两条直线AB，CD相交于点O，且∠AOC=∠AOD，射线OM从OB开始绕O点逆时针方向旋转，速度为15°/s，射线ON同时从OD开始绕O点顺时针方向旋转，速度为12°/s，运动时间为t秒（0（1）当t＝2时，∠MON的度数为 ，∠BON的度数 ；
（2）若OE平分∠COM，OF平分∠NOD，当∠EOF为直角时，请求出t的值；
（3）当射线OM在∠COB内部，且 是定值时，则t的取值范围是 ，而这个定值是 ．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：A、﹣2与12不是互为倒数，故A不符合题意；
B、0.1与1不是互为倒数，故B不符合题意；
C、﹣1与﹣1是互为倒数，故C符合题意；
D、﹣43与43是互为相反数，不是互为倒数，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用互为倒数的两数之积为1，再对各选项逐一判断.
2．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：74万=7.4×105.
故答案为：A.
【分析】根据科学记数法的表示形式为：a×10n，其中1≤|a|＜10，此题是绝对值较大的数，因此n=整数数位-1（1万=104）.
3．【答案】A
【知识点】一元一次方程的解；利用合并同类项、移项解一元一次方程
【解析】【解答】解：A、x﹣2＝0
解之：x=2，故A符合题意；
B、2x＝6
解之：x=3，故B不符合题意；
C、x+2＝0
解之：x=-2，故C不符合题意；
D、3x+6＝0
3x=-6
解之：x=-2，故D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】分别求出各选项中的方程的解，可得到解为x=2的方程.
4．【答案】C
【知识点】常用角的单位及换算；角的大小比较
【解析】【解答】解：∠2＝38.36°=38°+0.36×60′=38°+21′+0.6×60″=38°21′36″，
∠3＝38.6°=38°36′
∴∠1=∠3.
故答案为：C.
【分析】将度转化为度，分，秒，再比较大小，可得答案.
5．【答案】B
【知识点】单项式的概念；整式的概念与分类；单项式的次数与系数；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解： ①π﹣1是单项式，故错误；
② πab2的系数是
，次数是3，错误；
③代数式2x2y﹣y+3y﹣1是三次四项式，错误；
④ 不是整式，而
是整式，正确；
⑤ 是单项式，正确；
不正确的个数是3.
故答案为：B.
【分析】利用单项式是数与字母的积，可对①⑤作出判断；单项式中的数字因数是单项式的系数，可对②作出判断；利用多项式的次数和项数的确定方法，可对③作出判断；单项式和多项式统称为整式，可对④作出判断；由此可得到错误说法的个数.
6．【答案】B
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；绝对值及有理数的绝对值；有理数大小比较；整式的加减运算
【解析】【解答】解：∵-1.5＜b＜-1＜0＜1＜a＜1.5，
∴a+b＞0，a-1＞0，b+2＞0
∴原式=a+b-（a-1）+b+2=a+b-a+1+b+2=2b+3.
故答案为：B.
【分析】观察数轴可知-1.5＜b＜-1＜0＜1＜a＜1.5，可得到a+b，a-1，b+2的取值范围，再利用绝对值的性质进行化简，然后合并同类项.
7．【答案】D
【知识点】角的运算；对顶角及其性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵OE平分∠BOC，
∴∠EOC=∠BOE，
∵∠BOD：∠BOE=1：2，
设∠BOD=x，则∠EOC=∠BOE=2x，
∵∠BOD+∠EOC+∠BOE=180°，
∴x+2x+2x=180°，
解之：x=36°，
∴∠COE=2×36°=72°，
∠BOD=∠AOC=36°，
∴∠AOE=∠AOC+∠COE=36°+72°=108°.
故答案为：D.
【分析】利用角平分线的性质和已知条件∠BOD：∠BOE=1：2，设∠BOD=x，可表示出∠EOC和∠BOE，利用∠BOD+∠EOC+∠BOE=180°，可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到∠COE，∠BOD的度数；再利用对顶角相等可求出∠AOC的度数；然后根据∠AOE=∠AOC+∠COE，代入计算求出∠AOE的度数.
8．【答案】A
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：设井深为x尺，根据题意得
3（x+4）＝4（x+1）
故答案为：A.
【分析】抓住已知条件：若将绳三折测之，绳多四尺，若将绳四折测之，绳多一尺，据此设未知数，列方程即可.
9．【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵将宽AB为1的长方形纸片（如图2）沿着AE折叠，使得AB落在AD边上，点B和点F重合，
∴∠AFE=∠B=∠BAF=90°，AB=AF=1，
∴四边形ABEF是正方形，
∴BE=AB=1
∴；
∵再将折好的纸片沿着AH折叠，使得AE落在AD上，刚好点E和点D重合，
∴AD=AE=
，
∴DF=AD-AF=
.
故答案为：B.
【分析】利用折叠的性质和正方形的判定定理可证得四边形ABEF是正方形，可得到BE=AB=1；再利用勾股定理求出AE的长；利用折叠的性质可得到AD的长；然后根据FD=AD-AF，代入计算求出DF的长.
10．【答案】D
【知识点】整式的加减运算
【解析】【解答】解：设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y，则3号正方形的边长为x+y，4号正方形的边长为2x+y，5号长方形的长为3x+y，宽为y-x，
由图1中长方形的周长为32，可得，y+2（x+y）+（2x+y）=16，
解得：x+y=4，
如图，
.
∵图2中长方形的周长为48，
∴AB+2（x+y）+2x+y+y-x=24，
∴AB=24-3x-4y，
根据平移得：没有覆盖的阴影部分的周长为四边形ABCD的周长，
∴2（AB+AD）=2（24-3x-4y+x+y+2x+y+y-x）=2（24-x-y）=48-2（x+y）=48-8=40，
故答案为：D.
【分析】设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y,利用长方形的周长为32，化简得x+y=4，再利用长方形的周长为48，得AB=24-3x-4y，利用平移知没有覆盖的阴影部分的周长为四边形ABCD的周长，求得周长为40.
11．【答案】±
【知识点】平方根
【解析】【解答】解：7的平方根为：±
.
故答案为：±
.
【分析】利用正数的平方根有两个，它们互为相反数，可求出已知数的平方根.
12．【答案】＜
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】2 = ，4 = ，
∵28＜32，
∴ ＜ ，
∴2 ＜4 ．
故答案为＜．
【分析】先求出2 = ，4 = ，再比较大小求解即可。
13．【答案】-24
【知识点】代数式求值
【解析】【解答】解：∵﹣2m+3n2＝﹣7，
∴3n2-2m=-7
∴ 12n2﹣8m+4=4（3n2-2m） +4=4×（-7）+4=-24.
故答案为：-24.
【分析】将已知转化为3n2-2m=-7，再将代数式转化为4（3n2-2m） +4；然后整体代入求值.
14．【答案】40°
【知识点】余角、补角及其性质；解含括号的一元一次方程
【解析】【解答】解：设这个角的度数为x，根据题意得
180°-x=4（90°-x）-60°，
180°-x=360°-4x-60°
3x=120°，
解之：x=40°.
故答案为：40°.
【分析】利用已知可知等量关系为：180°-这个角的度数=4（90°-这个角的度数）-60°，设未知数，列方程，然后求出方程的解即可.
15．【答案】30
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：如图，
设最小的正方形的边长为x，则正方形N1的边长为3x，正方形N2的边长为4x，正方形N3的边长为11x，
∵AB=22，
∴11x=22
解之：x=2.
AD=11x+x+3x=15x=15×2=30.
故答案为：30.
【分析】设最小的正方形的边长为x，分别表示出正方形N1、N2、N3的的边长，根据AB=22建立关于x的方程，解方程求出x的值；然后求出AD的长.
16．【答案】4或2
【知识点】一元一次方程的解；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：∵ x﹣
∴3x-（2x-m）=6-x，
3x-2x+m-6+x=0
解之：
，
∵ 关于x的方程x﹣
的解是正整数 且m为正整数，
∴6-m=2或6-m=4
解之：m=4或m=2.
故答案为：4或2.
【分析】先去分母，去括号，移项，合并，然后求出方程的解；再根据方程的解为正整数且m为正整数，可得到关于m的方程，解方程求出m的值.
17．【答案】（1）解：原式= ；
（2）
解：去分母得：3（2-x）-18=2x-(2x+3）
去括号得：6-3x-18=2x-2x-3
移项合并得：-3x=9
解之：x=-3.
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】（1）利用绝对值的性质先去绝对值，同时算乘方运算，将除法转化为乘法运算；再利用有理数的乘法分配律进行计算，然后利用有理数的加法法则进行计算，可求出结果.
（2）先去分母（两边同时乘以6，左边的3也要乘以6，不能漏乘），再去括号（括号前是负号，去掉括号和负号，括号里的每一项都要变号），然后移项合并同类项，最后把未知数的系数化为1.
18．【答案】（1）如图，连接AB，理由：两点之间线段最短.
故答案为：②.
（2）如图，过点A作AC⊥a于点C，理由：垂线段最短
故答案为：③.
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；垂线段最短；作图-垂线；作图-直线、射线、线段
【解析】【分析】（1）从码头A到火车站B的距离就是点与点的距离，利用两点之间线段最短进行解答即可.
（2）由题意可知是点到直线的距离，因此利用垂线段最短，画出图形即可.
19．【答案】解：x﹣2（x﹣m）=4
x-2x+2m=4
x=2m-4；
3（x+m）-2x=6
3x+3m-2x=6，
x=6-3m；
∵ 关于x的方程x﹣2（x﹣m）=4和 是同解方程
∴2m-4=6-3m
∴5m=10
m=2.
【知识点】一元一次方程的解；解含括号的一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】分别求出两方程的解，再根据两个方程式同解方程，可得到关于m的方程，解方程求出m的值.
20．【答案】（1）解：∵∠DOE=50°，
∴∠COE=180°-∠DOE=180°-50°=130°，
∵OA平分∠COE，
∴∠AOE=∠COE=×130°=65°，
∵OE⊥OF，
∴∠EOF=90°，
∴∠BOF=180°-∠AOE-∠EOF=180°-65°-90°=25°；
（2）解：∵∠DOE=α，
∴∠COE=180°-∠DOE=180°-α，
∵OA平分∠COE，
∴∠AOE=∠COE=（180°-α）=90°-α，
∵OE⊥OF，
∴∠EOF=90°，
∴∠BOF=β=180°-∠AOE-∠EOF=180°-（90°-α）-90°=α，
即α=2β.
【知识点】角的运算；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）利用邻补角的定义可得到∠COE=180°-∠DOE，代入计算求出∠COE的度数；再利用角平分线的定义求出∠AOE的度数；然后利用垂直的定义求出∠BOF的度数.
（2）利用邻补角的定义可得到∠COE=180°-∠DOE，由此可表示出∠COE的度数；再利用角平分线的定义表示出∠AOE的度数；然后利用垂直的定义可得到α与β的数量关系.
21．【答案】（1）60；（60 8x）
（2）解：设12月份B小区塑料类垃圾质量为y吨，则玻璃类垃圾质量为（60 35 y）吨，即（25 y）吨，
由题意可得：500×35＋800y＋200（25 y）＝16500＋100×90
解得：y＝5
答：B小区12月份可回收垃圾中塑料垃圾质量是5吨．
（3）解：∵塑料类垃圾质量为a吨，塑料类与玻璃类垃圾的回收总额相等，
∴玻璃类垃圾质量为4a吨，
∴纸类与金属类垃圾总质量为（0.6m 5a）吨
由题意可得500（0.6m 5a）＋2×800a＝12000
化简可得m 3a＝40．
【知识点】一元一次方程的实际应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解：（1）∵可回收垃圾占垃圾总量的60%
∴A小区可回收的垃圾：100×60%＝60（吨）
设塑料类的质量为x吨，纸类垃圾质量是2x吨，金属类垃圾质量是5x吨，则玻璃类垃圾有：60 x 2x 5x＝60 8x．
故答案是：60，（60 8x）.
【分析】（1）利用可回收垃圾占垃圾总量的60%，可求出A小区可回收的垃圾的数量；利用已知条件：A小区金属类垃圾质量是塑料类的5倍，纸类垃圾质量是塑料类的2倍，设塑料类的质量为x吨，可分别表示出纸类垃圾质量，金属类垃圾质量；然后根据A小区可回收的垃圾的质量可求出玻璃类垃圾的质量.
（2）设12月份B小区塑料类垃圾质量为y吨，根据题意建立关于y的方程，解方程求出x的值.
（3）塑料类垃圾质量为a吨，根据塑料类与玻璃类垃圾的回收总额相等，可表示出玻璃类垃圾质量及纸类与金属类垃圾总质量，根据所有可回收垃圾的回收总金额为12000元，可得到关于a，m的方程，解方程求出可得到a与m的数量关系.
22．【答案】（1）144°；114°
（2）解：如图，
∵ OE平分∠COM，OF平分∠NOD，
∴∠COE= ∠COM，∠DOF= ∠NOD，
∵∠EOF=90°，
∴∠COE+∠DOF=90°，
∴（∠COM+∠NOD）=90°；
∵∠BOM=15t，∠DON=12t，
∴∠COM=15t-90°，
∴（15t-90°+12t）=90°；
解之：t=10.
（3）；3
【知识点】角的运算；图形的旋转；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（1）∵∠AOC+∠AOD=180°，∠AOC=∠AOD，
∴2∠AOC=180°，
∴∠AOC=90°，
∴∠AOC=∠COB=∠BOD=90°，
∵ 射线OM从OB开始绕O点逆时针方向旋转，速度为15°/s，射线ON同时从OD开始绕O点顺时针方向旋转，速度为12°/s，
∴∠BOM=15t，∠DON=12t，
当t=2时，∠BOM=15°×2=30°，∠DON=12°×2=24°，
∴∠MON=∠BOM+∠BOD+∠DON=30°+90°+24°=144°；
∠BON=∠BOD+∠DON=90°+24°=114°.
故答案为：144°，114°.
（3）当∠MON=180°时，∠BOM+∠BOD+∠DON=180°，
∴15t+90°+12t=180°
解之： ；
当∠BOM=90°时，
15t=90°
解之：t=6；
当 时，如图，
∠COM=90°-15t，∠BON=90°+12t，
∴∠MON=∠BOM+∠BON=15t+90°+12t=27t+90°；
∴，不是定值；
当 ，如图
∠COM=90°-15t，∠BON=90°+12t，
∴∠MON=360°-（∠BOM+∠BOD+∠DON）=360°-（27t+90°）=270°-27t
∴，是定值，
∴ 当射线OM在∠COB内部，且 是定值时，则t的取值范围是 ，这个定值是3.
故答案为： ，3.
【分析】（1）利用已知条件可求出∠AOC=90°，同时可求出∠COB=∠BOD=90°，利用射线OM和射线ON的旋转方向和速度，可表示出∠BOM和∠DON；然后将t=2代入可求出∠BOM和∠DON的度数，再求出∠MON和∠BON的度数.
（2）利用角平分线的定义可证得∠COE= ∠COM，∠DOF= ∠NOD，结合已知条件可证得∠COE+∠DOF=90°，由此可得到关于t的方程，解方程求出t的值.
（3）分情况讨论：当∠MON=180°时，利用∠BOM+∠BOD+∠DON=180°，建立关于t的方程，解方程求出t的值；当∠BOM=90°时，可得到关于t的方程，解方程求出t的值；再分情况讨论：当 时，用含t的代数式表示出∠COM和∠BON，∠MON，然后代入 ，可知此时其值不是定值；当 ，用含t的代数式表示出∠COM和∠BON，∠MON，然后代入 可知其值为定值，即可求解.
1 / 1浙江省宁波市兴宁中学2021-2022学年七年级下学期起始考数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2022七下·宁波开学考）下列各组数中，互为倒数的是（ ）
A．﹣2与12 B．0.1与1 C．﹣1与﹣1 D．﹣43与43
【答案】C
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：A、﹣2与12不是互为倒数，故A不符合题意；
B、0.1与1不是互为倒数，故B不符合题意；
C、﹣1与﹣1是互为倒数，故C符合题意；
D、﹣43与43是互为相反数，不是互为倒数，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用互为倒数的两数之积为1，再对各选项逐一判断.
2．（2022七下·宁波开学考）随着北京冬奥会的成功举办，“双奥之城”将进一步提升北京的国际影响力和城市竞争力.冬奥会的举办也带动了群众冰雪运动的迅速普及，据悉，仅春节假日期间，北京冰雪场所就共接待74万人次其中，“74万”用科学记数法可以表示为（ ）
A．7.4×105 B．7.4×106 C．74×104 D．74×105
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：74万=7.4×105.
故答案为：A.
【分析】根据科学记数法的表示形式为：a×10n，其中1≤|a|＜10，此题是绝对值较大的数，因此n=整数数位-1（1万=104）.
3．（2022七下·宁波开学考）下列方程中，解为x＝2的是（ ）
A．x﹣2＝0 B．2x＝6 C．x+2＝0 D．3x+6＝0
【答案】A
【知识点】一元一次方程的解；利用合并同类项、移项解一元一次方程
【解析】【解答】解：A、x﹣2＝0
解之：x=2，故A符合题意；
B、2x＝6
解之：x=3，故B不符合题意；
C、x+2＝0
解之：x=-2，故C不符合题意；
D、3x+6＝0
3x=-6
解之：x=-2，故D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】分别求出各选项中的方程的解，可得到解为x=2的方程.
4．（2022七下·宁波开学考）已知∠1＝38°36′，∠2＝38.36°，∠3＝38.6°， 则下列说法正确的是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠3
C．∠1＝∠3 D．∠1、∠2、∠3互不相等
【答案】C
【知识点】常用角的单位及换算；角的大小比较
【解析】【解答】解：∠2＝38.36°=38°+0.36×60′=38°+21′+0.6×60″=38°21′36″，
∠3＝38.6°=38°36′
∴∠1=∠3.
故答案为：C.
【分析】将度转化为度，分，秒，再比较大小，可得答案.
5．（2022七下·宁波开学考）下列叙述中不正确的个数是（ ）
①π﹣1不是单项式；② πab2的系数是
，次数是4；③代数式2x2y﹣y+3y﹣1是二次四项式，其中二次项是﹣xy；④ 不是整式，而
是整式；⑤ 是单项式．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】单项式的概念；整式的概念与分类；单项式的次数与系数；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解： ①π﹣1是单项式，故错误；
② πab2的系数是
，次数是3，错误；
③代数式2x2y﹣y+3y﹣1是三次四项式，错误；
④ 不是整式，而
是整式，正确；
⑤ 是单项式，正确；
不正确的个数是3.
故答案为：B.
【分析】利用单项式是数与字母的积，可对①⑤作出判断；单项式中的数字因数是单项式的系数，可对②作出判断；利用多项式的次数和项数的确定方法，可对③作出判断；单项式和多项式统称为整式，可对④作出判断；由此可得到错误说法的个数.
6．（2022七下·宁波开学考）已知a，b两数在数轴上的表示如图所示，那么化简代数式|a+b|﹣|a﹣1|+|b+2|的结果是（ ）
A．1 B．2b+3 C．2a﹣3 D．﹣1
【答案】B
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；绝对值及有理数的绝对值；有理数大小比较；整式的加减运算
【解析】【解答】解：∵-1.5＜b＜-1＜0＜1＜a＜1.5，
∴a+b＞0，a-1＞0，b+2＞0
∴原式=a+b-（a-1）+b+2=a+b-a+1+b+2=2b+3.
故答案为：B.
【分析】观察数轴可知-1.5＜b＜-1＜0＜1＜a＜1.5，可得到a+b，a-1，b+2的取值范围，再利用绝对值的性质进行化简，然后合并同类项.
7．（2022七下·宁波开学考）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOC，若∠BOD：∠BOE=1：2，则∠AOE的大小为（ ）
A．72° B．98° C．100° D．108°
【答案】D
【知识点】角的运算；对顶角及其性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵OE平分∠BOC，
∴∠EOC=∠BOE，
∵∠BOD：∠BOE=1：2，
设∠BOD=x，则∠EOC=∠BOE=2x，
∵∠BOD+∠EOC+∠BOE=180°，
∴x+2x+2x=180°，
解之：x=36°，
∴∠COE=2×36°=72°，
∠BOD=∠AOC=36°，
∴∠AOE=∠AOC+∠COE=36°+72°=108°.
故答案为：D.
【分析】利用角平分线的性质和已知条件∠BOD：∠BOE=1：2，设∠BOD=x，可表示出∠EOC和∠BOE，利用∠BOD+∠EOC+∠BOE=180°，可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到∠COE，∠BOD的度数；再利用对顶角相等可求出∠AOC的度数；然后根据∠AOE=∠AOC+∠COE，代入计算求出∠AOE的度数.
8．（2022七下·宁波开学考）《算法统宗》是中国古代数学名菩，由明代数学家程大位所菩，书中有这样一题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺，若将绳四折测之，绳多一尺，求绳长、井深各几何？如图，如果设井深为x尺，则可列方程为（ ）
A．3（x+4）＝4（x+1）
B．3x+4＝4x+1
C．
D．
【答案】A
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：设井深为x尺，根据题意得
3（x+4）＝4（x+1）
故答案为：A.
【分析】抓住已知条件：若将绳三折测之，绳多四尺，若将绳四折测之，绳多一尺，据此设未知数，列方程即可.
9．（2022七下·宁波开学考）小明受“求2×2方格中阴影正方形边长（如图1）”启发，将宽AB为1的长方形纸片（如图2）沿着AE折叠，使得AB落在AD边上，点B和点F重合，再将折好的纸片沿着AH折叠，使得AE落在AD上，刚好点E和点D重合，则DF的长为（ ）
A．
B． ﹣1
C．1
D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵将宽AB为1的长方形纸片（如图2）沿着AE折叠，使得AB落在AD边上，点B和点F重合，
∴∠AFE=∠B=∠BAF=90°，AB=AF=1，
∴四边形ABEF是正方形，
∴BE=AB=1
∴；
∵再将折好的纸片沿着AH折叠，使得AE落在AD上，刚好点E和点D重合，
∴AD=AE=
，
∴DF=AD-AF=
.
故答案为：B.
【分析】利用折叠的性质和正方形的判定定理可证得四边形ABEF是正方形，可得到BE=AB=1；再利用勾股定理求出AE的长；利用折叠的性质可得到AD的长；然后根据FD=AD-AF，代入计算求出DF的长.
10．（2021七上·瑞安期末）将图1中周长为32的长方形纸片剪成1号、2号、3号、4号正方形和5号长方形，并将它们按图2的方式放入周长为48的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长为（ ）
A．16 B．24 C．30 D．40
【答案】D
【知识点】整式的加减运算
【解析】【解答】解：设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y，则3号正方形的边长为x+y，4号正方形的边长为2x+y，5号长方形的长为3x+y，宽为y-x，
由图1中长方形的周长为32，可得，y+2（x+y）+（2x+y）=16，
解得：x+y=4，
如图，
.
∵图2中长方形的周长为48，
∴AB+2（x+y）+2x+y+y-x=24，
∴AB=24-3x-4y，
根据平移得：没有覆盖的阴影部分的周长为四边形ABCD的周长，
∴2（AB+AD）=2（24-3x-4y+x+y+2x+y+y-x）=2（24-x-y）=48-2（x+y）=48-8=40，
故答案为：D.
【分析】设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y,利用长方形的周长为32，化简得x+y=4，再利用长方形的周长为48，得AB=24-3x-4y，利用平移知没有覆盖的阴影部分的周长为四边形ABCD的周长，求得周长为40.
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（2022七下·宁波开学考）7平方根是 ．
【答案】±
【知识点】平方根
【解析】【解答】解：7的平方根为：±
.
故答案为：±
.
【分析】利用正数的平方根有两个，它们互为相反数，可求出已知数的平方根.
12．（2020七上·松北期末）比较大小：2 4
【答案】＜
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】2 = ，4 = ，
∵28＜32，
∴ ＜ ，
∴2 ＜4 ．
故答案为＜．
【分析】先求出2 = ，4 = ，再比较大小求解即可。
13．（2022七下·宁波开学考）已知﹣2m+3n2＝﹣7，则代数式12n2﹣8m+4的值等于 ．
【答案】-24
【知识点】代数式求值
【解析】【解答】解：∵﹣2m+3n2＝﹣7，
∴3n2-2m=-7
∴ 12n2﹣8m+4=4（3n2-2m） +4=4×（-7）+4=-24.
故答案为：-24.
【分析】将已知转化为3n2-2m=-7，再将代数式转化为4（3n2-2m） +4；然后整体代入求值.
14．（2022七下·宁波开学考）一个角的补角比它的余角的4倍少60°，这个角的度数为 ．
【答案】40°
【知识点】余角、补角及其性质；解含括号的一元一次方程
【解析】【解答】解：设这个角的度数为x，根据题意得
180°-x=4（90°-x）-60°，
180°-x=360°-4x-60°
3x=120°，
解之：x=40°.
故答案为：40°.
【分析】利用已知可知等量关系为：180°-这个角的度数=4（90°-这个角的度数）-60°，设未知数，列方程，然后求出方程的解即可.
15．（2022七下·宁波开学考）长方形ABCD可以分割成如图所示的七个正方形．若AB＝22，则AD＝ ．
【答案】30
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：如图，
设最小的正方形的边长为x，则正方形N1的边长为3x，正方形N2的边长为4x，正方形N3的边长为11x，
∵AB=22，
∴11x=22
解之：x=2.
AD=11x+x+3x=15x=15×2=30.
故答案为：30.
【分析】设最小的正方形的边长为x，分别表示出正方形N1、N2、N3的的边长，根据AB=22建立关于x的方程，解方程求出x的值；然后求出AD的长.
16．（2022七下·宁波开学考）若关于x的方程x﹣
的解是正整数，则正整数m的值为 ．
【答案】4或2
【知识点】一元一次方程的解；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：∵ x﹣
∴3x-（2x-m）=6-x，
3x-2x+m-6+x=0
解之：
，
∵ 关于x的方程x﹣
的解是正整数 且m为正整数，
∴6-m=2或6-m=4
解之：m=4或m=2.
故答案为：4或2.
【分析】先去分母，去括号，移项，合并，然后求出方程的解；再根据方程的解为正整数且m为正整数，可得到关于m的方程，解方程求出m的值.
三、解答题（共6小题，共52分）
17．（2022七下·宁波开学考）计算或解方程：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）解：原式= ；
（2）
解：去分母得：3（2-x）-18=2x-(2x+3）
去括号得：6-3x-18=2x-2x-3
移项合并得：-3x=9
解之：x=-3.
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】（1）利用绝对值的性质先去绝对值，同时算乘方运算，将除法转化为乘法运算；再利用有理数的乘法分配律进行计算，然后利用有理数的加法法则进行计算，可求出结果.
（2）先去分母（两边同时乘以6，左边的3也要乘以6，不能漏乘），再去括号（括号前是负号，去掉括号和负号，括号里的每一项都要变号），然后移项合并同类项，最后把未知数的系数化为1.
18．（2022七下·宁波开学考）如图，码头、火车站分别位于A，B两点，直线a和b分别表示铁路与河流.
①两点确定一条直线；②两点之间线段最短；③垂线段最短．
（1）从码头A到火车站B怎样走最近，请画图，并选择理由 （填序号）．
（2）从码头A到铁路a怎样走最近，请画图，并选择理由 （填序号）．
【答案】（1）如图，连接AB，理由：两点之间线段最短.
故答案为：②.
（2）如图，过点A作AC⊥a于点C，理由：垂线段最短
故答案为：③.
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；垂线段最短；作图-垂线；作图-直线、射线、线段
【解析】【分析】（1）从码头A到火车站B的距离就是点与点的距离，利用两点之间线段最短进行解答即可.
（2）由题意可知是点到直线的距离，因此利用垂线段最短，画出图形即可.
19．（2022七下·宁波开学考）我们把有相同的解的两个方程称为同解方程.例如，方程2x=6与方程4x=12的解都为x=3，所以它们为同解方程，若关于x的方程x﹣2（x﹣m）=4和
是同解方程，求m的值．
【答案】解：x﹣2（x﹣m）=4
x-2x+2m=4
x=2m-4；
3（x+m）-2x=6
3x+3m-2x=6，
x=6-3m；
∵ 关于x的方程x﹣2（x﹣m）=4和 是同解方程
∴2m-4=6-3m
∴5m=10
m=2.
【知识点】一元一次方程的解；解含括号的一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】分别求出两方程的解，再根据两个方程式同解方程，可得到关于m的方程，解方程求出m的值.
20．（2021七上·衢州期末）如图，直线AB与直线CD相交于点O，OE⊥OF，且OA平分∠COE.
（1）若∠DOE＝50°，求∠BOF的度数.
（2）设∠DOE＝α，∠BOF＝β，请探究α与β的数量关系（要求写出过程）.
【答案】（1）解：∵∠DOE=50°，
∴∠COE=180°-∠DOE=180°-50°=130°，
∵OA平分∠COE，
∴∠AOE=∠COE=×130°=65°，
∵OE⊥OF，
∴∠EOF=90°，
∴∠BOF=180°-∠AOE-∠EOF=180°-65°-90°=25°；
（2）解：∵∠DOE=α，
∴∠COE=180°-∠DOE=180°-α，
∵OA平分∠COE，
∴∠AOE=∠COE=（180°-α）=90°-α，
∵OE⊥OF，
∴∠EOF=90°，
∴∠BOF=β=180°-∠AOE-∠EOF=180°-（90°-α）-90°=α，
即α=2β.
【知识点】角的运算；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）利用邻补角的定义可得到∠COE=180°-∠DOE，代入计算求出∠COE的度数；再利用角平分线的定义求出∠AOE的度数；然后利用垂直的定义求出∠BOF的度数.
（2）利用邻补角的定义可得到∠COE=180°-∠DOE，由此可表示出∠COE的度数；再利用角平分线的定义表示出∠AOE的度数；然后利用垂直的定义可得到α与β的数量关系.
21．（2022七下·宁波开学考）某垃圾处理厂，对不可回收垃圾的处理费用为90元/吨，可回收垃圾的分拣处理费用也为90元/吨，分拣后再被相关企业回收，回收价格如表：
垃圾种类 纸类 塑料类 金属类 玻璃类
回收单价（元/吨） 500 800 500 200
据了解，可回收垃圾占垃圾总量的60%，现有A，B，C三个小区12月份产生的垃圾总量分别为100吨，100吨和m吨
（1）已知A小区金属类垃圾质量是塑料类的5倍，纸类垃圾质量是塑料类的2倍.设塑料类的质量为x吨，则A小区可回收垃圾有 吨，其中玻璃类垃圾有 吨（用含x的代数式表示），
（2）B小区纸类与金属类垃圾总量为35吨，当月可回收垃圾回收总金额扣除所有垃圾处理费后，收益16500元.求12月份该小区可回收垃圾中塑料类垃圾的质量．
（3）C小区发现塑料类与玻璃类垃圾的回收总额恰好相等，所有可回收垃圾的回收总金额为12000元，设该小区塑料类垃圾质量为a吨，求a与m的数量关系.
【答案】（1）60；（60 8x）
（2）解：设12月份B小区塑料类垃圾质量为y吨，则玻璃类垃圾质量为（60 35 y）吨，即（25 y）吨，
由题意可得：500×35＋800y＋200（25 y）＝16500＋100×90
解得：y＝5
答：B小区12月份可回收垃圾中塑料垃圾质量是5吨．
（3）解：∵塑料类垃圾质量为a吨，塑料类与玻璃类垃圾的回收总额相等，
∴玻璃类垃圾质量为4a吨，
∴纸类与金属类垃圾总质量为（0.6m 5a）吨
由题意可得500（0.6m 5a）＋2×800a＝12000
化简可得m 3a＝40．
【知识点】一元一次方程的实际应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解：（1）∵可回收垃圾占垃圾总量的60%
∴A小区可回收的垃圾：100×60%＝60（吨）
设塑料类的质量为x吨，纸类垃圾质量是2x吨，金属类垃圾质量是5x吨，则玻璃类垃圾有：60 x 2x 5x＝60 8x．
故答案是：60，（60 8x）.
【分析】（1）利用可回收垃圾占垃圾总量的60%，可求出A小区可回收的垃圾的数量；利用已知条件：A小区金属类垃圾质量是塑料类的5倍，纸类垃圾质量是塑料类的2倍，设塑料类的质量为x吨，可分别表示出纸类垃圾质量，金属类垃圾质量；然后根据A小区可回收的垃圾的质量可求出玻璃类垃圾的质量.
（2）设12月份B小区塑料类垃圾质量为y吨，根据题意建立关于y的方程，解方程求出x的值.
（3）塑料类垃圾质量为a吨，根据塑料类与玻璃类垃圾的回收总额相等，可表示出玻璃类垃圾质量及纸类与金属类垃圾总质量，根据所有可回收垃圾的回收总金额为12000元，可得到关于a，m的方程，解方程求出可得到a与m的数量关系.
22．（2022七下·宁波开学考）如图，两条直线AB，CD相交于点O，且∠AOC=∠AOD，射线OM从OB开始绕O点逆时针方向旋转，速度为15°/s，射线ON同时从OD开始绕O点顺时针方向旋转，速度为12°/s，运动时间为t秒（0（1）当t＝2时，∠MON的度数为 ，∠BON的度数 ；
（2）若OE平分∠COM，OF平分∠NOD，当∠EOF为直角时，请求出t的值；
（3）当射线OM在∠COB内部，且 是定值时，则t的取值范围是 ，而这个定值是 ．
【答案】（1）144°；114°
（2）解：如图，
∵ OE平分∠COM，OF平分∠NOD，
∴∠COE= ∠COM，∠DOF= ∠NOD，
∵∠EOF=90°，
∴∠COE+∠DOF=90°，
∴（∠COM+∠NOD）=90°；
∵∠BOM=15t，∠DON=12t，
∴∠COM=15t-90°，
∴（15t-90°+12t）=90°；
解之：t=10.
（3）；3
【知识点】角的运算；图形的旋转；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（1）∵∠AOC+∠AOD=180°，∠AOC=∠AOD，
∴2∠AOC=180°，
∴∠AOC=90°，
∴∠AOC=∠COB=∠BOD=90°，
∵ 射线OM从OB开始绕O点逆时针方向旋转，速度为15°/s，射线ON同时从OD开始绕O点顺时针方向旋转，速度为12°/s，
∴∠BOM=15t，∠DON=12t，
当t=2时，∠BOM=15°×2=30°，∠DON=12°×2=24°，
∴∠MON=∠BOM+∠BOD+∠DON=30°+90°+24°=144°；
∠BON=∠BOD+∠DON=90°+24°=114°.
故答案为：144°，114°.
（3）当∠MON=180°时，∠BOM+∠BOD+∠DON=180°，
∴15t+90°+12t=180°
解之： ；
当∠BOM=90°时，
15t=90°
解之：t=6；
当 时，如图，
∠COM=90°-15t，∠BON=90°+12t，
∴∠MON=∠BOM+∠BON=15t+90°+12t=27t+90°；
∴，不是定值；
当 ，如图
∠COM=90°-15t，∠BON=90°+12t，
∴∠MON=360°-（∠BOM+∠BOD+∠DON）=360°-（27t+90°）=270°-27t
∴，是定值，
∴ 当射线OM在∠COB内部，且 是定值时，则t的取值范围是 ，这个定值是3.
故答案为： ，3.
【分析】（1）利用已知条件可求出∠AOC=90°，同时可求出∠COB=∠BOD=90°，利用射线OM和射线ON的旋转方向和速度，可表示出∠BOM和∠DON；然后将t=2代入可求出∠BOM和∠DON的度数，再求出∠MON和∠BON的度数.
（2）利用角平分线的定义可证得∠COE= ∠COM，∠DOF= ∠NOD，结合已知条件可证得∠COE+∠DOF=90°，由此可得到关于t的方程，解方程求出t的值.
（3）分情况讨论：当∠MON=180°时，利用∠BOM+∠BOD+∠DON=180°，建立关于t的方程，解方程求出t的值；当∠BOM=90°时，可得到关于t的方程，解方程求出t的值；再分情况讨论：当 时，用含t的代数式表示出∠COM和∠BON，∠MON，然后代入 ，可知此时其值不是定值；当 ，用含t的代数式表示出∠COM和∠BON，∠MON，然后代入 可知其值为定值，即可求解.
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